Kapitel 7 Graduierte Konsequenzrelationen

Kapitel 7
Graduierte Konsequenzrelationen
16. Juni 2005
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Zusammenfassung
I
Kapitel 7: Stratifizierte Operatoren,
- Erweiterungen zweiwertiger Operatoren
- von Fuzzy- zu zweiwertigen Operatoren,
Unsicherheitsmaße
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Plan für heute
I
Kapitel 7: Stratifizierte Operatoren,
- stratifizierte Operatoren sind nicht
wahrheitsfunktional,
- graduierte Konsequenzrelationen
I
Kapitel 8: Probabilistische und Possibilistische Fuzzy-Logik
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Beispiel
- gegeben: Σ = {(ϕi /ai )} mit ϕ ∈ FL , ai ∈ [0, 1],
- Bewertung der Aussagen erfolgt nach ihrer
Zuverlässigkeit,
- Was ist ableitbar aus Σ und zu welchem Grad?
- Σi = {ϕj | (ϕj , aj ) ∈ Σ, aj ≥ ai } für jedes i ∈ [0, 1],
- Zuverlässigkeitsgrad von ψ ∈ Cn(Σi ) ist mind. ai ,
- intuitive Begründung: eine Aussage ist so zuverlässig,
wie die schwächste ihrer Begründungen.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Kanonische Extensionen
Definition
D : P(FL ) → P(FL ). Für u ∈ F(FL ), ϕ ∈ FL ist die kanonische
Erweiterung D∗ von D definiert durch:
D∗ (u)(ϕ) = sup{a ∈ [0, 1] | ϕ ∈ D(C (u, a)), wobei bzw.
G
D∗ (u) =
{a ∧ D(C (u, a))}.
a∈[0,1]
Satz
1. D∗ : F(FL ) → F(FL ) ist eine Erweiterung von D.
2. D∗ : F(FL ) → F(FL ) ist ein Abschlußoperator, genau dann
wenn D ein Abschlußoperator ist.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Andere Erweiterungen
Beispiel 1: Sei C [0, 1] ein Abschlußsystem, mit 0, 1, a ∈ C. Sei
Co(C) der zugehörige Operator mit:
[Co(C)](u)(ϕ) = inf{a ∈ C | a ≥ u(ϕ)}.
-Co(C) ist nicht die identische Abbildung
-Co(C) eingeschränkt auf P(FL ) ist die identische Abbildung -also
ist Co(C) nicht durch kanonische Erweiterung entstanden.
Beispiel 2: Sei J(u)(ϕ) = u(ϕ) ∨ a für ein beliebiges a ∈ [0, 1],
J(u) ist keine Erweiterung eines zweiwertigen Operators.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Charakterisierung kanonischer Erweiterungen
Satz
Sei (F(FL ), D∗ ) eine Erweiterung eines zweiwertigen
Deduktionssystems, d.h. D∗ (χX )(ϕ) ∈ {0, 1} für jedes X ⊆ FL . Sei
D die Einschränkung von D∗ auf P(FL ). Dann sind die folgenden
Aussagen äquivalent:
