Kapitel 1 Einfhrung 1.1 Skalar- und Vektorfelder Die durch die Maxwellschen Gleichungen beschriebenen elektrischen und magnetischen Wechselwirkungen werden durch Felder beschrieben. Unter einem Feld kann je nach Zusammenhang Verschiedenes verstanden werden. Wir werden aber zunchst im wesentlichen mit Skalar und Vektorfeldern konfrontiert sein. Ist die betrachtete physikalische Gre ' eine skalare Funktion des Ortes, also ' : (x y z ) ;! '(x y z ) So deniert die Funktion ' ein rumliches Skalarfeld. Beispiele: - Temperaturverteilung T (x y z ) im Hrsaal - Potential '(x y z ) im Raum zwischen zwei geladenen Elektroden Ist andererseits jedem Punkt im Raum ein Vektor 0 v (x y z) 1 x ~v(x y z ) = @ vy (x y z ) A vz (x y z ) zugeordnet, so liegt ein Vektorfeld vor. Beipiele: - Strmungsgeschwindigkeit ~v(x y z ) im Kielwasser eines Segelbootes - magnetische Feldstrke H~ (x y z ) in Umgebung eines stromfhrenden Leiters Im allgemeinen hngen die Felder neben dem Ort auch von der Zeit ab: Beipiele: - elektrische Raumladungsdichte (~r t) ) Skalarfeld - elektrische Feldstrke E~ (~r t) ) Vektorfeld Mgliche Darstellung von Skalar und Vektorfeldern: a) Skalarfelder - quipotentiallinien1 ) Hhenlinien 1 Begri fr alle Skalarfelder blich nicht nur Potentialfelder 10 Einfhrung bei Querschnitten durch ein rumliches Gebiet ! Abb. 1.1 auch fr Absolutwerte eines Vektorfeldes - quipotentialchen ) Flchen mit gleichem Wert ! Abb. 1.3 b) Vektorfelder - Pfeile Gre und Richtung geben den Wert des Vektorfeldes im Ansatzpunkt des Pfeils an ! Abb. 1.2, 1.4 - Feldlinien Tangenten der Richtungen des Feldvektors in jedem Punkt (Liniendichte ) Gre des Feldvektors) X X -Z -Z Y Y CST -1.00 -0.500 0.000 0.500 1.00 CST Abbildung 1.1: Potentialfeld Abbildung 1.2: Vektorfeld Abbildung 1.3: Potentialfeld Abbildung 1.4: Vektorfeld 1.2 Die Maxwellschen Gleichungen 11 1.2 Die Maxwellschen Gleichungen Die vier Maxwellschen Gleichungen, die von James Clark Maxwell im Jahre 1873 formuliert wurden, sind das wesentliche Thema der theoretischen Elektrotechnik. Sie fassen alle Erfahrungen ber die makroskopischen Erscheinungen der Elektrizitt in Systemen von Dierentialgleichungen bzw. Integralgleichnungen zusammen. Die Maxwellschen Gleichungen geben die Zusammenhnge zwischen den vier charakteristischen physikalischen Gren des elektromagnetischen Feldes wieder. E~ H~ D~ = "0 "r E~ B~ = 0 r H~ J~ V mA mC T =m Vs A m 2 2 m2 elektrische Feldstrke magnetische Feldstrke elektrische Fludichte (Verschiebung) magnetische Fludichte (Induktion) elektrische Stromdichte wichtige Konstanten: "0 = 8:854187 10;12 0 = 1:256 10;6 As Vm Vs Am Dielektrizittskonstante des Vakuums Permeabilittskonstante des Vakuums Bevor wir nun die Maxwellschen Gleichungen in Dierentialform angehen, wiederholen wir die Denition einiger mathematischen Operatoren. Gradient: @' ~e + @' ~e grad ' = r' = @' ~ e + x @x @y y @z z Divergenz: x @Ay @Az div A~ = @A @x + @y + @z Rotation: z ; @Ay ~e + @Ax ; @Az ~e + @Ay ; @Ax ~e rot A~ = @A @y @z x @z @x y @x @y z Merkregel fr die Rotation2 : ~ex ~ey ~ez @ @ @ rot A~ = @x @y @z Ax Ay Az Die Maxwellschen Gleichungen in dierentieller und integraler Form fr ruhende Medien lauten: 2 gilt nur fr kartesische Koordinaten