Eine neue Herangehensweise zur Quantengravitation

Eine neue Herangehensweise zur
Quantengravitation
Über die Masse der Fermionen und Bosonen
Axel D. Nelke
27. April 2014
Für die Entstehung der Masse der Fermionen und der Masseverhältnise zueinander wird ein Zusammenhang hergestellt. Es wird die Möglichkeit einer
Bewegung auf der Zeitachse für ein neues unbekanntes Teilchen als Grundlage
einer quantenmechanischen Beschreibung der Gravitation vorgestellt. Gleichzeitig wird mit einer möglichen Erklärung für die Entstehung der dunklen Materie und Energie auch der fehlende Nachweis des Gravitons erklärt. Darüber
hinaus wird die Existenz weiterer Teilchen diskutiert.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
2 Methodik
2.1 Vorbereitungen und Bestimmung des Potentials im 4 dimensionalen Raum
2.1.1 Spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Bewegungsgleichungen auf den Raumachsen . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Bewegungsgleichungen auf der Zeitachse . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Die Einsteinsche Feldgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Zeitdilatation und Gravitationspotential . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Vorbereitungen zur Schrödinger Gleichung des Ur-Teilchens . . . . . .
2.2.1 Hamilton Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Schrödinger Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Vorschlag einer Dirac Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9
10
11
13
14
15
16
17
17
17
3 Berechnungen und Ergebnisse
18
3.1 Berechnungen entsprechend der klassischen Physik . . . . . . . . . . . . . 18
4 Diskussion
22
1
Literatur
25
1 Einleitung
Abbildung 1: Standard Modell der Elementarteilchen (MissMJ)
Wie Abbildung 1 zeigt sind im Standardmodell die Fermionen (Quarks und Leptonen)
in Generationen zusammengefasst. Die Fermionen mit gleichen Eigenschaften (Ladung,
Spin) haben als einzigen Unterschied eine von Generation zu Generation zunehmende
Masse. Die Teilchen mit äquivalenten Eigenschaften in allen drei Generationen werden
im Folgenden zusammengefasst als Gruppe bezeichnet.
Die Zunahme der Masse von Generation zu Generation der Fermionen in einer Gruppe
erinnert an verschiedene Energieniveaus in einem quantenmechanischen Schwingungsmodell, zum Beispiel die Energieniveaus der Elektronen in einem Wasserstoffatom. Grundsätzlich wird in dieser Arbeit die Vorstellung damit verbunden, dass alle drei Fermionen
einer Gruppe nur durch ein Teilchen, welches jetzt neu zu definieren wäre, in verschiedenen Schwingungszuständen zurückgeführt werden kann. Dieses zu vermutende neue
Teilchen wird im Folgenden als Ur-Teilchen bezeichnet. Das Ur-Teilchen würde alle Eigenschaften der entsprechenden Generation haben. Dadurch sind diese Eigenschaften für
jeweils drei Fermionen einer Gruppe gleich. Nur die Masse der einzelnen Fermionen ist
durch die verschiedenen Schwingungsniveaus unterschiedlich. Diese Ur-Teilchen würden
für jede Gruppe existieren, also gäbe es insgesamt drei verschiedene Ur-Teilchen. Die
2
kinetische Energie der Ur-Teilchen, gebunden in den Schwingungszuständen, entspräche
den Energieniveaus. Mit seiner in der Schwingung gebundenen Energie in dem jeweiligen Schwingungsniveau entspräche dies der Masse der einzelnen Fermionen der jeweiligen
Gruppe. Später wird die eigene Masse dieses Ur-Teilchens, die zur Masse der Fermionen
nicht beiträgt, der dunklen Materie des Kosmos zugeordnet.
Grundsätzlich wird ein 4-dimensionaler Raum, bestehend aus drei Raumdimensionen
und einer Zeitdimension vorausgesetzt. Dies wird speziell deswegen angenommen, weil in
der allgemeinen und speziellen Relativitätstheorie von einer 4-dimensionalen Raumzeit
ausgegangen wird und dies jeweils zu genauen Resultaten führt.
Auf der Basis der Riemannschen Differentialgeometrie wäre im 4-dimensionalen Raum
eine Veränderung der Position, auf jeder einzelnen der Achsen, möglich. Eine Veränderung
der Position auf einer der Raumachsen (z.B. x) in Bezug zur Zeitachse ct ergibt eine Geschwindigkeit v. Eine Veränderung einer Position auf der Zeitachse ließe sich durch einen
Bezug zu einer der Raumachsen als eine hierzu inverse Geschwindigkeit vct darstellen.
Diese Geschwindigkeit wäre invers in den Dimensionen zu einer Geschwindigkeit v auf
einer der Raumachsen. Durch Zuhilfenahme der Lichtgeschwindigkeit c wäre sie dimensionslos. Die Geschwindigkeit vct auf der Zeitachse wäre:
ct
c
= .
(1)
r
v
Eine Bewegung einer Position auf der Zeitachse kann zugelassen werden, ohne dabei eine
Verletzung der Geometrie herbeizuführen oder Einschränkungen in den mathematischen
Voraussetzungen vorzunehmen. In jedem Punkt der Raum-Zeit wird ein lokal existierendes annähernd ebenes Koordinatensystem vorausgesetzt. Es wird postuliert, dass die
gleichen Zusammenhänge der speziellen Relativitätstheorie invers existieren. Die weiteren Betrachtungen beziehen sich daher auf einen Minkowskiraum und damit bedingt,
im Unterschied zum zeitartigen Segment für v, handelt es sich für vct um das raumartige Segment. Das inverse Verhältnis zwischen dem zeitartigen und raumartigen Segment
bezieht sich nur auf die Geschwindigkeiten und nicht auf die Massen, welche identisch
behandelt werden. Auch wird vorausgesetzt, dass die Physik mit den bekannten Formeln
der klassischen Mechanik und Relativitätstheorie, im inversen Sinn in gleichem Maße für
Geschwindigkeiten vct im raumartigen Segment gültig sind.
Die Vorstellung ist nun, dass in der 4-dimensionalen Raumzeit eine aus den Raumachsen gebildete 3-dimensionale Hyperebene existiert. Diese Hyperebene umfasst das
gesamte Universum. Die Zeitachse steht orthogonal auf dieser 3-dimensionalen Hyperebene. Der Energieerhaltungssatz erfordert, dass weder Energie noch Masse diese 3dimensionale Hyperebene dauerhaft verlässt. Die einzige Einschränkung wird durch
die Unschärferelation vorgegeben, welche eine zeitlich befristete Ausnahme vom Energieerhaltungssatz möglich macht. Im 4-dimensionalem Raum ist eine Verteilung von
Masse oder Energie nur in der auf der Zeitachse als unendlich dünn erscheinenden 3dimensionalen (räumlichen) Hyperebene vorgegeben. Es wird angenommen, dass diese
Hyperebene durch den Ursprung eines Koordinatensystems des Minkowskiraumes und
damit dem Nullpunkt der Zeitachse geht und Energie oder Masse ausschließlich auf
dieser Hyperebene liegen wird. Für dieses hypothetische Modell wird die gesamte Enervct =
3
gie und Masse des Universums in ihrer Verteilung in der 3-dimensionalen Hyperebene
des Universums als einigermaßen gleichmäßig verteilt angenommen. Für die weitere Betrachtung soll es auch unerheblich sein, welche Form das Universum im 4-dimensionalen
Raum hat. Betrachtet wird ein hinreichend kleiner Bereich, so dass eine Krümmung des
Universums an dieser Stelle vernachlässigbar wird.