1. (F(F ), D∗ ) ist die kanonische Erweiterung eines zweiwertigen
Deduktionssystems,
S
2. O(D∗ (u), a) = b>a {D(C (u, b)} für alle a ∈ [0, 1],
T
3. C (D∗ (u), a) = b>a {D(O(u, b)} für alle a ∈ [0, 1].
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Charakterisierung kanonischer Erweiterungen II
Satz
(F(F ), D∗ ) ist die kanonische Erweiterung eines Systems
(P(FL ), D) genau dann, wenn:
1. jeder abgeschlossene a-Schnitt einer D∗ -Theorie eine
D-Theorie ist,
2. für jede D-Theorie τ und jedes a ∈ [0, 1] gilt τ ∨ a ist eine
D∗ -Theorie.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Schichtweises Ableiten
I
I
I
I
I
kanonische Erweiterung erlaubt Verarbeitung von
Fuzzy-Information, d.h. Information die stratifiziert oder in
Gültigkeitsniveaus geschichtet ist,
stratifizierter Deduktionsapparat kann aber auch auf scharfe“
”
Information angewendet werden: es gibt verschiedene scharfe
Deduktionsoperatoren, je nach Grad der Gültigkeit,
für jedes a ∈ [0, 1] wird ein scharfer Deduktionsoperator Da
definiert,
Da (X ) ist die Menge der Formeln, die man aus X ableiten
kann mit Hilfe von Argumenten, die zum Grad a plausibel
sind,
es kann sowohl die verfügbare Information als auch der
Deduktionsoperator stratifiziert sein, in diesem Fall:
D(u)(ϕ) = sup{a ∈ [0, 1] | ϕ ∈ Da (C (u, a)).}
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Stratifizierte Operatoren
Definition
1. Sei {Da }a∈[0,1] eine Familie von zweiwertigen Operatoren. Sei
für u ∈ F(FL ) und ϕ ∈ FL :
D(u)(ϕ) = sup{a ∈ [0, 1] | ϕ ∈ Da (C (u, a)).}
D heißt der zur Familie {Da }a∈[0,1] gehörende Fuzzy-Operator.
2. Die Familie {Da }a∈[0,1] heißt Kette, wenn für jedes X ⊆ FL
die Menge {Da (X )}a∈[0,1] eine Kette ist, d.h.
(i) D0 (X ) = X ,
(ii) {Da }a∈[0,1] ist ordnungsumkehrend.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Stetige Ketten
Für welche Familien {Da }a∈[0,1] ist D ein Abschlußoperator ?
Satz
Sei {Da }a∈[0,1] eine Familie von Abschlußoperatoren, dann ist D
ein Fast-Abschlußoperator. Wenn die Familie {Da }a∈[0,1] eine
stetige Kette ist, dann ist D ein Fuzzy-Abschlußoperator.
{Da }a∈[0,1] heißt stetige Kette, wenn {Da }a∈[0,1] eine Kette ist und
für alle X ⊆ FL , b ∈ [0, 1] gilt:
\
Db (X ) =
{Da (X )}
a<b
.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Erzeugung stetiger Ketten
Definition
Sei {Da }a∈[0,1] eine Familie von Abschlußoperatoren auf P(FL ),
dann heißt der von D erzeugte Fuzzy-Abschlußoperator D
stratifizierter Fuzzy-Abschlußoperator. Falls {Da }a∈[0,1] eine stetige
Kette ist, und daher D = D, dann heißt D wohl-stratifiziert.
Satz
1. Sei {Da }a∈[0,1] eine Kette, dann ist {D0a }a∈[0,1] mit
\
D0a (X ) =
Db (X )
b<a
für jedes X ⊆ FL und jedes a ∈ [0, 1], eine stetige Kette.
2. Der zu {Da }a∈[0,1] gehörende Fuzzy-Abschlußoperator D
stimmt mit D0 überein.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Kanonische Erweiterungen als stratifizierte Operatoren
Satz
Sei J ein Abschlußoperator auf P(FL ), sei {Da }a∈[0,1] die Familie
von Abschlußoperatoren mit Da = J für alle a. Dann ist
1. die Familie {Da }a∈[0,1] eine stetige Kette,
2. die kanonische Extension von J stimmt mit dem zu
{Da }a∈[0,1] gehörenden Fuzzy-Abschlußoperator D überein.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Beispiel
Definition
Eine Fuzzy-Relation Imp : FL × FL → [0, 1] heißt
Fuzzy-Implikation, wenn für alle ϕ, ψ, ϑ ∈ FL gilt:
1. Imp(ϕ, ϕ) = 1
2. Imp(ϕ, ψ) ∧ Imp(ψ, ϑ) ≤ Im(ϕ, ϑ)
(Reflexivität)
(Transitivität)
J : F(FL ) → F(FL ) wird definiert durch:
J(u)(ϕ) = sup{u(ψ) ∧ Imp(ψ, ϕ) | ψ ∈ FL }.
Ja (X ) = {ϕ ∈ FL | ∃ψ ∈ X mit Imp(ψ, ϕ) ≥ a}
J ist wohlstratifiziert, aber falls Imp keine scharfe Relation ist, dann
ist J keine kanonische Erweiterung eines zweiwertigen Operators.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Zerlegung von Fuzzy-Operatoren
Läßt sich jeder Fuzzy-Abschlußoperator als stratifizierten Operator
betrachten?
