6. Relativitätstheorie

6.Relativitätstheorie
6.1. Michelson­Versuch 1887 ; ein Kontrollexperiment zur Ätherhypothese
B N
A
C
W O
Erddrehung 30 km/s
S
Beobachter
Die Laufzeitdifferenz
der beiden Strahlen ABA und ACA :
v sei die Erdrotationsgeschw.
l
l
2c
2l
t ACA =t AC +t CA=
+
=l 2 2 =
c +v c−v
c
– in Richtung der Erdrotation: c −v
(
­ senkrecht zur Erdrotation: )
1
1−
v2
c2
B'
l
c 2 t 2AB ' =t 2AA ' v 2l 2 (Pythagoras) Wegen tAB' = tAA' gilt: A
t
A'
2
AB '
l2
= 2 2
c −v
A''
→ t AB ' =
l
√ c −v 2
2
→t AB ' A '' =
2l
c
1
√
1−
v2
c2
Für den Gangunterschied gilt also : t = tACA – tAB'A'' Bei Drehung um 90° hätte demnach eine Veränderung des Interferenzmusters auftreten müssen ­ dem war aber nicht so. Der Versuch wurde noch mehrere Male mit noch größerer Präzision durchgeführt(1960 erstmals mit einem Laser); die Ergebnisse waren aber immer dieselben. Einige Physiker, darunter auch H.A.Lorentz, unternahmen daraufhin verzweifelte Versuche unter Annahme gewagter Hypothesen den Ätherwind dennoch zu retten . Einstein bricht mit dem Äther und stellt gleichzeitig zwei Postulate auf: -
Für alle Bezugssysteme , für die die Gesetze der Mechanik gelten, gelten die gleichen elektrodyn. und optischen Gesetze
Die Lichtgeschwindigkeit ist konstant 6.2. Folgerungen aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: a)Es gibt keine absolute Gleichzeitigkeit !
Einstein führte dazu folgendes Beispiel an: Blitzeinschlag an Anfang und Ende eines fahrenden
Eisenbahnwaggons
Bondi; Höfling 697
b)
Zeitdilatation (rel. Zeitdehnung): Eine bewegte Uhr geht langsamer.
√
Δ t ' bewegt =Δ t ruhend⋅ 1−
v²
c²
Eine relativ zu einem Beobachter bewegte Uhr geht aus dessen Sicht langsamer.
→ Atomuhrenvergleich Buch S.115; Buch 104 ; Höfling 699;
Ehw 214
Myonenexp
c ) Geschwindigkeitsaddition:
u=
u '+ v
u' v
1+ 2
c
d) Längenkontraktion:
l ' bewegt = l ruhend 1 −
v2
c2
www.tempolimit­lichtgeschwindigkeit.de → Buch 105
Eine relativ zu einem Beobachter bewegter Gegenstand erscheint aus dessen Sicht verkürzt. Diese Lorentztransformation wurde ursprünglich von H.A.Lorentz zum Erhalt der Ätherhypothese erdacht. Einstein griff sie auf und deutete sie als Transformationsformel zwischen zwei Bezugssystemen, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegen. e) Relativistische Massenzunahme: m (v ) =
m
mo
1−
v2
c2
v
Merke : Erst ab v > 0,1 c ist relativistisch zu rechnen.
Diese von Einstein vorhergesagt Massenveränderlichkeit konnte mit dem Experiment von Kaufmann und Bucherer gut bestätigt werden. Versuchsaufbau:

+
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Schirm
relativistisch
klassisch
X
X
-
X
X
X
Geschwindigkeitsfilter
Die gemessenen Radien waren größer als die durch r = e
v
vorhergesagten. B
m
Die rel. Massenzunahme erklärt die gemessenen Radien. Die Ladung unterliegt keiner rel. Änderung.  Zyklotron gerät bei hoher Bahngeschw. der Teilchen außer Takt.
6.3. Relativistische Dynamik
mo
Wegen der Massenzunahme erhält man für den Impuls: p = m v = und für die Kraft: F= ṗ=
mo
√
v²
1−
c²
3
√
v²
1−
c²
⋅v
a
Verrichtet man an einem Körper mit der Kraft F Beschleunigungsarbeit (Wa =Kraft x Weg ) so nimmt die kin. Energie des Körpers zu. Durch geschickte Umformung erhält man: W a=E kin =mc 2−mo c 2
Die kinetische Energie lässt sich als Differenz zweier Energiezustände deuten, wobei mc² die Gesamtenergie und moc² die Ruheenergie bedeutet.
Umgeformt ergibt sich: mc² = moc² + Ekin
Bemerkungen: a) Die alte Formel Ekin = ½ mv² ist eine Näherung obiger Formel und darf nur für Geschwindigkeiten v < 0,1 c verwendet werden.
b) Für das Elektron ist die Ruheenergie moc² = 511 keV
Zuletzt noch der Zusammenhang zwischen Energie und Impuls:
p²
–
im klassischen Fall : Ekin = 2m
–
im rel. Fall : E² = Eo² + c²p²
Rechenbeispiel zu Kaufmann und Bucherer: Der β ­ Strahler sendet Elektronen unterschiedlicher Geschwindigkeit aus . Versuchsaufbau:
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
d
klassisch
s = 5 cm
X
X
X
X
X

X
X
Schirm
relativistisch
Geschwindigkeitsfilter
E = 8,0 . 10⁵ V/m
B = 4,0 mT
r-d
r
a ) Wie musss der Kondensator gepolt sein? Berechne die Geschwindigkeit der El . , die den
Wienfilter passieren. (2 .10⁸ m/s)
b) Zeige, dass näherungsweise für kleine d gilt: d =
s²
2r
c) Berechne die Ablenkung d ohne und mit rel. Korrektur. ( 4,4 mm und 3,3 mm)