Einf hrung

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Kapitel 1
Einfhrung
1.1 Skalar- und Vektorfelder
Die durch die Maxwellschen Gleichungen beschriebenen elektrischen und magnetischen Wechselwirkungen werden durch Felder beschrieben. Unter einem Feld kann je nach Zusammenhang
Verschiedenes verstanden werden. Wir werden aber zunchst im wesentlichen mit Skalar und
Vektorfeldern konfrontiert sein. Ist die betrachtete physikalische Gre ' eine skalare Funktion
des Ortes, also
' : (x y z ) ;! '(x y z )
So deniert die Funktion ' ein rumliches Skalarfeld.
Beispiele:
- Temperaturverteilung T (x y z ) im Hrsaal
- Potential '(x y z ) im Raum zwischen zwei geladenen Elektroden
Ist andererseits jedem Punkt im Raum ein Vektor
0 v (x y z) 1
x
~v(x y z ) = @ vy (x y z ) A
vz (x y z )
zugeordnet, so liegt ein Vektorfeld vor.
Beipiele:
- Strmungsgeschwindigkeit ~v(x y z ) im Kielwasser eines Segelbootes
- magnetische Feldstrke H~ (x y z ) in Umgebung eines stromfhrenden Leiters
Im allgemeinen hngen die Felder neben dem Ort auch von der Zeit ab:
Beipiele:
- elektrische Raumladungsdichte (~r t) ) Skalarfeld
- elektrische Feldstrke E~ (~r t) ) Vektorfeld
Mgliche Darstellung von Skalar und Vektorfeldern:
a) Skalarfelder
- quipotentiallinien1 ) Hhenlinien
1
Begri fr alle Skalarfelder blich nicht nur Potentialfelder
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Einfhrung
bei Querschnitten durch ein rumliches Gebiet ! Abb. 1.1
auch fr Absolutwerte eines Vektorfeldes
- quipotentialchen ) Flchen mit gleichem Wert ! Abb. 1.3
b) Vektorfelder
- Pfeile
Gre und Richtung geben den Wert des Vektorfeldes im Ansatzpunkt des Pfeils
an ! Abb. 1.2, 1.4
- Feldlinien
Tangenten der Richtungen des Feldvektors in jedem Punkt (Liniendichte ) Gre
des Feldvektors)
X
X
-Z
-Z
Y
Y
CST
-1.00
-0.500
0.000
0.500
1.00
CST
Abbildung 1.1: Potentialfeld
Abbildung 1.2: Vektorfeld
Abbildung 1.3: Potentialfeld
Abbildung 1.4: Vektorfeld
1.2 Die Maxwellschen Gleichungen
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1.2 Die Maxwellschen Gleichungen
Die vier Maxwellschen Gleichungen, die von James Clark Maxwell im Jahre 1873 formuliert wurden, sind das wesentliche Thema der theoretischen Elektrotechnik. Sie fassen alle Erfahrungen
ber die makroskopischen Erscheinungen der Elektrizitt in Systemen von Dierentialgleichungen
bzw. Integralgleichnungen zusammen. Die Maxwellschen Gleichungen geben die Zusammenhnge
zwischen den vier charakteristischen physikalischen Gren des elektromagnetischen Feldes wieder.
E~
H~
D~ = "0 "r E~
B~ = 0 r H~
J~
V
mA mC T =m Vs A m
2
2
m2
elektrische Feldstrke
magnetische Feldstrke
elektrische Fludichte (Verschiebung)
magnetische Fludichte (Induktion)
elektrische Stromdichte
wichtige Konstanten:
"0 = 8:854187 10;12
0 = 1:256 10;6
As
Vm
Vs
Am
Dielektrizittskonstante des Vakuums
Permeabilittskonstante des Vakuums
Bevor wir nun die Maxwellschen Gleichungen in Dierentialform angehen, wiederholen wir die
Denition einiger mathematischen Operatoren.
Gradient:
@' ~e + @' ~e
grad ' = r' = @'
~
e
+
x
@x
@y y @z z
Divergenz:
x @Ay @Az
div A~ = @A
@x + @y + @z
Rotation:
z ; @Ay ~e + @Ax ; @Az ~e + @Ay ; @Ax ~e
rot A~ = @A
@y @z x
@z @x y
@x @y z
Merkregel fr die Rotation2 :
~ex ~ey ~ez @ @ @ rot A~ = @x
@y @z Ax Ay Az Die Maxwellschen Gleichungen in dierentieller und integraler Form fr ruhende Medien lauten:
2
gilt nur fr kartesische Koordinaten
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