Für Schwingungen mit verschiedenen Energieniveaus bedarf es eines Potentials oder
einer Potentialdifferenz. Da bisher ein Graviton nicht nachweisbar war, ist eine gewagte
naheliegende Vermutung, dass eine Wechselwirkung ausschließlich auf der Zeitachse und
nicht auf einer oder allen drei räumlichen Achsen stattfindet. Dabei handelt es sich um
eine eindimensionale Wechselwirkung. Die Wechselwirkung einer Masse auf der Zeitachse würde mit dem dazugehörigen Eichboson, dem Graviton, stattfinden. Die homogen
verteilte Masse in der 3-dimensionalen Hyperebene hat die Möglichkeit einer Wechselwirkung mit Energie oder Masse nur auf der Zeitachse. Unter diesen Voraussetzungen wird
postuliert, dass das Ur-Teilchen sich auf der Zeitachse bewegen und die 3-dimensionale
Hyperebene auf der Zeitachse verlassen kann. Es erfährt eine Wechselwirkung in einem Gravitationsfeld, welches vom Universum auf der Zeitachse ausgeht, und wird auf
die 3-dimensionale Hyperebene zurückbewegt. Dabei wird das Ur-Teilchen beschleunigt
und hat eine zunehmende Geschwindigkeit vct in die Richtung der Hyperebene des Universums. In dem Gedankenexperiment durchquert das Ur-Teilchen die 3-dimensionale
Hyperebene. Auf der anderen Seite entfernt sich das Ur-Teilchen wieder von der Hyperebene und verliert seine Geschwindigkeit vct durch die Gravitation und kehrt im
Umkehrpunkt wieder zurück zur Hyperebene des Universums. Der Vorgang wiederholt
sich und es entsteht eine Schwingung.
Das Universum dehnt sich kontinuierlich aus, sowohl auf der Zeitachse als auch auf allen Raumachsen. Dies geschieht für alle Achsen gleichermaßen: die Lichtgeschwindigkeit
ist konstant und gibt das Verhältnis einer der Raumachsen zur Zeitachse wieder. Unter
der Voraussetzung, dass ein Teilchen, z.B. das Ur-Teilchen, auf der Zeitachse schwingen
kann ( in der Betrachtung äquivalent z..B. zu einer Schwingung auf einer der Raumachsen, wie dem harmonischen Oszillator) und durch eine kontinuierliche Ausdehnung
des Universums auf allen Achsen, entsteht der kontinuierliche Ablauf im raumartigen
Segment. Durch eine kontinuierliche Bewegung auf der Raumachse entsteht das gleiche Bild z.B. wie bei einer Schwingung auf der Zeitachse im raumartigen Segment, nur
mit dem Unterschied, dass die Raum- und Zeitachse vertauscht sind. Das Schwingende Ur-Teilchens stellt sich im zeitartigen Segment als ein Fermion dar. Wenn auf der
Raumachse auch eine Schwingung des Fermions entsteht, wie z.B. bei einem harmonischen Oszillator, so überlagern sich die beiden Schwingungen. Das eine ist die Schwingung des Ur-Teilchens auf der Zeitachse und das andere ist die Schwingung des daraus
entstehenden Fermions auf der Raumachse. Hierzu gibt die Abbildung 2 Auskunft. In
der Abbildung 3 sind zwei Schwingungen für unterschiedliche Frequenzen zum besseren
Vergleich überlagert dargestellt.
Man erkennt, dass es zu typischen ,,Paketen” kommt. Durch die Formeln
y = abs(sin(8x + sin(x)12))
4
Abbildung 2: Ergebnis einer Überlagerung einer Schwingung auf einer der Raumachsen
und einer auf der Zeitachse für das Ur-Teilchen
5
Abbildung 3: Zwei Schwingungen wie in Abbildung 2, jedoch für verschiedenen
Geschwindigkeiten
6
und für höhere Geschwindigkeiten
y = abs(sin(8x ∗ 0, 25 + sin(x)
12
0, 25
wird versucht, eine Darstellung der Überlagerung beider Schwingungen zu simulieren.
Unter der zusätzlich zu berücksichtigenden relativistischen Veränderung (Lorentztransformation) entsteht das, was zu erwarten war. Durch eine Betrachtung bei höheren Geschwindigkeiten ergibt sich eine deutlichere ,,kompaktere” korpuskuläre Eigenschaft des
Fermions und eine höhere Frequenz und damit Energie des Fermions.
Speziell für Photonen besteht diese Überlagerung zu gleichen Teilen aus der Schwingung im räumlichen und im zeitlichen Segment. Das Verhältnis der Raum- und Zeitachsen zueinander wird durch die Lichtgeschwindigkeit festgelegt. Das heißt, die Photonen
(ohne Masse) bewegen sich auf dieser Grenze zwischen den Segmenten, weil bei einer Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit ein Gleichgewicht zwischen der Energie im räumlichen
und im zeitlichen Segment besteht.
Auch gäbe es zu der Schwingung möglicherweise ein Drehmoment in einer Ebene,
welche durch die Zeitachse und einer der drei Raumachsen aufgespannt wird. Das UrTeilchen pendelt durch die 3-dimensionale Hyperebene des Universums unter dem Einfluss des Drehmomentes nicht genau durch einen Punkt hindurch. Durch dieses Drehmoment tritt das Ur-Teilchen immer wieder an verschiedenen Stellen der 3-dimensionalen
Hyperebene hindurch, immer in einem kleinen Umfeld um ein Zentrum, dem Durchtrittspunkt. In der 3 dimensionalen Hyperebene ist das Ur-Teilchen damit diffus (gleichzeitig
an verschiedenen Orten) und nur mit bestimmten unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten für seinen Aufenthalt an verschiedenen Stellen präsent. Unter dieser Vorstellung ist
vielleicht eine andere Erklärung für die Heisenbergsche Unschärferelation möglich als
Ausdruck dieses Drehmomentes des durch die 3-dimensionalen Hyperebene hindurch
pendelnden Ur-Teilchens:
p·v ≥~ .
Möglicherweise ist der Zusammenhang auch eine wichtige Grundlage des Tunneleffekts.
Das Ur-Teilchen würde über einen Umweg unter Zuhilfenahme der Zeitachse eine Potential Barriere überwinden.
In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die durch Energie oder Masse entstehende Krümmung des Raumes mit der Riemannschen Differentialgeometrie nicht als Auswirkung einer Wechselwirkung beschrieben [Raschewski, 1995]. Die Veränderungen der
Krümmungen im 4-dimensionalen Raum ist der Masse als Eigenschaft zugeordnet. Durch
eine nur auf der Zeitachse bestehenden Wechselwirkung, von einer Masse ausgehend,
könnte erklärt werden, wie sich die Krümmung der Achsen ergibt. Die Amplituden einer
Schwingung auf der Zeitachse sind je nach Größe des Potentials unterschiedlich groß.
Dies könnte einer unterschiedlichen physikalischen ,,Kontraktion” oder Krümmung der
Zeitachse entsprechen. Verstärkt sich die Kraft, weil die Masse des Universums größer
ist, entspricht dies einer Verkürzung der Bewegungsauslenkung auf der Zeitachse des
obigen Beispiels. In einem Beispiel mit 2 verschiedenen hypothetischen Universen, mit
7
verschiedenen Massen, wäre die Bewegung auf der Zeitachse für ein gleiches Ur-Teilchen
entsprechend unterschiedlich. Die potentielle Energie des Ur-Teilchens wäre mit einer
geringeren Entfernung des Umkehrpunktes von der 3 dimensionalen Hyperebene des UrTeilchens auf der Zeitachse, für das Universum mit der größeren Masse, erreicht. Für
ein bestimmtes Ur-Teilchen mit gleicher Masse wäre im Vergleich die Zeitachse in seiner
physikalischen Eigenschaft in dem Universum mit einer höheren Masse verkürzt.
