Kontrolle Wechselstromwiderstände 19.9.2016 1. Ein ohmscher Widerstand, ein Kondensator und eine Spule mit Eisenkern sind in Reihe an einer Wechselstromquelle angeschlossen. Die Spannung an der Quelle und die Spannung über der Spule werden mit Drehspulmessgeräten gemessen. Wie groß kann die Spannung über der Spule werden? (1) a) Nie größer als Ug. b) Höchstens genau so groß wie Ug. c) Größer als Ug. 2. Interpretieren Sie die Gleichung für den kapazitiven Widerstand XC = 1 . (3) ω⋅ C 3. Eine Spule mit dem ohmschen Widerstand RSp und der Eigeninduktivität L, ein ohmscher Widerstand mit RO = 10 Ohm und ein Kondensator mit der Kapazität C werden in Reihe geschaltet und an einen Sinusgenerator der Spannung U(t) angeschlossen. Bei der Bestimmung des Gesamtwiderstandes Z in Abhängigkeit von der Frequenz f ergibt sich folgende Tabelle: f in Hz Z in Ohm 10 512 20 228 30 123 40 69 50 50 60 64 70 89 80 116 90 142 100 168 a) Stellen Sie die Messergebnisse in einem Z–f–Diagramm dar. (3) b) Begründen Sie den Kurvenverlauf für große und kleine Werte der Frequenz. (2) c) Begründen Sie mithilfe der Gleichung für den Scheinwiderstand dieser Schaltung das Auftreten des Minimums. (3) d) Geben Sie die Größe des ohmschen Widerstandes der Spule an. (1) e) Berechnen Sie die Kapazität C des Kondensators in µF, wenn die Induktivität der Spule 0,34 H groß ist. (3) f) Zeigen Sie ausführlich, dass die Berechnung der Kapazität wirklich die Einheit Farad ergibt. (2) Lösungen 1. c) Größer als Ug. In einem Wechselstromkreis treten zwischen den Strömen und den Spannungen Phasenverschiebungen auf, die bei einer Reihenschaltung an den einzelnen Bauteilen Spannung einstehen lassen könne, die höher als die Gesamtspannung sind. Das kann man zeigen: Frage: Kann das Verhältnis zwischen der Spannung über der Spule und der Gesamtspannung größer als 1 werden. UL > 1? Ug Die Spannung über der Spule ist UL = XL ⋅ I und die Gesamtspannung Ug = Z ⋅ I XL ist der Wechselstromwiderstand der Spule und Z ist der Scheinwiderstand der Reihenschaltung aus ohmschen Widerstand, Kondensator und Spule. Da der Strom an allen Stellen der Schaltung gleich ist, kann man schreiben: UL XL = Ug Z UL XL = Ug R 2 + X2 Der Scheinwiderstand Z berechnet sich aus dem ohmschen Widerstand R und dem Blindwiderstand X. Der Blindwiderstand ist X = XL − XC Damit wird das Spannungsverhältnis UL XL = 2 Ug R2 + ( X − X ) L C 2 UL XL2 = 2 2 Ug R + ( XL − XC ) Das Verhältnis der Spannungen ist größer 1, wenn 2 XL2 > R2 + ( XL − XC ) sein kann. Das ist durchaus möglich. Sind z.B. der induktive und der kapazitive Widerstand gleich groß, fällt die Klammer weg. (Resonanzfall) Das Quadrat des induktiven Widerstandes ist dann ohne weiteres größer als der ohmsche Widerstand. 