V V U1 U2 U R1 R2

Aufgaben zu Fehlerfortpflanzung
Aufgabe 1:
Der ohmsche Widerstand eines Drahtes soll aus den Abmessungen und der Leitfähigkeit
bestimmt werden. Der rel. Fehler bei der Längenmessung sei fl=+0,5%, bei der Fläche
fA=+1%, bei der Leitfähigkeit fγ=+2%.
Mit welchem Fehler FR ist maximal zu rechnen?
Aufgabe 2 :
Bei einer Reihenschaltung zweier Widerstände wurden folgende Spannungswerte gemessen :
U1=200V, U2=1,5V
Messbereich Instrument 1 : 300V
Messbereich Instrument 2: 3V
Ein Messgerät habe die Klasse 0,5, das andere die Klasse 2,5
Berechnen Sie für die Spannung U ( aus der Addition U1+U2) den max. möglichen relativen
Fehler fU, wenn
a) U1 mit dem ungenaueren Instrument gemessen wird
b) U2 mit dem ungenaueren Instrument gemessen wird
R1
R2
V
V
U1
U2
U
Aufgabe 3
Sie bestimmen die Leistung durch eine Spannungs- und Strommessung.
Dabei messen Sie im 10V-Bereich eine Spannung von 4,52V und im 100mA-Bereich einen
Strom von 85,6mA . Das Voltmeter hat die Klasse 0,2. Welche Klasse benötigt das
Amperemeter, wenn Sie aus diesen Messungen die Leistung mit einer Genauigkeit von
mindestens 1% bestimmen wollen ?
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1
Aufgabe 4
Sie bauen einen Spannungsteiler aus Einzelwiderständen nach folgender Schaltung auf :
10kΩ /±2%
R1
U
R2
748 Ω
5kΩ
R3
±1%
±0,1%
UT
10V/±5%
Wie groß ist der maximale Fehler von UT ?
Aufgabe 5
Sie wollen den Strom in einem Stromkreis mit zwei Widerständen dadurch bestimmen , dass
Sie die anliegende Spannung über beiden Widerstand messen und das ohmsche Gesetz
anwenden . – Der Innenwiderstand des Messgerätes sei vernachlässigbar . Die Widerstände
sind 7,5 kΩ , E12 ( 10%) und 18kΩ , E24 (5%) . Sie messen mit einem Voltmeter der Klasse
0.5 eine Spannung von 3,4V im 10V-Bereich .
Mit welchem relativen Fehler ist für den Strom zu rechnen ?
Aufgabe 6 :
Sie haben eine Parallelschaltung eines Metallschichtwiderstandes 10Ω / +1% und eines
Kohleschichtwiderstandes 10Ω /+5% vorliegen. Wie groß ist der resultierende relative Fehler
der Gesamtschaltung maximal ?
Aufgabe 7
Berechnen Sie die folgenden Ergebnisse (Ergebniswerte, absolute und
relative Fehler). Die relativen Fehler der Ausgangsgrößen sollen im Sinne von Zwischenwerten
zweistellig, die der Verknüpfungen als Endergebnisse einstellig angegeben werden.
Beispiel Analogmultimeter.
Berechnen Sie mit der Güteklasse den Gesamtfehler von Spannung und Strom (Ergebnisintervall) und
anschließend den Widerstand des Messobjekts.
Fehlerangabe des Multimeters : Klasse 1,5
Messbereich
100 Skt = 10V
30 Skt = 300mA
Ablesung + Ablesefehler
(61,5+0,3 Skt)
(24,3+0,1 Skt)
Ergebnisintervall (von…bis)
U=
I=
Relativer Fehler
f U=
fI=
Ergebnis für R= U/I
R=
Relativer Fehler für R
fR=
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Aufgabe 8
Nennfehler und Fehlerfortpflanzung: Beispiel 3-stell. Digitalmultimeter. Der Fehler von
Digitalmultimetern wird durch eine proportionalen (% vom Messwert) und einen konstanten Anteil
charakterisiert (Digits). Berechnen sie entsprechend der vorhergehenden Aufgabe:
Fehlerangabe des Multimeters : +(0,5% v.M. + 1 D)
Messbereich
10,0V
Ablesung + Ablesefehler
6,26
Ergebnisintervall (von…bis)
Relativer Fehler
Ergebnis für R= U/I
Relativer Fehler für R
300mA
257
Aufgabe 9
Fehlerfortpflanzung : Berechnen Sie die fehlenden Werte
Größe
a
b
c
a+b
a·b·c
(a-b)/c
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Wert
235
48,7
0,548
Abs. Fehler
2
0,1
0,001
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Rel. Fehler
3
Lösungen
Aufgabe 1:
Formelbeziehung zur Widerstandsbestimmung: R =
ρ ⋅l
A
=
l
γ ⋅A
Daraus folgt für die fehlerbehafteten Parameter ( Multiplikation und Division mit
unbekanntem Vorzeichen!)
