Die Maxwell–Gleichungen - D-MATH

Die Maxwell–Gleichungen
Die Maxwellschen Gleichungen beschreiben Beziehungen zwischen
~ = E(~
~ x; t),
• dem elektrischen Feld E
~ = B(~
~ x; t),
• der magnetischen Flussdichte B
~ x; t), und
• der elektrischen Stromstärke J~ = J(~
• der elektrischen Ladungsdichte ρ = ρ(~x; t)
in einem homogenen Medium, das durch die Konstanten ǫ0 (elektrische Suszeptibilität) und µ0 (magnetische Suszeptibilität) charakterisiert ist. Sie lauten
(1)
(2)
~ = ρ
∇·E
ǫ0
~ =0
∇·B
(Gausssches Gesetz)
(Gausssches Gesetz für Magnetfelder)
(3)
~
~ = − ∂B
∇×E
∂t
(Faradaysches Induktionsgesetz)
(4)
~
~ = µ0 J~ + ǫ0 µ0 ∂ E
∇×B
∂t
(Ampére–Maxwellsches Durchflutungsgesetz)
Wir geben eine wenige Folgerungen und Anwendungen.
1
Ladungserhaltung:
Nach dem 1-ten und 4-ten Gesetz ist
1
~
∂ρ
∂E
~ =0
∇ · J~ +
=∇·
= ∇ · J~ + ǫ0
∇×B
∂t
∂t
µ0
da div ◦ rot = 0. Nach dem Divergenzsatz ist also für jedes beschränkte Gebiet
Z
∂B
J~ · d~ω = −
Z
B
∂ρ
dµ(x, y, z)
∂t
Das elektrische Feld eines unendlich langen, unendlich dünnen Drahtes:
Wir wollen das elektrische Feld eines Drahtes bestimmen, der aus der z–Achse
besteht und mit konstanter Ladungsdichte λ geladen ist. Aus Symmetriegründen
zeigen alle Feldvektoren radial von dem Draht weg, d.h., das elektrische Feld ist
von der Gestalt
 