Ein schwingendes Ur-Teilchen im räumlichen Segment mit einer bestimmten Geschwindigkeit vct hat im Vergleich zu einem ruhenden Teilchen ein gedrehtes Koordinatensystem. Das schwingende Ur-Teilchen wird mit abnehmender Geschwindigkeit vct seine
Schwingung im raumartigen Segment stärker geneigt und der 3 dimensionalen Hyperebene angenähert. Für den raumartigen Abschnitt entspräche dies einer Reduzierung
der Geschwindigkeit vct , und aus der Sicht des zeitartigen Segmentes wäre dies eine
Annäherung an eine unendlich Geschwindigkeit v. An diesem Modell ist auch die Auswirkung einer Änderung der Gravitationskraft durch ein z.B. zusätzliches Gravitationsfeld erkennbar. Dies würde auch einer stärkeren Neigung der Bewegungsrichtung des
schwingenden Ur-Teilchen entsprechen. Die Bewegungsrichtung der Schwingung des hypothetischen Ur-Teilchens nähert sich der 3-dimensionalen Hyperebene durch die von
ihr ausgehenden stärkeren Kraft an. Eine Vermehrung der kinetischen Energie, indem
das Fermion im 3-dimensionalen Raum eine bestimmte Geschwindigkeit annimmt, führt
nach der zugrunde gelegten Vorstellung auch zu einer größeren Neigung der Oszillation
eines Ur-Teilchens. Eine verstärkte Gravitationskraft auf der Zeitachse wäre vergleichsweise in der Wirkung nicht unterscheidbar von einer Geschwindigkeit bedingten Drehung
oder Neigung der Schwingung eines Ur-Teilchens . Das heißt, der Einfluss einer Masse
und der einer Geschwindigkeit sind in ihrer Wirkung auf das schwingende Ur-Teilchen
gleich. Über eine Raumachse gibt es keine Wechselwirkung. Deswegen ist auch räumlich
neben einer Masse, in der 3-dimensionalen Hyperebene keine Wechselwirkung zu erkennen. Die Gravitation erfolgt ausschließlich in dem zeitlichen Bereich vor oder hinter der
Hyperebene, in der Zukunft oder Vergangenheit. Wie bei einer durch die Geschwindigkeit des Teilchens ausgelöste Neigung der Bewegungsachse entsteht eine Verbiegung
auch durch die Gravitation. Wie dies zu einer Massezunahme eines Fermions bei Verringerung der Geschwindigkeit vct führt, ergibt sich durch die im Ergebnisteil angestellten
Überlegungen. Die Masse des Ur-Teilchens im raumartigen Segment ist für das kleinste
Fermion, z.B. das Elektron, durch die relativistische Massezunahme am größten. Das ist
auch das Ur-Teilchen, welches die größte Kraft im raumartigen Segment erfährt. Der
durch seine Schwingung überstrichene Teil der Zeitachse ist am größten von den drei
Fermionen. Somit ist die Eigenzeit dieses Teilchens die, die am geringsten erscheint.
Die schwereren Fermionen benötigen eine geringere Distanz für ihre Schwingung auf der
Zeitachse. Das Ur-Teilchen hat eine langsamere Geschwindigkeit und eine geringere relativistische Massezunahme. Die Zeitachse wirkt verlängert und damit die Eigenzeit. Das
heißt, dass auch durch eine größere Gravitationskraft für Ur-Teilchen auf der Zeitachse
der Abschnitt für die Schwingung kleiner wird und damit für die Fermionen die Zeitachse
verlängert erscheint. Mit geringerer Gravitationskraft wäre die Eigenzeit kürzer.
Eine renormierbare quantenmechanische Beschreibung der Gravitation ist bisher nicht
möglich, solange keine Wechselwirkung und Schwingung beschrieben werden kann. Mit
8
Hilfe der obigen Vorstellung eines auf der Zeitachse schwingendes Ur-Teilchens wäre ein
eindimensionales quantenmechanisches Schwingungsmodell entwickelbar [Misner et al.,
1973, Messiah, 1990, 1991, Fredenhagen et al., 2007]. Auf anderer Grundlage gibt es
verschiedene Gedankenmodelle zur Quantengravitation [Vacaru, 2013, Hansson, 2012,
Kiefer, 2007] und einen guten Überblick über die grundlegende Problematik in nachfolgenden Arbeiten zu finden: Amelino-Camelia [2008], Amelino-Camelia et al. [2010]. Sehr
nahe an die obigen Vorstellungen kommt ein Ansatz mit einem hypothetischen als steriles Neutrino bezeichnetes Teilchen, als Erweiterung des Standardmodells [Yang, 2013,
Mavromatos, 2011b, Munyaneza and Biermann, 2007, Munyaneza, 2007].
Die Loop-Quantengravitation [Rovelli, 2011, Susskind, 2003, Thiemann, 2007] und
Stringtheorie (M-Theorie) sind bisher von breiterem Interesse und liefern eine umfassende unabhängige [Giovannini, 2008, Smolin, 2003, 2010, Hamber, 2009, Mavromatos, 2010]
Grand Unified Theory. Dabei ist immer noch kein absoluter Bezug zu bekannten Parametern (Lichtgeschwindigkeit, Plancksches Wirkungsquantum, Gravitationskonstante
usw.) möglich. Auch werden für die Stringtheorie elf Dimensionen benötigt.
Im Weiteren sind die Hintergründe für die dunkle Energie und dunkle Masse unklar
und lassen die Phantasie zu, dass es sich hierbei vielleicht um die aus Ur-Teilchen bestehende Masse und deren kinetische Energie handelt. Mit dem fehlenden Nachweis in
der uns bekannten 3 dimensionalen Welt. Auch hierzu gibt es zahlreiche Ansätze, die
das sterile Neutrino als Ursache vermuten. Es ist möglich, dass das Ur-Teilchen mit
dem sterilen Neutrino identisch sein könnte [Unwin, 2012, Yang, 2013, Sanders, 2010,
Mavromatos, 2011a, Enstrom et al., 1998].
Die zu beantwortenden Fragestellungen:
1. Wie könnte eine quantenmechanische Erklärung der Masse der Fermionen (Leptonen
und Quark Generationen) aussehen?
2. Gibt es eine mögliche Erklärung für den fehlenden Nachweis der Gravitonen?
3. Gibt es Hinweise für eine theoretische Zuordnung der dunklen Materie und Energie
zu den bekannten Elementarteilchen?
2 Methodik
2.1 Vorbereitungen und Bestimmung des Potentials im 4 dimensionalen
Raum
In der Stringtheorie lässt sich mit Hilfe einer erheblichen Anzahl zusätzlicher Dimensionen das bekannte Spektrum der Masseverteilung der Fermionen darstellen [Zwiebach,
2004, Krishnan, 2006, Taylor, 2006]. Ein einfacherer Ansatz für nur 4 Dimensionen wird
mit Hilfe des nachfolgenden Potentials versucht darzustellen. Für die Berechnungen wird
eine unendlich ausgedehnte 3 dimensionale räumliche Hyperebene, das Universum mit
homogener Massedichte beinhaltend, vorausgesetzt. Im Minkowskiraum, der als Grundlage für das Gedankenmodell genommen wird, ist im zeitlichen Bereich vor oder hinter
9
der 3-dimensionalen Hyperebene keine Masse oder Energie verteilt (d.h. nicht in positiver
und auch nicht in negativer Richtung ).
Die Feldstärke für eine Gravitationswechselwirkung auf der Zeitachse, die eine 3 dimensionale Hyperebene mit einer homogenen Masseverteilung im räumlichen Bereich im
Minkowskiraum bewirkt, ist nicht bekannt.
Dieh Berechnung
des Potentials Φct der Gravitation auf der Zeitachse mit der Dimeni
s2
sion m2 und der Feldstärke Ect−gr ms2 des Gravitationsfeldes auf der Zeitachse muss
mit dem räumlichen Vektor r (abhängig nur
h von
i x, y, z) und der Zeitachse t erfolgen.
kg
Hierzu muss die Flächendichte der Masse σv m3 des Universums sowie einer Proportioh 2 i
s
nalitätskonstanten kct−gr kgm
der Gravitation zusätzlich bekannt sein.
Es wird für die im Ergebnisteil durchgeführten Berechnungen ein Potential Φct , welches linear abhängig ist vom Abstand auf der Zeitachse von der 3 dimensionalen Hyperebene, benutzt. In der Elektrostatik ist das elektrische Feld einer unendlich ausgedehnten,
homogen geladenen Fläche konstant und das elektrische Potential linear abhängig vom
Abstand zu dieser Fläche. Mit einer analogen Annahme werden im Ergebnisteil die Berechnungen mit einem linear vom Abstand zur 3-dimensionalen Hyperebene abhängigem
Potential Φct fortgesetzt.
Komplizierend muss berücksichtigt werden, dass die Gravitation generell mit Energie,
nicht nur als Masse, sondern auch als kinetischer Energie wechselwirkt. Die Beschleunigung des Ur-Teilchens im Gravitationsfeld bewirkt eine Zunahme der kinetischen Energie. Die Zunahme der kinetischen Energie, die zusätzlich durch die Gravitation angezogen
wird, ergibt einen exponentiellen Energiezuwachs eines beschleunigten Ur-Teilchens.
