∫° ∫= ∫° ∫= ∫° dA 0= ∫° ∫=

Magnetostatik
6
Seite 111
Magnetostatik
6.1 Vereinfachung der Grundgesetze für die Magnetostatik
Was heißt „Magneto-statik“?
„Magneto-“: Wir wollen uns nur mit magnetischen Feldern, den
darin auftretenden Kräften und deren Wirkungen beschäftigen,
nicht mit elektrischen Feldern und Kräften.
„statik“: Wir wollen uns nicht mit zeitlich veränderlichen magnetischen Feldern befassen.
Nur magnetische Felder heißt: E = 0 und ∂E ⁄ ∂t = 0 , dann wird
aus (4)
1
(4) ----- ∫ Bds =
µ 0°Γ
∂
∫  S + ε0 ∂ t E  d A
die Gl. (4‘)
A
1
(4‘) ----- ∫ Bds =
µ 0°Γ
∫ S dA
A
Ähnlich wird aus (5)
(5) F = q ( E + v × B ) die Gl. (5‘‘)
(5‘‘) F = q ⋅ v × B
Die Gl. (1) beschreibt nur E und entfällt.
Nur statische Felder heißt ∂B ⁄ ∂t = 0 , so daß Gl. (2) entfällt. Es
gelten also die
Gesetze der Magnetostatik
(3)
°A∫ B d A
= 0
1
(4‘) ----- ∫ Bds =
µ 0°Γ
∫ S dA
A
(5‘‘) F = q ⋅ v × B
Seite 112
GET-Skript
Bitte keine Analogien zwischen E und B (manche Lehrbücher!!).
Merke: B -Feld hat Zirkulation, aber keine Quellen (keine magnetische Ladung!), E -Feld (statisch) hat Quellen, aber keine Zirkulation.
Also auch bei Magnetostatik enorme Vereinfachung.
Es gibt eine Reihe von elektrotechnischen Aufgaben, die mit diesen vereinfachten Gleichungen gelöst werden können. Es lassen
sich dann wieder vereinfachte Formeln herleiten, die dann aber nur
für magnetostatische Probleme gelten.
Bemerkung. Ein elektrostatisches E -Feld setzte voraus, daß die
Quellen des E -Feldes (Ladungen) sich nicht bewegen.
Ein magnetostatisches Feld, das nach Gl. (4‘) von der Stromdichte
S erzeugt wird, setzt voraus, daß sich S nicht ändert. Das ist z. B.
immer der Fall, wenn sich Ladungen als konstante Ströme in Leitern bewegen.
6.2 Die Lorentz-Kraft
6.2.1 Regeln für den Umgang mit äußeren Vektorprodukten
(Kreuzprodukten)
Die Schreibweise F = q ⋅ v × B besagt:
Die Kraft ist F ist an jedem Ort
-
senkrecht zur Geschwindigkeit v
senkrecht zur Feldstärke B
proportional zum Betrag der Geschwindigkeit v
proportional zum Betrag des Feldes B
und proportional zum sin ϑ des Winkels ϑ zwischen v und B .
Dieses Richtungsverhalten läßt sich durch das „äußere Produkt“,
das „Kreuzprodukt“ zwischen v und B vollständig beschreiben.
v × B = v ⋅ B ⋅ sin ϑ ⋅ e ⊥ = v ⋅ B ⋅ sin ϑ ⋅ e ⊥
e ⊥ steht ⊥B und ⊥v
e ⊥ geht in Richtung einer Rechtsschraube, wenn man v auf
kürzestem Weg in B „hineindreht“. Das Ergebnis ist ein Vektor.
Magnetostatik
Seite 113
Bildlich:
B
B
v
Rechtsgewinde
v
e⊥
e⊥
Achtung! v × B = – B × v
Zum Vergleich: Inneres Produkt oder skalares Produkt, z. B.
E ⋅ ds = E ⋅ ds ⋅ cos ϑ = ds ⋅ E Ergebnis ist Zahl, Skalar.
Beispiel: Lorentzkraft auf Elektronenstrahl im Magnetfeld.
F
-e
−
B
ϑ
v
e⊥
Auf ein Elektron der Ladung q = - e wirkt dann die Kraft
F = ( – e ) ⋅ v × B = ( – e ) ⋅ v ⋅ B ⋅ sin ϑ ⋅ e ⊥
Das Magnetfeld B (magnetische Induktion) wurde anhand seiner
Kraftwirkung auf bewegte Ladungen definiert mit F = q ⋅ υ × B .