Definition
Sei D ein Fuzzy-Deduktionsoperator. Wir definieren {Da }a∈[0,1]
durch:
Da (X ) := C (D(a ∧ X ), a)
für jede Menge X ∈ FL . Der zu {Da }a∈[0,1] gehörende
Fuzzy-Operator D∗ heißt stratifizierter Operator zu D.
Die Bezeichnung D∗ ist korrekt.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Zerlegung von Fuzzy-Operatoren
Satz
Sei J ein klassischer Abschlußoperator, JT mit JT (u) = χJ(supp(u))
dessen triviale Erweiterung und J der zu {JT
a }a∈[0,1] gehörende
stratifizierte Operator. Dann gilt für alle u ∈ FL :
J(u) = J∗ (u).
Beweis:
J(u)(ϕ) = sup{a ∈ [0, 1] | ϕ ∈ JT
a (C (u, a)).}(nach Definition)
J∗ (u)(ϕ) = sup{a ∈ [0, 1] | ϕ ∈ J(C (u, a))}
= sup{a ∈ [0, 1] | ϕ ∈ J(supp(a ∧ C (u, a), a))}
= sup{a ∈ [0, 1] | JT (a ∧ C (u, a))(ϕ) ≥ a}
J ist kanonischen Extension von J, daher Abschlußoperator.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Mehrwertige wahrheitsfunktionale Logik
Sei M wahrheitsfunktional, für X ⊆ FL , a ∈ [0, 1], ϕ, ψ ∈ FL , :
- m |=a ϕ wenn m(ϕ) ≥ a,
- m |=a X wenn m(ϕ) ≥ a für alle ϕ ∈ X ,
- X |=a ϕ wenn m |=a ϕ für jedes m |=a X .
zu jedem Grad a ∈ [0, 1] wird ein zweiwertiger scharfen Operator
festgelegt:
Lca (X ) = {ϕ ∈ FL | X |=a ϕ.
Definition
Sei M eine wahrheitsfunktionale Semantik, dann heißt der zur
Familie {Lca }a∈[0,1] gehörende Operator Lc mit
Lc(u)(ϕ) = sup{a ∈ [0, 1] | ϕ ∈ Lca (C (u, a)).}
der zu M gehörende stratifizierte Fuzzy-Deduktionsoperator.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Fuzzy-Logik ist keine mehrwertige Logik
Satz
Sei M eine wahrheitsfunktionale Semantik mit dem induzierten
logischen Konsequenzoperator JM und Lc der zu M gehörende
stratifizierte Fuzzy-Deduktionsoperator. Dann ist JM 6= Lc.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Konsequenzrelation
I
Sequenz ist ein Element der Menge SEQ = P(FL ) × FL ,
I
Konklusionsrelation ist eine Menge von Sequenzen, d.h. eine
binäre Relation ` auf P(FL ) × FL ,
I
Schreibweise: X ` ϕ anstelle von (X , ϕ) ∈`
Für eine Menge Z schreiben wir X ` Z wenn X ` φ für alle
φ ∈ Z.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Konsequenzrelation
Definition
Eine Konklusionsrelation ` heißt Konsequenzrelation, wenn
(i) X ` ϕ wenn ϕ ∈ X ,
(ii) X ` ϕ impliziert X ∪ Y ` ϕ,
(iii) X ` Z und X ∪ Z ` ϕ impliziert X ` ϕ,
Dabei sind ϕ ∈ FL , X , Y , Z ⊆ FL .
Unsicherheitsmaße
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Konklusionsrelationen und Abschlußoperatoren
Zu jeder Konklusionsrelation ` läßt sich ein Operator
J` : P(FL ) → P(FL ) definieren durch
J` (X ) = {ϕ ∈ FL | X ` ϕ}
Jeder Operator J : P(FL ) → P(FL ) erzeugt eine
Konklusionsrelation durch
X `J ϕ gdw. ϕ ∈ J` (X ).