2.1.1 Spezielle Relativitätstheorie
Für die Länge x´ im bewegten System mit der zeitartigen Geschwindigkeit v und x im
ruhenden System gilt bekanntermaßen
r
v2
x´ = x 1 − 2
(2)
c
und analog für die Zeit
t
t´= q
1−
v2
c2
.
(3)
Für die kinetische Energie E gilt
mc2
E=q
− mc2 .
v2
1 − c2
(4)
Im raumartigen Segment des Minkowskiraumes ist, gemäß der obigen Überlegungen
in der Einleitung, ein Vertauschen der Rollen von x und t entstanden. Die Geschwindigkeit im raumartigen Segment ist zur Unterscheidung von v im zeitartigen Segment
10
mit vct bezeichnet. Die Gültigkeit der speziellen Relativitätstheorie wird für alle Segmente des Minkowskiraumes angenommen. Damit folgt auch folgend die inverse Lorentz
Transformation der Achsen:
r
q
c2
2
t´ = t 1 − 2 = t 1 − vct
(5)
v
und
Die kinetische Energie E ct
Ect =
x
x
x´ = q
=p
.
(6)
2
c2
1
−
v
ct
1 − v2
h
i
kg·s2
des Ur-Teilchens m0 ist im raumartigen Segment
m2
m
q 0
c2 1 −
c2
v2
−
m0
m0
m0
− 2 ,
= p
2
2
2
c
c
c 1 − vct
E = Ect · c4 .
(7)
(8)
2.1.2 Bewegungsgleichungen auf den Raumachsen
Das Newtonsche Gravitationsgesetz kann approximativ hergeleitet werden aus den Gleichungen der Riemannschen Differentialgeometrie. Mit diesem Ansatz ist es möglich die
Gravitationskräfte ausschließlich auf eine Veränderung der Zeitachse zurückzuführen
[Pauli, 1963b]. Anschließend, im folgenden Kapitel, wird versucht, analog eine entsprechende Herleitung für ein Äquivalent im raumartigen Segment vorzunehmen.
Mit Energie oder Masse ist im Sinne der allgemeinen Relativitätstheorie eine Raumkrümmung verbunden. Die Raumkrümmung erzeugt eine Beschleunigung in Bezug auf
eine andere Masse oder Energie, so dass ein Potential entsteht. Alle in diesem Kapitel
aufgeführten Gleichungen beziehen sich auf das zeitartige Segment des Minkowskiraumes. Das 4-dimensionale Linienelement s ist definiert durch
s2 = x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 ,
(9)
Das Quadrat des invarianten Linienelementes, in krummlinigen Koordinaten ausgedrückt, ist ds2 = gmn dxm dxn . Für die Entwicklung der Bewegungsgleichungen im 4dimensionalen Raum für einen Massepunkt ist die Gleichung für die geodätischen Linien
der Riemannschen Differentialgeometrie entscheidend [Pauli, 1963a]. Diese ist
r
s
d2 xi
i dx dx
+
Γ
=0
r,s
d2 s
ds ds
(10)
Hier durchlaufen die Indizes i, k, r, s die Werte 1,2,3,4 und für die 4 Raum-Zeit-Komponenten
gik , welche die Matrixelemente des metrischen Tensor´s definieren, ebenso. Die Christoffel Symbole Γ definieren die Größen der geodätischen Komponenten für die Raumkrümmung des Bezugssystems.
11
Auch die bekannten nachfolgenden zwei Beziehungen sind notwendig:
Γi,rs = gik Γkrs
(11)
und
1
2
δgir
δgis δgrs
+ r −
s
δx
δx
δxi
= Γi,rs .
(12)
Für langsame Geschwindigkeiten v und schwache Gravitationspotentiale Φ im zeitartigen
2
Segment kann eine Vereinfachung vorgenommen werden. vc2 ist sehr klein und kann
vernachlässigt werden, und bei schwachem Gravitationsfeld weichen die Werte für gik
nur wenig von ihren Normalwerten ab. Diese sind gik = +1, für i = k = 1, 2, 3, sowie
g44 = −1 und gik = 0 für i 6= k .
Für die Berechnungen der relativistischen Feldgleichungen wird die räumliche Distanz
mit r = x + y + z eingesetzt und dadurch s mit s2 = r2 − c2 t2 nach Umwandlungen
häufig für weitere Berechnungen genutzt mit:
r
c2 t2
ds = dr 1 − 2
r
oder
r
r2
−1 .
ds = dct
c2 t2
Aus Gleichung 10 auf der vorherigen Seite wird jetzt durch r = s = 4 aus xr = ct
sowie ausxs = ct. Für i = 1, 2, 3 wird aus xi die Raumachse r:
d2 r
= −c2 Γi44 .
(13)
dt2
In einem statischen Feld können die zeitlichen Ableitungen, weil sie den Wert Null
bekommen, vernachlässigt werden. Aus Formel 12 wird mit dieser Annahme
1 δg44
1 δgi4 δgi4 δg44
+ 4 −
=−
= Γi,44 .
(14)
4
i
2 δx
δx
δx
2 δxi
Für gik ≈ 1, wie oben bereits angenommen, geht Formel 11 über in
Γi,rs ≈ Γkrs
Die Beschleunigung
d 2 xi
dt2
(15)
wäre nur durch g44 bestimmt
d2 r
1 δg44
=
(16)
dc2 t2
2 δr
und durch einen Vergleich mit der Newtonschen Gravitationsformel ergibt dies für
1
Φ = c2 (g44 + 1) .
2
12
(17)
Der Ausdruck in der Klammern wurde so gewählt, dass für den Normalwert von g44 , −1
die Beschleunigung Φ = 0 verschwindet.
δΦ
d2 r
=−
.
(18)
dt2
δr
Diese mögliche Entwicklung ergab die hier angenommene Idee, eine nur auf der Zeitachse existierende Kraft für diese Arbeit anzunehmen.
2.1.3 Bewegungsgleichungen auf der Zeitachse
Erneut, wie im vorhergehenden Kapitel erwähnt, wird
r
c2 t2
ds = dr 1 − 2
r
oder
r
r2
ds = dct
−1
c2 t2
verwendet. Aus der Formel für die geodätische Linie
r
s
d2 xi
i dx dx
+
Γ
=0
(19)
r,s
ds2
ds ds
wird durch eine vergleichbare Entwicklung zu der aus dem vorhergehenden Kapitel für
schwache Gravitationspotentiale und geringen Abweichungen der gik von deren Normalwerten und geringen Geschwindigkeiten vct = ctr :
d2 xi
dct dct
+ Γir,s
=0.
(20)
dr2
dr dr
Die Entwicklung hierzu wurde einzelnen nicht erneut ausgeführt. Hier wird eine ausschließliche Abhängigkeit der Beschleunigung auf der Zeitachse von g44 zugrunde gelegt,
mit der Vorstellung einer entsprechenden Krümmung des 4-dimensionalen Raumes. Mit
Formel 11 auf der vorherigen Seite und 12 wird daraus über Formel 20 nacheinander
2
d2 ct
4 c
+
Γ
44 2 = 0 ,
dr2
v
(21)
d2 ct
c2
=
−Γ
,
4,44
dr2
v2
(22)
d2 ct
1 dg44 c2
=
,
dr2
2 dct v 2
(23)
d2 t
1 dg44 1
=
.
2
dr
2 dt v 2
Das Potential auf der Zeitachse Φct ist:
13
(24)
Φct =
1 1
(g44 + 1) ,
2 v2
Φct
d2 t
=
.
dr2
dt
(25)
(26)
Die Ähnlichkeit der Formeln 18 und 26 ist erkennbar. Es ist möglich, auf der Zeitachse ein Potential zu beschreiben. Die Invarianz des 4-dimensionalen Linienelements, siehe
Formel 9, ist durch die Krümmungen der anderen Raumachsen, welche sich ebenso errechnen lassen, als Konsequenz erhalten.