So ergibt sich die Einheit von B als
VAs 1
N
N
Vs
[ B ] = --------------------- = -------- = ---------- ⋅ -------- = ------2
m Am
As ⋅ m ⁄ s
Am
m
Wegen der Wichtigkeit in der Elektrotechnik hat die zusammengesetzte Einheit [ B ] auch den Namen 1 Tesla (früher 104 Gauß) erhalten.
Vs
4
4
[ B ] = 1 ------2 = 1Tesla = 1T = 10 Gauss = 10 G
m
(Erdfeld ≈ 1 Gauß, el. Maschinen
≈ 1 T)
Seite 114
GET-Skript
6.2.2 Kraft auf stromdurchflossende Leiter
Darstellung der Lorentzkraft im stromdurchflossenen Leiter mit
der Stromdichte S
Beispiel: Elektronenleitung
F
B
−
v
I
A
−
−
I
B
dl
Auf jedes Elektron mit Ladung q = -e wirkt F e = – e ⋅ v × B
Wir nehmen zunächst an, daß alle Elektronen gleiche Geschwindigkeit v in Größe und Richtung haben.
Im Volumenelement dV = A ⋅ dl sind n Elektronen, also wirkt
auf dV die Gesamtkraft dF mit
n ⋅ ( –e )
dF = n ⋅ F e = n ⋅ ( – e ) ⋅ v × B = dV ⋅ ------------------ ⋅ v × B
dV
n ⋅ ( –e )
oder weil ------------------ = ρ die Ladungsdichte ist, gilt
dV
dF = dV ⋅ ρ ⋅ v × B und mit S = ρ ⋅ v
dF = dV ⋅ S × B Lorentz-Kraft auf dV bei Stromdichte S
Da S unabhängig von Polarität der Ladungsträger definiert ist, gilt
dies auch für positive Ladung. Da S unabhängig von der Geschwindigkeitsverteilung der Ladungsträger ist, kann die obige
Einschränkung entfallen.
Darstellung Lorentz-Kraft auf einen Leiter durch Strom I.
Wir beschreiben die Länge dl des Leiter-Stücks als Vektor dl in
Richtung S , dann wird
dV ⋅ S = dl ⋅ A ⋅ S = dl ⋅ I
und
dF = I ⋅ dl × B Lorentzkraft auf Leiterlänge dl bei Strom I
Magnetostatik
Seite 115
Oft interessiert man sich (z. B. bei Maschinen) für die Kraft/Leiterlänge, den „Kraftbelag“ dF ⁄ dl und erhält
dl
dF ⁄ dl = I ⋅ ----- × B Kraftbelag
dl
Zur Berechnung der Gesamtkraft F muß die Kraft dF pro Leiterlänge dl über den gesamten Leiter aufintegriert werdne.
Beispiel: Gerades Leiterstück, Länge l , B homogen über l .
F =
l
∫0
dF =
l
∫0 I ⋅ d l × B
Weil B homogen ist, hat B an jeder Stelle von l gleiche Größe und
gleiche Richtung. Weil der Draht gerade ist, hat dl auf der ganzen
Länge die gleiche Richtung, also ist auch der Winkel ϑ zwischen
dl und B überall gleich, d. h. sin ϑ = const. Dann gilt Spezialfall 1:
F =
l
∫0 I ⋅ B ⋅ sin ϑ ⋅ e⊥ ⋅ dl
F = I ⋅ l ⋅ B ⋅ sin ϑ
F = I⋅l×B
= I ⋅ B ⋅ sin ϑ ⋅ e ⊥ ⋅ l oder
Kraft auf geraden Leiter l
6.2.3 Drehmoment auf stromdurchflossenen Schleifen im homogenen Feld B
Beispiel: Rechteckige Leiterschleife, B homogen
l1
A
B
α
I
I
l4
l2
l3
l2/2
α
F1
l2
F3
A
B
l 2 und l 4 sind bis auf das Vorzeichen gleich, ebenso l 1 und l 3 ,
also
l 1 = – I 3 und l 2 = – I 4 , also auch
F 1 = I ⋅ l1 × B = –I ⋅ l3 × B = –F 3
Seite 116
GET-Skript
F 2 = I ⋅ l2 × B = –I ⋅ l4 × B = –F 4
Es gibt also keine resultierende Gesamtkraft, die die Leiterschleife
verschiebt. Aber:
F 1 = – F 3 bilden ein Kräftepaar, also Drehmoment T
l2
T 1 = ---- ⋅ F 1 ⋅ sin α = T 3 ; T = T 1 + T 3 .
