Übung 07: Strahlungsdruck, Potentiale

Elektromagnetische Felder & Wellen
Frühjahrssemester 2016
Photonics Laboratory, ETH Zürich
www.photonics.ethz.ch
Übung 7
Abgabe: 29.04. bzw. 03.05.2016
Strahlungsdruck, Potentiale
1
Der Brewsterwinkel (15 Pkt.)
Als Nachtrag zu den Fresnel’schen Reflexions- und Transmissionskoeffizienten beschäftigen wir
uns in dieser Aufgabe mit einigen ihrer Eigenschaften und den daraus resultierenden Anwendungsmöglichkeiten. Praktisch sämtliche Materialien, die in der Natur vorkommen, sind im optischen
Frequenzspektrum kaum magnetisierbar, so dass gilt µ = 1. Wir verwenden diesen Umstand
während der gesamten Aufgabe.
(a) (4 Pkt.) Zeigen Sie, dass für p-polarisiertes Licht beim Übergang von einem Medium mit
Brechungsindex n1 zu einem Medium mit Brechungsindex n2 ein Einfallswinkel θ1 = θB =
arctan (n2 /n1 ) existiert, unter dem keinerlei Intensität an der Grenzfläche reflektiert wird, so
dass sämtliche Intensität in das Material mit Brechungsindex n2 hineingebrochen wird.
(b) (2 Pkt.) Man nennt den Winkel θB den Brewsterwinkel. Der Brewsterwinkel wird ausgenutzt,
um Laserstrahlen verlustfrei durch Glasfenster (beispielsweise von Einhausungen oder Vakuumkammern) zu führen. Unter welchem Winkel muss ein Glasfenster geschliffen sein, d.h.
unter welchem Winkel müssen die beiden Oberflächen zueinander stehen, damit ein unter
dem Brewsterwinkel für eine Luft-Glas-Oberfläche in das Fenster eintretender Laserstrahl
unter dem Brewsterwinkel für eine Glas-Luft-Oberfläche wiederum reflexionsfrei aus dem
Fenster austritt?
(c) (5 Pkt.) Erstellen Sie (unter Verwendung eines geeigneten Computerprogrammes) einen
2
Graphen für den Intensitätsreflexionskoeffizienten Rs/p (θ) = rs/p (θ) für s- sowie für ppolarisiertes Licht an einer Grenzfläche zwischen Luft n1 = 1 und Wasser n2 = 1.4. Markieren
Sie den Brewsterwinkel, und beschriften Sie Ihre Achsen aussagekräftig und mit Einheiten.
(d) Polarisierende Sonnenbrillen reduzieren die blendende Wirkung von an Wasseroberflächen
oder nassen Fahrbahnen reflektiertem Sonnenlicht. Die Gläser solcher Brillen sind mit einem
linearen Polarisationsfilter versehen. Verwenden Sie Ihren Graphen aus der vorhergehenden
Aufgabe, um folgende Fragen zu beantworten.
(a) (2 Pkt.) Sie fahren der Sonne auf regennasser Fahrbahn entgegen. Warum werden Sie
durch Reflexionen an der Fahrbahn umso stärker geblendet, je tiefer die Sonne steht?
1
(b) (2 Pkt.) Unter welchem Winkel sollten die Polarisationsfilter auf Ihrer Sonnenbrille relativ
zur Erdoberflächennormalen angebracht sein, um Blendung zu minimieren? Der Winkel
gebe die Polarisationsrichtung an, die von dem Filter transmittiert wird.
2
2
Die Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Draht (35 Pkt.)
Elektromagnetische Strahlung übt Kräfte aus. In der Vorlesung haben wir diesen Umstand für zeitabhängige elektromagnetische Felder hergeleitet. Selbstverständlich gilt unsere Theorie auch im Limit
verschwindender Frequenzen, also für elektrostatische Probleme. Um uns mit dem Formalismus des
Maxwell’schen Spannungstensors vertraut zu machen, betrachten wir in dieser Aufgabe die Kraft,
die ein stromdurchflossener Draht in einem homogenen Magnetfeld verspürt. Wir betrachten einen
Draht entlang der z-Achse, in dem ein Strom I in positive z-Richtung fliesse. Der Draht befinde sich
in einem homogenen Magnetfeld mit Stärke H0 , das entlang der y-Richtung zeige.
