Die Maxwellschen Gleichungen - Institut für Physik - Martin

Dr. W. Seifert, Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
Die Maxwellschen Gleichungen der Elektrodynamik
Die Elektrodynamik ist eine phänomenologische Theorie, die auf den Begriff des physikalischen
Feldes aufbaut.
Ein Feld F (~r, t) ordnet jedem Ort ~r eines Gebietes G zur Zeit t eine physikalische Grösse zu, die
ein Skalar, ein Vektor (F~ (~r, t)) oder ein Tensor (F̃ (~r, t)) sein kann. Dabei wird das Gebiet G als
lückenloses ”Kontinuum” aufgefasst, d.h. es existiert an jedem Ort ~r ein Volumenelement dV als
elementarer Baustein des Kontinuums. Gibt es eine Ladung Q in G, gilt dQ = ρel (~r, t)dV mit
der elektrischen Ladungsdichte ρel , ist G von Materie erfüllt, gilt für das Massenelement dm =
ρm (~r, t)dV . In der phänomenologischen Elektrodynamik als klassischer Feldtheorie wird also von
der atomistischen Grundstruktur der Materie abstrahiert; über Bezüge zu den mikroskopischen
Feldern informiert man sich bei W. Nolting, Bd. 3: Elektrodynamik.
James Clerk Maxwell (1831-1879) faßte diese 3 bis dato bekannten Gesetze der Elektrizitätslehre
und des Magnetismus zu einer einheitlichen elektromagnetischen Theorie zusammen:
1. den Ampere’schen Durchflutungssatz für stationäre Magnetfelder,
2. das Induktionsgesetz von Faraday, und
3. das Gauss’sche Gesetz der Elektrostatik.
Seine Ergebnisse hat er 1861, 1862 im Philosophical Magazine publiziert. Die Einführung des
~˙ ist sein Verdienst.
Verschiebungsstromes D
Die Maxwellschen Gleichungen machen Aussagen über die Quellen und die Wirbel der 4 elektromagnetischen Vektorfelder:
Quellen :
~ = ρel
div D
Wirbel :
~ = −B
~˙
rot E
~ =0
div B
~ = ~j + D
~˙
rot H
(1)
Die 4 Felder sind:
~ in
• die elektrische Feldstärke E
V
m
=
N
As
,
~ in Tesla T =
• die magnetische Induktion B
~ in
• die magnetische Feldstärke H
A
m
~ in
• die dielektrische Verschiebung D
Vs
m2
=
N
Am
,
(auch oft ’Magnetfeld’ genannt),
As
m2
.
Hinzu kommt der Vektor der elektrische Stromdichte ~j (in Enheiten
A
),
m2
der zusammen mit der
elektrischen Ladungsdichte ρel in der Kontinuitätsgleichung
∂ρel
+ ∇ · ~j = 0
∂t
(2)
bilanziert ist, die ebenfalls zu den Grundgleichungen der Elektrodynamik gezählt wird, aber
auch aus den Maxwellschen Gleichungen wie folgt hergeleitet werden kann1 :
1
Man beachte, dass der Punkt als Kennzeichen für die totale Zeitableitung in der Vakuum-Elektrodynamik auf
die partielle Zeitableitung reduziert ist (siehe auch Text nach Gl. (4)).
~ = ρel folgt ∂ρel /∂t = div D
~˙ und wegen der (umgestellten) Maxwell-Gleichung
Aus div D
~˙ = rot H
~ − ~j sowie div rot ≡ 0 die in (2) angegebene Kontinuitätsgleichung.
D
Das System von 4 gekoppelten Vektordgln. (1) repräsentiert 2+6=8 skalare, partielle Dgln. 1.
Ordnung (mit Ableitungen bzgl. der Koordinaten und der Zeit), die linear in den Feldern sind.
~˙ D),
~˙ die die UrsaDie Kopplung erfolgt in den Wirbelgleichungen über zeitabhängige Effekte (B,
che für die Existenz elektromagnetischer Wellen sind. Wegen der Linearität der Feldgleichungen
gilt das Superpositionsprinzip, d.h. Teillösungen (Partikulärintegrale) dürfen überlagert werden.
Es wird darauf hingewiesen, dass Maxwell seine Gleichungen in integraler Form angegeben hat
(siehe z.B. http : //de.wikipedia.org/wiki/M axwell − Gleichungen). Mathematische Hintergrund sind die Integralsätze von Gauss und Stokes. Heute werden die Maxwellschen Gleichungen
üblicherweise als lokale Differentialgleichungen geschrieben, wobei gern auch der Nabla-Kalkül
verwendet wird. Die Aufteilung in 2 homogene und 2 inhomogene Gleichungen ist ebenfalls
üblich:
homogen :
~ +B
~˙ = 0
∇×E
inhomogen :
~ = ρel
∇·D
~ =0
∇·B
~ −D
~˙ = ~j
∇×H
(3)
Die inhomogenen Gleichungen machen deutlich, dass Ladungen ρel (~r, t) und elektrische Ströme
~j(~r, t) die Ursachen für die raum-zeitlichen Eigenschaften der Vektorfelder sind.
Hinweis: Im allgemeinen Fall ist der Punkt die totale Zeitableitung
∂f
df
=
+ ~v · ∇f .
f˙ ≡
dt
∂t
(4)
Der zweite, konvektive Term wird dann wichtig, wenn es um die Beschreibung elektromagnetischer Effekte in Materie unter Berücksichtigung der Konvektion (z.B. in der Astrophysik) geht.
In der Vakuum-Eektrodynamik bzw. bei vernachlässigbarer Konvektion (|~v | << 0) gilt jedoch
f˙ = ∂f /∂t, was zu wesentlichen Vereinfachungen führt.
Wichtig ist schliesslich noch das Kraftgesetz. Nach dem niederländischen Mathematiker und
Physiker Hendrik Antoon Lorentz benannt, ist die Lorentz-Kraft die Kraft, die ein magnetisches
und/oder elektrisches Feld auf eine bewegte elektrische Ladung ausübt:
~ + ~v × B)
~ .
F~ = q (E
(5)
Die klassische Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens (Ladung q, Masse m) lautet damit:
~ + ~v × B)
~ .
m ~r¨ = q (E
(6)
Bei schnell bewegten Ladungen mit Geschwindigkeiten v, die grössenordnungsmässig der Lichtgeschindigkeit nahekommen (in etwa c/4 < v < c) findet die Spezielle Relativitätstheorie (SRT)
Anwendung. Sie wurde 1905 von Albert Einstein publiziert (”Zur Elektrodynamik bewegter
Körper”. In: Annalen der Physik und Chemie 17, 1905).