2
Nun ist bei l 1 ⊥B
F 1 = I ⋅ l 1 ⋅ B ⋅ sin 90° = I ⋅ l 1 ⋅ B und
T = l 2 ⋅ l 1 ⋅ I ⋅ B ⋅ sin α = A ⋅ I ⋅ B ⋅ sin α bzw.
T = I⋅A×B
A ist der bekannte Flächenvektor. Wir vereinbaren dabei die Richtung von A in Bewegungsrichtung der Schraube, wenn I in Drehrichtung fließt.
Rechtsschraube
I
A
I
A
Auf eine Spule mit N Windungen wirkt das N-fache Moment, also
m
T = N⋅I⋅A×B = m×B
m ist die von der Spule abhängige Proportionalitätskonstante zwischen Drehmoment T und B . Diese Konstante heißt das Magnetische Moment einer Spule (auch magnetisches Dipolmoment).
Magnetostatik
Seite 117
6.3 Berechnung von B -Feldern
6.3.1 Es gibt keine magnetischen Ladungen
Wie in Elektrostatik gibt es auch in der Magnetostatik zwei „Feldgleichungen“ (3), (4‘)
Gl. (3)
°A∫ B d A
= 0
besagt: Es gibt keine magnetischen Ladungen
Bildlich: Die Feldlinien von B können nirgends beginnen und nirgends enden. Im allgemeinen schließen sich die Feldlinien von B
in sich selbst.
Bei Feldberechnungen muß mit ∫ A B d A = 0 die „Form“ von B
°
überprüft werden, ob wirklich keine Quellen vorhanden sind.
Das entspricht der Überprüfung elektrostatischer Felder mit
∫ Eds = 0 auf Zirkulationsfreiheit der „Feldform“.
°Γ
Achtung:
∫ B d A = 0 gilt immer,
°A
°Γ∫ Eds
= 0 nur in Elektrostatik
6.3.2 Durchflutungsgesetz, Ampere‘sches Gesetz
In der Magnetostatik ergibt sich die Größe des B-Feldes (Induktion) aus
1
----- ∫ Bds =
µ0°
Γ
∫ S dA
A
In Worten: Fließt durch eine Fläche A mit dem Rand Γ ein Strom
der Stromdichte S , so ist der gesamte Strom durch diese Fläche
∫A S d A gleich dem Linienintegral über B ⁄ µ0 längs dem Rand Γ
der stromdurchflossenen Fläche. Die Richtung von B muß festgelegt werden.
A
B
S
Rechtsschraube
Seite 118
GET-Skript
Man legt fest: Fließt der Strom S in Bewegungsrichtung einer
Rechtsschraube, so verläuft B in Drehrichtung.
Da ∫ S d A in fast allen elektrotechnischen Problemen durch StröA
me in Leitung entsteht, schreibt man auch oft
1
----- ∫ Bds = I ges Ampere‘sches Gesetz
µ0°
Γ
In dieser Schreibweise muß man daran denken, daß Iges bei mehreren Windungen das n-fache des in der Leitung fließenden Stromes sein kann, wenn der Draht in n Windungen durch die von Γ
umrandete Fläche fließt! Die Bezeichnung Durchflutung Θ für
den Gesamtstrom durch A vermeidet diese Schwierigkeiten: als
Durchflutung Θ bezeichnet man
Θ =
∫A S d A
= I gesamt durch
A
Wenn nun ein Draht mit Strom I mehrfach in gleicher Richtung
durch A läuft, z. B. n-mal, dann ist Θ = n ⋅ I und
1
----- ∫ Bds = Θ
µ0°
Durchflutungssatz
Γ
6.3.3 Berechnung symmetrischer Felder aus dem Durchflutungsgesetz
Beispiel: B -Feld eines langen, geraden Leiters
B ( r, ϕ, z )
I
r
ϕ
I
Hier: Berechnung in Zylinderkoordinaten vorteilhaft
Magnetostatik
Seite 119
Am betrachteten Punkt (r,ϕ, z) hat B eine radiale Komponente
B r = B r (r,ϕ, z) sowie die beiden tangentialen Komponenten
B z = B z (r,ϕ, z) und B ϕ = B ϕ (r,ϕ, z) , wobei B r ⊥B z ⊥B ϕ .
B wird also beschrieben durch den Vektor
 B r (r,ϕ, z)

B (r,ϕ, z) =  B ϕ (r,ϕ, z)

 B z (r,ϕ, z)





Wegen ∫ Bd A = 0 ist B r (r,ϕ, z) = 0
°A
Die magnetischen Feldlinien können also nur um den Leiter herum
geschlossen sein und müssen aus Symmetriegründen kreisförmig
verlaufen. Es bleibt nur die tangentiale Komponente B ϕ (r,ϕ, z)
und somit wird
B (r,ϕ, z) = ( 0, B ϕ (r,ϕ, z), 0 ) .
