Formelsammlung zu "Grundlagen der Elektrotechnik"

ELEKTROTECHNIK M1
1
GLEICHSTROM _____________________________________________________________________ 1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
2
ZWEIPOLE__________________________________________________________________________ 2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3
DEFINITION _______________________________________________________________________ 2
PASSIVE ZWEIPOLE (VERBRAUCHER) ___________________________________________________ 3
AKTIVE ZWEIPOLE (QUELLEN) ________________________________________________________ 3
VERBINDUNG VON ZWEIPOLEN ________________________________________________________ 3
KIRCHHOFFSCHE GESETZE ___________________________________________________________ 4
ERSATZZWEIPOLE __________________________________________________________________ 4
SPANNUNGSTEILER _________________________________________________________________ 4
BRÜCKENSCHALTUNG _______________________________________________________________ 4
MESSUNGEN ______________________________________________________________________ 5
PASSIVE BAUELEMENTE ____________________________________________________________ 5
3.1
3.2
3.3
4
ELEKTRISCHE GRÖßEN UND GRUNDGESETZE _____________________________________________ 1
ELEKTRISCHE LADUNG UND STROM ____________________________________________________ 1
ELEKTRISCHES FELD UND STROM ______________________________________________________ 1
ELEKTRISCHES SPANNUNG UND POTENTIAL ______________________________________________ 1
ELEKTRISCHES LEISTUNG UND WIRKUNGSGRAD ___________________________________________ 2
ELEKTRISCHER WIDERSTAND UND LEITWERT _____________________________________________ 2
OHMSCHER WIDERSTAND ____________________________________________________________ 2
OHMSCHER WIDERSTAND ____________________________________________________________ 5
KONDENSATOREN __________________________________________________________________ 5
SPULEN __________________________________________________________________________ 5
GRUNDLAGEN DER WECHSELSTROMTECHNIK ______________________________________ 6
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
KENNGRÖßEN _____________________________________________________________________ 6
KOMPLEXE RECHNUNG IM WECHSELSTROMKREIS _________________________________________ 6
LEISTUNG IM WECHSELSTROMKREIS ____________________________________________________ 7
OHMSCHES GESETZ _________________________________________________________________ 7
BLINDLEISTUNGSKOMPENSATION ______________________________________________________ 7
1
Gleichstrom
1.1
Elektrische Größen und Grundgesetze
Stromdichte
S=
J
A
Stromstärke
J=
∆Q
∆t
1.2
[S] = 1
A
mm2
Ladungstransport
Zeit
Elektrische Ladung und Strom
t2
Ladungsmenge
Q=⌡
⌠ I(t) dt
⇒
∆Q = I ∗ ∆t
t1
1.3
Elektrisches Feld und Strom
Feldstärke
→
E
[E] = 1
→
→
F =Q∗ E
Ladungsträgerdichte
V
m
Kraft F auf Ladung Q im el. Feld
n- : Elektronen
n+ : Elektronen
∆ldurchschn. Geschwindigkeit V- =
∆t
V+ =
