Denkschriften der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften.

,
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uäm
38
Ueb er
17*
den geraden, centralen Stoss zweier fester Körper.
Von Adam Burg,
am
Regier u ng'srath und Professor
k.
k.
polytechnischen Institute
(Vorgetragen in der Sitzung der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe am 17. Februar 1848.)
U
mit
stossende feste Körper,
B. zwei Kugeln
z.
zwei gerade und central aufeinander
welchen
nach dem Stosse fortgehen, nimmt man bekanntlich ent-
,
weder vollkommen unelastische oder vollkommen
Körper an
elastische
Gränzen jener Reihe von Körpern, welche bezüglich
eigentlich nur die beiden äussersten Glieder oder
ihrer grösseren oder geringeren Elasticität zwischen diesen
Gränzen liegen und sich , so weit
rung hierüberreicht, wohl diesen Gränzen mehr oder weniger nähern,
hin
und betrachtet auf diese Weise
,
Erfah-
nach keiner Seite
diese jedoch
vollkommen erreichen.
Eben
so bekannt
es auch, dass
ist
nung unterwerfen zu können, genöthiget
man,
ist,
um
die Erscheinungen des Stosses erklären
anzunehmen, dass
auf einen gewissen Grad zusammendruckbar sind
,
steht
indem uns
,
bis jetzt
,
nicht
,
Körper oder Kugeln nach dem Stosse
Körpern stattfindenden
Puncte
vorstellt,
diese
D'A
1
e
Formänderung, so weit
derung,
namentlich auf
,
man entweder
beiden
den
in
r
einem untheilbaren
so kleine endliche
wenigstens keine absolut harten Körper bekannt sind, folglich eine auf solche
Bemühung
Was nun aber die verschiedenen Methoden betrifft, deren man sich in
nen pflegt, um auf eine schulgerechte Weise die Geschwindigkeiten der
so sucht
bis
Annahme übrigens, welche keineswegs mit der Erfahrung im Widerspruche
imaginäre Körper angewandte Rechnung ohnehin nur eine fruchtlose
zu bestimmen,
Körper
wodurch eben eine solche Zu-
wenn auch noch
,
und der Rech-
selbst die härtesten
stattfindet
Augenblicke vollendet sein kann , sondern dazu immer eine gewisse
Zeit erforderlich sei, eine
und
alle
und dass der Stoss
sammendrückung zwischen den beiden betreffenden Körpern
die
viele gleiche Theile getheilt,
?
die
und zwar
mit
den Lehrbüchern zu bediebeiden zusammenstossenden
Function ihrer Geschwindigkeiten vor
gänzlicher Ausserachtlassung der während
Formänderungen,
m b e r t'schen
als
sein würde.
indem man sich diese Körper
Satz darauf anzuwenden,
es dabei nöthig,
oder
Stosses
blosse materielle
um
sich,
,
durch
auf
welche auf diese Aen-
verwendet wird
,
in
unendlich
bestimmt die Geschwindigkeitsänderung, welche die beiden Kugeln
sen aufeinander folgenden unendlich kleinen Zeit - Intervallen
Stosse
des Stosses in
man denkt
Rücksicht zu nehmen, die Zeit,
Zusammendrückung während des
als
dem
Annahme von eben
die-
in
so vielen zwi-
schen beiden Körpern wirkenden unendlich kleinen Druck- oder Spannkräften hervorbringen, und findet
endlich durch
kommen
Summirung
unelastisch
\nnalune ausgeht
angenommenen beiden Körper. Die
dass
dem Stosse oder
Grösse der Bewegung
vor
,
dieser unendlichen Reihen die gesuchten
die
erste dieser
Endgeschwindigkeiten der
als
voll-
Methoden, welche sofort von der
Grösse der Bewegung beider Körper nach dein Stosse eben so gross
dass der Verlust an Grösse der
Bewegung
des andern Körpers gleich sein müsse,
des einen Körpers
lässt
bei
als
dem Gewinnste an
„
Anfängern den ohne weitläufige
Deductionen nicht leicht zu hebenden Zweifel über die absolute Notwendigkeit dieses Gesetzes bestehen,
,
**
,
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^H
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während
Methode den mit der
die letztere
stens hinsichtlich der Eleganz und Präcision nicht
Es
welche wir von diesen beiden
,
und nur auf den einfachsten Bewegungsgesetzen beruht,
glauben,
frei
vollkommen befriedigen kann.
dass sich die nachfolgende Entwickelungsart
scheint uns daher,
Mängeln
und Integralrechnung" vertrauten Schüler minde-
Diflerenzial-
am
den Vortrag
für
besten eignen dürfte.