Satz
Sei ` eine Konklusionsrelation, dann ist ` eine Konsequenzrelation
genau dann, wenn J` ein Abschlußoperator ist.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Graduierte Konsequenzrelationen
I
der Begriff einer graduierten Konsequenzrelation wurde
erstmals 1988 von Chakraborty eingeführt,
I
eine graduierte Konklusionsrelation ist eine Fuzzy-Menge von
Sequenzen, d.h. eine Fuzzy-Relation g : SEQ → [0, 1]
I
Schreibweise: g (X ` ϕ) anstelle von g (X , ϕ)
g (X ` Z ) = inf{g (X ` ψ) | ψ ∈ Z }
für Formelmengen Z .
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Graduierte Konsequenzrelationen
Definition
Eine graduierte Konklusionsrelation g heißt graduierte
Konsequenzrelation, wenn für alle X , Y , Z ∈ P(FL ) und ϕ ∈ FL gilt
(i) g (X ` ϕ) = 1 wenn ϕ ∈ X ,
(ii) g ((X ∪ Y ) ` ϕ) ≥ g (X ` ϕ),
(iii) g (X ` Z ) ∧∧g ((X ∪ Z ) ` ϕ) ≤ g (X ` ϕ).
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Kanonische Extension von scharfen Konsequenzrelationen
Satz
Die folgenden beiden Aussagen sind äquivalent:
1. g : SEQ → [0, 1] ist eine graduierte Konsequenzrelation,
2. jeder Schnitt C (g , a) ist eine Konsequenzrelation.
Beweis:
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
keine Isomorphie zwischen Abschlußoperatoren und
Konsequenzrelationen
Satz
Sei J ein Fuzzy-Deduktionsoperator.
Sei g mit g (X ` ϕ) = J(X )(ϕ) eine graduierte
Konklusionsrelation. Dann erfüllt g die Bedingungen (i) und (ii)
der Definition, aber nicht notwendig (iii).
Beweis:
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Wohl-stratifizierte Deduktionssysteme
Satz
Eine graduierte Konklusionsrelation g ist eine graduierte
Konsequenzrelation, genau dann wenn ein wohl-stratifiziertes
Deduktionssystem (F(FL ), D) existiert, so daß
g (X ` ϕ) = D(χX )(ϕ)
für jedes X ∈ P(FL ) und ϕ ∈ FL .
Beweis:
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Kapitel 8
Possibilistische und Probabilistische Logik
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Verallgemeinerte Necessity-Logik
I
kanonische Erweiterung des klassischen Konsequenzoperators
Cn führt zur Verallgemeinerten Necessity-Logik,
I
Diese Logik ist eng verbunden mit der in den Arbeiten von
Dubois und Prade eingeführten Possibilistische Logik.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Verallgemeinerte Necessity-Logik
Definition
FL sei die Menge der Formeln der klassischen Aussagenlogik.
SN = (LAXN , RN ) ist gegeben durch
I
LAX = χAX - die charakteristische Funktion der Tautologien
von Cn,
I
RN = {rMP } eine verallgemeinerte
Modus-Ponens-Ableitungsregel, wobei rMP = (r 0 , r 00 ) mit:
ϕ, ϕ → ψ
;
ψ
a, b
min{a, b}
Der zu SN gehörende Fuzzy-Deduktionsoperator wird mit DN
bezeichnet.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Eigenschaften von DN -Theorien
Satz
1. τ (ϕ) = 1 für alle klassischen Tautologien,
2. τ (ψ) ≥ τ (ϕ) ∧ τ (ϕ → ψ).
Satz
Eine Fuzzy-Menge τ von Formeln ist eine DN -Theorie, wenn für
alle ϕ, ψ ∈ FL gilt:
1. τ (ϕ) = 1 für alle ϕ ∈ FL , mit ϕ ∈ Cn(∅),
2. Falls ϕ und ψ logisch äquivalent sind, dann gilt τ (ϕ) = τ (ψ),
3. τ (ψ) = τ (ϕ) ∧ τ (ϕ → ψ).
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Semantik für DN
Definition
MN = {a ∨ m | a ∈ (0, 1], m = bel ∗ , für ein bel : VAR → [0, 1]}.
Satz
Die Menge MN ist eine abstrakte Fuzzy-Semantik, mit
JMN ≡ DN .