∆l+
∆t
Beweglichkeit b
→
→
U- = b - ∗ E
→
→
U+ = b + ∗ E
Ladung innerhalb ∆t
∆Q- = -n-∗ A ∗ ∆l ∗e
∆Q+ = n+∗ A ∗ ∆l∗ e
Stromstärke I
I- = -(-n-∗ A ∗
∆l∗ e)
∆t
I+ = n+∗ A ∗
= A ∗ e ∗ n-∗ vIges = I- + I+ =
∆l+
∗e
∆t
= A ∗ e ∗ n+∗ v+
∆Qges
∆t
= A ∗ e ( n-∗ v-+ n+∗ v+)
Stromdichte S
→
S = e ( n-∗ v-+ n+∗ v+) ∗ E
Proportionalitätskonstante
k = e ( n-∗ v-+ n+∗ v+)
nur Abhängig von:
∑ d. Ladungsträger (n)
Beweglichkeit (b)
1.4
Elektrisches Spannung und Potential
W
Q
Energie
Ladung
Potential
ϕ=
Spannung
U12 = ∆ϕ = ϕ - ϕ =
1 2
[ϕ] = 1 V
W1- W2
Q
2
→
→
U12 = ⌠
⌡ E ∗ds
Zusammenhang zw. Sp. und el. Feld
1
im homogenen Feld gilt:
U12 = E ∗ l12
l12 = Abstand Pkt. 1 u. Pkt. 2
1
1.5
Elektrisches Leistung und Wirkungsgrad
d W(t)
dt
Leistung
P(t) =
Gleichstrom
P=
Leistungsbilanz
Pab = Pzu - Pv
Wirkungsgrad
η=
[P] = 1 W
W Energie
=U∗I
t
Zeit
Pab Pzu - Pv
Pv
< 1
=
=1Pzu
Pzu
Pzu
Pab,ver
ηges =
= ηerz ∗ ηl ∗ ηver
Pzu,erz
1.6
Elektrischer Widerstand und Leitwert
Widerstand
V
A
R
[R] = 1Ω = 1
Für metallische Leiter gilt:
spezifischer Widerstand
R=ϕ∗
l
A
[ϕ] = 1Ω∗
mm2
= 1Ω ∗10-6m
m
Bei Temperaturänderung gilt:
Temperaturkoeffizient
R(ϑ) = R20 [1+ α∗(ϑ - 20°)]
[α] = 1
1
Κ
R(ϑ) = R20 + ∆R
α=
Leitwert
G=
∆R
∆R
=
R20∗(ϑ -20°) R20∗∆T
1
R
[G] = 1s (Siemens) = 1
Für metallische Leiter gilt:
Κ=
1.7
2
1
ϕ
spezifischer Leitwert
[Κ] = 1s∗
m
mm2
Ohmscher Widerstand
allg. ohm. Gesetz
→
→
S =Κ∗ E
spezielle Form
ϕ∗l
U=R∗I = A ∗I
Κ=
1
ϕ
P = R ∗ I2 =
U2
I2
= G ∗ U2 =
R
G
Zweipole
2.1
A
V
Definition
bzw.
I = f∗ (U)
Zweipolgleichung
U = f (I)
Erzeuger
aktiver Zweipol; Erzeugerpfeilsystem:
Verbraucher
passiver Zweipol; Verbraucherpfeilsystem:
2
I→
↓U
U↓
→I
2.2
Passive Zweipole (Verbraucher)
Zweipolgleichung
U = f (I)
Widerstand im AP
r=
2.3
bzw.
I = f∗ (U)
∆U
∆I
differentieller Widerstand
Aktive Zweipole (Quellen)
Grenzfall 1
I = 0 (Leerlauf)
U0 = Leerlaufspannung
P=0
Grenzfall 2
U = 0 (Kurzschluß)
IK = Kurzschlußstrom
P=0
ideale Spannungsquelle
U = Uq = U0
Uq = Quellenspannung
IK → ∞
ideale Stromquelle
I = Iq = IK
Iq = Quellenstrom
U0 → ∞
lineare Spannungsquelle
U = Uq - Ri ∗ I
U0 = Uq ; I K =
lineare Stromquelle
Uq
Ri
I = I q - Gi ∗ U
U=
Gi = Innenleitwert
Iq-I
Gi
U0 =
2.4
Ri = Innenwiderstand
Iq
; IK = Iq
Gi
Verbindung von Zweipolen
Spannung
UAktiv = UPassiv = UArbeitsPunkt
UAP =
Uq ∗ R
R+Ri
Strom
IA = IP = IAP
IAP =
Uq
R+Ri
Abgabe max. Leistung
Pmax =
UAP =
U2 q
Uq I K
∗
=
4Ri
2
2
Uq
2
IAP =
IK
2
RL = Ri
U0 = Uq
Abgabe max. Spannung
UAP ≈ U0 ; IAP → 0 ; P << Pmax
RL >> Ri
Abgabe max. Stromes
IAP ≈ IK ; UAP → 0 ; P << Pmax
RL << Ri
3
2.5
Kirchhoffsche Gesetze
Knotenregel
3 oder mehr Leitungen
zufließende Ströme: +
∑ Izu = ∑ Iab ⇒
abfließende Ströme: -
n
∑ Ik = 0
k=1
Maschenregel
∑ Izu - ∑ Iab = 0
(Knotenregel)
„Stromkreis“; geschlossener möglicher Kreis einer Ladung
m
∑ Uj = 0
j=1
(Maschenregel)
Praktische Vorgehensweise:
1. Festlegung der Ströme und Stromrichtungen an den Zweipolen
2. Die Ströme bewirken an den passiven Zweipolen (Widerstände) Spannungsabfälle in der gleichen
Richtung.