fRmax=+(|fl|+|fγ|+|fA|)=+(0,5%+2%+1%)=+3,5%
Aufgabe 2:
a) Instrument 1 : Klasse 2,5 , Messbereich 300V
Absoluter Fehler F1=+2,5%·300V=+7,5V
Wahrer Wert U1R=U1-F1=200V+7,5V
Rel. Fehler : f1=+(F1/U1)=+3,75%
Instrument 2: Klasse 0,5, Messbereich 3V
Absoluter fehler : F2=+0,5%·3V=+15mV
Wahrer Wert : U2R=U2-F2=1,5V+15mV
Rel. Fehler : f2=+(F2/U2)=+1%
Addition zweier Messwerte => Addition der absoluten Fehler : FU=F1+F2=+7,515V
(FU/U)=+(7,515V/201,5V)=+3,73%
b) b) Instrument 1 : Klasse 0,5 , Messbereich 300V
Absoluter Fehler F1=+0,5%·300V=+1,5V
Wahrer Wert U1R=U1-F1=200V+1,5V
Rel. Fehler : f1=+(F1/U1)=+0,75%
Instrument 2: Klasse 2,5, Messbereich 3V
Absoluter fehler : F2=+2,5%·3V=+75mV
Wahrer Wert : U2R=U2-F2=1,5V+75mV
Rel. Fehler : f2=+(F2/U2)=+5%
Addition zweier Messwerte => Addition der absoluten Fehler : FU=F1+F2=+1,575V
(FU/U)=+(1,575V/201,5V)=+0,78%
Es empfiehlt sich, zur Messung des größeren Wertes das genauere Gerät zu nehmen .
Aufgabe 3
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4
Voltmeter : F=+0,2% ·10V=+0,02V.
=> Rel. Fehler bei 4,52V : fU=+(0,02V/4,52V)·100%=+0,443%
Fehlerfortpflanzung : fP=+(<fU|+|fI|)=+(0,443%+|fI|)
fImax= +0,557%
fI=+FI/85,6mA = +0,00557
FI=85,6mA·0,00557=+0,477mA
Bezogen auf den Messbereich von 100mA bedeuten 0,477mA :
Max. Anzeigefehler fA=+0,477mA/100mA·100%=0,477%
Somit benötigt das Amperemeter mindestens Klasse 0,2 Klasse0,5 reicht nicht!
Gegenrechnung : FI0,5=+0,2%·100mA=+0,2mA
fI=±0,2mA/85,6mA·100%=±0,234%
und der Gesamtfehler wird zu fP=± (fU+fI)= ±(|0,443%|+|0,234%|)=±0,677%
Aufgabe 4
UT
R 2 || R3
=
U
R1 + R 2 || R3
R 2 || R3
UT = U ⋅
R1 + R 2 || R3
R 2 ⋅ R3
R 2 ⋅ R3(R 2 + R3)
R 2 ⋅ R3
=U
= U R 2 + R3 = U
R 2 ⋅ R3
(R2 + R3)( R2 ⋅ R3 + R1R 2 + R1R3)
( R 2 ⋅ R3 + R1R 2 + R1R3)
R1 +
R 2 + R3
Stufenweise berechnet :
FR2= ±1%·5000Ω=50Ω
FR3=±0,1%·748Ω=0,748Ω
R2||R3=650,661
Rmin1=(5050 Ω ·748,748 Ω)/(5050 Ω +748,748 Ω)=652,068 Ω
Rmin2=(4950 Ω ·747,252 Ω)/(4950 Ω +747,252 Ω)=649,242 Ω
Rmax1=(5050 Ω ·747,252 Ω)/(5050 Ω +747,252 Ω)=650,933 Ω
Rmax2=(4950 Ω ·748,748 Ω)/(4950 Ω +748,748 Ω)=650,371 Ω
f+%=((652,068 Ω -650,661 Ω) /650,661 Ω) ·100%=0,216%
f-%=((649,242 Ω -650,661 Ω) /650,661 Ω) ·100%=-0,218%
-> näherungsweise fR2r3=±0,217%
FR1+Rp=±(200 Ω+1,407 Ω)=±201,407 Ω
fr1rp=±1,891%
fmax=±(|fU|+|fp|+|fR1rp|)=±(5%+0,217%+1,891%)=±7,108%
Aufgabe 5:
Klassenfehler 0.5% bei 10V -> +/-0,05V , damit ist der absolute Fehler +/- 0,05V