H0
y
I
z
x
(a) (5 Pkt.) Berechnen Sie mithilfe einer Maxwell’schen Rotationsgleichung das Magnetfeld
Hind (r), das durch den Strom generiert wird.
(b) (4 Pkt.) Formulieren Sie das totale Magnetfeld H(r, φ) unter Verwendung kartesischer Einheitsvektoren als Summe des durch den Strom generierten Feldes und des externen Feldes.
Hinweis: Es gilt für den Einheitsvektor nφ = − sin φnx + cos φny .
(c) (10 Pkt.) Berechnen Sie den Maxwell’schen Spannungstensor für das vorliegende Problem.
(d) (12 Pkt.) Berechnen Sie die Kraft pro Einheitslänge, die auf den Draht wirkt. Integrieren Sie
dazu den Maxwell’schen Spannungstensor über die Oberfläche eines Zylinders mit Radius r
um den Draht.
(e) (4 Pkt.) Berechnen Sie nun die Lorentzkraft
F = q(E + v × B).
(1)
auf den stromdurchflossenen Draht und bestätigen Sie Ihr Ergebnis aus der vorherigen
Teilaufgabe.
3
3
Elektromagnetische Welle im Medium (50 Pkt.)
In der Vorlesung haben wir gefunden, dass zeitharmonische Felder in homogenen Medien ebenso
wie im Vakuum als Superposition ebener Wellen geschrieben werden können, es ist lediglich die
Dispersionsrelation durch den Brechungsindex n zu korrigieren. Dieser Umstand beruht auf der Tatsache, dass ein elektromagnetisches Feld in einem homogenen Medium eine Polarisation erzeugt,
die wiederum elektromagnetische Felder abstrahlt. In dieser Aufgabe leiten wir die Dispersionsrelation im Medium (exemplarisch im Fall µ = 1) erneut her, indem wir explizit die Felder betrachten, die
durch die zeitharmonische Polarisierung eines Mediums generiert werden.
Wir beginnen mit den mikroskopischen Maxwell-Gleichungen, die lauten
∇ · E = ρtot /ε0 ,
(2)
∇ · B = 0,
(3)
∂
B,
∂t
1 ∂
∇ × B = 2 E + µ0 jtot .
c ∂t
∇×E=−
(4)
(5)
Ausserdem verwenden wir das skalare Potential φ und das Vektorpotential A, aus denen sich die
Felder berechnen lassen, wie in der Vorlesung behandelt.
(a) (6 Pkt.) Verwenden Sie die Lorenzeichung, die Sie in der Vorlesung kennengelernt haben, um
die folgenden Wellengleichungen für die Potentiale herzuleiten
1 ∂ 2 AL
= −µ0 jtot ,
c2 ∂t2
1 ∂ 2 φL
= −ρtot /ε0 .
∇2 φL − 2
c ∂t2
∇2 AL −
(6)
(7)
(b) (5 Pkt.) Wir führen nun den elektrischen Hertz-Vektor π e und den magnetischen Hertz-Vektor
π m ein, die wir über folgende Gleichungen definieren
φL = −∇ · π e ,
1 ∂ πe
AL = 2
+ ∇ × πm.
c ∂t
(8)
(9)
Wir betrachten im Folgenden ein System ohne freie Ladungen (es existieren also lediglich
Polarisationsladungen) und ohne freie Ströme und Leitungsströme (es existieren also lediglich
Polarisationsströme und Magnetisierungsströme). Zeigen Sie, dass im betrachteten System
die Hertz’schen Vektoren π m und π e die inhomogenen Wellengleichungen erfüllen
1 ∂ 2πe
1
= − P,
c2 ∂t2
ε0
1 ∂ 2πm
∇2 π m − 2
= −µ0 M.
c ∂t2
∇2 π e −
4
(10)
(11)
(c) (5 Pkt.) Zeigen Sie, dass sich die Felder aus den Hertz’schen Vektoren und den Quellen
berechnen nach
∂ πm
P
− ,
∂t
ε0
1 ∂ πe
B = ∇ × ∇ × πm + ∇ × 2
.
