Beobachter

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Beschl. Bewegung
& Paradoxa in der
SRT
ARNE BAHR
Gliederung
Beschleunigte Bewegung
Paradoxa
• Gleichförmig beschl. Beobachter
• Einschränkungen in der Größe
eines beschl. Bezugssystems
• Fermi-Walker Tetrade
• Lokales Koordinatensystem
Beobachters
• Zwillingsparadoxon
• Maßstabsparadoxon
• Das Wichtige auf einer Folie
Kurze Einführung in die SRT
Metrik:
Pseudo Skalarprodukt:
Summenkonvention
Lorentz-Transformationen:
Metrik als Abb. In den Dualraum:
Vektor
Dualer Vektor
Kontravariant
Kovariant
Kurze Einführung in die SRT
Metrik:
Linienelement:
Vierergeschwindigkeit
Viererbeschleunigung
Zeitdilatation:
Längenkontraktion:
Beschleunigte
Bewegung
Gleichförmig beschleunigter
Beobachter
Gleichförmig beschleunigter Beobachter
Man kann zeigen:
Wir wollen:
Gleichförmig beschleunigter Beobachter:
Zusammenfassung
•
•
•
Hyperbelgleichung
Gleichförmig beschleunigter Beobachter:
Zusammenfassung
Horizont
II
Empfangen
Senden
I
Ja
Ja
II
Nein
Ja
III
Nein
Nein
IV
Ja
Nein
III
I
IV
Einschränkungen bezgl. der Größe
eines beschl. Bezugssystems
Größenbeschränkung eines beschleunigten
Bezugssystems
Konstant beschleunigter Beobachter:
Beobachter
Empfangen
Senden
I
Ja
Ja
Kausalzusammenhang
II
Nein
Ja
Sichtbar; Kann nicht sehen
III
Nein
Nein
Nicht sichtbar; Kann nicht sehen
IV
Ja
Nein
Nicht sichtbar; Kann sehen
Größenbeschränkung eines beschleunigten
Bezugssystems
Beobachter
in Ruhe
Beobachter
in Ruhe
Beschleunigte
Phase
Größenbeschränkung eines beschleunigten
Bezugssystems
• Instantanes Ruhesystem
• Inkonsistent ab Entfernungen
(Überlapp der Koordsyst.)
Natürliche Lösung in direkter Umgebung:
Fermi-Walker
transportierte Tetrade
Fermi-Walker transportierte
orthonormale Tetrade
TETRADE EINES GLEICHFÖRMIG
BESCHLEUNIGTEN BEOBACHTERS
Tetrade eines gleichförmig beschleunigten
Beobachters
wählen
Schöner:
sodass
(1) orthogonal
(2) nicht rotierend
Tetrade eines gleichförmig beschleunigten
Beobachters
Schöner:
wählen
sodass
(1) orthogonal
(2) nicht rotierend
Lorentz-Transformation in xRichtung, sodass
.
Orthogonalität und Einheitslänge:
„Nicht rotierend“
Fermi-Walker transportierte
orthonormale Tetrade
TETRADE EINES BELIEBIG BESCHLEUNIGTEN
BEOBACHTERS
Tetrade eines beliebig beschleunigten
Beobachters
Lorentz-Transformation in xRichtung, sodass
.
Orthogonalität und Einheitslänge:
Tetrade soll
„nicht rotieren“
Keine Rotation in ℝ3
Pseudorotation im 𝕄4
ändert Richtung!
Drehung im ℝ3
Orthogonal zu ω
mit
Endliche
Beschleunigung:
Tetrade eines beliebig beschleunigten
Beobachters
Drehung im ℝ3
Orthogonal zu ω
Analog im 𝕄4 :
mit
mit
antisym.
Längeninvarianz:
sym.
Infinitesimale Lorentz-Transformation muss:
(1) Entsprechende Lorentz-Trafo. in der
(2) Keine Rotation in anderen Ebenen
-Ebene generieren
Eindeutige Lösung:
Tetrade eines beliebig beschleunigten
Beobachters
Fermi-Walker Transport:
Natürliche Bezugssystem eines beschleunigten Beobachters:
• 4 orthogonale, Fermi-Walker transportierte
(entlang der Weltlinie) Vektoren
• Einer entspricht der Vierergeschwindigkeit
Lokales Koordinatensystem eines
beschleunigten Beobachters
Lokales Koordinatensystem eines
beschleunigten Beobachters
Verschiebungsvektor
𝒫( ) Position des Beobachters
Raumartige Basisvektoren
Raumartige Hyperflächen
festgelegt durch 𝒫( ) und
𝒫( )
Punkt auf der Hyperfläche:
„Euklidische Koordinaten“
Lokales Koordinatensystem eines
beschleunigten Beobachters
„Euklidische Koordinaten“
Tetrade des Beobachters
Rindler-Koordinaten
Lokales Koordinatensystem eines
beschleunigten Beobachters
Rindler-Koordinaten
Paradoxa
Paradoxon
Annahme
Realität ist in sich konsistent
physikalisches
Paradoxon
Widerspruch in einer Theorie
Artefakt eines Fehlers
Theorie falsch
Zwillingsparadoxon
Maßstabsparadoxon
Längenkontraktion:
Sei so groß, dass
Maßstabsparadoxon
Bezugssystem des „Lochs“
Stab kann passieren.
Bezugssystem des „Stabs“
Stab kann nicht passieren.
Maßstabsparadoxon
Addition von beliebigen Geschwindigkeiten:
Winkel zw.
-Achse und
Maßstabsparadoxon
Bezugssystem des „Lochs“
Stab kann passieren.
Bezugssystem des „Stabs“
Stab kann nicht passieren.
Paradoxa
Paradoxa kommen (fast immer) zustande durch:
• Fehlerhafte Behandlung der Gleichzeitigkeit
• Instantane Signalübertragung (keine starren
Körper)
• Vergessen von Eigenschaften der LorentzTransformationen
• Gleichberechtigung von beschleunigten und
gleichförmig bewegten Bezugssystemen
Das Wichtige auf
einer Folie
Zusammenfassung
Lokales Koordinatensystem
Rindler-Koordinaten
„Euklidische Koordinaten“
Fermi-Walker Transport:
Paradoxa kommen (fast immer) zustande durch:
•
•
•
•
Fehlerhafte Behandlung der Gleichzeitigkeit
Instantane Signalübertragung (keine starren Körper)
Vergessen von Eigenschaften der Lorentz-Transformationen
Gleichberechtigung von beschl. und gleichf. bewegten Bezugssystemen
Quellen
[1] C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler; Gravitation, Freeman and Company, New York, pp. 163-176, 1973.
[2] R. Oloff; Geometrie der Raumzeit (5.Auflage), Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden, 2010.
[3] U.E. Schröder; Spezielle Relativitätstheorie, Harri Deutsch, Frankfurt am Main, pp. 43-54, 1994.
[4] H. Günther; Spezielle Relativitätstheorie, Teubner, Wiesbaden, pp. 116-124, 2007.
[5] W. Rindler; Essential Relativity, Springer-Verlag, Berlin, pp. 28-51, 1977.
[6] C. Ewerz; Klassische Elektrodynamik (Vorlesungsnotizen), http://www.thphys.uniheidelberg.de/~ewerz/scriptum/script_ed_ce.pdf, pp. 95-112, 2015.
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