Dietrich-Bonhoeffer

Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Wiehl
Erneuerbare Energien
- die maximal nutzbare Energie der Wasserkraft
Facharbeit Projektkurs Erneuerbare Energien
Abiturjahrgang 2012/2013
vorgelegt von
Jan Wittersheim
Abgabetermin: 16. November 2012
Note: __________ Punktzahl: __________
Projektleiter: Herr Geck
____________________
(Unterschrift)
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
3
2. Grundlagen der Wasserkraft
3
2.1 Stehende Gewässer
3
2.2 Fließende Gewässer
5
2.3 Die Gesamtenergie des Wassers
6
2.4 Elektrische Leistung
7
2.5 Wirkungsgrad der Wasserkraftanlage
7
2.6 Theoretische Leistung
11
3. Physisch hydraulische Anlagen
12
3.1 Die vorliegenden Ähnlichkeiten zwischen Modell und Anlage
12
3.2 Das Froudesche Gesetz
13
3.3 Numerische Modelle
17
Literaturverzeichnis
2
1. Einleitung
Die Geschichte der Wasserkraft beginnt ca. im Jahre 5000 v. Chr., als die Menschen eine
Haus- und Brauchwasserversorgung entwickelten. Danach wurde die Wasserkraft
hauptsächlich in der Landwirtschaft genutzt. Wasserräder dienten 1500 v. Chr. zur
Bewässerung von Landflächen. Der nächste Schritt in der Entwicklung der Wassernutzung
war die Nutzung der Energie des Wassers 100 v. Chr. um den Betrieb von Mühlen zu
vereinfachen. (aus [1])
Heutzutage wird die Wasserkraft zur Energie und Stromgewinnung genutzt. Dies wurde
von Werner von Siemens im Jahre 1866 durch die Erfindung des elektrodynamischen
Generators ermöglicht. Insgesamt werden 18% des weltweiten Stromverbrauchs durch die
Wasserkraft gedeckt. (aus [10] und [11])
Aber wie viel Energie der Wasserkraft kann man nutzen?
Mit dieser Frage werde ich mich in der folgenden Facharbeit beschäftigen. Dabei werde
ich vor allem zwei Aspekte beleuchten. Erstens die potentielle Umsetzung von Wasserkraft
unter Einbezug von physikalischen Formeln und ihrer Herleitung. Zweitens die
Modellierung von komplexen Strömungen anhand eines hydraulischen Modells um den
Vergleich zwischen dem Modell und der Wasserkraftanlage in der Natur zu ziehen.
2. Grundlagen der Wasserkraft
2.1 Stehende Gewässer
Man unterscheidet bei der Energie des Wassers zwischen ruhendem und fließendem
Gewässer. Bei ruhenden Gewässern basiert die Energie auf der Lageenergie, die Energie,
die ein Körper aufgrund seiner relativen Lage besitzt. Diese kommt durch den
Energieerhaltungssatz zustande:
„Die Energie in einem abgeschlossenen System kann nicht verändert werden“
3
Dadurch besitzt jeder Körper auf der Erde eine Lageenergie, die durch folgende Formel
beschrieben wird:
E=g*m*h
Im Falle der Wasserkraft:
[Ep] ist die Lageenergie des Wassers, angegeben in kWh, wodurch der Umrechnungsfaktor
von
zustande kommt. Die Erdanziehungskraft [g], die Masse des Körpers [m] und
die relative Höhe, die der Körper im Fallen zurücklegt [hp], geben die Energie an, die
benötigt wurden um das Wasser auf das vorhandene Höhenniveau zu bringen. Diese wird
aufgrund des Energieerhaltungssatzes im System, dem Wasser, gespeichert.
Die potentielle Fallhöhe ist die Differenz zwischen dem Ober- und dem Unterwasser.
Diese lässt sich als Summe aus Druckhöhe [hD] und geodätischer Höhe [z] beschreiben:
Im Fall von Wasserkraft ist die Druckhöhe der Quotient des Überdrucks [p] und der
Dichte des Wassers [pw] in Bezug auf die Erdanziehungskraft [g]:
Der Druck [p] lässt sich durch die Beziehung zwischen dem absoluten Druck [pAbs] und
dem atmosphärischen Druck [pAtmos] ausdrücken. Da [p]als Überdruck definiert ist, gilt:
(aus [3] Seite 27/28)
4
Zusammengefasst lässt sich die Lageenergie des Wassers durch folgende Formel
errechnen:
2.2 Fließende Gewässer
In einem fließenden Gewässer basiert die Energie, die ein Körper besitzt, auf seiner
Geschwindigkeit im System. Diese wird kinetische Energie genannt und beschreibt die
Kraft, die aufgewendet werden muss, um den Körper aus seiner Ruhelage in die
momentane Bewegung zu versetzen.
