Quantenmechanik – maximaler Nutzen
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Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand G. Job Job-Stiftung c/o. Institut für Physikalische Chemie, Universität Hamburg Lehrerfortbildung Speyer Juni 2013 Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Gliederung Der Ansatz Stationäre Zustände Energiespektren Zustandssummen Ausblick Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Der Ansatz Den Bewegungszustand eines „Massenpunktes“ pflegt man durch Angabe des Ortes x und des Impulses p zu kennzeichnen. Im Phasenraum, in dem x und p als Koordinaten gewählt sind, entspricht jedem Bewegungszustand aus klassischer Sicht ein Punkt, aus quantenmechanischer Sicht dagegen ein Fleck mit der Fläche h. Vereinfachend kann man diesen Fleck als kleines Rechteck mit den Kantenlängen x und p und dem Inhalt x p = h darstellen. p klassisch quantenmechanisch . x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Der Ansatz Den Bewegungszustand eines „Massenpunktes“ pflegt man durch Angabe des Ortes x und des Impulses p zu kennzeichnen. Im Phasenraum, in dem x und p als Koordinaten gewählt sind, entspricht jedem Bewegungszustand aus klassischer Sicht ein Punkt, aus quantenmechanischer Sicht dagegen ein Fleck mit der Fläche h. Vereinfachend kann man diesen Fleck als kleines Rechteck mit den Kantenlängen x und p und dem Inhalt x p = h darstellen. p klassisch quantenmechanisch . p x x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Der Ansatz Den Bewegungszustand eines „Massenpunktes“ pflegt man durch Angabe des Ortes x und des Impulses p zu kennzeichnen. Im Phasenraum, in dem x und p als Koordinaten gewählt sind, entspricht jedem Bewegungszustand aus klassischer Sicht ein Punkt, aus quantenmechanischer Sicht dagegen ein Fleck mit der Fläche h. p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... A Auf einen Bereich des Phasenraums mit der Fläche A passen ohne Überlappung A/h Flecken, was A/h unabhängigen Zuständen entspricht. x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Der Ansatz Die Flecken ruhen nicht, sondern wandern und verzerren sich. Lage und Gestalt der Flecken sind variabel und je nach verfolgtem Zweck verschieden wählbar, aber ihr Inhalt unveränderlich. Dieser Ansatz erlaubt eine Reihe bemerkenswerter Folgerungen. Wir wählen hier einige Beispiele aus verschiedenen Bereichen: 1. Stationäre Zustände p 2. Energiespektren 3. Zustandssummen x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Gliederung Der Ansatz Stationäre Zustände Energiespektren Zustandssummen Ausblick Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Translation p Teilchen in eindimensionalem Kasten, Kastenlänge a, Teilchenmasse m x Vorausgesetzt wird selbstredend: Stoß auf die Wände elastisch, Bewegung reibungsfrei ... Energie E p2 2m Bewegung durch Ort x und Impuls p gekennzeichnet Das Teilchen pendelt zwischen linker und rechter Wand. Kinetische Energie E = ½mv2, ausgedrückt durch Impuls p = mv statt Geschwindigkeit v. Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Translation p Teilchen in eindimensionalem Kasten, Kastenlänge a, Teilchenmasse m x p Bewegungsablauf im Phasenraum 1. klassisch: Phasenpunkt durchläuft eine Rechteckschleife längs einer Linie konstanter Energie E Sprung p a 0 -p Sprung x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Translation p Teilchen in eindimensionalem Kasten, Kastenlänge a, Teilchenmasse m x p Bewegungsablauf im Phasenraum 1. klassisch: Phasenpunkt durchläuft eine Rechteckschleife Je größer der Impuls ... ... desto weiter eilt ein Phasenpunkt einem anderen voraus. 