2.
Es
m
seien nämlich
und m'
Massen zweier homogener Kugeln
die
deren Mittelpuncte
,
auf ein und derselben geraden Linie nach einerlei Richtung mit den Geschwindigkeiten v und v
dass
sollen,
alle
und
m
sei,
m
die
nachfolgende oder anstossende
v>v\
so
dass im Augenblicke des Ein-
wenn
vorausgehende oder gestossene Kugel bezeichnet,
die
m
holens oder Begegnens der beiden Kugeln ein Stoss der Kugel
cher so lange dauert
mehr
darbiethet.
werden
bis
,
Durch
m
vorausgehende Kugel
die
Wirkung und eben
die
m
gegen jene
m
der nachfolgenden
ausgeübt wird, wel-
kein weiteres Hinderniss
so grosse Gegenwirkung zwischen den beiden Kugeln
Berührungspuncte liegenden materiellen Theilchen verschoben oder die äusser-
am
die zunächst
an dieser Stelle so lange zusammengedrückt und dabei die voraus-
sten Schichten der beiden Kugeln
ö
l
gehende Kugel
m
digkeit so
gewonnen und
viel
bewegen
Puncte der Kugeln mit dieser Geraden parallele Linien beschreiben (die Kugeln also
Bewegung dabei annehmen), und zwar
keine rotirende
so
sich
beschleuniget und die nachfolgende
m
verzögert, bis die erstere an ihrer Geschwin-
nunmehr
dass
die letztere an ihrer Geschwindigkeit so viel verloren hat,
beide Kugeln eine gemeinschaftliche Geschwindigkeit u besitzen.
Sind nun beide Kugeln vollkommen unelastisch,
schen denselben auf, und damit
so
hört von nun an jede weitere Reaction zwi-
dann auch der Stoss selbst vollendet,
ist
sich hierauf beide
dass
so,
Kugeln, an welchen die durch den Stoss entstandenen Eindrücke haften bleiben, wie eine einzige Masse
+
mit dieser gemeinschaftlichen Geschwindigkeit u und zwar nach derselben Richtung fortbewegen.
m m
Sind daffejren die Kugeln vollkommen oder auch nur zum Theile elastisch
grösste
die
den Geschwindigkeiten eingetreten
in
Form entweder vollkommen oder zum
ihre ursprüngliche
durch das Bestreben,
stellen,
dadurch die Ausgleichung
und
Zusammendrückung
nachdem
entsteht,
so
,
Theile wieder herzu-
m
eine weitere Reaction zwischen den beiden Kugeln, in Folge welcher die vorausgehende
und
weiter beschleunigt
m
nachfolgende
die
noch weiter und zwar so lange verzögert wird
noch
bis diese
,
w
Formherstellung,
so weit
trennen
zu
sich von einander
absolut unelastisch sind
in
,
zu entfernen beginnen,
oder
Es
ist.
zusammengedrückten
und
ist,
die
Kugeln
welchem Augenblicke dann auch der
in
treten daher bei allen Körpern
welche nicht
,
während des Stosses zwei bestimmt von einander zu unterscheidende Perioden
deren erster die Körper so lange zusammengedrückt werden
angenommen haben, und
den
vollendet
möglich,
n.^*. Elasticitätsgrade
ihrem
^.ico^i^o^«.^ >^
b
nach
zweiten Falle zu Ende
Stoss selbst in diesem
ein,
diess
zweiter
deren
in
eine
eben
oder Schichten
Theilchen
bis sie einerlei
,
so grosse oder geringere
Körper
beider
stattlindet
,
Geschwindigkeit
Ausdehnung zwischen
bis
sie
sich mit ver-
schiedenen Geschwindigkeiten von einander entfernen.
