Übung zur Vorlesung Struktur der Materie, SS 2010
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Übung zur Vorlesung Struktur der Materie, SS 2010 Vorlesungstermin: Mi. und Fr. 12:00 – 13:30 Übungstermin: Mo. 14:00 – 15:30, Hörsaal II Die Klausur (vorläufiger Termin) findet am 21.05.2010 von 14:00 bis 15:30 Uhr in Hörsaal III statt. Blatt 3 Ausgabe der Übungsblätter: In der Vorlesung und unter https://www.astro.uni-koeln.de/StrukturDerMaterie2010 Besprechung der bearbeiteten Übung: Mo. 03.05.2010 1. Compton-Streuung Der Compton-Effekt ist die Streuung von Licht an freien oder schwach gebundenen Elektronen. Die Wellenlängenverschiebung der gestreuten Strahlung berechnet sich gemäß: mit der Compton-Wellenlänge . Das Experiment zur Compton-Streuung kann mit Americium 241 als -Quantenquelle durchgeführt werden. Dieses Isotop emittiert -Quanten mit einer Energie von 60.1 keV. In der folgenden Tabelle finden Sie die gemessenen Energien als Funktion des Streuwinkels: a) Bestimmen Sie aus dieser Messung die Masse der streuenden Elektronen und vergleichen Sie diese mit dem Literaturwert. Hinweis: Hier müssen Sie lediglich wissen wie Energie und Wellenlänge zusammenhängen und die angegebene Formel benutzen. b) Nehmen Sie an, der Fehler in der Energiemessung sei 1 keV. Wie groß ist der Fehler unter der Annahme Gauß'scher Fehlerfortpflanzung der von Ihnen bestimmten Elektronenmasse? Hinweis: Ersetzen Sie in der Formel für die Elektronmasse die Wellenlängen durch die Energien. Wenden Sie dann die Gauß'sche Fehlerfortpflanzung an und rechnen Sie den Fehler aus. 2. Paar-Erzeugung Ein Photon mit einer Energie von 2.5 MeV wird in ein Positron-Elektron-Paar umgewandelt. a) Wie groß ist die kinetische Energie des Positrons und des Elektrons, wenn sich die Energie gleichmäßig auf beide Teilchen verteilt und die elektrostatische Abstoßung vernachlässigt wird? Hinweis: Beachten Sie, dass die kinetische Energie die Gesamtenergie des betrachteten Teilchens reduziert um die Ruheenergie ist. b) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Teilchen? Hinweis: Berechnen Sie hier relativistisch die Geschwindigkeit, die zu dieser Teilchenenergie gehört und vergessen Sie nicht die Ruheenergie zu berücksichtigen. 3. Röntgenbeugung an DNS-Molekülen Die Entdeckung der Doppel-Helix-Struktur von DNS Molekülen geht maßgeblich auf Rosalind Franklin zurück (Nature, 1953, Vol 171: Molecular Configuration in Sodium Thymonucleate und Nature, 1953, Vol 172: Evidence for 2-Chain Helix in Crystalline Structure of Sodium Deoxyribonucleate). In dieser Aufgabe soll die Bestimmung der Helix-Natur des DNS-Moleküls durch Röntgenbeugung qualitativ besprochen werden. Hinweis: In dieser Aufgabe muss nichts gerechnet werden, es soll nur rein qualitativ das Beugungsmuster skizziert und die in der Aufgabenstellung enthaltene Hilfe benutzt werden. a) Betrachten Sie zunächst zwei Fälle eines regelmäßigen Strich-Gitters, wobei die Abstände der Gitterstriche jeweils d seien. Die Gitterstriche verlaufen wie in der Abbildung unten dargestellt. Einstrahlungsrichtung ist senkrecht in die Blattebene hinein. Wie sieht das entsprechende Beugungsmuster aus (Zeichnung!)? b) Die Abbildung unten links zeigt das Interferenzmuster durch Röntgenbeugung am ZuckerPhosphat-Skelett (blau-weiß, in Abb. rechts) des DNS-Moleküls (nicht das der Basenpaare Adenin-Thymin und Guanin-Cytosin (gelb)). Vereinfachen Sie das Phosphatgerüst zu einem Strichgitter und markieren Sie den Steigungswinkel der Phosphatketten im DNS Molekül und im Beugungsmuster. Betrachten Sie dabei nur einen Strang der Doppelhelix. 4. Wellennatur der Materie a) Wie groß sind die Wellenlängen bzw. de Broglie-Wellenlängen von Photonen, Elektronen und Protonen der kinetischen Energien 1keV, 1MeV, 1GeV und 1TeV? Hinweis: Benutzen Sie für die Photonen die Formel für die Photon-Energie und rechnen Sie relativistisch. b) Zeigen Sie, dass die Gruppengeschwindigkeit der de Broglie Wellenpakete genau der Teilchengeschwindigkeit entsprechen, wobei Sie relativistisch rechnen. Hinweis: Benutzen Sie und und zeigen Sie dann . c) Zeigen Sie (relativistisch), dass für die Phasengeschwindigkeit und die Gruppengeschwindigkeit der de Broglie Wellenpakete gilt: . Hinweis: Benutzen Sie , um zu zeigen. 5. Das Wasserstoff-Atom Ein Elektron im elektrischen Potential eines Protons hat die potentielle Energie und die kinetische Energie . Ferner gilt die Heisenberg'sche Unschärferelation . Damit kann man die Energie eines Wasserstoffatoms und den Atomradius abschätzen. Benutzen Sie für diese Abschätzung die Unschärferelation in der Form , wobei r und p der Abstand und der Impuls des Elektrons sind. Suchen Sie damit nach dem Radius und der Energie, bei der die Gesamtenergie des Wasserstoffatoms am geringsten ist. Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Gesamtenergie des Elektrons mit (benutzen Sie hier die Abschätzung ) und setzen Sie dann , um und zu bestimmen.