0 a x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Translation p Teilchen in eindimensionalem Kasten, Kastenlänge a, Teilchenmasse m x p Bewegungsablauf im Phasenraum 1. klassisch: Phasenpunkt durchläuft eine Rechteckschleife Ein Schwarm von Phasenpunkten wird bei jedem Umlauf weiter geschert und im Laufe der Zeit schließlich zu zwei Streifen oberund unterhalb der x-Achse verschmiert. 0 a x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Translation p Teilchen in eindimensionalem Kasten, Kastenlänge a, Teilchenmasse m x p Bewegungsablauf im Phasenraum 1. klassisch: Phasenpunkt durchläuft eine Rechteckschleife Ein Schwarm von Phasenpunkten wird bei jedem Umlauf weiter geschert und im Laufe der Zeit schließlich zu zwei Streifen oberund unterhalb der x-Achse verschmiert. 0 a x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Translation p Teilchen in eindimensionalem Kasten, Kastenlänge a, Teilchenmasse m x p Bewegungsablauf im Phasenraum 2. quantentheoretisch: Phasenfleck wandert und zerläuft. Wie? Einen Eindruck davon gewinnt man, wenn man den Fleck durch einen Schwarm klassischer Phasenpunkte annähert. 0. 1. a 0 2. x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Translation p Teilchen in eindimensionalem Kasten, Kastenlänge a, Teilchenmasse m x p Bewegungsablauf im Phasenraum 2. quantentheoretisch: Phasenfleck wandert und zerläuft. Wie? Einen Eindruck davon gewinnt man, wenn man den Fleck durch einen Schwarm klassischer Phasenpunkte annähert. Der Fleck wird zu einem immer längeren, immer dünneren, vielfach zerstückelten und gefalteten Strich auseinander gezogen. 0. 3. a 0 4. x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Translation p Teilchen in eindimensionalem Kasten, Kastenlänge a, Teilchenmasse m x p Bewegungsablauf im Phasenraum 2. quantentheoretisch: Phasenfleck wandert und zerläuft. Wie? Einen Eindruck davon gewinnt man, wenn man den Fleck durch einen Schwarm klassischer Phasenpunkte annähert. Der Fleck wird zu einem immer längeren, immer dünneren, vielfach zerstückelten und gefalteten Strich auseinander gezogen. Endergebnis: blassgrauer Doppelstreifen 0. 0 a x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Translation p Teilchen in eindimensionalem Kasten, Kastenlänge a, Teilchenmasse m x p Bewegungsablauf im Phasenraum 2. quantentheoretisch: Phasenfleck wandert und zerläuft. Ein anfangs halb so breiter, aber doppelt so langer Fleck liefert am Ende einen schmäleren Doppelstreifen. Je länger und dünner der Fleck, desto schärfer der Impuls, desto bestimmter die Energie. gleiche Fläche h 0 a x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Translation p Teilchen in eindimensionalem Kasten, Kastenlänge a, Teilchenmasse m x p Bewegungsablauf im Phasenraum 2. quantentheoretisch: Phasenfleck wandert und zerläuft. Ein Fleck maximaler Länge 2a stimmt mit dem zugehörigen Doppelstreifen überein! Der Fleck lässt keine Bewegung erkennen – er ist stationär! Die Energieunschärfe E ist minimal! Stationäre Zustände (Dauer t = ) haben bekanntlich scharfe Energien ( E = 0). Das liefert unser Ansatz nicht, aber fast. gleiche Fläche h 0 a x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Rotation Teilchen auf einer Kreisbahn Umfang 2 r, Teilchenmasse m Vorausgesetzt wird wieder Reibungsfreiheit ... Energie E p2 2m p 0 Bewegung durch Ort q auf dem Umfang und tangentialer Impulskomponente p gekennzeichnet q r Das Teilchen kann mit positivem oder negativem Drehsinn umlaufen. Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Rotation p Teilchen auf einer Kreisbahn Umfang 2 r, Teilchenmasse m 0 q r p Bewegungsablauf im Phasenraum 1. klassisch: Phasenpunkt durchläuft periodisch eine Strecke längs einer Linie konstanter Energie E Sprung an den Anfang p 0 q 2 r q Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Rotation p Teilchen auf einer Kreisbahn Umfang 2 r, Teilchenmasse m 0 q r p Bewegungsablauf im Phasenraum 2. quantentheoretisch: Phasenfleck wandert und zerläuft. Einen Eindruck davon gewinnt man, wenn man den Fleck wieder durch einen Schwarm klassischer Phasenpunkte annähert. Ergebnis: blassgrauer Streifen Für ein im Gegensinn umlaufendes Teilchen erhielte man einen entsprechenden Streifen unterhalb der q-Achse. 0 2 r q Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Rotation p Teilchen auf einer Kreisbahn Umfang 2 r, Teilchenmasse m 0 q r p Bewegungsablauf im Phasenraum 2. quantentheoretisch: Phasenfleck wandert und zerläuft. Ein Fleck maximaler Länge 2 r ist dagegen stationär, die Energieunschärfe E minimal! gleiche Fläche h 0 2 r q Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Schwingung p Teilchen federnd aufgehängt, Federsteife D, Teilchenmasse m x x0 Vorausgesetzt wird wieder Reibungsfreiheit ... Energie E p2 2m Bewegung durch Ort x und Impuls p beschrieben 1 2 Dx 2 Summe aus kinetischer und potentieller Energie Das Teilchen schwingt symmetrisch um seine Ruhelage x0 Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Schwingung p Teilchen federnd aufgehängt, Federsteife D, Teilchenmasse m x p Bewegungsablauf im Phasenraum 1. klassisch: Phasenpunkt, der eine Ellipse durchläuft x0 x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Stationäre Zustände: Schwingung p Teilchen federnd aufgehängt, Federsteife D, Teilchenmasse m x p Bewegungsablauf im Phasenraum 2. quantentheoretisch: umlaufender Phasenfleck Ein Fleck minimaler Breite (d. h. mit minimalem E) lässt keine Bewegung erkennen, er ist stationär! x0 x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Gliederung Der Ansatz Stationäre Zustände Energiespektren Zustandssummen Ausblick Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Energiespektren Gesucht sind die Energien der stationären Zustände eines Systems. Grundgedanke: Wenn die Anzahl der Zustände (E) bis zu einer bestimmten Energie E bekannt ist, dann liefert die Umkehrfunktion E( ) mit ganzzahligem das Energiespektrum. (E) andererseits ergibt sich aus der Fläche A(E) im Phasenraum, die alle Zustände mit Energien E umfasst, geteilt durch h: = A/h . Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Energiespektrum: Translation p Teilchen in eindimensionalem Kasten, Kastenlänge a, Teilchenmasse m Alle Zustände mit Energien E liegen innerhalb eines Rechtecks mit der Fläche A a 2 2mE Länge denn E ergibt x p 2mE Höhe p2 aufgelöst nach p, 2m p 2mE 0 a x 2mE Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Energiespektrum: Translation p Teilchen in eindimensionalem Kasten, Kastenlänge a, Teilchenmasse m Alle Zustände mit Energien E liegen innerhalb eines Rechtecks mit der Fläche A a 2 2mE A a 2 2mE h h oder, aufgelöst nach E: Folglich E( ) x p 2mE ( E) h2 8ma2 2 0 a x = 1, 2, 3 ... 