3.
vor der
man nun während
Betrachtet
Hand
als
den
beiden
Augenblicke durcl i p
,
stant,
ab
,
t
Kurein
Zusammendrückung
bereits
gedauert hat,
p
,
ersten Periode Null
des Zusammenstosses
in Feiere
Momente
welche im
ist,
nachdem
die
die
des Beginnens
Ax
m
-gAt und
Ax
m
m
m
mit
am
,
in
x und x
,
diesem
so er-
grössten und
am
unendlich kleinen Zeit dt als con-
x um
gut
und
des Stosses
bekannten Gesetzen
V
welche man sich
wirksam denken kann
als
beider Kugeln
Geschwindigkeit
die
Grösse der Kraft,
während der darauf folgenden
und es nimmt während dieser Zeit
so dass nach
und bezeichnet
so wie die Geschwindigkeiten
scheint die variable Kraft
Ende der
mögen
elastisch oder unelastisch angesehen werden),
durch die unbestimmte Zeit
zwischen
der ersten Periode die beiden genannten Kugeln (diese
*
da?'
zu,
dagegen jene
x um Ax
,
:
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i
Adam Burg,
40
den geraden,
lieber
centralen
p eine gewisse (wenn auch unbekannte) Function der von o bis t' wachsenden Zeit t ist,
wenn man nämlich die (uns durchaus unbekannte) Zeit, welche der ersten Periode des Stosses zukömmt mit t' bezeichnet also p = y (t) gesetzt werden kann auch
oder da
,
,
,
9-
Ax
hat, wobei
g
Durch
m
Schwere
die Beschleunigung der
die Integration
dieser
und Ax
(f) At
<p
9
m
beiden Gleichungen
L
od
C
und Cf
wir durch
t
und man
m
so
und
anzeigen wollen,
Geschwindigkeiten
die
x
wenn man
sich
erinnert
das allgemeine Integrale von
,
dass
,
y
(0
At
9 ?'(*)
x= O
um
,
m
diese zu bestimmen,
x
und
gehen
t=o,
für
in ihre ursprünglichen v
was
und v über,
erhält sonach aus diesen beiden Relationen
wenn man
dass,
diese
9
m
Werthe für
C
(g xmAC=v+
jff
und
x
und
die
vollständigen
schwindigkeiten
x
x
und
v
9
W
m
+
u übergehen
f Co)
m
9
Co)]
V
(0] wird.
man nur bemerken, dass für t=t' beide Gewenn i und u die angegebene Bedeutung haben ; man
Integrale zu erhalten,
in jene
cg
9
auch
substituirt,
x>=v+Aww
m
Um
man
erhält
Constanten der Integration sind;
die
cw
I
+C
(0
f
? (t)At
ist.
ohne die Natur der Function y (t) näher kennen zu müssen
irgend eine neue Function f (t) von t sein müsse , sofort
wobei
,
darf
V
erhält sonach aus diesen beiden letzteren Relationen:
u
t/
und u
v
+ -^[p'(0-f'(Q]
m
9
+
(Q-f
[?'
m
(/)]
•••(«
--iß
m
m
multi-
zweite Periode des Stosses überzugehen,
wollen
woraus sofort auch, wenn man die erste dieser beiden Gleichungen mit
mit
die letztere
,
und diese dann summirt
plicirt
j
k
r
(m + m) «e=mi?+wt? oder
Um
ferner
'
,
,
4.
auf den zweiten
Theil
*
oder
mv+mv
w=
m + m'
die
r
.
... (1
„
.
