Vorlesungsblatt 6, Fermi Flächen, Metalle - E16

Prof. Dr. F. Koch
Dr. H. E. Porteanu
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SS 2004
HÖHERE PHYSIK – SKRIPTUM
VORLESUNGBLATT VI – 04.06.04
Festkörperphysik IX – Fermi Flächen, Metalle
Ähnlich wie die Energiebänder wird auch die Fermi Kugel (Fläche konstanter Energie) in Teile aufgebrochen und kommt in verschiednen Brillouin Zonen zu liegen. Wo die Kugelfläche eine BZ
Grenze schneidet, gibt es eine Aufspaltung. Beispielhaft ist dies in der Figur 2D und für quadratisches Gitter aufgeführt. Die Teile lasen sich wieder in der ersten BZ zusammentragen.
Alle Transporteffekte sind von der Art und Größe der Fermi-Flächen Teile abhängig. Auch die Be
wegung im Magnetfeld kann man aus der Kenntnis der Fermi-Fläche ableiten. Im Feld B gilt
k = ev × B
Ein Elektron ändert k senkrecht zu B und v . Die elektrische Bahn verläuft auf der Fermi-Fläche
bei konstanter Energie und folgt den Segmenten in einer BZ. Dabei kommt es zum Umlaufsinn für
positive und negative Ladungen. Man spricht von Löcher- und Elektronenbahnen. Daneben gibt es
auch offene Bahnen.
1
Die Bahn im k-Raum ist um 90° gedreht relativ zum Ortsraum und skaliert um den Faktor
s=
eB
„Tight Binding“ Beschreibung der Bandstruktur/Kohäsion
Die einfachste Art die metallische Bindung zu verstehen lässt sich aus dem „tight binding“ Modell
ableiten. Das freie Atom hat scharfe Energieniveaus (s. Bohr Modell). Diese spalten auf in Bänder,
wenn die Atome im Festkörper zusammengebracht werden. Symbolisch ist dies in der Figur eingezeichnet. Wenn, wie im metallischen fall, das Band halb gefüllt ist, liegt die mittlere Energie deutlich unter dem Wert, der für das freie Atom gilt. Diese Energieabsenkung als Funktion des Abstands
stellt eine Kraft dar, die metallische Atome zusammenbringt.
Experimente zur Fermi-Flächen Untersuchung
Wichtigstes Mittel zur Bestimmung der Form und Größe der Fermi-Flächen ist die Bewegung im
Magnetfeld. Da die Zyklotron Bahn periodisch in der Zeit ist, ist sie auch quantisiert. Am einfachsten lässt sich das zeigen durch die harmonische Oszillator Formel, die die erlaubten Energiewerte
gibt
2
 1
ε l =  l + ωc
 2
Da die kinetische Energie mit k2, also Fläche im k-Raum verknüpft ist, folgt dass die Flächen der
Magnetfeldbahnen quantisiert sein müssen.
 1  2πe
S1 =  l + 
B
 2 Die quantisierten Bahnen der Elektronen durchlaufen mit steigendem Magnetfeld die Fermi-Fläche.
Es entsteht eine mit
1
periodische Variation von Zuständen bei der Fermi Energie. Als Folge davon
B
oszillieren die elektrische Leitfähigkeit, das Magnetmoment der Elektronen, die spez. Wärme etc.
Die Periode ist
∆
1 2πe 1
=
B
SF
wobei SF die maximale Querschnittsfläche der Fermi-Fläche ist. Kennt man die Querschnitte für alle
Richtungen de Magnetfelde so kann man die Fermi-Flächen in 3D rekonstruieren.
Mit der Messung der Zyklotronfrequenz bestimmt man die Umlaufzeit und damit die effektive Masse m*,
ωc =
eB
m*
Die beiliegende Figur soll den oszillatorischen Magnetfeld-Effekt erläutern. Zyklotron Resonanz ist
die resonante Anregung von den quantisierten Niveaus.
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