Aus den genannten Symmetriegründen hängt die tangentiale Komponente nur vom Abstand r, nicht aber von z oder ϕ ab, also
B (r,ϕ, z) = ( 0, B ϕ ( r ), 0 ) = B ϕ ( r ) ⋅ e ϕ .
wobei e ϕ ein Einheitsvektor in tangentialer Richtung ist.
Für dieses B-Feld läßt sich aber die Gl (4‘) auswerten, weil ds die
Richtung e ϕ hat, also e ϕ ⋅ ds = ds ist (Spezialfall)
1
----µ0
°∫ Bds
Kreis
1
= ----µ0
°∫ Bϕ ( r ) ⋅ eϕ ⋅ ds
Kreis
1
= -----B ϕ ( r ) ⋅
µ0
1
= -----B ϕ ( r ) ⋅ 2πr = I
µ0
°∫
ds
Kreis
also
µ0 ⋅ I
B ϕ ( r ) = ----------- Feld eines geraden Leiters
2πr
Mit der Schreibweise des Kreuzproduktes kann man B in Größe
und Richtung beschreiben. Mit
r
z
e r = - ; e z = - ist dann
r
z
µ0 ⋅ I ez × er
µ0 ⋅ I ez × r
B = ------------ ⋅ --------------- oder B = ------------ ⋅ -----------2
2π
r
2π
r
Seite 120
GET-Skript
I
r
B
Beispiel: Kraft zwischen zwei parallellen geraden Leitern (Länge
l, Abstand r.
B2
B1
r 12
F1
I1
r 21
F2
I2
Es gilt
F 1 = I 1 ⋅ l1 × B2
F 2 = I 2 ⋅ l2 × B1
Weil bei parallelen Drähten B 2 ⊥ l 1 bzw. B 1 ⊥ l 2 , wird aus
Kreuzprodukt einfaches Produkt. Weiterhin sei r 12 = r 21 = r
Es ist Richtung F 1 || r 12 , Richtung F 2 || r 21
und die Größe der Kräfte
F 1 = I 1 ⋅ l ⋅ B2 
I1 ⋅ I2
µ0
- ⋅ l ⋅ ------------- = F
 = ----2π
r
F 2 = I 2 ⋅ l ⋅ B1 
Mit dieser Beziehung läßt sich die Stromstärke (1A) bzw. Ladung
(1As) festlegen:
1 Ampere ist die Stärke eines Stromes, der durch zwei im Vakuum
parallel im Abstand 1 m voneinander angeordnete, geradlinige,
unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem Querschitt
–7
fließend je Meter Länge die Kraft von 2 ⋅ 10 N hervorruft.
Magnetostatik
Seite 121
Die Permeabilitätskonstante (Permeabilität) µ 0 wurde damit festgesetzt zu
–7
2 ⋅ 10 N 2π ⋅ 1m
2πr
- = ----------------------- ⋅ -----------------µ 0 = ( F ⁄ l ) ⋅ -------2
2
1m
1A
I
µ 0 = 4π ⋅ 10
–7
N
– 7 Tm
⋅ -----2- = 4π ⋅ 10 ⋅ -------A
A
Beispiel: Berechnung B -Feld einer langen, zylindrischen Spule
(Solenoid).
d
c
l
a
b Γ
Für eine rechteckige Schleife Γ = a,b,c,d die auf der Länge l = a,b
N Leiter umschließt, gilt das Durchflutungsgesetz:
1
Θ = ----- ∫ B ds
µ 0°Γ
mit Θ = I ⋅ N = Strom mal Windungen durch Rand Γ .
1 b
1 a
1 c
1 d
Θ = ----- ∫ B ds + ----- ∫ B ds + ----- ∫ B ds + ----- ∫ B ds
µ0 a
µ0 b
µ0 c
µ0 d
Es ist
c
∫b B ds
=
a
∫d B ds
= 0,
weil B dort ⊥ds . Weiter ist
d
∫c B ds
= 0,
weil außerhalb der Spule B = 0 ist (Beweis hier nicht möglich).