A
folgt.
wir der grösseren Allgemeinheit wegen die beiden Kugeln nicht als voll!vomme n elastisch voraussetzen
in
welchem
Falle die
ausdehnende
Kraft
p
—
genau wieder der vorigen Function
f (i) in allen ihren
Werthen von t=o bis t=t' gleich wäre
sondern annehmen, dass die zwischen den beiden Kugeln
als wirksam auftretende ausdehnende Kraft durch np ,
d. i. durch ncpfi) ausgedrückt werde
wobei
immer so bestimmt werden soll dass auch hierbei die Zeit t von Null bis t wachsen muss,
n
1
,
,
i
um
die
,
Ausdehnung oder zweite Periode des Stosses zu vollenden
kommenen
Elasticität
für
n=l
einem Augenblicke,
in
welchem
die
Ausdehnung
und nehmen an, dass diese beziehungsweise
so
im nächstfolgenden Zeit-Elemente
dass
man genau wieder wie
,
was
z.
B. für den Fall
der voll-
stattfindet.
Diess vorausgesetzt betrachten wir wieder die
diese
*
d£,
in 3. erhält:
u'
Geschwindigkeiten der beiden Kugeln
bereits
durch die unbestimmte Zeit
und u" sind,
erstere
um
Au'
wobei
/
u<Cu und u"^>u
verzögert,
letztere
um
m
und m!
in
gedauert hat,
ist;
so
werden
Au" beschleunigt,
n
:
:
:
:
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41
centralen Stoss zweier fester Körper.
—
m
Au"
folglich
wenn man
y
(0
und
At
ng
Au'
m
integrirt
u
*9
n
?
(0 +
'
C
W—C
und
"» f (0.
m
m'
Um
(0 ü
?
die Constanten
der Integrationen zu bestimmen,
C=u
y(g
man
hat
t=o
für
= u,
sofort u'=ii'
folglich
c=tt+^(g,
und
m
Wert!
#=f
wodurch
setzt,
m und m!
am Ende
w'
und w"
jene
in
y (o
?'
(.Q] •••<>'
+ ^WiQ
?'
(Ol
m!
und
man
V
und
übergehen,
die
V
u
m
eingeklammerten Binome
(n
V'
Für den Fall, dass
die
+
1)
—
u nv
• •
•
o
aus den 4 Gleichungen
und
F=
(n
+
m
1)
a,
—
m?.
in der obigen Relation (1
Für unvollkommen
n
leicht aus
elastische
V—2
u—v
bestimmt
ist.
V=2
und
f
a' 9
ß9
.
.
Kugeln vollkommen unelastisch sind, hat man
dagegen bei Voraussetzung einer vollkommenen Elasticität, wofür n
wobei u
welche die Kugeln
dieser zweiten Periode, also auch nach gänzlich vollendetem Stosse annehmen, sofort
V'=u +
oder wenn
V
Geschwindigkeiten
,
•
ß'
eliminirt,
auch
n=o,
V=V
(2
wegen
u;
1 wird
v
II
Körper kann der zwischen Null und der Einheit liegende Werth
wenn
den Gleichungen (2 bestimmt werden,
Geschwindigkeiten vor und
die
nach
dem
Stosse durch Beobachtung gegeben sind.
Schlüsslich folgen noch ganz einfach aus den Relationen
m!
V
m V
m! u und
oder mit Rücksicht auf die Gleichung
(m
und
«'
ß'
:
m F+ m V
+ m')
f
(1
mv + Wi/
= m V + m! V
;
ferner eben so einfach
m V + ml V =
2
und
woraus ganz
ungezwungen
folgt,
mu
2
+
dass
,%
2
*=
m'u
mv
2
durch
2
mv
+ mv'
Verlust stattfindet
welcher mit der Grösse der Massen
v'
zunimmt.
mm'
2
(v
— #)
m + m'
während durch den Stoss von unelastischen Körpern immer
eintritt,
keiten v und
v'
den Stoss vollkommen elastischer Körper kein Verlust
an lebendiger Kraft
,
+ m!
2
Für unvollkommen
(1
elastische
—
2
)
mm!
m
,
m'
Körper
(p
—v)
und der Differenz der Geschwindig-
ist
dieser Verlust an lebendiger
2
m-hmf
Denkschriften d. mathem. naturw. Cl
ein solcher
6
Kraft