2. In der Gleichung stecken zwei Größen, die veränderbar sind: die Frequenz f und die Kapazität C. Die Frequenz versteckt sich in der Kreisfrequenz: ω = 2 ⋅ π⋅ f Die Gleichung für den kapazitiven Widerstand sieht dann so aus: 1 XC = 2 ⋅ π⋅ f ⋅ C In der Interpretation lässt man nun eine der beiden veränderlichen Größen konstant und untersucht das Verhalten des Widerstandes, wenn man die andere Größe ändert. konstante Frequenz: 1 C Der kapazitive Widerstand ist umgekehrt proportional zur Kapazität des Kondensators. Das heißt, dass bei einer gleichbleibenden Frequenz ein Kondensator mit einer größeren Kapazität einen kleineren kapazitiven Widerstand hat. Erklärung: Bei einer größeren Kapazität müssen zum Auf- und Abladen mehr Ladungen transportiert werden als bei einer kleinen Kapazität. Das heißt aber, es fließt ein größerer Strom, was für die Spannungsquelle einen kleineren Widerstand darstellt. konstante Kapazität: 1 XC ~ f Der kapazitive Widerstand ist umgekehrt proportional zur Frequenz der Wechselspannung. Das heißt, dass bei einem Kondensator der kapazitive Widerstand mit steigender Frequenz immer kleiner wird. Erklärung: Bei Gleichstrom ist die Frequenz 0 Hz und der Widerstand des Kondensators unendlich groß. Er ist ja ein Isolator. Mit steigender Frequenz wird er immer öfter umgepolt. Dadurch fließen immer mehr Ladungen zum Kondensator hin und wieder weg, was einen steigenden Strom bedeutet. Für die Spannungsquelle stellt das einen immer kleiner werdenden Widerstand dar. XC ~ 3. a) 600 500 Z in Ohm 400 300 200 100 0 0 20 40 60 80 100 f in Hz b) Bei den tiefen Frequenzen hat der Kondensator einen sehr großen Widerstand und die Spule praktisch nur ihren ohmschen Widerstand (sehr klein). Der Gesamtwiderstand der Schaltung wird also durch den hohen kapazitiven Widerstand bestimmt. Bei den hohen Frequenzen lässt der Kondensator den Strom gut durch. Dafür hat nun die Spule einen großen induktiven Widerstand, so dass der Gesamtwiderstand der Schaltung wieder sehr groß ist. c) Der Scheinwiderstand der Schaltung berechnet sich mit Z = R2 + ( XL − XC ) 2 120 Zu dem ohmschen Widerstand wird der Blindwiderstand addiert. Sind der induktive Widerstand und der kapazitive Widerstand gleich groß, heben sie sich in der Differenz auf und der Wert für den Blindwiderstand ist 0. Damit wirkt nur noch der ohmsche Widerstand. d) Das Minimum des Scheinwiderstandes ist bei 50 Hz erreicht. Bei dieser Frequenz wird der Scheinwiderstand nur noch vom ohmschen Widerstand gebildet. Der setzt sich aber aus der Reihenschaltung des eingebauten ohmschen Widerstandes und dem ohmschen Widerstand der Spule zusammen. Da der Scheinwiderstand 50 Ohm und der eingebaute Widerstand 10 Ohm beträgt, muss der ohmsche Widerstand der Spule 40 Ohm groß sein. e). Bei der Frequenz von 50 Hertz, also dem Minimum des Scheinwiderstandes, sind kapazitiver Widerstand und induktiver Widerstand gleich groß: XC = XL Damit kann die Kapazität berechnet werden. 1 = ω⋅ L ω⋅ C 1 ω⋅ C = ω⋅ L C= 1 ω ⋅L C= 1 4 ⋅π ⋅ 50 Hz 2 ⋅ 0,34H 2 2 2 C = 29,8µF f) [C] = 1 s2 ⋅ s2 ⋅ A 2 = Hz 2 ⋅ H m2 ⋅ kg s2 ⋅ s 2 ⋅ A 2 V s 2 ⋅ s2 ⋅ A A ⋅ V [C] = m2 ⋅ kg ⋅ V = m2 ⋅kg ⋅ V s2 ⋅ s2 ⋅ A W s2 ⋅ s2 ⋅ A kg ⋅ m2 ⋅ s−3 ⋅ = ⋅ [C] = 2 m ⋅ kg V m2 ⋅ kg V [C] = s⋅ A =F V