Definition
Das Tripel (F(FL ), DN , MN ) heißt verallgemeinerte
Necessity-Logik.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Eigenschaften der Verallgemeinerten Necessity-Logik
Satz
In der Necessity-Logik gibt es nicht immer optimale Beweise. Sei u
eine Fuzzy-Menge und DN (u) ihr logischer Abschluß in der
Necessity-Logik. Sei DN (u)(ϕ) = a dann gibt es für nicht
notwendig einen Beweis π für ϕ in SN mit val(π, u) = a.
Beweis:
Sei u eine Fuzzy-Menge mit u(xi → x1 ) = 1 für alle xi ∈ VAR und
u(xi ) = 1 − 1/i. Dann ist DN (p1 ) = 1 aber für alle Beweise gilt
Val(π, u) < 1.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Necessitätsmaße
I
verallgemeinerte Necessity-Logik“ leitet sich ab vom Begriff
”
des verallgemeinerten Necessitätsmaßes nach Gerla/Biacino,
I
B– Boole’sche Algebra, n : B → [0, 1] mit n(1) = 1 und
n(x ∧ y ) = n(x) ∧∧n(y ) heißt verallgemeinertes Necessitätsmaß
I
Necessitätsmaße mit der zusätzlichen Eigenschaft, daß
n(0) = 0 im nächsten Abschnitt.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Charakterisierung von Cn∗ -Theorien
Satz
Eine Fuzzy-Menge u ist ein Cn∗ -Theorie, falls
1. eine Boole’sche Algebra B,
2. ein Modell m der Formeln und
3. ein verallgemeinertes Necessity-Maß n : B → [0, 1] existiert, so
daß τ = n ◦ m.
Beweis:
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Possibilistisches Schließen
I
eingeführt von Dubois und Prade,
I
Grade für die Möglichkeit des Wahrseins
I
Möglichkeitsgrad einer Formel ist dual zu ihrem
Notwendigkeitsgrad:
falls ϕ mindestens zum Grad a notwendig ist, dann ist ¬ϕ
höchstens zum Grad 1 − a möglich.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Ansatz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P), mit:
I
Ω: Grundmenge der Elementarereignisse,
I
Σ: σ-Algebra der zu bewertenden Ereignisse,
I
P: Wahrscheinlichkeitsmaß.
Beschreibung von Zufallsexperimenten, deren mögliche Ausgänge
in Σ liegen.
Für ein Ereignis A ∈ Σ gibt P(A) die Wahrscheinlichkeit dafür an,
daß der Ausgang des Experimentes in A liegt.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Possibilitätsverteilung
Idee: auf einer Grundmenge Ω sei eine Verteilung der
Möglichkeiten gegeben.
Definition
Eine Possibilitätsverteilung π über Ω ist eine Funktion
π : Ω → [0, 1], für die mindestens ein ω ∈ Ω existiert, so daß
π(ω) = 1 (Normalisiertheit).
POSS(Ω) – Menge aller Possibilitätsverteilungen über Ω.
Unsicherheitsmaße
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Possibilitätsverteilung
I
Bei gegebener Possibilitätsverteilung fragen wir nach der
Möglichkeit, daß für einen bestimmten Objektzustand ω gilt:
ω ∈ Σ.
I
Semantik von Probabilistischen und Possibilistischen
Verteilungen ist verschieden:
großer Unterschied zwischen der Möglichkeit z.B. jeden
Morgen schwimmen zu gehen und der Wahrscheinlichkeit
dafür.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Possibilitätsmaße
Definition
Sei π0 ∈ POSS(Ω) eine Possibilitätsverteilung, dann ist
POSSπ : P(Ω) → [0, 1], mit
POSSπ (A) := sup{π(ω) | ω ∈ A}
heißt Possibilitätsmaß von π.
NECπ : P(Ω) → [0, 1], mit
NECπ (A) := inf{1 − π(ω) | ω ∈ Ω \ A}
heißt Notwendigkeitsmaß von π.
Ein hoher Grad POSSπ0 (A) ist nicht ausreichend, um sicher
feststellen zu können, daß ω0 tatsächlich zu A gehört.
Unsicherheitsmaße
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Beispiel
π0 ≡ uwolkig
Possibilitätsverteilung für den Bedeckungsgrad
am 15.06.2005 in Potsdam.