Der einzige Beitrag kommt von B im Inneren der Spule, und dieses B ist parallel zur Spulenachse und konstant bei Verschiebung
des Rechteckes Γ längs der Spule. Dann ist
B b
1 b
B⋅l
Θ = ----- ∫ B ds = ----- ∫ ds = --------- ,also I ⋅ N = B ⋅ l ⁄ µ 0 oder
µ0 a
µ0 a
µ0
B = µ 0 ⋅ I ⋅ N ⁄ l B-Feld eines Solenoids
Mit n = N ⁄ l schreibt man oft auch
B = µ0 ⋅ I ⋅ n
Seite 122
GET-Skript
6.3.4 Berechnung beliebiger Magnetfelder mit bekannter
Stromverteilung (Biot-Savart‘sches Gesetz)
Das elektrostatische Feld E einer bekannten Ladungsverteilung
konnte man sich als Superposition der E -Felder von allen Punktladungen vorstellen, aus denen die Ladungsverteilung aufgebaut
ist.
Ähnlich kann man das statische Magnetfeld sich als Superposition
der B -Felder von allen Stromelementen vorstellen, aus den die
Stromverteilung aufgebaut ist. Dies ist jedoch mit den z.Z. verfügbaren Werkzeugen nicht herleitbar. Deshalb soll nur das Ergebnis
gezeigt werden:
Ein Element eines beliebigen Leiters mit Länge ∆l i erzeugt bei
Strom I am Ort (1) einen Beitrag
∆l i × r 1i
I
B i ( 1 ) = ------ ⋅ µ 0 ⋅ ------------------3
4π
r
1i
I
∆l i
Bi ( 1 )
r 1i
(1)
der gesamte Leiter also ein Feld
B(1) =
µ 0 ⋅ I ∆l i × r 1i
⋅ ------------------∑ -----------3
4π
r 1i
i
und im Grenzfall unendlich kurzer Elemente dl
µ 0 ⋅ I dl 2 × r 12
B ( 1 ) = ------------ ∫ -------------------- Biot-Savart‘sches Gesetz
3
4π
r
12
I
(2)
∆l 2
dB ( 1 )
r 12
(1)
Magnetostatik
Seite 123
6.4 Materie im magnetischen Feld
6.4.1 Magnetische Werkstoffe und deren Eigenschaften
Beobachtung: Bringt man in eine vom Strom I durchflossene Spule Materialien, so ändert sich B , obwohl die Spule (N/L, also Windungszahl /Länge) und der Strom (I) unverändert sind
Entweder: Durchflutungssatz und die daraus berechnete Beziehung B = µ 0 ⋅ I ⋅ N ⁄ l ist falsch
Oder: Es fließen zusätzlich zum Strom ISpule weitere Ströme im
Material und damit durch den Integrationsweg Γ .
Γ
zusätzl.
Ströme
I
I
B
B
IM
Die zusätzlichen Ströme IMaterial können in der gleichen Richtung
wie I fließen und dabei B vergrößern und zwar
- kaum merklich (Paramagnetismus)
- extrem stark (Ferromagnetismus).
Die zusätzlichen Ströme können auch zu ISpule entgegengesetzt
fließen und B
- kaum spürbar schwächen (Diamagnetismus).
Damit ergibt sich ein B -Feld
B = µ 0 ( I Spule + I Material ) ⋅ N ⁄ l
Seite 124
GET-Skript
6.4.2 Der Magnetisierungsvektor M
In 5.10.2 hatten wir gesehen, daß im Dielektrikum durch atomare
Dipolmomente eine zusätzliche Oberflächenladung entstanden
war.
Ähnlich entstehen bei Materialien im Magnetfeld durch atomare
magnetische Momente zusätzliche Oberflächenströme.
Wir denken uns die atomaren magnetischen Momente m als rechteckige Stromschleifen mit Strom IMaterial und Fläche A M , die in
Richtung des Moments m den Abstand d haben.
AM
m
IM
d
Alle Ströme zwischen solchen Würfeln heben sich auf. Bei einer
aus Würfeln zusammengesetzten Scheibe der Dicke d und Fläche
A bleibt ein Strom I M nur längs des Randes von A .
A
IM
d
Ein Stück Material mit Länge l , also N Scheiben der Dicke d entspricht der Spule mit N Windungen pro Länge l mit dem Strom
IMaterial.
Magnetostatik
Seite 125
l
A
IM
d
Das von den magnetischen Momenten erzeugte B -Feld ist (siehe
Spule)
B zusaetzlich = µ 0 I Material ⋅ N ⁄ l
Bei N Scheiben hat man N ⋅ A ⁄ A M Momente, also im Volumen
l ⋅ A eine Anzahl Momente/Volumen = N M :
N⋅A
N
N M = ---------------------- = ------------AM ⋅ l ⋅ A
Am ⋅ l
Bezeichnen wir als Magnetisierung M das Magnetische Moment
pro Volumen, also
M = N M ⋅ m , so ist M auch
I Material ⋅ N A M
N ⋅ I Material ⋅ A M
N⋅m
- = ----------------------------- ⋅ -------M = -------------- = ----------------------------------------AM
l
AM ⋅ l
AM ⋅ l
M ist also ein Vektor mit der Größe M = I Material ⋅ N ⁄ l und der
Richtung A M .