Im Allgemeinen wird die kinetische Energie in einem Körper durch folgende Formel
beschrieben:
Die kinetische Energiehöhe [hk] und die Erdanziehungskraft [g] können durch die
Gleichung der Geschwindigkeit [v] des freien Falls ersetzt werden.
√
Für die kinetische Energie folgt daher:
Diese Formel zeigt die kinetische Energie [Ek], die ein Körper mit der Masse [m] und
seiner kinetischen Fallhöhe [hk] unter Einfluss der Erdanziehungskraft besitzt. Der
Umrechnungsfaktor
basiert wieder auf der Einheit der Energie (kWh) und dem
Faktor aus der Formel. (aus [3] Seite 28/29)
2.3 Die Gesamtenergie des Wassers
5
Die Gesamtenergie ist die Summe der Lageenergie und der kinetischen Energie:
Somit gilt als idealer Zustand (auch Bernoulligleichung für ideale Flüssigkeiten genannt):
Da in der Natur niemals ideale Zustände herrschen werden, da Reibung, Oberflächenspannung etc. das Wasser beeinflusst, definiert man eine Verlusthöhe [hv,i] als
Zusammenfassung aller Verluste. (aus [3] Seite 29)
Somit erhalten wir:
Die Verluste, die hauptsächlich durch die Reibung im Rohr zustande kommt, werden durch
die Darcy-Weisbach-Gleichung beschrieben:
Der Verlustbeiwert [
fasst die restlichen Verluste, die nicht von der Reibung entstehen,
zusammen, [f] ist der Reibungsfaktor des Wassers im Rohr und [ ] beschreibt das
Verhältnis zwischen Länge zu Durchmesser. (aus [3] Seite 30)
Die Beeinflussungen auf das Wasser in der Fließstrecke können sich von Punkt 1 bis n
verändern. Daher bilden wir den Durchschnitt der Verlusthöhe als Summe der Strecke 1
bis n: (aus [3] Seite 31)
∑
∑
Aus der Massenbilanz erhält man, wenn die Flüssigkeiten homogen und inkompressibel
ist, wovon man bei Wasser im Allgemeinen ausgehen kann, die Kontinuitätsgleichung. Die
6
Massenbilanz ist daher das Ergebnis aller infinitesimal kleiner Teilstücke und somit die
Fläche unter dem Graphen. Diese würd auch durch das Integral beschrieben: (aus [3] Seite
31)
∫
Der Durchfluss [Q] ist somit das Produkt aus Geschwindigkeit und Durchflussquerschnitt.
Dieses Produkt muss immer konstant bleiben, da bei einer Veränderung entweder Energie
aus dem System herausgeht oder dazukommt, wodurch die Strömung nichtmehr
inkompressibel wäre.
2.4 Elektrische Leistung
Nun wollen wir die nutzbare elektrische Leistung [P] des Wassers bestimmen.
Die elektrische Leistung [P] ergibt sich durch die Multiplikation des Wirkungsgrads
,
der die umsetzbare Energie angibt und der, durch den Durchfluss erzeugte Energie.
[
beschreibt die Energie des Wassers ( in einer veralteten Einheit [
]), [Q] den
Durchfluss und hf die Fallhöhe, die das Wasser zurücklegt.