2.1.4 Die Einsteinsche Feldgleichung
Weitere Ausführungen mit der linearisierten Einsteinschen Feldgleichung - siehe nachfolgende Gleichung - führen zu einem möglichen Zusammenhang mit dem Matrixelement
g44 .
1
l
ψij = −κ Tij − gij Tl .
(27)
2
Der Energie- Impuls Tensor Tij besteht bei niedrigen Geschwindigkeiten nur aus dem
Matrixelement T00 = σ, mit σ der Massendichte des Universums. Damit ist Tij = Tll =
σ. Die gij werden bei niedrigen Geschwindigkeiten mit ihren Normalwerten 1 bzw. -1
eingesetzt. κ ist die Einsteinsche Gravitationskonstante. Durch das Einsetzen ist
1
1
Tij − T gij ≈ σ .
2
2
(28)
1 ∂2
∂
1
1
l
− 2 2 ψij + 2 ψij = −κ Tij − gij Tl = − κσ .
c ∂t
∂r
2
2
(29)
Daraus ergibt sich
1. Bei Ortsunabhängigkeit
1 ∂2
1
1
l
ψij = κ Tij − gij Tl = κσ .
2
2
c ∂t
2
2
(30)
Mit dem Zusammenhang κ = 8πk
, zwischen κ der Einsteinschen und k der Newc4
tonschen Gravitationskonstanten, ist
∂2
1
ψ00 = κ σ .
2
2
∂c t
2
2. Zeitunabhängig ( nach der 2. Ableitung ) gelöst ergibt die Formel 29
∂2
1
ψ00 = −κ σ .
2
∂r
2
Die Lösung dieser Gleichung 32 ist bekanntlich:
14
(31)
(32)
ψ00
κc2
=
4π
˚
σ
√ dv (r)
r2
(33)
σ
√ dv (r)
r2
(34)
und
ψ00 =
2
k
c2
˚
und
2
1 c2
(g44 + 1) = 2 k
2 v2
c
˚
σ
√ dxdydz .
(35)
r2
Mit dieser zuletzt aufgestellte Gleichung wird näherungsweise eine Relation zwischen
g44 und dem Potential auf der Zeitachse hergestellt. Auch mit dieser Betrachtung ergibt
sich ein Hinweis, ein Potential auf der Zeitachse zulassen zu können.
Φct =
2.1.5 Zeitdilatation und Gravitationspotential
Die Zeitdilatation in einem gegenüber einem Ruhesystem K0 rotierenden System K wird
mit der Gleichung 3 berechnet. Eine in K ruhende Uhr geht um so langsamer, je weiter
sie von der Drehachse entfernt ist.
Ansatz A Es ergibt sich ein Gravitationsfeld mit dem Potential Φ für eine Zentripetalkraft. v = ω 2 r2 ist die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von r und der Winkelgeschwindigkeit ω.
1
Φ = − ω2 r2 .
2
(36)
Eingesetzt in Formel 3 ergibt dies
t´= q
t
t
=q
1 − c12 ω 2 r2
1+
(37)
2Φ
c2
mit
1
Φ ≈ v2 .
2
(38)
Ansatz B Ein anderer Ansatz mit der Gleichung der geodätischen Linie
r
s
d2 xi
i dx dx
+
Γ
=0
r,s
d2 s
ds ds
(39)
d2 r
dr dr
(1,2,3)
+ Γ(1,2,3),(1,2,3)
=0
2
dt
dt dt
(40)
ergibt über
15
und
dΦ
1 g00 2
= −Γir,s v 2 ≈
v
dt
2 dr
(41)
1
Φ ≈ g00 v 2 .
2
(42)
als Ergebnis
Das Resultat beider Ansätze lässt sich in Übereinstimmung bringen, wenn die relativistische Krümmung des Raumes mit g 00 , welche in Formel 37 fehlt, als notwendige
Korrektur eingefügt wird. Mit beiden Ansätzen wird in guter Übereinstimmung die zuvor schon unterstellte Ähnlichkeit zwischen einer Geschwindigkeitszunahme und dem
Einfluss eines Gravitationsfeldes verdeutlicht.
2.2 Vorbereitungen zur Schrödinger Gleichung des Ur-Teilchens
Mit der Behauptung der Existenz eines Potentials auf der Zeitachse, als alleinige Wechselwirkung, und mit einer Verkrümmung der Zeitachse als Folge dieser Wechselwirkung,
wird eine Veränderung entsprechend der Riemannschen Differentialgeometrie, wie in der
allgemeinen Relativitätstheorie verwendet, postuliert.
Grundlage ist die räumlich-zeitlich flache und in einem hinreichend kleinem Areal
nicht gebogene Struktur des Universums. Für die potentielle Energie auf der Zeitachse
ist eine lineare Abhängigkeit von der Entfernung von der 3-dimensionalen Hyperebene
angenommen worden. Ein Vergleich aus der Elektrostatik mit dem Potential einer homogen geladenen Fläche zeigt, welche Vorstellung hier benutzt wurde. Aus der Formel
33 ergibt sich mit einer homogen mit Masse beladene Hyperebene im 4-dimensionalem
Raum das Potential
κc2
massunivers ct .
(43)
4π
Der Impuls für das Ur-Teilchen im raumartigen Segment wird mit der inversen Geschwindigkeit vct definiert mit
Φct =
m0
pct = q
1−
c2
v2
1
m0
1
=p
vct
2
v
1 − vct c
(44)
und die Energie mit
2
Ect
=
m20
1 2
p
+
c2 ct
c4
(45)
und
2 4
Ect
c = c2 p2ct + m20 .
Aus dem bisher bekannten über die Gleichheit von Masse und Energie, muss sich
die Überlegung anschließen, dass die kinetische Energie des Ur-Teilchens eine nicht zu
16
vernachlässigende Rolle spielen könnte. So muss angenommen werden, dass auch diese
kinetische Energie durch die Gravitation mit der Masse des Universums wechselwirkt.
Das hat eine exponentielle Steigerung der Energie im Verhältnis zur Geschwindigkeit zur
Folge.
So könnte der klassischen Physik analog die kinetische Energie des Ur-Teilchens im
raumartigen Segment
Ect =
2
4
E
1
1
1
2 2 2
ξ· c 2 c 1
v ·
=
= m0 · eξ·vct ·c vct
m
e
· 2
0
4
2
2
c
2
v c
2
c
mit m0 der Masse des Ur-Teilchens, der Ruheenergie
m0
c2
mit der Dimension
h 2i
darstellen.
ξ = 1 der neu eingeführten Konstante mit der Dimension m
s2
(46)
h
kg·s2
m2
i
und
2.2.1 Hamilton Funktion
Ein Vorschlag hierfür wäre:
1
2 2
2 2
2 2
m0 eξ·c vct · vct
c + m0 · eξc vct · Φct · c2 = E
2
und
˚
2
1
2
2
ξc2 vct
2 2
ξc2 vct
m0 e
· vct c
+ m0 · e
· 2k
σ · ct = E .
2 2
2 · m0 eξc vct
(47)
2.2.2 Schrödinger Gleichung
Dies gilt ebenso für die Schrödinger Gleichung
−
ψ
1 ~2 d2 ψ
+ 2k · M asseunivers · ct · ψ −
=0.
2 mu dc2 t2
dx
(48)
Die Voraussetzung für die weiteren Berechnungen mit der gemachten Annahme inverser
ψ
Betrachtungen für x und t erfordern, dass für dx
= E gilt. Dies erfolgt in direktem
Vergleich zum zeitartigen Segment.
2.2.3 Vorschlag einer Dirac Gleichung
Die Korrespondenzregel der quantenmechanischen Betrachtungsweise wird im obigen
d
Sinne verändert zu E → − ~i O und p → i~ dct
. Mit Ect → Ect + m0 Φct ergibt dies eine
Dirac-Gleichung für das Ur-Teilchen im raumartigen Segment mit einem Potential Φct
auf der Zeitachse. Für Ur-Teilchen mit einem Spin wäre dies die einzige Möglichkeit der
Vorgehensweise.
1
d
m0
~
O − α i~
− β 2 + m0 Φct |ψ (r, t) >= 0 .
