Probeklausur zur Theoretischen Physik I SS 04

Probeklausur zur Theoretischen Physik I SS 04
Hamprecht, Urbach
Dem Umfang nach ist diese Probeklausur ein Vielfaches der ”echten” Klausur, die im Wesentlichen eine Teilmenge dieser Probeklausur sein wird. Fragen aus den Aufgaben 19 bis
22 werden in der Klausur nur auftauchen, in soweit sie bis zum Klausurtermin schon in
der Vorlesung behandelt worden sind.
Aufgabe 1
Die Bahn eines Punktes P1 sei in karthesischen Koordinaten gegeben als
~r(t) = (cos t, sin 2t2 /π, αt)
Gesucht ist:
sein Geschwindigkeitsvektor,
der Betrag seiner Geschwindigkeit zur Zeit t = π,
der Betrag seiner Geschwindigkeit zur Zeit t = π bis zur 2.Ordnung in α.
Aufgabe 2
Die Bahn eines Punktes P2 sei in karthesischen Koordinaten gegeben als
~r(t) = (t, t2 , t3 )
Gesucht ist:
der Geschwindigkeitsvektor des Punktes P 2 ,
der Vektor seiner Beschleunigung,
die Projektion des Vektors seiner Beschleunigung auf seinen Geschwindigkeitsvektor,
der Cosinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und seinem Vektor der Beschleunigung.
Aufgabe 3
Die Bahn eines Punktes P3 sei in ebenen Polarkoordinaten gegeben als
~r(t) = r(φ) ~er
mit φ = φ(t) .
Zeigen Sie, dass e~˙r senkrecht auf ~er steht.
Unter welcher Bedingung steht der Geschwindigkeitsvektor von P 3 senkrecht auf seinem
Ortsvektor?
Bestimmen Sie den Drehimpuls des Punktes P 3 relativ zum Koordinatenursprung, wenn
dem Punkt P3 die Masse m zugeschrieben wird.
Aufgabe 4
Die Bahn eines Punktes P4 in karthesischen Koordinaten sei gegeben als
~r(t) = (a cos ωt, b sin ωt)
mit a > b > 0.
Zeigen Sie, dass die Form seiner Bahn der Ellipsenformel in karthesischen Koordinaten
genügt.
Wie liegt der Koordinatenursprung relativ zur Ellipse?
Wohin müssen Sie den Koordinatenursprung legen, wenn die Ellipsengleichung in Polarkoordinaten eine besonders einfache Form annehmen soll?
Wie lautet diese?
Was unterscheidet das Verhalten des Punktes P 4 vom Lauf eines Planeten um ein Zentralgestirn?
Wie lauten die Kepler’schen Gesetze?
Welches Kepler’sche Gesetz entspricht dem Satz der Drehimpulserhaltung?
Aufgabe 5
Welche Formen kann die Bahn eines Planeten um ein Zentralgestirn haben?
Welche physikalischen Größen ändern sich nicht, während der Planet die Bahn durchläuft?
Setzen Sie die Werte dieser Erhaltungsgrößen zu den Formen der Bahn in Beziehung.
Gibt es Bahnpunkte, in welchen die radiale Geschwindigkeitskomponente des Planeten verschwindet und wenn ja, wo liegen diese?
An welcher Stelle der Bahn wird die kinetische Energie des Planeten maximal?
Aufgabe 6
Die Lage zweier Massen m1 und m2 im Raum sei durch ihre Ortsvektoren ~r1 und ~r2 gegeben.
Bestimmen Sie Betrag und Richtung der Schwerkraft, die jede der beiden Massen auf Grund
der anderen erfährt.
Stellen Sie die Newtonschen Bewegungsgleichungen für die beiden Massen auf.
Wieviele Anfangswerte und z.B. welche müssen Sie vorgeben, um diese Bewegungsgleichungen eindeutig zu lösen?
Welchen Ortsvektor hat der Schwerpunkt der beiden Massen?
Zeigen Sie, dass der Schwerpunkt keine Beschleunigung erfährt.
~ 12 der Masse m1 relativ zur Masse m2 .
Definieren Sie den Drehimpuls L
~
Zeigen Sie, dass sich L12 zeitlich nicht ändert.