Das oben berechnete B zusaetzlich = µ 0 I Material ⋅ N ⁄ l läuft ebenfalls in Richtung A und so ist
B zusaetzl. = µ 0 ⋅ M
Das gesamte B -Feld mit Materie ist dann
B = B Spule + B zusaetzl. = B Spule + µ 0 ⋅ M
In gewissen Grenzen wird M zum B -Feld der Spule proportional
sein (wie im Dielektrikum P ∼ E war), also
M ≈ χ ⋅ B Spule ⁄ µ 0
Seite 126
GET-Skript
Unter dieser Voraussetzung ist
B = B Spule + µ 0 ⋅ M = B Spule ( 1 + χ )
Setzt man 1 + χ = µ r , so ist
B = B Spule ⋅ µ r
Die magnetische Suszeptibilität χ bzw. die relative Permeabilität
µ r drücken Materialeigenschaften aus und sind im allgemeinen
nicht konstant. Entsprechend der Einteilung in 6.4.1 gilt:
- Diamagnetische Stoffe: µ r = ( 1 + χ ) ≤ 1
- Paramagnetische Stoffe: µ r = ( 1 + χ ) ≥ 1
- Ferromagnetische Stoffe: µ r = ( 1 + χ ) » 1
6.4.3 Magnetische Induktion B und Magnetfeld H in Materie
Entsprechend der „Erregung“ magnetischer Felder durch Ströme
wird häufig das „Magnetische Feld“, die „Magnetische Erregung“
(ohne Proportionalitätskonstante µ 0 zwischen Strom und Magnetfeld) durch den Vektor H beschrieben.
°∫Γ H ds
= Θ
Mit H werden folgende weitere Begriffe eingeführt:
2
∫ H ds
= V m = magnetischeSpannung
1
°∫Γ H ds
°
= V m = magnetischeRandspannung
°
Achtung: Bei der Fesatlegung von H , V m bzw. V m wurden bewußt die von magnetischen Momenten im Material erzeugten
°
Feldanteile nicht einbezogen. H , V m , und V m sind deshalb per
Definition nur mit der Durchflutung durch äußere Ströme (Ströme
in Leitungen) verknüpft! Demnach ist ohne Materie (Vakuum, näherungsweise Luft)
B = µ0 ⋅ H
Magnetostatik
Seite 127
und mit Materie wegen µ 0 ⋅ H =
def B Spule
B = µ0 ( H + M )
und mit M ≈ χ ⋅ B spule ⁄ µ 0 = χ ⋅ H
B = µ0 ⋅ ( 1 + χ ) ⋅ H = µ0 ⋅ µr ⋅ H = µ ⋅ H
Die Materialgröße µ = µ r ⋅ µ 0 heißt auch absolute Permeabilität des Stoffes. Die Schreibweise mit H ist in der Praxis vorteilhaft,
weil man zunächst H aus den äußeren Strömen direkt berechnen
kann und daraus mit hilfe von Materialkonstanten B . Damit entfällt auch die Indizierung B Spule bzw. B Material .
Die Grundgesetzte schreiben sich mit H in der (im Bereich der
Elektrotechnik) üblichen Form
(4‘)
°∫Γ H ds
=
∫A S d A und
(3)
°∫ Bd A
= 0
Beachte: S sind hier alle äußeren Ströme, nicht die durch Magnetisierung verursachten.
Zur Lösung braucht man dann jedoch noch die Materialgleichung.
B = µ ⋅ H = µr ⋅ µ0 ⋅ H = ( 1 + χ ) ⋅ µ0 ⋅ H
und diese enthält die (bei anisotropen Materialien nicht zutreffende) Annahme, daß χ eine skalare Konstante ist.
6.4.4 Diamagnetismus, Paramagnetismus, Ferromagnetismus
Die atomaren magnetischen Momente m kommen entweder von
- „umlaufenden“ Elektronen
m
IM
−
+
A
Seite 128
GET-Skript
- „um die eigene Achse rotierende“ Elektronen
m
Beide Bilder sind sehr anschaulich, aber quantitativ falsch (klassisch, nicht quantenmechanisch)!
Diamagnetismus (Wismut, Kupfer, Silber).