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5
Der rel. Fehler beträgt fR = F/x = +/- 0,05V / 3,4V => +/- 1,47%
Die Berechnung des Stromes erfolgt per ohmschem Gesetz I = U/(R1+R2)
Zuerst berechne ich also den Fehler bei der Addition R1 + R2 :
FR1 = +/- 0,75k
FR2 = +/- 0,9k
=>
R1+R2 = 25,5k +/- 1,65k
Daraus der rel. Fehler fR = F/R = 1,65k/25,5k = 0,0647 -> 6,47%
Jetzt kann der max.rel. Gesamtfehler bestimmt werden
fmax = +/- ( |1,47%| + |6,47%|) = 7,94 % für den berechneten Strom
Aufgabe 6 :
Formel der Parallelschaltung : Rges =
R1 ⋅ R 2
R1 + R 2
Für den Nenner muss zuerst über den Weg der absoluten Fehler der rel. Gesamtfehler
bestimmt werden :
fR1=+1% => ∆R1=+0,1Ω
fR2=+5% => ∆R2=+0,5Ω
∆RNenner=∆R1+∆R2=+0,6Ω
fnenner = (∆RNenner/RNenner)=(+0,6Ω/20Ω)=+0,03, also +3%
Daraus folgt für den Gesamtfehler : fges=+(|1%|+|5%|-|3%|)=+3%
Achtung : Auch wenn das Fehlervorzeichen nicht bekannt ist, so ist es doch für dasselbe
Bauteil R1, R2 das gleiche .
Durch Berechnung der Einzelabweichung kommt man nahezu zum gleichen Ergebnis:
Nenner: RNmin=9,9Ω+9,5Ω=19,4Ω
RNmax=10,1Ω+10,5Ω=20,6Ω
Zähler: RZmin=9,9Ω 9,5Ω
RZmax=10,1Ω 10,5Ω
Rmin=4,848Ω
Rmax=5,148Ω
∆Rmin=-0,152Ω
∆Rmax=0,148Ω
fmin=-0,152/5=-0,0304 entspricht -3,04%
fmax=0,148/5=0,0296 entspricht 2,96%
Aufgabe 7
Fehlerangabe des Multimeters : Klasse 1,5 => FU=±1,5%·10V=±0,15V
FI=±1,5%·300mA=±4,5mA
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6
Messbereich
Ablesung + Ablesefehler
Ergebnisintervall (von…bis)
Relativer Fehler
Ergebnis für R= U/I
Relativer Fehler für R
100 Skt = 10V
(61,5+0,3 Skt)
U=6,15V± (0,03V+0,15V)
U=5,97…6,33V
fU=±2,93%
R=25,31Ω±1,31 Ω
fR=±(2,93%+2,2%)=±5,19%
30 Skt = 300mA
(24,3+0,1 Skt)
I=243mA± (1mA+4,5mA)
I=237,5mA…248,5mA
fI=±2,26%
Aufgabe 8
Fehlerangabe des Multimeters : +(0,5% v.M. + 1 D)
FU=±(0,5%·6,26V+1·0,1V)= ±(0,03V+0,1V)=±0,13V
FI=±(0,5%·257mA+1·1mA)= ±(1,29mA+1mA)=±2,29mA
Messbereich
10,0V
300mA
Ablesung + Ablesefehler
6,26
257
Ergebnisintervall (von…bis)
U=6,26V+0,13V
I=257mA+2,29mA
Relativer Fehler
fI=+0,89%
fU=+2,1%
Ergebnis für R= U/I
R=24,36Ω +0,73 Ω = 23,63 Ω …25,09 Ω
Relativer Fehler für R
fR=+3%
Aufgabe 9
Größe
a
b
c
a+b
a·b·c
(a-b)/c
©2010 V2 K.Krust
Wert
235
48,7
0,548
283,7
6272
340
Abs. Fehler
2
0,1
0,001
2,1
77,8
2,86
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Rel. Fehler
0,85%
0,21%
0,18%
0,74%
1,2%
0,84%
7