Aufgabe 7
Drücken Sie den Abstand eines geostationären Sateliten von der Erdoberfläche durch Tageslänge τ , Erdradius R und Schwerebeschleunigung g an der Erdoberfläche aus.
Welche Entfernung von der Erdoberfläche muss ein Satelit haben, der 27 Erdumläufe in 8
Tagen macht?
Aufgabe 8
Ein schneller Kometen durchlaufe das Sonnensystem und werde um einen Winkel von 60 ◦
aus seiner ursprünglichen Richtung angelenkt. Gesucht ist die nummerische Exentrizität seiner Bahn.
Aufgabe 9
Auf eine ruhende Kugel treffe eine andere Kugel gleicher Masse. Der Stoß sei vollkommen
elastisch, aber nicht genau zentral. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Geschwindigkeitsvektoren beider Kugeln nach dem Stoß.
Aufgabe 10
Auf eine ruhende Kugel der Masse M treffe zentral eine kleinere Kugel mit Masse m < M .
Der Stoß sei vollkommen elastisch. Nach dem Stoß habe die größere Kugel die Geschwindigkeit V . Um welchen Wert hat sich der Betrag der Geschwindigkeit der kleineren Kugel
verändert?
Aufgabe 11
Ein Stein werde nahe der Erdoberfläche unter einem Winkel α gegen die Horizontale in die
Höhe geworfen. Reibungswiderstände seinen vernachlässigbar.
Stellen Sie seine Bewegungsgleichung in vektorieller Form auf.
Leiten Sie aus der Bewegungsgleichung die Energieerhaltung her.
Wie lauten die Komponenten dieser Gleichung in einem geeignet zu wählenden Koordinatensystem?
Durch welche zusätzliche Forderung kann die Bahn des Steines eindeutig festgelegt werden?
Nennen Sie drei mögliche Beispiele, einer solchen zusätzlichen Bedingung.
Lösen Sie die Bewegungsgleichung für eines der drei Beispiele.
Aufgabe 12
Ein Stein der Masse m werde nahe der Erdoberfläche mit Anfangsgeschwindigkeit ż(0) = u
senkrecht in die Höhe geworfen. Er erfahre einen Reibungswiderstand −κż 3 .
Stellen Sie seine Bewegungsgleichung auf.
Bestimmen Sie näherungsweise Ort zn+1 := z(nh + h) und Geschwindigkeit wn+1 :=
ż(nh+h) zum späteren Zeitpunkt t = (n+1)h, aus deren Werten z n = z(nh) und wn = ż(nh)
zu einem etwas früheren Zeitpunkt t = nh.
Welche Anfangswerte z0 und w0 entsprechen der Aufgabenstellung?
Bestimmen Sie z1 und w1 .
Aufgabe 13
Gegeben sei ein ebenes mathematisches Pendel, bestehend aus einer Punktmasse m an einem masselosen Pendelstab der Länge a. Die Auslenkung aus seiner Ruhelage werde durch
φ(t), seine Winkelgeschwindigkeit durch φ̇(t) beschrieben.
Drücken Sie den Betrag seines Drehimpulses durch diese Größen aus.
Welches Drehmoment übt die Schwerkraft auf das Pendel aus?
Fassen Sie diese beiden Ergebnisse zu einer Bewegungsgleichung für das Pendel zusammen.
Wie lang muss ein Sekundenpendel (Schwingungsdauer T = 1s bei kleinen Ausschlägen)
sein?
Wie groß ist die Gesamtenergie des Pendels, wenn es aus seiner instabilen Ruhelage losgelassen wird und schwingt?
Wie hängt in diesem Fall seine kinetische Energie T kin von der Auslenkung φ ab?
Und wie hängt in diesem Fall φ̇ von φ ab?
Aufgabe 14
Wie lautet die Bewegungsgleichung eines ungedämpften harmonischen Oszillators, ausgedrückt durch seine Kreisfrequenz ω0 ?
Welche Bedeutung haben die Größen κ, A und Ω in der folgenden Bewegungsgleichung:
φ̈ + 2κ φ̇ + ω02 φ = A sin Ωt ?
Zeigen Sie, dass
φ(t) = φ0 e−κt sin ωt
den Fall A = 0 löst, wenn κ nicht zu groß ist und ω richtig gewählt wird.
Was versteht man unter dem aperiodischen Grenzfall dieses Oszillators?