Ohne H -Feld heben sich die Momente der Elektronen paarweise
auf.
ohne äußerem H-Feld
m1
1
−
mit äußerem H-Feld
m1
H
+
−
2
1
−
m2
+
−
2
m2
Zusätzliche Lorentz Kräfte
- auf (1) in Richtung der Zentrifugalkraft,
- auf (2) entgegen der Zentrifugalkraft
Deshalb muß (1) den Bahnradius verkleinern, die Zentrifugalkraft
verringern und damit wird die Fläche und m 1 kleiner. Durch Vergrößerung des Bahnradius wird dagegen m 2 größer.
Weil m 2 > m 1 , ist m = m 1 + m 2 entgegengesetzt zu H und
–4
sehr klein; χ d ≈ – 10 .
Paramagnetismus (Aluminium, Platin)
Auch ohne H -Feld sind atomare magnetische Momente vorhanden, aber deorientiert. Durch das äußere Magnetfeld erfolgt Ausrichtung der Momente m in Richtung H , also χ p > 0 .
Bei hohen Temperaturen zerstört die thermische Energie immer
wieder die Ausrichtung, χ p ist also temperaturabhängig.
–2
Bei Zimmertemperatur ist χ p ≈ 10
Magnetostatik
Seite 129
Ferromagnetismus
Bei Eisen, Kobalt, Nickel, Gadolinium, Dysprosium und deren Legierungen sind sehr starke magnetische Momente auch ohne H Feld vorhanden. Elektronenspins richten sich spontan parallel zueinander aus (also keine Eigenschaft des einzelnen Atoms!). Die
Ausrichtung beschränkt sich auf kleine Bezirke (Weiß‘sche Beziehung), die ohne H unterschiedlich orientiert sind. Bei Temperaturen über einem kritischen Wert (Curiepunkt) hört die spontane Magnetisierung plötzlich auf. Die Größe der Weiß‘schen Bezirke ist
durch das Energieminimum bzgl. äußerer Feldenergie und Wandenergie der Bezirke gegeben.
N
N S
S
S N
Viel Feldenergie
S N
S
N
S N SN
Keine weitere
Reduzierung
Weniger Feld- Praktisch kein d. äuß. Feldes,
energie, jedoch äußeres Feld, jedoch zusätzl.
1 Wand
jedoch 4 Wände
Wände
Wände enthalten Energie, weil ja gerade entgegengesetzt spinnende Elektronen benachbart sind und parallele Ausrichtung niedrigere Energie hat.
Die Magnetisierungskurve
Die Magnetisierungskurve stellt B Gesamt in Abhängigkeit von H
dar ( H ∼ I Spule , B abhängig von Material!)
B
Neukurve
Br
1
µ0Hc 10-6 µ0H
-1
B r = Remanenz (induktion); H c = Koerzitivfeldstärke
- Steiler Teil der Kurve: Wandverschiebung in Bezirken mit
„leichter Richtung“ (reversibel).
Seite 130
GET-Skript
- Flacherer Teil der Kurve: Wandverschiebung mit „Überwindung von Hindernissen“ (nicht reversibel).
- Flacher Teil der Kurve: Drehung Weiß‘scher Bezirke in Richtung H (viel Energie nötig; Sättigung; irreversibel).
Weil Ausrichtung z. T. irreversibel, gibt es Hystereseschleife bzw.
Neukurve.
- Beim Zurücknehmen von H auf 0 bleibt eine Induktion B r
(Remanenzinduktion).
- Erst bei einer entgegengesetzten Feldstärke H c (Koerzitivfelstärke) geht B auf Null zurück.
Die Fläche der Hystereseschleife ist ein Maß für die Energieverluste infolge irreversibler Vorgänge.
6.5 Der magnetisc
he Kreis
6.5.1 Die Konstanz des magnetischen Flusses φ m
A2
A1
d A2
d A1
dA
Man definiert den Magnetischen Fluß φ m =
d A stets in Richtung B zeigt.
A
∫A
B d A , wobei
Leiter
Weil aber nur in A 1 bzw. A 2 Induktion B ≠ 0 , und weil in
∫A Bd A = 0 vereinbarungsgemäß d A nach außen zeigt,
°
Magnetostatik
Seite 131
im Bild d A 1 aber nach innen, gilt
0 =
°∫A Bd A
also φ m1 =
= – ∫ B d A1 + ∫ B d A2
A1
A2
∫A B d A1
∫A B d A2
=
1
= φ m2
2
oder im homogenen Feld
φ m1 = B 1 A 1 = B 2 A 2 = φ m2
B1
A1
A2
B2
Weil φ m in der Elektrotechnik sehr wichtig ist, erhält es eine eigene Einheit:
2
[ φ m ] = 1Weber = 1Wb = 1T m = 1Vs
6.5.2 Das „sog. Ohm‘sche Gesetz des magnetischen Kreises“
In sich geschlossene Anordnungen aus hochpermeablen Materiallien (magnetischen Leitern) heißen magnetische Kreise und dienen zur Führung des magnetischen Feldes.
lm
A B
I
N Windg.