x
E(r)  
~
E(x, y, z) =
y 
r
0
r=
q
x2 + y 2
Um die Funktion E(r) zu bestimmen, betrachten wir einen Zylinder B mit Höhe
ℓ und Radius r um die z–Achse und wenden den Divergenzsatz und das erste
Maxwellsche Gesetz an.
Der Rand von B besteht aus dem Zylindermantel M und zwei den oberen und
~ radial nach
unteren kreisförmigen Begrenzungsflächen (Deckel und Boden). Da E
~ durch Deckel und Boden gleich Null. Da E
~
aussen zeigt, ist der Fluss von E
senkrecht nach aussen zeigt, ist also
Z
∂B
~ · d~ω =
E
Z
M
~ · d~ω = E(r) ω(M) = 2πr ℓ E(r)
E
Andererseits ist nach dem Divergenzsatz und dem ersten Maxwellschen Gesetz
Z
∂B
~ · d~ω =
E
1
1 Z
~
ρ dµ(x, y, z) = λ ℓ
∇ · E dµ(x, y, z) =
ǫ0 B
ǫ0
B
Z
Es ergibt sich
E(r) =
2
λ
2πr ǫ0
Elektrisches Potenzial und Vektorpotenzial:
• Ist das Magnetfeld unabhängig von der Zeit (wie es zum Beispiel in der Elektrostatik vorausgesetzt wird), so ist nach dem dritten Maxwellschen Gesetz
~ = 0. Ist das zugrundeliegende Gebiet einfach zusammenhängend, so
∇×E
gibt es also ein elektrisches Potenzial V (~x; t) so dass
~ = −∇ V
E
Nach dem ersten Maxwellschen Gesetz erfüllt dieses Potenzial die Poissongleichung
∆V = −ρ/ǫ0
Im Fall, dass ρ(~x) ausserhalb einer beschränkten Menge gleich Null ist, ist
V (~x) =
1
4πǫ0
Z
R3
ρ(~x ′ )
dµ(~x ′ )
k~x − ~x ′ k
(1)
eine Lösung dieser Poissongleichung, die für k~xk → ∞ gegen Null geht.
Dies wird in der Analysis III behandelt.
• Hat das zugrundeliegende Gebiet keine Löcher, so impliziert das zweite
~ x; t) gibt, so dass
Maxwellsche Gesetz, dass es ein Vektorpotenzial A(~
~ =∇×A
~
B
~ ist bis auf den Gradienten einer Funktion bestimmt
Das Vektorpotenzial A
(Problem der “Eichung”). Man beachte, dass, anders als beim elektrischen
Potenzial, für die Existenz des Vektorpotenzials keine Voraussetzungen an
die Zeitabhängigkeit der Felder nötig sind.
• Unter Verwendung des Vektorpotenzials ergibt das dritte Maxwellsche Gesetz
~
~
~ + ∂A = ∇ × E
~ + ∂ ∇×A
~ = ∇×E
~ + ∂B = 0
∇× E
∂t
∂t
∂t
Ist also das zugrundeliegend Gebiet einfach zusammenhängend und lochfrei,
so gibt es ein Potenzial φ(~x, t), so dass
~
~ + ∂ A = −∇ φ
E
∂t
φ ist eine Verallgemeinerung des elektrischen Potenzials in der Elektrosta~ und B
~ aus φ und A
~ durch
tik. Nach Konstruktion bestimmen sich E
~
~ = − ∂ A − ∇φ
E
∂t
~ =∇×A
~
B
3
(2)
Wieder ist das Vektorpotenzial nur bis auf Addition eines Gradientenfeldes
bestimmt. Man kann zeigen, dass man die Eichung so wählen kann, dass
~=−
∇·A
1 ∂φ
c2 ∂t
wobei c = √µ10 ρ0 die Lichtgeschwindigkeit1 bezeichnet. Diese Eichung heisst
Lorentz–Eichung; und wir werden sie im weiteren benutzen.
Mit der Lorentz–Eichung ergeben die Maxwellschen Gleichungen für die
Potenziale die beiden Wellengleichungen
ρ
1 ∂2φ
− ∆φ =
2
2
c ∂t
ǫ0
2~
1 ∂ A
~ = µ0 J~
−∆A
c2 ∂t2
(3)
~ operiert.
wobei der Laplaceoperator komponentenweise auf A
In der Tat, aus dem ersten Maxwellschen Gesetz und der Lorentz–Eichung
folgt
2
ρ
~ = −∂ ∇ · A
~ − ∇ · ∇φ = 1 ∂ φ − ∆φ
=∇·E
ǫ0
∂t
c2 ∂t2
Ebenso folgt aus dem vierten Maxwellschen Gesetz und der Lorentz–Eichung
~
~ − 1 ∂E
µ0 J~ = ∇ × B
c2 ∂t
2~
~ + 1 ∂ A + ∂ ∇φ
= ∇ × (∇ × A)
c2 ∂t2
∂t
2~
~ − ∆A
~ + 1 ∂ A + ∂ ∇φ
= ∇(∇ · A)
c2 ∂t2
∂t
2~
1 ∂ A
~ + ∇ ∇A
~ + 1 ∂φ
= 2
−
∆
A
c ∂t2
c2 ∂t
~
1 ∂2A
~
= 2
−∆A
c ∂t2
da rot ◦ rot = grad ◦ div − ∆ .
1
Der Grund für diese Bezeichnung wird bei der Diskussion der elektromagnetischen Wellen
weiter unten erklärt.
4
Elektromagnetische Wellen:
Im Vakuum ist ρ = 0 und J~ = 0. Dann vereinfachen sich die Gleichungen (3) zu
den Wellengleichungen
1 ∂2φ
−∆φ = 0
c2 ∂t2
~
1 ∂2A
~=0
− ∆A
c2 ∂t2
(4)
Diese Gleichungen haben viele Lösungen; die einfachsten sind wahrscheinlich die
“ebenen Wellen”. Um diese zu beschreiben, machen wir den Ansatz, dass das
Potenzial der Real– oder Imaginärteil einer Funktion der Gestalt
φ(x, y, z; t) = φ0 eik(z−ct)
k ∈ R, φ0 ∈ C
ist – eine Welle mit Ausbreitungsgeschwindigkeit c in z–Richtung. Dann ist
∂φ
~ den Ansatz
= −ikc φ0 eik(z−ct) . Die Lorentz–Eichung suggeriert für A
∂t