Wie muss κ gewählt werden, um ihn zu realisieren?
Für A 6= 0 und κ > 0 kann der Oszillator einen Einschwingvorgang durchlaufen. Was versteht man darunter? Und wie verhält sich der Oszillator, wenn das Einschwingen beendet
ist. Machen Sie qualitative Aussagen über Amplitude, Frequenz und Phase.
Mit welchem Ansatz für φ(t) könnte man eine Lösung für den eingeschwungenen Zustand
gewinnen?
Aufgabe 15
Eine elastische Feder wirke mit einer Kraft f = −γx ihrer Verlängerung entgegen. Wieviel
Arbeit muss geleistet werden, um die Feder von x = 0 auf die Länge x = X zu dehnen?
Wie groß ist die potentielle Energie V der Feder als Funktion ihrer Länge x?
Zwischen zwei festen Punkten werden zwei gleiche Massen m mit drei Federn vom oben
beschriebenen Typ in linearer Folge aufgespannt: fester Anker, Feder, Masse, Feder, Masse,
Feder, fester Anker. Dieser linearen Kette seien longitudinale Schwingungen möglich. Die
Masse der Federn sei vernachlässigbar.
Wieviele Freiheitsgrade hat das System und wie lauten seine Bewegungsgleichungen?
Mit welchem Ansatz gewinnt man ihre Lösung?
Was versteht man unter Eigenfrequenzen eines solchen Systems?
Wieviele verschiedene Eigenfrequenzen erwarten Sie in diesem Fall?
Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen des Systems.
Bestimmen Sie die Formen der Eigenschwingungen.
Aufgabe 16
Berechnen Sie den Trägheitstensor ΘM eines homogenen Würfels der Masse m bezogen auf
seinen Mittelpunkt M . Die Kantenlänge des Würfels sei a.
Wie lautet der Trägheitstensor ΘK desselben Würfels für einen Punkt K mitten auf einer
Kante?
Bestimmen Sie die Hauptträgheitsmomente bezogen auf den Punkt K.
Die Richtungen der Hauptträgheitsachsen von ΘK seien durch die drei Einheitsvektoren ~e 1 ,
~e2 und ~e3 gegeben, die in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges Koordinatensystem bilden.
Der Würfel werde mit der Winkelgeschwindigkeit φ̇ um die Achse ~q = ~e1 + ~e2 + ~e3 zur
~ dieser Bewegung?
Rotation gebracht. Wie lautet der Winkelgeschwindigkeitsvektor Ω
~
Bestimmen Sie den zugehörigen Drehimpulsvektor L.
Macht der Trägheitstensor ΘK die Rotation mit?
Bestimmen Sie e~˙1 , e~˙2 und e~˙3 .
Wie groß ist die zeitliche Änderung des Drehimpulsvektors?
Welches Drehmoment müssen die Lager auf die Drehachse ausüben?
Aufgabe 17
Berechnen Sie den Trägheitstensor einer homogenen Halbkugel (Masse m, Kugelradius a)
relativ zum Kugelmittelpunkt.
Berechnen Sie den Trägheitstensor eines homogen Kreiszylinders mit Masse m, Radius a
und Höhe h relativ zu seinem Schwerpunkt.
Wie lautet der Trägheitstensor desselben Zylinders relativ zu einem Punkt auf einer seiner
beiden kreisförmigen Kanten?
Aufgabe 18
Drücken Sie sin 3α durch sin α und cos α aus.
Wie lautet die Taylorreihe für e−x ?
Bestimmen Sie Realteil und Betrag von (1 + i) e iz , wenn z = x + iy ist.
Bestimmen Sie Realteil, Imaginärteil, Betrag und Phase der komplexen Zahl (12+i)/(3−4i).
Finden Sie einen geschlossenen Ausdruck für die Summe S = 1+2x2 +4x4 +8x6 +....+(2x2 )N .
Gegeben sei die Matrix
M=
Bestimmen
Bestimmen
Bestimmen
Bestimmen
Sie:
Sie:
Sie:
Sie:
M2 ,
1/M,
eM ,
1/(1 − M),
0 α
α 0
det(M2 ),
det(1/M),
det(eM ),
det(1/(1 − M)),
Spur(M2 ).
Spur(1/M).
Spur(eM ).
Spur(1/(1 − M)).