Legt man die mittlere Länge des magnetischen Leiters mit lm fest,
so gilt näherungsweise
Θ = N⋅I =
°∫ H ds
= H ⋅ lm
Wenn µ r im gesamten Kreis konstant, ist
Seite 132
GET-Skript
lm
lm
B⋅l
Θ = H ⋅ l m = ------------m- = B ⋅ A ⋅ ---------------- = φ m ⋅ ---------------µr µ0 A
µr µ0 A
µr µ0
Wegen der Ähnlichkeit zum Ohm‘schen Gesetz schreibt man auch
Θ = φm ⋅ Rm
lm
wobei R m = --------------- als magnetischer Widerstand bezeichnet
µr µ0 A
wird.
l
Zum Vergleich: U = I ⋅ R mit R = ----------κ⋅A
Magnetischer KreisStromkreis
°
Quellspannung Θ = V m U
φm
Strom
I
Widerstand R m
R
6.5.3 Berechnung magnetischer Kreise
Kreis mit i Abschnitten unterschiedlicher Materialien R mi auf Abschnitten der Länge l mi
V° m = ∫ H ds =
°
∑ H i lmi = ∑ V mi =
i
i
= φ m ∑ R mi = Θ = N ⋅ I
Beispiel: B 1 gegeben, Θ gesucht
lm1
I
lm2
B
lm3
φm = B1 ⋅ A1
V m1 = φ m ⋅ R m1 und V m2 = φ m ⋅ R m2
N ⋅ I = Θ = ( V m1 + V m2 ) ⋅ 2
Magnetostatik
Seite 133
Ersatzschaltbild dazu
Φm
Vm1
Vm2
Θ
Vm3
Vm4
Dies entspricht der Kirchhoff‘schen Maschenregel.
Beispiel 2: Gegeben Θ 1 und Θ 2 ; gesucht φ m1, φ m2, φ m3
Hüllfläche A
I1
I2
Θ1
Θ2
Φ m3
Φ m1
Φ m2
Weil ∫ Bd A = 0 durch Hüllfläche A, ist
°
φ m3 = φ m1 + φ m2
Das entspricht der Kirchhoff‘schen Knotenregel.
Ersatzschaltbild:
Φ m1
Φ m2
Rm1
Θ1
Φ m3 Rm2
Rm3
linke „Masche“ Θ 1 = R m1 φ m1 + R m3 φ m3
rechte „Masche“ Θ 2 = R m2 φ m2 + R m3 φ m3
Θ2
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GET-Skript
Für die drei Unbekannten φ m1, φ m2, φ m3 sind also 3 Gleichungen
- 2 Maschengleichungen
- 1 Knotengleichung gegeben.
Beispiel 3: Magnetischer Kreis mit Luftspalt (Motoren, Elektromagnet)
lm1
I
d
B
Reihenschaltung von R me des Eisens und R md des Luftspalts d.
Die Kirchhoff‘sche Regeln für den magnetischen Kreis gelten gut,
solange Streufeld klein bleibt, also d klein gegen ∅ Polflächen.
Dann ist natürlich der magnetische Widerstand des Luftspaltes
d
R md = ---------µ0 A
Da die Magnetisierungskurve meist nur als Diagram verfügbar ist,
werden in der Praxis graphische Lösungen bevorzugt.
Φm
magn. Material
Luft
ges. Kreis
VE
°
VL V = Θ G
- Weil φ m ⁄ A = B und H = V Eisen ⁄ l , kann man anstelle der
üblichen Magnetisierungskurve des Eisens B = f ( H ) auch
φ m = f ( V Eisen ) auftragen, wenn A und l gegeben sind (durchgezogene Kurve).
- Für den Luftspalt kann man entsprechend statt der Geraden
B = µ 0 H die Gerade φ m = V Luft ⁄ R md auftragen (gestrichelt)
- Addiert man waagerecht für jedes φ m die zugehörigen magnetischen Spannungen V E für das Eisen und V L für die Luft, so
erhält man für jedes φ m die notwendige magnetische Rand°
spannung V und damit Θ (strich punktierte Kurve).