Für einen groben Leistungsüberblick einer Wasserkraftanlage, kann man die Energie des
Wassers
[
und
denWirkungsgrad
in
dem
Leistungsbeiwert
[cp]
zusammenfassen. Dieser ist für Klein-, Mittlere- und größere Wasserkraftanlagen grob
definiert und dient als Überschlagswert. (aus [3] Seite 31)
2.5 Wirkungsgrad der Wasserkraftanlage
Um ein genaues Ergebnis zu berechnen, muss man den Wirkungsgrad bestimmen. Dieser
ist das Produkt aller Wirkungsgrade:
7
] ist die Triebwasserzuleitung und ist mit der Fallhöhe zu vergleichen. Die
Triebwasserzuleitung steht für den Wirkungsgrad der Fallhöhe [hf], die durch die
Verlusthöhe [hv,i] verringert wird. (aus [3] Seite 32)
Der Wirkungsgrad der Maschinen, angegeben durch
, ist dabei das Produkt
aller einzelnen Wirkungsgrade:
Herleitung des allgemeinen Wirkungsgrades
Der Wirkungsgrad ist der Quotient aus der resultierenden Energie
zum Verhältnis
Herleitung von
Die Turbine wandelt die Energie der Strömung [P] in mechanische Energie [
um.
Daher ergibt sich für den Wirkungsgrad:
(Grafik aus [12] Seite 263)
Für die Geschwindigkeit in einer
Peltonturbine gilt mit u1=u2=u im
Relativ
und
Absolutsystem
die
Vektoraddition. Dadurch folgt:
8
Die Turbine kann nur in ihre eigene Drehrichtung Kraft umsetzen. Daher ist der
Strömungsimpuls [Iu] die Geschwindigkeit der Strömung
in Umfangsrichtung[cu].
Dadurch folgt:
Die Impulskraft ist die zeitliche Differenzierbarkeit ergibt sich die Impulskraft [
] als
Ableitung von [Iu]:
∫
∫
Da eine stationäre Strömung vorliegt, ist u konstant. Daraus folgt, dass die Ableitung Null
ergibt:
∫
Die resultierende Kraft
∫
ergibt sich nun aus der Energie vor dem Rotor
der Energie nach dem Rotor
und
:
Die abgegeben Leistung der Turbine ergibt sich nun aus der resultierenden Kraft [Fu]und
der Geschwindigkeit[u]:
Nun wollen wir die mechanische Arbeit aus der vorher errechneten Leistung bestimmen:
Somit lautet die Turbinenhauptgleichung oder Eulersche Gleichung genannt:
(aus [12] Seite 263 ff.)
9
Herleitung von
ist für einen Synchronmotor definiert als (Hergeleitet aus dem Satz
des Pythagoras):
√
ist die Leistung, die durch die Wasserkraft erzeugt werden kann und
von der Turbine in mechanische Energie umwandeln kann:
(aus [9] Seite 16 und [8])
Herleitung von
Die Energie, die zum Betrieb von allen Anlagen des Wasserkraftwerkes benötigt
wird[PAnlage], wird in diesem Wert zusammengefasst.
(aus [3] Seite 665.)
Herleitung von
Die elektrische Energie[W] wird durch die Stromstärke[I] und der Spannung [V] bestimmt:
Der Widerstand der Leitungen basiert auf dem Material[p] und den Kabelausmaßen[l
Länge und A Querschnitt]. Dabei ist zu beachten, dass die Stromstärke im Verhältnis zum
Querschnitt nicht zu groß werden darf, da sonst die Gefahr der Überhitzung besteht
10
Durch den Widerstand kommt es zum Spannungsabfall:
Dadurch folgt:
2.6 Theoretische Leistung
Nachdem nun die theoretische Leistung erläutert wurde, wäre die zu erwartende elektrische
Leistung in einem Jahr bzw. in einem Regelarbeitsvermögen [EA] für eine
Wasserkraftanlage von Bedeutung. Die zu erwartende Leistung ist die theoretische
Leistung über den Zeitraum [t] betrachtet und ist mathematisch die Fläche unter einem
P(t)-Diagramms. Daraus folgt, dass die Aufleitung von P(t) die Energie [EA] beschreibt.
∫
∫
(aus [3] Seite 33)
3. Physisch hydraulische Anlagen
Neben der reinen Theorie gibt es auch Modelle um den Nutzen von Wasserkraftanlagen
vorherzusagen. Diese physisch hydraulischen (oder physikalischen) Modelle werden neben
der theoretischen Berechnung genutzt. Dies liegt vor allem daran, dass bei der Planung von
teuren Wasserkraftanlagen meistens komplexe Strömungen auftreten und diese nicht
perfekt mit den Formeln und Gesetzen ausgedrückt werden können. Dadurch können sich
11
Fehler einstellen, die teure Nachrüstungen und Ausbesserungsmaßnahmen mit sich ziehen.
(aus [1] Seite 519f.)