Aufgabe 19
Wie lautet der erste Hauptsatz der Thermodynamik in differentieller Form, ausgedr ückt
durch Zustandsgrößen?
Wie gewinnt man Zustandsgleichungen aus dem thermodynamischen Potential U = U (S, V, N )
eines einkomponentigen Systems?
Geben Sie Beispiele für extensive und intensive Zustandsgrößen.
Definieren Sie die spezifische Wärme cv bei konstantem Volumen.
Definieren Sie die spezifische Wärme cp bei konstantem Druck.
Definieren Sie die isotherme Kompressibilität κT .
Definieren Sie den thermischen Ausdehnungskoeffizienten α.
Welches sind die natürlichen Variablen der freien Energie F ?
Wie hängt die freie Energie F mit der inneren Energie U zusammen?
Welches sind die natürlichen Variablen der Enthalpie H?
Wie hängt die Enthalphie H mit der inneren Energie U zusammen?
Welches sind die natürlichen Variablen des Gibbs’schen Potentials G?
Wie hängt das Gibbs’sche Potential G mit der inneren Energie U zusammen?
Aufgabe 20
Wie lauten die beiden Zustandsgleichungen für ein ideales Gas?
Bestimmen Sie die Koeffizienten α, κT und cp für ein ideales Gas.
Aufgabe 21
Welche Bedeutung haben die Konstanten a und b in der thermischen Zustandsgleichung des
Van der Waals Gases:
(p −
a
)(v − b) = RT ?
v2
Welche kalorische Zustandsgleichung ist damit verträglich?
Was ist der kritische Punkt und wie kann man ihn bestimmen?
Erläutern Sie die Maxwell-Konstruktion an Hand der Skizze einer geeigneten Isothermen
im pv-Diagramm.
Welchen Zuständen des Van der Waals Gases entsprechen die Punkte auf der MaxwellGeraden?
Welche Punkte auf der gezeichneten Isothermen sind unphysikalisch in dem Sinne, dass man
ihnen keine Zustände des Systems zuordnen kann?
Welche Teile der Isothermen sind physikalisch interpretierbar und wie werden sie interpretiert?
Skizzieren Sie qualitativ eine Dampfdruckkurve in einem pT-Diagramm.
Bestimmen Sie die Koeffizienten α, κT und cp für ein Van der Waals Gas.
Aufgabe 22
Für welchen Prozess ist die Gleichung von Clausius und Clapeyron relevant, und welche
Größen setzt sie zueinander in eine Beziehung?
Was ist ein Carnot’scher Kreisprozess?
Wann nennt man einen Prozess adiabatisch?
Geben Sie ein Beispiel für einen adiabatischen Prozess, der nicht isentropisch ist.
Beschreiben Sie den Joule-Thompson Prozess.
Welche Größe bleibt bei diesem Prozess erhalten?
Aufgaben, von Teilnehmern vorgeschlagen:
Aufgabe A
Gegeben sei die Matrix
M=
1 0
1 0
Gesucht ist exp (xM).
Aufgabe B
~ey
6
A
A
- ~ex
φA
A
A
~e
A *
φ
A
u
A
AU
A
˙
Leiten Sie mit Hilfe des Drehimpulssatzes ~l = m ~r ×~r
die Bewegungsgleichung für eine ebenes mathematisches
Pendel her. Und gewinnen Sie daraus den Energieerhaltungssatz.
~er
Aufgabe C
Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil aller Lösungen der Gleichung cos 2 = 4/3.
Aufgabe D
Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für zwei Massen m und M auf, die mit drei gleichen
Federn zwischen zwei festen Ankern A 1 , A2 linear aufgespannt, schwingen können. Jede
Masse bewege sich in einer Ebene senkrecht zur Verbindungslinie von A 1 und A2 ; diese
Ebenen haben voneinander und von den Ankern jeweils den Abstand a. Linearisieren Sie
die Bewegungsgleichungen, indem Sie alle Größen von 2. oder höherer Ordnung in den
Auslenkungen der Massen aus ihren Ruhelagen vernachlässigen.
Ausgabetermin: 25.06.2004, Besprechung in den Übungen.
Die Klausur wird am 12.7.2004 von 8.00 bis 10.00 Uhr in H örsaal A
geschrieben. Keine Hilfsmittel.