Ω = [1, 100] Grundbereich.
1
25
50
75
100
uwolkig
Prozent
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Beispiel
wähle A = [65, 70]
POSSπ0 (A) = 1 und NECπ0 (A) = 0
ein Bedeckungsgrad zwischen 65 und 70 Prozent wird als
uneingeschränkt möglich angesehen, aber nicht als sicher.
Unsicherheitsmaße
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Wahrscheinlichkeit und Möglichkeit
I
die Möglichkeit eines Ereignisses folgt aus seiner (positiven)
Wahrscheinlichkeit,
I
Wahrscheinlichkeitstheorie und Possibilitätstheorie modellieren
das Phänomen der Unsicherheit auf verschiedene Weise,
R
π0 ist keine Dichtefunktion, das Integral [0,100] π0 (ω)dω = 35
ist verschieden von 1.
1
Auch nach Normalisierung mit π00 ≡ 35
π0 ergibt das von π00
induzierte Wahrscheinlichkeitsmaß P den Wert
P(A) = 71 6= POSSπ0 (A)
I
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Eigenschaften von Possibilitäts- und Necessity-Maßen
Satz
Für alle π ∈ POSS(Ω) und alle A, B ⊆ Ω gilt:
1. Possπ (∅) = Necπ (∅) = 0,
2. Possπ (Ω) = Necπ (Ω) = 1,
S
3. Possπ (A B) = max{Possπ (A), Possπ (B)},
S
4. Necπ (A B) ≥ max{Necπ (A), Necπ (B)},
T
5. Possπ (A B) ≤ min{Possπ (A), Possπ (B)},
T
6. Necπ (A B) = min{Necπ (A), Necπ (B)},
7. Necπ (A) ≤ Possπ (A).
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Possibilistisches Schließen
I
u ∈ F(FL ) –Fuzzy-Menge von Formeln.
I
u(ϕ) ist untere Schranke für den Notwendigkeitsgrad von ϕ,
I
ein Notwendigkeitsmaß N erfüllt ϕ, wenn N(ϕ) ≥ u(ϕ),
I
jedes Paar (ϕ, u(ϕ)) ist ein Konstraint für die Menge der
Notwendigkeitsmaße,
I
Ω– Menge der klassischen aussagenlogischen Modelle,
I
π : Ω → [0, 1] Possibilitätsverteilung, π(ω)ist der Grad zu dem
ω möglicherweise die reale Welt ist.
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Induzierte Maße
Definition
Das von π induzierte Möglichkeitsmaß ist eine Funktion
Π : FL → [0, 1] ist definiert durch:
Ππ (ϕ) = sup{π(ω) | ω |= ϕ}.
Das von π induzierte Notwendigkeitsmaß ist eine Funktion
N : FL → [0, 1], die definiert ist durch:
Nπ (ϕ) = 1 − Π(¬ϕ) = inf{1 − π(ω) | ω |= ϕ}.
Unsicherheitsmaße
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Possibilistisches Schließen
Definition
1. Eine Possibilitätsverteilung π erfüllt das Paar (ϕ, a),
π |= (ϕ, a), falls Nπ (ϕ) ≥ a.
2. π erfüllt die Fuzzy-Menge u, falls für alle ϕ ∈ supp(u) gilt
π |= (ϕ, u(a)).
3. (ψ, b) ist eine logische Konsequenz von u, falls für alle π mit
π |= u gilt π |= (ψ, b). Schreibweise: u |= (ψ, b).
DP (u)(ϕ) := sup{a ∈ (0, 1], u |= (ϕ, a)}
Extensionsprinzip
Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Konsequenz
Necessity
Unsicherheitsmaße
Prinzip der minimalen Spezifität
I
für jedes u existiert eine größte Possibilitätsverteilung πu , mit
πu |= u,
I
(
min{1 − u(ϕi ) | ω |= ¬ϕi , ϕi ∈ supp(u)},
πu (ω) =
1
falls ω |= ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn .
falls supp(u) = {ϕ1 , . . . ϕn }
Satz
Eine Possibilitätsverteilung π erfüllt eine Fuzzy-Menge u genau
dann, wenn π v πu , d.h. für alle ω gilt πu (ω) ≤ π(ω).