(49)
i
c
dct
c
17
3 Berechnungen und Ergebnisse
Um einen Überblick über die zu erwartenden Ergebnisse zu bekommen, wird in klassischer Weise die Lösung der Schrödinger Gleichung gewählt. Dieser Ansatz ist prinzipiell eigentlich nicht möglich für Teilchen mit einem Spin. Der Spin hat keinen großen
Einfluss auf die Masse der Fermionen und so wird dieser Weg für eine grobe Näherung
angenommen. Die nun zu überwindende Schwierigkeit ist, eine geeignete Lösung für die
in den vorangehenden Kapiteln gefundene Differentialgleichung zu finden.
3.1 Berechnungen entsprechend der klassischen Physik
Die Vorstellung, dass ein Ur-Teilchen sich auf der Zeitachse von der 3-dimensionalen
Hyperebene entfernt und wieder zurückkehrt, wird verglichen mit einem Ball, der aus
einer bestimmten Höhe auf die Erde stürzt. Hierzu gibt es einen mathematisch sehr
aufwendigen Weg, der in Flügge [1999] auf den Seiten 92 - 95 in Aufgabe 33 beschrieben
ist.
~ d2 u
+m·g·x·u=E·u .
2m dx2
Hierin ist m · g · x das Potential der Gravitation, u ist eine gesuchte Lösungsfunktion
und die Randbedingungen sind u (0) = 0 und u (∞) = 0.
Mit den Abkürzungen unter Verwendung einer Länge l und einem dimensionslosen
Parameter λ
−
2m2 g
1
= 3
~2
l
und
2mE
λ
= 2
~2
l
und einer weiteren eingeführten dimensionslosen Variablen ζ
x
−λ
l
ergibt sich mit den neuen Randbedingungen u (−λ) = 0 und u (∞) = 0 als Lösung die
Airy-Funktion
ζ=
u = C · Aiζ .
(50)
Es errechnet sich hieraus aufwendig die Energieformel
~2
λ
(51)
2ml2
mit den folgenden Eigenwerten für die Energie, λ: λ1 = 2, 33;λ2 = 4, 08;λ3 = 5, 51;λ4 =
6, 78.
Eλ =
18
Im Gegensatz zum angegebenen Beispiel [Flügge, 1999], bleibt in der hier vorliegenden Situation der Wert für l konstant! Der Umkehrpunkt für die maximale Entfernung
von der 3-dimensionalen Hyperebene für das Ur-Teilchen m0 , bleibt gleich. Die Dimension der Länge l ist [s] in der vorliegenden Situation konstant. Der kinetisch bedingte
Massezuwachs gilt insbesondere am Punkt der maximalen Geschwindigkeit, dem Durchtrittspunkt durch die 3-dimensionale Hyperebene.
Es wird nun eine völlig analoge Vorgehensweise mit Gleichung 47, nach Umwandlung
von
1
κ · c4
2 2
2 2
2
m0 eξc vct · vct
· c2 + m0 · eξc vct ·
M asseunivers · ct − E = 0
2
4π
(52)
über
mu = m0 · eξc
2 v2
ct
in
1
κ · c4
2 2
m2u · vct
c + mu ·
M asseunivers · ct − E = 0
2mu
4π
(53)
zur Schrödinger Gleichung vorgenommen.
d
~2 d2
i~ ψ (r, t) = −
+ V (r, t) ψ (r, t) .
dr
2m dt2
u ist eine gesuchte Lösungsfunktion für ψ mit den Randbedingungen u (0) = 0 und
u (∞) = 0:
−
1
~2
d2 u
κ · c4
+
·
M asseunivers · ct · u − E = 0 ,
2
2
2
2
2 mo eξc vct dc t
4π
(54)
1 ~2 d2 u
+ 2k · M asseunivers · ct · u − E = 0 .
2 mu dc2 t2
(55)
−
Gleichung 55 wird für eine grobe Abschätzung als ausreichend angenommen. Dieses
Vorgehen führt zu keinem mathematisch exaktem Ergebnis, aber wird für einen groben
Überblick als ausreichend angesehen. Die der Energie zugeordneten Exponentialfunktion
wird also zunächst nicht beachtet, um eine Lösbarkeit von Gleichung 54 zu ermöglichen.
Das ergibt nach der Lösung der Gleichung 55 (siehe auch Formel 51) und erneutem
Hinzufügen
EF ermion,λ = Ect,λ =
~2
1
·
2 · λ .
2 · m0 l2 eξc2 vct
Damit eine Übersichtlichkeit entsteht wird zur Vereinfachung für die Berechnung
b=
~2
2m0 l2
19
(56)
gesetzt. Dann wird aus Formel 56
Ect,λ = b ·
1
2 2
eξc vct
·λ
(57)
und
1
=b.
λ
Für die kinetische Energie wird zur weiteren Berechnung
Ect,λ · eξc
2 v2
ct
1
2 2
2
· c2
Ekin,ct = m0 · eξc vct · vct
2
verwendet. Und für die Potentielle Energie
Epot,ct = c2 · Φct · m0 · eξc
2 v2
ct
·λ
(58)
(59)
(60)
und
1
2 2
2 2
2
m0 · eξc vct · vct
· c2 = c2 · Φct · m0 · eξc vct · λ
2
(61)
und
1 2 2
v c = c2 · Φct · λ
(62)
2 ct
Der Faktor 2·Φct wird ermittelt durch das Dividieren der Energieniveaus der Formeln 58
für 2 verschiedene Fermionen z.B. des Myons und des Taus. Es werden direkt die Energien
der Massen in eV verwendet. Es würden sich Umrechnungsfaktoren herauskürzen.Es geht
weiter mit
2
2
EM uon
eξc ·vT au λM uon
= ξc2 ·v2
.
·
ET au
λT au
M uon
e
(63)
2 kann mit der Gleichung durch Einsetzen in
Das Quadrat der Geschwindigkeiten vct
2
Formel 62 zur Bestimmung von 2 · c Φct benutzt werden.
ln(
EM uon λT au
) = 2 · c2 · Φct ξ(λT au − λM uon ) .
ET au λM uon
(64)
Danach lassen sich die Geschwindigkeiten mit Formel 62 berechnen, und zum Schluss
kann der Faktor b mit Formel 58 errechnet werden.
Durch die Umwandlung der potentiellen Energie eines Ur-Teilchens in kinetische Energie wird der gleiche Energiebetrag beim Durchtritt durch die 3-dimensionale Hyperebene
erreicht. Durch Formel 58 errechnet sich b durch die bekannten Energien für die Massen der Fermionen. Der Wert für b sollte sehr ähnlich sein um eine Richtigkeit des
Zusammenhangs abschätzen zu können. Die Tabelle 1 beinhaltet zusammengefasst die
errechneten Werte. In der Tabelle 2 wird nur mit den aus den Massen für Myon und Tau
20
der Wert für den Faktor b bestimmt und dann für das Elektron und das W ± Teilchen
die Massen berechnet. Hier ist eine grobe Übereinstimmung zu sehen.
Tabelle 1: Zusammenfassung der bekannten und übernommenen (kursiv), der er2 , Φ , b); dem Quadrat der Geschwindigkeirechneten Parameter (vct
ct
2 , den Eigenwerten λ der Lösungsfunktion zur
ten des Ur-Teilchens vct
Schrödingergleichung, sowie der in den Gleichungen 58 und 60 benötigten
Werte für 2 · c2 · Φct und b.
Fermion (Lepton)
Masse (M eV )
λ s2
m2
2 ·ξ · c2 Φct
2
b ms2·kg
c2 vct 2
Elektron
0,511
6,78
Myon
105,7
5,51
Tauon
1777
4,08
W ± Boson
80400
2,32
19,78
16,1
11,9
6,8
2,91
2,91
2,91
2,91
29, 7 ·
106
185, 4 ·
106
64, 8 ·
106
30, 3 · 106
Tabelle 2: Die Erklärungen der Parameter entsprechen denen der Tabelle 1. In dieser
Tabelle ist jedoch das λ für das Elektron angepasst, um ausgeglichenere Werte
für b bei den Berechnungen zu bekommen.