3.1 Die vorliegenden Ähnlichkeiten zwischen Modell und Anlage
Der Vergleich zwischen der zu bauenden Anlage und dem Modell ist auf die mechanische
Ähnlichkeit zurückzuführen. Diese liegt vor, wenn eine geometrische, kinetische und
dynamische Ähnlichkeit von Modell und Realität existiert.
Geometrische Ähnlichkeit
Bei einem konstanten Maßstab [ML] zwischen allen geometrischen Größen im Modell
[LM] zur Anlage [LA], wie Höhe, Breite und Länge, spricht man von einer geometrischen
Ähnlichkeit.
Kinetische Ähnlichkeit
Zeitlich abhängige Prozesse müssen die Maßstabzahl [Mt] aufweisen. Dabei ergibt sich
[Mt] als konstanter Maßstab für alle zeitlichen Prozesse von Anlage [tA] zum Modell [tM].
Dynamische Ähnlichkeit
Die dynamische Ähnlichkeit [MF] ist die wichtigste der drei Ähnlichkeiten und kann nur
konstant sein, wenn die beiden oben genannten auch konstant sind. [MF] beschreibt das
Verhältnis aller auftretenden Kräfte in der Anlage [FA] und dem Modell [FM].
(aus [1] Seite 520)
12
3.2 Das Froudesche Gesetz
Jedoch kann niemals eine vollständige Ähnlichkeit zwischen Anlage und Modell herrschen,
deshalb können zur zwei wirkende Kräftearten, sowie die drei Ähnlichkeiten und die
allgemeingültigen Kräfte, wie Dichte des Wassers oder die Erdanziehungskraft, in der Anlage und
im Modell gleich sein.
Da in den meisten Fällen die Schwerkraft und die Trägheit dominieren, vertiefe ich das Froudesche
Gesetz.
Physikalische Größe
Bezeichnung
Maßstab Anlage/Modell
Länge
L
ML
Zeit
t
Mt
Masse
m
Mm
Geschwindigkeit
v
Mv
Beschleunigung
a
Ma
Kraft
F
MF
Durchfluss/Abfluss
Q
MQ
(aus [1] Seite Seite 522)
Gesetz:
Dominierende Kräfte
Froude
Trägheit und Schwerkraft
Reynolds
Trägheit und Reibung
Weber
Trägheit und Kapillarkraft
Thoma
Trägheit und Druck
Cauchy/Mach
Trägheit und Elastizität
(aus [1] Seite 523)
Das Froudesche Gesetz lautet:
√
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Herleitung des Froudeschen Modellgesetzes:
Die Definition der dominierenden Kräfte ergibt folgende Gleichungen:
Um die Masse eines Körpers allgemein darzustellen, werden die Dichte des Körpers und seine
räumlichen Ausmaße miteinander multipliziert:
Die Beschleunigung und die Geschwindigkeit sind definiert als:
Fasst man alle Gleichungen zusammen, kommt man auf die Froudesche Zahl:
√
Das Froudesche Gesetz kann man sowohl im Modell, als auch in der Anlage verwenden. Dadurch
folgt beim Einsetzen beider Froudeschen Zahlen:
√
√
√
√
[g] kann gekürzt werden, da es in beiden Gleichungen auftritt. Außerdem ist der Modellmaßstab
[ML] multipliziert mit der Höhe des Modells
√
die Höhe der Anlage
:
√
(aus [1] Seite 523f.)
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Kürzen von [hM] und umstellen nach [ML] ergibt:
√
Somit haben wir die Beziehung zwischen der Geschwindigkeit von Modell zu Anlage beschrieben.
Diese liegt bei:
√
Durch die allgemeine Formel für Geschwindigkeit [v] und einsetzen der Maßstabszahlen ergibt
sich:
Umstellen nach [Mt] und ersetzen von [Mu] ergibt:
√
√
Die Maßstabzahl des Durchflusses [
] kann wieder durch das aufstellen der allgemeinen Formel
und einsetzen der Maßstabszahlen beschrieben werden:
√
Die letzte Größe ist die, der auftretenden Kräfte [MF]. Kraft ist definiert als:
15
Wir ersetzen die Masse wieder durch Volumen und Dichte. Da die Dichte des Wassers im Modell
und in der Anlage gleich ist, kann dieser Faktor wegfallen. Ersetzen wir die restlichen Faktoren
wieder mit [ML], erhalten wir:
Anhand der Modellgrößen
können wir nun einen Vergleich zwischen der Anlage und
dem Modell ziehen.