3. Bildung der Maschen
4. Def. Des Umlaufsinnes (beliebig, aber einmal festgelegt es muß bleiben)
5. Summenbildung so, daß alle Spannungen in Richtung des Umlaufsinnes positiv, alle Sp. entgegen
dem Umlaufsinn negativ in die Summe eingesetzt werden.
6. Anwendung des ohmschen Gesetzes.
7. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems mit den entsprechenden Knotenpunktgleichungen.
2.6
Ersatzzweipole
Reihenschaltung
n
Rges = ∑ Ri
i=1
Parallelschaltung
n 1
n
1
= ∑
= ∑ Gi
Rges i=1 Ri i=1
R1∗R2
1
1
1
=
+
=
Rges R1 R2 R1+R2
=
2.7
Spannungsteiler
Spannungsteilerregel
U1 R1
=
;
U2 R2
unbelastet
U2 = U1 ∗
belastet
U2 = U1 ∗
U1 R1
=
;
Ui Ri
U1 R1
=
U Rges
R2
R1+R2
„Potentiometerschaltung“
(I2=0)
R2
R1+R2+
2.8
R1∗R2∗R3
R2∗R3+R1∗R3+R1∗R2
(I≠0; I2=
R1∗R2
RL
U2
)
RL
Brückenschaltung
R1 
 R3
=U ∗
 R3+R4 R1+R2 1
U2 = U1 ∗ 
abgeglichen, wenn: U2 = I1 d.h.
4
( R2∗ R3 - R1∗ R4)
( R1+R2) ( R2+R4)
( R3∗ R3 - R3∗ R3) = 0
R2 R4
=
R1 R3
2.9
Messungen
Strommessung
UA → 0 ; U ≈ Us ⇒ RA → 0
RA möglichst klein
Spannungsmessung
I = IS ; IV → 0 ⇒ RV → ∞
RV möglichst groß
stromrichtige Schaltung
Voltmeter „vor“ Amperemeter
bei großen Widerständen
U + UA ≈ U
spannungsr. Schaltung
Amperemeter „vor“ Voltmeter
bei kleinen Widerständen
I + IV ≈ I
3
Passive Bauelemente
3.1
Ohmscher Widerstand
Festwiderstände
Drahtw.; Schichtw.
Veränderliche W.
Potentiometeer
3.2
Kondensatoren
Kapazität
C=
Q
C
[C] = 1
A
l
C = ε0 ∗ εr ∗
As
= 1F (Farad)
V
Plattenkondensator
duc(t)
.