2mE Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Energiespektrum: Translation p Teilchen in eindimensionalem Kasten, Kastenlänge a, Teilchenmasse m Alle Zustände mit Energien E liegen innerhalb eines Rechtecks mit der Fläche A a 2 2mE A a 2 2mE h h oder, aufgelöst nach E: Folglich E( ) x p 2mE ( E) h2 8ma2 2 = 1, 2, 3 ... Dass a „ “ 0 hier statt „ungefähr gleich“ auch „genau gleich“ „= “ hätte stehen können, ist Zufall. x Unser einfacher Ansatz liefert nur Werte der Energie mit einer Unschärfe 2mE 1. Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Energiespektrum: Translation p Teilchen in eindimensionalem Kasten, Kastenlänge a, Teilchenmasse m x E = E( ) für 1 4 = 1, 2, 3 ... aufgetragen, ergibt: 9 16 25 36 E E1 E1 h2 8ma 2 Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Energiespektrum: Rotation p Teilchen auf einer Kreisbahn Umfang 2 r, Teilchenmasse m Alle Zustände mit Energien E liegen innerhalb eines Rechtecks mit der Fläche A 2 r 2mE Länge denn E ergibt 0 q r p 2mE Höhe p2 aufgelöst nach p, 2m p 2mE 0 2 r q Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Energiespektrum: Rotation p Teilchen auf einer Kreisbahn Umfang 2 r, Teilchenmasse m 0 Alle Zustände mit Energien E liegen innerhalb eines Rechtecks mit der Fläche A 2 r 2mE A 2 r 2mE Folglich ( E) h h oder, aufgelöst nach E: E( ) h2 8 2 2 I = 0, 1, 2 ... q r p 2mE 0 2 r q Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Energiespektrum: Rotation p Teilchen auf einer Kreisbahn Umfang 2 r, Teilchenmasse m 0 Alle Zustände mit Energien E liegen innerhalb eines Rechtecks mit der Fläche A 2 r 2mE A 2 r 2mE Folglich ( E) h h oder, aufgelöst nach E: E( ) h2 8 2 2 I = 0, 1, 2 ... q r p 2mE Trägheitsmoment mr2 = I 2eingesetzt. r 0 q Dieselben Energien ergeben sich für ein Teilchen, das im Gegensinn umläuft, was hier (wegen des negativen Impulses) durch negative berücksichtigt wird. Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Energiespektrum: Rotation p Teilchen auf einer Kreisbahn Umfang 2 r, Teilchenmasse m E = E( ) für 1 4 q r 0 = 0, 1, 2, 3 ... aufgetragen, ergibt: 9 16 25 36 E E1 1-fach 2-fach E1 h2 8 2 I Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Energiespektrum: Schwingung p Teilchen federnd aufgehängt, Federsteife D, Teilchenmasse m Alle Zustände mit Energien E liegen innerhalb einer Ellipse x p 2mE denn für x = 0 ergibt E aufgelöst nach p: p denn für p = 0 ergibt E aufgelöst nach x: x 2E/D p2 1 2 Dx , 2m 2 2mE p2 1 2 Dx , 2m 2 2E/D x0 x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Energiespektrum: Schwingung p Teilchen federnd aufgehängt, Federsteife D, Teilchenmasse m Alle Zustände mit Energien E liegen innerhalb einer Ellipse A 2mE 2 E / D mit Fläche = Halbachse x p 2mE 2E/D Halbachse x0 x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Energiespektrum: Schwingung p Teilchen federnd aufgehängt, Federsteife D, Teilchenmasse m x Alle Zustände mit Energien E liegen innerhalb einer Ellipse A 2mE 2 E / D mit A Folglich ( E) 2 h oder, aufgelöst nach E: E( ) h p 2mE m E D h -1 = 0, 1, 2, 3 ... 2E / D E h x0 x Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Energiespektrum: Schwingung p Teilchen federnd aufgehängt, Federsteife D, Teilchenmasse m x E = E( ) für 0 = 0, 1, 2, 3 ... aufgetragen, ergibt: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 E E1 E1 h Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Gliederung Der Ansatz Stationäre Zustände Energiespektren Zustandssummen Ausblick Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand 2 Zustandssummen: Quantenlänge 1.5 Teilchen in einer Umgebung der Temperatur T. Wahrscheinlichkeit w,2 dass das Teilchen den Impuls p hat: w e Ekin kT 1 e p 2 mkT w Impulsunschärfe Δp, gekennzeichnet durch die Breite eines flächengleichen Rechtecks: flächengleich 0.5 pth 2 mkT 0 p Δpth -4 -2 0 2 Die „thermische Impulsunschärfe“ Δpth kennzeichnet – in Bezug auf die p-Richtung – die Ausdehnung des bei der Temperatur T zugänglichen Bereichs des Phasenraums. Zustände wesentlich außerhalb des Bereiches sind kaum erreichbar. Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand 2 Zustandssummen: Quantenlänge 1.5 Teilchen in einer Umgebung der Temperatur T. Wahrscheinlichkeit w,2 dass das Teilchen den Impuls p hat. w e Ekin kT 1 e p 2 mkT w flächengleich 0.5 pth 2 mkT Ortsunschärfe eines Teilchens 0 infolge seiner thermischen x h / pth Impulsunschärfe: -4 „Quantenlänge“ th h 2 mkT p Δpth -2 0 2 Der Ort eines Teilchens ist nicht genauer als bis auf die Quantenlänge th definiert. Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Zustandssummen: Grundgedanke Die Zustandssummen bilden in der statistischen Physik den Schlüssel zur Berechnung der thermodynamischen Eigenschaften. Die Zustandssumme z eines Teilchens ist auffassbar als die Anzahl der ihm (bei gegebener Temperatur) zugänglichen Zustände. Ist (bei gegebener Temperatur) xth der Bewegungsspielraum eines Teilchens (z. B. Kastenlänge a, Umfang einer Kreisbahn 2 r) und Ath die Fläche des zugänglichen Bereichs des Phasenraums, Ath = xth pth, dann gilt für die Zustandssumme z des Teilchens: z Ath h xth pth h xth th Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Zustandssummen: Translation p Teilchen in eindimensionalem Kasten, Kastenlänge a, Teilchenmasse m x Bewegungsspielraum a Rasterweite th Translationszustandssumme zt a a th th eingesetzt zt a 2 mkT h gültig für zt 1 Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Zustandssummen: Rotation p Teilchen auf einer Kreisbahn Umfang 2 r, Teilchenmasse m Bewegungsspielraum 2 r Rasterweite th Rotationszustandssumme zr r 0 2 r th th eingesetzt zr 2 2 IkT h gültig für zr 1 q Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Zustandssummen: Schwingung 2 p Teilchen federnd aufgehängt, Federsteife D, Teilchenmasse m x 1.5 Bewegungsspielraum: Wahrscheinlichkeit w, dass Teilchen am Ort x anzutreffen w xth e E pot kT 1 e D x2 2 kT w Vorbild für Behandlung allgemeiner Potenzialtöpfe 2 kT/D flächengleich 0.5gekennzeichnet Bewegungsspielraum, durch die Breite eines flächengleichen Rechtecks 0 x Δxth -4 -2 0 2 Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Zustandssummen: Schwingung p Teilchen federnd aufgehängt, Federsteife D, Teilchenmasse m x Bewegungsspielraum: xth 2 kT/D Rasterweite th xth Schwingungszustandssumme z s th xth und th eingesetzt 2 kT D 2 mkT h m kT D h 2 -1 zs kT h gültig für zs 1 Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Gliederung Der Ansatz Stationäre Zustände Energiespektren Zustandssummen Ausblick Quantenmechanik – maximaler Nutzen bei minimalem Aufwand Ausblick Nach demselben Muster lassen sich viele weitere Aufgaben lösen: • Mehrdimensionale Bewegungen in verschiedenen Potentialtöpfen • Drehung um feste oder freie Achsen • Verhalten von Fermi- oder Bose-Gasen, Gasentartung • Veranschaulichung und Abschätzung von Zustandssummen • Ableitung chemischer Eigenschaften aus Molekülmodellen • usw. usf. Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit. G. Job Job-Stiftung für Thermo- und Stoffdynamik c/o. Institut für Physikalische Chemie, Universität Hamburg [email protected] a Rostock XX.07.02
