Physik in der Praxis - Humboldt

M ATHEMATISCH -NATURWISSENSCHAFTLICHE FAKULTÄT I
I NSTITUT FÜR P HYSIK
Physik in der Praxis:
Fortgeschrittenen-Praktikum
1. Versuch:
Quantisierter Leitwert von Punktkontakten
Durchführung
Abgabe am
Übungsleiter
19.04.2011
Bearbeiter
Lucas Hackl (529242)
Benjamin Maier (529225)
Dr. Rüdiger Mitdank
Humboldt-Universität zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät I – Institut für Physik
Physik in der Praxis: Fortgeschrittenen-Praktikum | Lucas Hackl (529242) & Benjamin Maier (529225)
Inhaltsverzeichnis
1
Einführung
3
2
Leitwerte verschiedener Proben
2.1 Systematischer Fehler der Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Leitwert des MODFETs (Quantenfilm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Quantisierter Leitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
6
Abbildungsverzeichnis
2
1
MODFET-Leitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Subbänder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
Verwendete Messgeräte
SR830 DSP Lock-In-Verstärker
Computer mit LabVIEW Software
Abstract
Im Rahmen dieses Experiments untersuchten wir das Phänomen der quantisierten Leitfähigkeit bei Quantenpunktkontakten aus GaAs/AlGaAs-Strukturen: Nach einer Kalibrierung der Messaperatur an Präzisionswiderständen testeten wir zunächst die Funktionsweise eines Feldeffekttransistors (MODFET), der ein zweidimensionales Elektronengas ausbildet und dabei als Vorstufe eines Quantenpunktkontakts zu sehen ist. Im nächsten
Schritt verwendeten wir dann einen so hergestellten Quantenpunktkontakt, um die Quantisierung des Leitwerts
zu messen, welche durch Ausbildung stehender Elektronenwellen zustande kommt.
1. Versuch: Quantisierter Leitwert von Punktkontakten
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1
Einführung
Der Leitwert eines elektrischen Bauteils ist das Inverse des elektrischen Widerstands und gibt an, wie gut
ein elektrisches Bauteil Strom leitet, wenn eine Spannung angelegt wird. Quantenpunktkontakte werden
meistens erzeugt, indem eine ohnehin schon effektivzweidimensionale leitende Schicht auf mechanischem
oder chemischem Weg so abgetragen wird, dass über
eine gewisse Länge nur ein dünner Steg bleibt – diese
Struktur, welche einem Quantendraht ähnelt, weist bei
Messung des Leitwerts ein charakteristisches Verhalten auf: Bei Anlegen einer Spannung springt der ge2
messene Leitwert in Vielfachen von 2eh , es findet also
eine Quantisierung des Leitwerts statt.
Die Quantisierung des Leitwerts lässt sich mithilfe
der Quantenmechanik beschreiben, indem der effektiv eindimensionale Bereich des Quantenpunktkontakts als effektives Kastenpotential mit charakteristischer Breite lx und Dicke ly modelliert wird. Für die
Wellenfunktionen in die entsprechenden Richtungen
gilt demnach
x
y
ψ(x) = A sin n π
sin m π
.
lx
ly
Die zugehörigen Wellenzahlen ergeben sich dabei gemäß kx = n lπx bzw. ky = m lπy (mit zugehörigen Impulsen gemäß p = ~ k). Es bilden sich also senkrecht zur
Durchgangsrichtung stehende Elektronenwellen aus,
die einen Energiebeitrag
!
p2
π2 ~2 n2 m2
Enm =
=
+ 2
2me
2me lx2
ly
liefern. Da in Bewegungsrichtung die charakteristischen Längen deutlich größer sind, ist die Wellenzahl
kz in Bewegungsrichtung quasi kontinuierlich und liefern den zusätzlichen Energiebeitrag
Ez =
~2 kz2
.
2me
Die Gesamtenergie der möglichen Energiezustände ergibt sich damit zu
Eges = Enm + Ez .
Zusammen mit dem Pauli-Prinzip, welches voraussagt, dass jeder dieser Zustände von nur zwei Elektronen mit gegengerichtetem Spin besetzt werden kann,
lässt sich mit diesem Wissen die Zustandsdichte in
Abhängigkeit von der Energie innerhalb des Quantenpunktkontakts berechnen. Denn für die Zustandsdichte
in effektiv eindimensionalen Systemen gilt
r
1
m
D(E) dE =
dE.