c ∂t
E = ∇ × ∇ × πe − ∇ ×
(12)
(13)
(d) (2 Pkt.) Wir können für zeitharmonische Felder zu komplexen Hertz’schen Vektoren übergehen,
so dass gilt π(r, t) = Re π(r)e−iωt . Zeigen Sie, dass die komplexen Hertz’schen Vektoren
die inhomogenen Helmholtzgleichungen erfüllen
1
P,
ε0
= −µ0 M,
∇2 π e + k02 π e = −
∇2 π m + k02 π m
(14)
(15)
mit der Wellenzahl im Vakuum k0 .
(e) (4 Pkt.) Für die zeitharmonischen Hertz’schen Vektoren gilt also die inhomogene Helmholtzgleichung mit der Vakuumwellenzahl k0 . Sie kennen die Green’sche Funktion G0 (r, r0 ) der
Helmholtzgleichung aus der Vorlesung. Wir beschränken uns für den Rest dieser Aufgabe
auf ein Medium, das keinerlei Magnetisierung zeigt, so dass wir im Folgenden lediglich den
elektrischen Hertz’schen Vektor zu betrachten haben. Zeigen Sie, dass für den elektrischen
Hertz’schen Vektor gilt
Z
0
eik0 |r−r |
1
dV 0
P(r0 ).
(16)
π e (r) =
4πε0
|r − r0 |
(f) (8 Pkt.) Wir nehmen nun eine Polarisation in der Form einer in positive z-Richtung propagierenden ebenen Welle bei Frequenz ω an. Die räumliche Periodizität der Polarisation sei
bestimmt durch ihre (bislang unbekannte) Wellenzahl k, so dass gilt P(r) = P0 eikz . Ausserdem sei die Polarisation transversal, so dass der Polarisationsvektor P0 senkrecht auf der
Ausbreitungsrichtung steht. Unser Ziel im Folgenden ist, die Wellenzahl k in Abhängigkeit von
der Frequenz ω (bzw. der Vakuumwellenzahl k0 ) zu bestimmen.
p
Verwenden Sie die Substitution R = |r − r0 | = ρ2 + (z − z 0 )2 um folgenden Ausdruck für den
Hertz’schen Vektor herzuleiten
Z
Z
P0 eikz ∞ 0 ik(z 0 −z) ∞
π e (r) =
dz e
dR eik0 R .
(17)
2ε0
0
−∞
|z−z |
(g) (2 Pkt.) Berechnen Sie das letzte Integral in Gl. (17), indem Sie folgenden Grenzwert betrachten
Z ∞
lim
dR eik0 R e−λR .
(18)
λ→0 |z−z 0 |
Hinweis: Diese Vorgehensweise ist mathematisch nicht völlig einwandfrei, führt aber in
unserem Falle zuverlässig zum Ziel.
(h) (10 Pkt.) Zeigen Sie, dass der elektrische Hertz’sche Vektor lautet
π e (r) =
5
P0 eikz
.
ε0 (k 2 − k02 )
(19)
Hinweis: Spalten Sie das zu berechnende Integral geeignet auf, um den Betrag im Integranden
loszuwerden. Wenden Sie weiterhin den Grenzwert aus Teilaufgabe (g) an.
(i) (4 Pkt.) Berechnen Sie das elektrische Feld E(r) aus dem Hertz’schen Vektor.
Hinweis: Zeigen Sie, dass der Hertz’sche Vektor π e divergenzfrei ist und verwenden Sie
diese Tatsache zusammen mit der inhomogenen Helmholtzgleichung, um Ihre Rechnung zu
vereinfachen.
(j) (4 Pkt.) Nehmen Sie an, dass ein linearer Zusammenhang zwischen der Polarisation und dem
elektrischen Feld besteht von der Form P = ε0 χE. Zeigen Sie, dass damit für die Wellenzahl
im Medium k gilt
k 2 = (1 + χ)k02 .
(20)
Welcher Zusammenhang besteht folglich zwischen dem Brechungsindex n eines nicht magnetisierbaren Mediums und seiner Suszeptibilität χ?
6