Fermion (Lepton)
Masse (M eV )
λ s2
m2
2 ·ξ · c2 Φct
2
b ms2·kg
Elektron
5,3
7 (6,78)
Myon
105,7
5,51
Tauon
1777
4,08
W ± Boson
48000
2,32
19,3
15,2
11,2
6,4
2,76
2,76
2,76
2,76
c2 vct 2
1, 7 ·
107
7, 5 ·
107
3, 3 ·
107
2, 1 · 107
Zur Vervollständigung ist für Quarks eine entsprechende Aufstellung der Resultate in
Tabelle 3 und 4 ersichtlich.
Tabelle 3: Zusammenfassung der bekannten und übernommenen (kursiv), der errechne2 , den
ten Parameter; dem Quadrat der Geschwindigkeiten des Ur-Teilchens vct
Eigenwerten λ der Lösungsfunktion zur Schrödingergleichung, sowie der in
den Gleichungen 58 und 60 benötigten Werte für 2 · c2 · Φct und b.
Fermion (Quark)
Masse (M eV )
λ c2 · vct 2
2 ·ξ ·
b
s2
m2
c2 Φ
m2 ·kg
s2
ct
d
4,8 (5-8,5)
6,78
s
104 (80-155)
5,51
b
4700 (4000-4500)
4,08
higgs Boson
125000
2,32
17,4
14,1
10,5
5,9
2,57
2,57
2,57
2,57
26·106
26·106
41·106
20·106
21
Tabelle 4: Zusammenfassung der bekannten und übernommenen (kursiv), der errech2,
neten Parameter, dem Quadrat der Geschwindigkeiten des Ur-Teilchens vct
den Eigenwerten λ der Lösungsfunktion zur Schrödingergleichung, sowie
der in den Gleichungen 58 und 60 benötigten Werte für 2c2 Φct und b. Ein
unbekanntes Boson wird aus den Parametern errechnet.
Fermion (Quark)
Masse (M eV )
λ u
2,4 (1,5-8,5)
6,78
c
1270 (1000-1400)
5,51
t
171000
4,08
unbekanntes Boson
600 - 900 ·106
2,32
s2
m2
30,8
25,0
18,5
10,5
2 ·ξ · c2 Φct
4,54
4,54
4,54
4,54
8,0·1012
16,5·1012
4,6·1012
12·1012
c2 · vct 2
b
m2 ·kg
s2
4 Diskussion
Das fehlende Graviton ist vielleicht Ausdruck einer Wechselwirkung auf der Zeitachse. Es
existiert nur außerhalb unserer Zugänglichkeit. Das eine Wechselwirkung auf der Zeitachse möglich ist, lässt sich aus den bekannten Gleichungen des Kapitel 2.1 ableiten. Die aus
dieser Vorstellung errechneten Ergebnisse sind nur unter Einschränkungen zu diskutieren. Es fehlt ganz vordergründig eine genaue mathematische Lösung der Gleichung 54.
Auch ist der Ansatz lediglich eine grobe Annäherung und nicht relativistisch. Die besseren Ergebnisse würden möglicherweise die vorgeschlagene Dirac´sche-Gleichung 49 auf
Seite 17 und deren Lösung ergeben. Die Berechnungen und Ergebnisse im Kapitel 3 sind
aber trotz der Einschränkungen ermutigend.
Die Ergebnisse in den Tabellen 1, 3, 4 zeigen für Φct unabhängig vom Fermion nahezu die gleichen Werte für Quarks und Leptonen. Dies bestätigt möglicherweise die als
konstant angenommene Gravitationskraft auf der Zeitachse. Die Geschwindigkeit vct bestimmt eine Bewegungsrichtung in einem 4-dimensionalen Koordinatensystem. Für den
Wert null, also keiner Bewegung auf der Zeitachse liegt das Ur-Teilchen auf einer Parallelen zu oder in der 3-dimensionalen Hyperebene. In diesem Fall hat das Ur-Teilchen keine
kinetische Energie. Da aber die Bewegungsrichtung senkrecht zur Zeitachse verläuft, ist
auch keine Beschleunigung zu erwarten. Erst mit dem Einsetzen einer Neigung bzw.
einer Geschwindigkeit auf der Zeitachse beginnt auch die Wirksamkeit des Potentials.
Je höher die kinetische Energie ist, desto mehr führt dies zu stabileren Schwingungsniveaus. Für das erste Energieniveau kommt in der Größenordnung der Masse nur das
W ± oder Z Teilchen in Frage, siehe Tabelle 1. Das Ergebnis der Berechnungen zeigt für
das W ± Teilchen die geringste Geschwindigkeit vct des Ur-Teilchens. Das W ± Teilchen
ist das massereichste, und damit das mit der größten in der Schwingung gebundenen
Energie. Es ist, auch wenn es sich aufgrund des Standardmodells nicht um ein Fermion
sondern um ein Boson handelt, in dem Schwingungsmodell das erste Energieniveau des
Ur-Teilchens der Leptonen. In diesem Punkt ist eine Gemeinsamkeit zwischen Fermionen
und Bosonen entstanden, die an die Theorie der Supersymmetrie der Teilchen erinnert.
22
Aus der Formel 56 auf Seite 19 ist zu ersehen, das die Masse des Ur-Teilchens nicht mit
der Energie des Schwingungsniveaus des Ur-Teilchens übereinstimmt. Die exponentielle
Massezunahme durch die anwachsende zusätzliche kinetische Energie bewirkt, dass die
in der Schwingung gebundene Energie geringer wird. Die Masse nimmt zu und die in der
Schwingung gebundene Schwingungsenergie reduziert sich umgekehrt proportional zur
Masse wie aus Formel 56 ersichtlich. Das bedeutet aber auch, dass die einem Fermion zugeführte Energie eine Verminderung der dunklen Materie zur Folge hat. Für das nächste
mögliche Schwingungsniveau ist eine weitere Steigerung der Geschwindigkeit notwendig.
Der Winkel zur Zeitachse wird spitzer und damit auch die Kraft auf der Zeitachse. Es
ist dadurch eine höhere Stabilität dieses Schwingungsniveaus zu erwarten. Die kinetische
Energie des Ur-Teilchen nimmt zu und konsekutiv auch die Masse. Das nächst höhere
Energieniveau der Schwingung entspricht jetzt dem Fermion mit der Masse des Tau.
Das Energieniveau wird nun deutlich geringer, siehe Formel 56. Zuletzt wird ein Schwingungsniveau für das Elektron mit sehr niedriger Energie erreicht, bei deutlich größere
Masse des Ur-Teilchens. Bei dieser Masse des Ur-Teilchens kann es sich vielleicht um die
dunkle Materie handeln. Denn etwa 95% der Masse des Universums wird der dunklen
Materie zugeordnet, was in etwa der Relation der Masse des Elektrons zu der Masse
seines Ur-Teilchens entspricht. Darüber hinaus wäre auch die Bewegung der Ur-Teilchen
ein Grund für die dunkle Energie. In den obigen Berechnungen ist ein relativ großer
Fehler durch die fehlende Berücksichtigung der speziellen Relativitätstheorie zu erwarten. Das kann zu den Abweichung der Zahlen für den Faktor b führen, siehe Tabelle 1.
Wenn der Faktor b aus den bekannten Massen der Fermionen bei angepasstem λ für
das Elektron bestimmt wird, kommt es zu Fehlern in einer vertretbaren Größenordnung.