Hätten wir als Modellmaßstab [ML] z.B. 30, könnten wir damit den Faktor errechnen, mit dem die
auftretenden Größen im Modell der Wirklichkeit entsprechen.
√
√
√
√
√
√
In dem oben genannten Modell wäre das Modell um den Faktor √
der in der Anlage auftretenden Geschwindigkeiten um √
Abfluss von 1 L/s im Modell dem Abfluss von √
der Anlage sind um
schneller als die Anlage und
langsamer. Außerdem würde ein
L/s entsprechen. Die auftretenden Kräfte in
größer als im Modell.
(aus [1] Seite 524)
3.3 Numerische Modelle
Neben der physisch hydraulischen Modellierung gibt es auch noch die numerische Modellierung.
Diese basieren auf Programmen, die die Modellierung der Realität durch ein Programm darstellen
können. Diese Art von Modellierung gewinnt immer mehr an Bedeutung, da die Voraussetzungen
zur Berechnung durch den Computer mit den Jahren stark gestiegen sind und es bald nicht mehr
notwendig ist, physikalische Modelle zur Betrachtung von komplexen Strömungen zu nutzen.
(Stand 2006)
(aus [1] Seite 534f.)
16
Literaturverzeichnis
1. Theodor Strobl/Franz Zunix: Wasserbau Aktuelle Grundlagen- Neue Entwicklungen, München,
Springerverlag,2006
2. Joachim Raabe: Hydraulische Maschinen und Anlagen, 2.Auflage Band 1-4, München, VDI Verlag, 1989
3. Jürgen Giesecke/Emil Mosonyi: Wasserkraftanlagen Planung, Bau und Betrieb, 5. Aktualisierte und
erweiterte Auflage, beabrietet von Jürgen Giesecke und Stephan Heimerl, Stuttgart/Karlsruhe,
Springerverlag, 2009
4. Uni Protokoll: Energieerhaltungssatz [15.12.2012]http://www.uniprotokolle.de/Lexikon/Energieerhaltungssatz.html
5. Beuth-Hochschule: Kontinuitätsgleichung [15.12.2012]http://labor.beuthhochschule.de/fileadmin/labor/emr/Datein/Umdrucke_SL/AB_Kontinuitaetsgleichung.pdf
6. Universität der Bundeswehr: Formelsammlung[15.12.2012]
http://www.lrt2000.de/archiv/hdp2/stma/stma1-formelsammlung.pdf
7. Wikipedia: Froudsche Zahl [15.12.2012] http://de.wikipedia.org/wiki/Froudesche_Zahl
8. Energie.ch: Leistungsflächen von
Asynchronmaschinen[15.12.2012]http://www.energie.ch/leistungsflaechen-von-asynchronmaschinen
9. Chris Meier: Formelsammlung[15.12.2012]http://www.chris-meier-online.de/FTELE/aue/FAA.pdf
10. Thema-Energie:Wasserkraft weltweit[15.12.2012] http://www.thema-energie.de/energieerzeugen/erneuerbare-energien/wasserkraft/grundlagen/leistung-von-wasserkraftwerken.html
11. Wikipedia: Wasserkraft[15.12.2012] http://de.wikipedia.org/wiki/Wasserkraft
12. von Richard Zahoransky,Elmar Bollin,Udo Schelling,Helmut Oehler: Energietechnik[15.12.2012]
http://books.google.de/books?id=fXdyJMIncK8C&pg=PA263&lpg=PA263&dq=herleitung+turbinenhauptgl
eichung+vektoraddition&source=bl&ots=p9i0yCGsBA&sig=yvBBisGBk5nfZNTfl2GJknnaxc&hl=de&sa=X&ei=__2oUKmZK8OdtQan7YGIAg&ved=0CC0Q6AEwAA#v=one
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Erklärung über die selbstständige Anfertigung der Arbeit
Ich versichere, dass ich die Arbeit selbstständig verfasst und
keine anderen Quellen und Hilfsmittel als die angegebenen
benutzt habe. Die Stellen der Arbeit, die anderen Werken
entnommen sind, sind unter Angaben der Quelle kenntlich
gemacht.
Wiehl, den 16.11.2012
(Unterschrift)
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