π ~ 2E
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Abbildung 2: Leitwert in Abhängigkeit der angelegten Gate-Spannung. Markiert sind die drei wichtigen Bereiche des MODFETs sowie
der Serienleitwert der Schaltung
Legt man nun eine kleine Spannung dV an, so folgt ein
kleiner Strom
dI = dn e v
mit der kleinen linearen Elektronendichte dn an Elektronen der Geschwindigkeit v mit Elementarladung e.
Mit der bekannten Zustandsdichte D(E) an der Fermikante sorgt eine Spannung dV für eine Energieverschiebung dE = e dV , welche
dn = D(E) dE = D(E) e dV
Elektronen pro Längeneinheit über die Fermikante ins
Valenzband hebt. Für die Geschwindigkeit können wir
ferner nährungsweise
r
2E
v=
m
gemäß der bekannten Mittelwertsbeziehung E = m2 v2
ansetzen. Damit folgt für den resultierenden elektrischen Strom
r
r
1
m
2E 2
2 e2
2
dI = D(E) v e dV =
e dV =
dV.
π ~ 2E
m
h
Durch die Quantisierung der Wellenzahlen in zwei
Richtungen entstehen jedoch mehrere Subbänder, die
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alle für sich genommen das gerade bestimmte Verhalten zeigen, also nacheinander besetzt werden und jeweils einen Leitwert von
dI
2 e2
=
dV
h
beisteuern – folglich wird unter der Voraussetzung,
dass durch hinreichende Kühlung die Fermikante relativ scharf ausgeprägt ist, die Erhöhung der Spannung eine Erhöhung der Leitfähigkeiten in Vielfa2
chen von 2he bewirken. Die Subbänder werden sukzessive besetzt, wie in Abbildung 1 zu betrachten ist.
G=
Abbildung 1: Subbänder und Zustandsdichte für eindimensionales
Elektronengas, aus [3]
2
2.1
Leitwerte verschiedener Proben
Systematischer Fehler der Messung
Die Messung des Leitwerts einer Probe erfolgt durch einen Lock-In-Verstärker SR830 DSP mit Mess-Referenzsignal der Amplitude U = 10 mV und der Frequenz ν = 433 Hz. Die Integrationszeit beträgt t = 0.1 s, sodass
etwa über 50 Perioden gemittelt wird.
Um die Abweichung zwischen tatsächlichem Leitwert und dem mit Lock-In-Verstärker gemessenem Leitwert
zu bestimmen, werden vorerst Messungen an Präzisionswiderständen durchgeführt. Im Idealfall sollte stets
Rexp = RBox gelten, wobei Rexp der inverse gemessene Leitwert ist und RBox der an einer Widerstandsbox
eingestellte Widerstand. In der realen Messung wird sich durch systematische Abweichungen eine Funktion
der Form
R(RBox ) = aRBox + RS
einstellen, sodass spätere Messungen mit
G(Gexp ) = a−1 Gexp
(1)
korrigiert werden können. RS ist der serielle Widerstand der Schaltung (hier bei Verwendung der Widerstandsbox) und wird deshalb nicht mit in die Korrektur einbezogen. Der Effekt des Serienwiderstands auf die Messung
muss schaltungsspezifisch untersucht werden.
Abbildung ?? zeigt die Messwerte und die durchgeführte lineare Regression, wobei für jeden Widerstand zehnmal gemessen und der Mittelwert gebildet wurde. Die Fehler ergeben sich aus statistischem Fehler und systematischem Fehler der Widerstandsbox. Die systematische Abweichung zwischen gemessenem und angegebenem
Widerstand beträgt somit a = 1.006 ± 0.001, damit ist die systematische Abweichung zwischen gemessenem
Leitwert und tatsächlichem Leitwert von einem Faktor a−1 = 0.994 ± 0.001. Das recht hohe χ2 /d.o.F. zeigt
eine Unterschätzung der zufälligen Fehler bzw. nicht normalverteilte Messwerte um die Regression. Dies ist
aber aufgrund der geringen Zahl an Messwerten nicht überraschend.