Siehe hierzu die errechneten Werte aus Tabelle 2. Die Stabilität des vierten und letzten
Energieniveaus ist nicht ohne weiteres zu erklären. So könnten weitere nahe beieinanderliegende noch niedrigere Niveaus eingenommen werden. Dies geschieht möglicherweise
nicht, da andere Eigenschaften wie die Ladung oder der Spin des Elektrons selbst Energie beinhalten. Diese Eigenschaften werden möglicherweise aber auch durch weitere und
andere physikalische und evtl. noch unbekannte Eigenschaften begrenzt. Auch könnten
Drehmomente unter Beteiligung der Zeitachse eine Rolle spielen. Wie aus vielen Reaktionen bekannt, ist die Leptonenzahl immer konstant. Ein Verlust der Ladung durch eine
adäquate Reaktion führt zuletzt auf ein Neutrino des jeweils zerfallenden Leptons. Dies
könnte das nicht schwingenden Ur-Teilchen der Leptonen sein. Diese Annahme könnte
durch eine andere Hypothese, die die Existenz eines sterilen Neutrinos als Kandidat für
die dunkle Materie fordert, gestützt werden [Munyaneza, 2007, Munyaneza and Biermann, 2007, Mavromatos, 2011b,a]. Die Neutrinos haben die Lichtgeschwindigkeit als
Ausbreitungsgeschwindigkeit und haben eine sehr geringe Energie oder Masse [Grimus,
2010]. Vielleicht die Masse des Ur-Teilchens. Nach dem hier diskutierten Gedankenmodell haben sie eine geringe Masse. Da aber bisher drei Neutrinos unterschieden werden,
wird es möglicherweise hierzu noch weitere Eigenschaften geben, die die verschiedenen
Neutrinos ausmachen. Eine etwas beruhigende Information gibt es aber. Die Neutrinos
können sich in der bekannten Neutrino-Oszillation ineinander umwandeln. Die Voraussetzung hierfür ist, dass Neutrinos eine Masse haben. Damit ist es möglich, dass das
hier vorgestellte Modell stimmt, und es sich um ein und das gleiche Ur-Teilchen für alle
23
drei Neutrinos der Leptonen-Generation handelt. Das W ± Teilchen besitzt kein eigenes
Neutrino und kommt auch mit verschiedenen Ladungen vor. Außerdem hat es als Boson
den Spin 1 und nicht 12 . Und es unterliegt nicht dem Gesetz der Leptonen Erhaltung.
Aufgrund der im obigen Beispiel durchgeführten Berechnungen ist aufgrund seiner Masse das W ± oder Z Teilchen ein für die Schwingung des Ur-Teilchens im Grundzustand
passender Kandidat. Denkbar wäre es, dass freie Neutrinos über eine Wandlung in ein
Ur-Teilchen zu einem W ± oder Z Teilchen führen und so an einer schwachen Wechselwirkung teilnehmen. Ein Z Teilchen könnte durch die fehlende Ladung, welche jetzt im
raumartigen Segment die Energie reduziert und damit zu einer Vergrößerung der Masse im 3-dimensionalen Raum beiträgt, siehe Formel 56, das Energieniveau zu geringerer
Geschwindigkeit vct absenken. Dies entspricht der etwas größeren Masse des Z Teilchens.
In einer Arbeit von [Jenkins and Fischbach, 2009] wird u.a. eine Veränderung des radioaktiven Zerfalls abhängig von der Menge der verfügbaren Neutrinos, die von der Sonne
kommen, vermutet. Dies könnte vermuten lassen, dass ein Neutrino-Ur-Teilchen unter
besonderen Umständen zu einem W ± Boson gewandelt wird, um dann die Reaktion
zu vermitteln. Es wäre nur ein Transportvehikel für Ladung und andere physikalische
Eigenschafte wie z.B. Drehmomente. Ein weiterer Hinweis auf diesen Zusammenhang
könnte der vermutete Neutrino freie Doppel Beta Zerfall sein [Rohdejohann, 2011]. Ganz
unabhängig von den Möglichkeiten, die Erklärungen für eine Gemeinsamkeit der 3 Leptonen zu finden, wird durch das Modell aber eine Begrenzung der Anzahl von Fermionen
zu noch massereicheren Teilchen vorgegeben. Dies wird durch die Grundschwingung des
Ur-Teilchens vorgegeben, die dem massereichsten Teilchen zugeordnet wird.
Die exponentiell angewachsene Masse des Ur-Teilchens im raumartigen Segment des
Minkowskiraumes bindet Energie. Aus den daraus resultierenden niedrigen Energien
der höheren Schwingungsniveaus bei anwachsender Masse kommt es zu einer Energiediskrepanz. Das schwerste Fermion hat die geringste dunkle Materie und entsprechend
umgekehrt. Diese Energiedifferenz mag möglicherweise zur Erklärung der dunklen Energie oder Masse des Universums beitragen. Dabei handelt es sich jetzt ausschließlich um
die nicht im zeitartigen Segment erfassbare Masse des Ur-Teilchens, die im raumartigen
Segment gefangen ist. Zusätzlich ist die kinetische Energie dieses Ur-Teilchens auch nicht
im zeitartigen Segment verfügbar, sondern stellt sich als Masse dar. Diesen Quadranten des Minkowskiraumes kann Materie, das Ur-Teilchen, eben sowenig verlassen wie
die Materie im zeitartigen Segment. Durch dieses Modell ist eine Abnahme der dunklen
Energie zu erwarten, wenn einem Fermion Energie zugeführt wird. Neue Teilchen, die
Ur-Teilchen sind für jede einzelne Familie der Quarks oder der Leptonen zu vermuten.
Daher gibt es 3 verschiedene Ur-Teilchen, deren Eigenschaften, z.B. die Ladung und der
Spin, die Eigenschaften der Fermionen bestimmen. Auch ist eine Veränderung dieser Eigenschaften möglich und die Neutrinos sind ein Zustand dieser Ur-Teilchen ohne Ladung
und ohne Schwingung. Eine interessante Frage nach weiteren Teilchen ließe sich aus der
Vermutung ableiten, dass auch für Quarks solche “Neutrinos” hiernach möglich wären,
die den Ur-Teilchen entsprechen. Eventuell sind dies die Gluonen. Dadurch wäre die
schwache Wechselwirkung nur eine der starken Wechselwirkung im Prinzip sehr ähnliche
Interaktion.
Eine andere hierzu passende Parallele ist der Erhalt der Quark Zahl. Das Higgs
24
Bosons passt mit seiner Masse [Negra et al., 2012] in die Gruppe der u, c, t Quarks,
als Boson des ersten Schwingungsniveaus des dazugehörigen Ur-Teilchens. Es wäre im
Stellenwert vergleichbar mit dem W ± oder Z Teilchen. Der hauptsächliche Zerfall des
Higgs Teilchens in die Bosonen W ± und das Quark b und Antiquark von b ergibt sich
direkt durch die Betrachtung, dass der Beginn der Generation der Quarks, in der sich
das Higgs Boson am Anfang befindet von dem b Quark als nächst höheres Energieniveau
gefolgt wird. Der Beginn der Generation der Leptonen wird durch das W ± Teilchen bestimmt, welches grundsätzlich erreicht werden kann durch die Position am Beginn einer
Generation. Eine weitere Position wäre erreichbar, und das ist der Beginn der dritten
Generation, welche ebenfalls ein Boson wäre. Der Zerfall in dies noch unbekannte, deutlich schwerere Boson ist aufgrund der sehr hohen Energie nicht so wahrscheinlich, bzw.
mit 600-900 T eV fast ausgeschlossen. Die errechneten Werte für die Massen der Fermionen und Bosonen sind mit Vorsicht zu bewerten, aber es wäre konsequent ein weiteres
Teilchen, ein Boson, zu fordern. Dies wäre das Ur-Teilchen der d, s, b Quark Generation
in seiner Grundschwingung. Seine Masse könnte mit Abweichungen etwa 600 - 900 TeV
betragen, siehe Tabelle 4. Die Berechnungen für die Quarks sind in den Tabellen 3 und 4
zusammengefasst. Die Zahlen in Tabellen sind aus den bekannten Einschränkungen nur
vorsichtig zu verwenden. Aus den zuvor entstehenden Zusammenhängen, dass die Grundschwingungen vielleicht Bosonen (W ±und Z , das Higgs Boson und ein unbekanntes
neues Boson) darstellen ergeben sich neue Zusammenhänge.
Eine komplett andere Art des physikalischen Zusammenhangs der Massen der Fermionen und Bosonen könnte mit diesem Modell dem bekannten Standardmodell gegenüber
gestellt werden. Zusätzlich wäre auch eine mögliche Erklärung für die beschränkte Anzahl der Fermionen und Bosonen lieferbar. Die dunkle Materie wird mit diesem Modell
jedem einzelnen Fermion zugeordnet und ist die Ursache für die durch Masse entstehende Krümmung des Raumes. Die dunkle Masse oder Energie wird durch die Trennung
zwischen dem raum- und zeitartigen Segment niemals erfassbar werden.
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