A1

ik(z−ct) 
~
A(x, y, z; t) = e
A2 
A3
Aj ∈ C
~ = ik A3 eik(z−ct) und die Lorentz–Eichung impliziert A3 = 1 φ0 .
Dann ist ∇ · A
c
Für das elektrische Feld und die magnetische Flussdichte ergibt sich nun






A1
0
A1
~
∂A


ik(z−ct) 
ik(z−ct)  
ik(z−ct) 
~
E=−
− ∇φ = ikc e
A2 
 0  = ikc e
A2  − ik e
∂t
0
φ0
A3


−A2

ik(z−ct) 
~
~
B = ∇ × A = ikc e
 A1 
0
Sowohl das elektrische Feld als auch die magnetische Flussdichte zeigen senkrecht
zur z–Richtung (der Ausbreitungsrichtung der Welle) und sind senkrecht aufeinander.
Fouriertheorie zeigt, wie man allgemeinere Lösungen von (4) als Superposition
von ebenen Wellen schreibt.
5
Der Hertzsche Dipol:
Schwingt sowohl die Stromstärke als auch die Ladungsdicht “sinusoidal” mit
der Zeit t, d.h. ist
~ x; t) = eiωt J~0 (~x)
J(~
ρ(~x; t) = eiωt ρ0 (~x)
mit einer Frequenz ω, so liegt es nahe, für die Potenziale ebenfalls einen solchen
Ansatz zu machen:
~ x; t) = eiωt A
~ 0 (~x)
A(~
φ(~x; t) = eiωt φ0 (~x)
Die Gleichungen (3) ergeben dann als Gleichungen für die zeitunabhängigen
~ 0 (~x), φ0 (~x)
Grössen J~0 , ρ0 (~x), A
ρ0
ω2
φ0 = −
2
c
ǫ0
2
~0 + ω A
~ 0 = −µ0 J~0
∆A
c2
∆φ0 +
(5)
Ähnlich wie in (1) haben diese Gleichungen eine explizite Lösung, die k~xk → ∞
gegen Null geht, nämlich
′
1 Z e−i kk~x−~x k
ρ0 (~x ′ ) dµ(~x ′ )
φ0 (~x) =
′
3
4πǫ0 R k~x − ~x k
′
Z
µ0
e−i kk~x−~x k ~ ′
~
A0 (~x) =
J0 (~x ) dµ(~x ′)
4π R3 k~x − ~x ′ k
(6)
wobei k = ωc .
Wir betrachten zunächst als idealisierten “Sender” einen kurzen, sehr dünnen
Stab auf der z–Achse mit Länge ℓ (symmetrisch um den Ursprung), auf dem man
einen sinusförmig variierenden Strom hat. D.h. J~0 ist auf dem Stab konstant und
zeigt in z–Richtung, und ausserhalb des Stabes gleich Null. Der Hertzsche Dipol
entsteht aus dieser Situation, indem den Stab auf einen Punkt schrumpft, aber
das Integral I~0 (Dipolmoment) von J~0 konstant hält. In diesem Grenzwert ergibt
sich aus (6)
−i kk~
xk
~ 0 (~x) = µ0 e
I~0
A
4π k~xk
und eine entsprechende Formel gibt es für φ0 (~x). Setzt man dies nun alles ein und
~ und B
~ mit (2), so ergibt sich ein Bild wie in
berechnet E
http://de.wikipedia.org/wiki/Hertzscher-Dipol.
6