= c ∗ uc
dt
t
1
uc(t) = ∗ ⌠ ic(t) dt
c ⌡
0
Zweipolgleichung
ic(t) = c ∗
Energie
W= -
Reihenschaltung
n 1
1
= ∑
Cges i=1 Ci
C1∗C2
1
1
1
=
+
=
Cges C1 C2 C1+C2
Parallelschaltung
n
Cges = ∑ Ci
i=1
Cges = C1 + C2
3.3
C
∗ U2c,o
2
Spulen
A
l
Induktivität
L = µ ∗ N2 ∗
Zweipolgleichung
di(t)
uL(t) = L ∗
dt
Energie
|W| =
Reihenschaltung
n
Lges = ∑ Li
i=1
Parallelschaltung
n 1
1
= ∑
Lges i=1 Li
[L] = 1
1
∗ L ∗ I2
2
5
Vs
= 1H (Henry)
A
4
Grundlagen der Wechselstromtechnik
4.1
Kenngrößen
i(t) = i(t+nT) ; n ∈ Z
Periodendauer
T
Frequenz
f=
Schwingbreite
imax = imin = ipp = iss
Scheitelwert
∧
i = max (|imax|, |imin|)
arithmetischer Mittelwert
- 1
i= ∗
T
1
T
[f] =
1
= 1Hz (Herz)
s
pp = ss = Peak to Peak
t1+T
⌠
⌡ i(t) dt ; i(t) = i~ + i
Gleichwert des Stromes
t1
quadratischer Mittelwert
1
∗
T
I=
t1+T
⌠ i2(t) dt
⌡
Effektivwert des Stromes
t1
Spezialfall:
Sinusförmiger Wechsels.
∧
i(t) = i ∗ cos(ωt + ϕi)
∧ ∧
i , u : Amplitude, Scheitelwert
∧
u(t) = u ∗ cos(ωt + ϕu)
(ωt + ϕi)
} Phasenwinkel
(ωt + ϕu)
ϕi, ϕu: Nullphasenwinkel
ω=
Effektivwert
4.2
U=
2π
= 2π f
T
∧
u
;
2
I=
[ω] =
1
s
ω: Kreisfrequenz
∧
i
2
Komplexe Rechnung im Wechselstromkreis
x = Re{Z} ; y = Im{Z} ; |Z| = Betrag von Z ; ϕ = Winkel von Z
Z = x + jy = |Z| ∗ e
U=U∗e
I=I∗e
jϕ
;
|Z| =
j ϕu
j ϕi
;
*
-j ϕ
I =I∗e i
6
x2+ y2 ;
y
ϕ = arctan 
x
4.3
Leistung im Wechselstromkreis
Phasenverschiebung
ϕ = ϕu + ϕi
gemittelte Leistung
P=
Scheinleistung
S=U∗I
VA
Wirkleistung
P = S ∗ cosϕ = S ∗ cos(ϕu - ϕi)
W
Blindleistung
Q = S ∗ sinϕ
var
Leistungsfaktor
P
= cosϕ (=λ)
S
max. 1
Darstellung d. Leistung
Re{S} = S ∗ cosϕ = Q
Wirkleistung in W
Im{S} = S ∗ sinϕ = P
Blindleistung in var
T
1
∗⌠
p(t) dt = U ∗ I ∗ cosϕ
T ⌡
0
*
jϕ
S=U∗I =P+jQ=s∗e u
4.4
ohmsches Gesetz
komplexer Widerstand
Z=
jϕ
U U ∗ e u U j ϕu-ϕi U j ϕ
=
= ∗e
= ∗e
I
I
I
jϕ
I∗e i
Z=R+jx=z∗e
Leistung
Leitwert
4.5
jϕ
;
|z| =
R2+ y2 ;
x
ϕ = arctan 
R
*
*
S = U ∗ I = Z ∗ I ∗ I = Z ∗ I2 = y* ∗ U2
y* = Leitwert
S = (R + j x) ∗ I2
R: Wirkleistung
X: Blindleistung
S = R∗I2 + jx∗I2 = G∗U2 + jB∗U2
X = ω∗L
S=P+jQ
B=
y=
1 I
= =G+jB
Z U
1
ω∗L
B: Kehrwert von X
Blindleistungskompensation
Ckomp parallel
Ykomp = jω ∗ Ckomp
1
- ωCkomp)
ω∗L
Pv2+(Qv-U2ωCkomp)
S = Gv∗U2 + jU2(
S = |S| =
cosϕ =
Pv
S
reine Blindleistung
Leistungsfaktor λ
Qv-Q
Pv
Ckomp = 2 = 2 ∗(tanϕv-tanϕkomp)
U ∗ω U ∗ω
7