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2.2
Leitwert des MODFETs (Quantenfilm)
In einem MODFET kommt es in der Grenzschicht zweier Materialien durch Dotierung zu einer kleinen Potentialmulde, welche die Fermikante unterschreitet. Damit können sich Elektronen an dieser Stelle sammeln
und bilden längs dieses Potentialminimums nährungsweise Eigenzustände des harmonischen Oszillators aus,
während sie sich in den anderen beiden Dimensionen (also senkrecht zum Materialübergang) bewegen können.
Dabei besitzen die Elektronen eine geringe effektive Masse verglichen mit der freien Elektronenmasse und somit entsteht ein leitender Quantenfilm, der energetisch etwas unter dem Ferminiveau liegt.
Es wird mithilfe von flüssigem Helium bei T = 4.2 K gemessen, bei der die Elektronen scharf der Fermiverteilung folgen und sich somit nahezu alle Elektronen in Zuständen bis zur Fermienergie befinden. Dies ist wichtig,
um ein Verschmieren der Zustände zu verhindern, welches aufträte, würde man bei höheren Temperaturen messen, bei denen Elektronen auch weit über der Fermikante angeregt wären und so genügend Energie besäßen, um
die Potentialmulde des zweidimensionalen Elektronengas zu verlassen. Die Leitfähigkeit des Elektronengases
lässt sich ferner durch eine senkrecht angelegte Spannung (Gate) steuern, welche die Fermikante relativ zum
Bandverlauf verschiebt und so die Weite des besetzbaren Bandes reguliert.
Der Leitwert zwischen Source- und Drain-Kanal wurde zweimal in Abhängigkeit der Gatespannung gemessen, wobei für die Messung der MODFET der Struktur H verwendet wurde. Da sich die so gewonnenen Daten
qualitativ sehr ähneln, quantitativ jedoch teilweise stark voneinander abweichen, wird für das Endergebnis ein
korrigierter Mittelwert gebildet und eine Größtfehlerabschätzung vorgenommen. Korrigiert heißt hier, dass der
Mittelwert gemäß Gleichung 1 angepasst wurde. Als Fehler wird die größte Abweichung zwischen den Daten
im gemessenen Bereich gewählt und pythagoreisch mit dem Fehler der Korrektur addiert. Das Ergebnis der
Messungen ist in Abbildung 2 zu sehen.
Mit sinkender Gatespannung und unter einer Grenzspannung Vth fällt der Strom exponentiell mit
VG −Vth
I(VG ) = I0 exp
VT
bis der Transistor nicht mehr leitet. Dieser Bereich nennt sich Sperrbereich. VT ist hier eine temperaturabhängige
Spannung. Der Versuch, die Daten nahe VG = 0.3 V an die obige Funktion zu fitten, liefert keine brauchbaren
Resultate. Dies legt den Schluss nahe, dass der Sperrbereich des MODFETs (und damit die Grenzspannung)
bei einer Gatespannung VG . 0.3 V liegt.
Im linearen Bereich verhält sich der Transistor für kleine Spannungen zwischen Drain- und Source-Kanal wie
ein Ohm’scher Widerstand, d.h. der Leitwert steigt linear an.
Im Sättigungsbereich wird im MODFET das komplette Leitungsband verwendet, weswegen sich bei steigender
Gatespannung ein Plateau des Leitwerts der Gesamtschaltung einstellt. Dieses Plateau ist interpretierbar als der
Serienleitwert der Gesamtschaltung und ergibt sich als Asymptote der Messung. Der zugehörige Serienwiderstand ist damit
RS = (470 ± 20) Ω.
2.3
Quantisierter Leitwert
Im Folgenden betrachten wir den Leitwert eines Quantenpunktkontakts der Breite lx in einem MODFET. Die
Quantisierung ist nur zu beobachten, wenn die Länge des Kontakts viel größer als dessen Breite lx ist [2]. Wenn
die Fermiwellenlänge λF in der gleichen Größenordnung von lx ist, fungiert der Kontakt als Wellenleiter. Damit
Elektronen passieren können, muss λF ≈ 2lnx gelten, woraus
n≈
k F lx
π
folgt. Erlaubte De-Broglie-Wellenlängen der Elektronen müssen kleiner als die Fermiwellenlänge sein. Alle
2
Moden m von Elektronenwellen mit m < n liefern einen Beitrag von 2eh zum Leitwert, sodass sich schließlich
die in der Einführung betrachtete Quantisierung
Gn = n
1. Versuch: Quantisierter Leitwert von Punktkontakten
2e2
h
6