Solenoid-Fokussierungsmagnete für den - MESA

Solenoid-Fokussierungsmagnete
für den niederenergetischen
Strahltransport an MESA
von
Christian Stoll
Masterarbeit im Fach Physik
vorgelegt dem Fachbereich Physik, Mathematik und Informatik (FB 08)
der Johannes Gutenberg-Universität Mainz
am 29. April 2016
1. Gutachter: Prof. Dr. Kurt Aulenbacher
2. Gutachter: Prof. Dr. Sebastian Böser
Betreuer: M. Sc. Steffen Heidrich
Ich versichere, dass ich die Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt sowie Zitate kenntlich gemacht habe.
Mainz, den [Datum] [Unterschrift]
Christian Stoll
MESA
Institut für Kernphysik
Johann-Joachim-Becher-Weg 45
Johannes Gutenberg-Universität D-55128 Mainz
[email protected]
Inhaltsverzeichnis
1. Motivation
2. Das
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
Solenoid
Das magnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Herleitung des magnetischen Feldes im Solenoid . . . . . .
Fokussierung im Solenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Brennweite einer Solenoidlinse . . . . . . . . . . . . .
Abbildungsfehler in Solenoiden . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Chromatische Aberration . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. Sphärische Aberration als Folge von Magnetfeldern
2.6. Magnetische Abschirmung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Magnetfeldmessungen - theoretische Grundlagen
3.1. Der Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Geometrie des Hall-Sensors . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Wahl des Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3. Charakteristik eines Hall-Sensors . . . . . . . . . . . . .
3.2. Die Rotating Coil Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Magnetische Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Messung der Feldkomponenten . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Bestimmung von magnetischem Mittelpunkt und Achse
3.2.4. Anwendungsgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5. Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Messung eines Quadrupols am CERN . . . . . . . . . . . . . .
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4. Simulationsmethoden
4.1. Mathematische Grundlagen der Finiten Elemente Methode - FEM
4.1.1. Wahl der Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Finite Integration Technique - FIT . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Anwendung im Design-Prozess - Simulation mit FEMM . . . . . .
4.4. Simulationen mit CST Studio Suite . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Simulationen und Ergebnisse
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5.1. Design der Spulenparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2. Simulation des magnetischen Feldes mit MuMetall . . . . . . . . . . . . . . 39
6. Der Chopper für MESA
43
6.1. Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7. Der Spinrotator für MESA
45
3
Inhaltsverzeichnis
8. Das Chopper-Solenoidpaar
47
8.1. Umsetzung der Design-Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.2. Wicklung und Montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9. Magnetfeldmessungen
9.1. Messaufbau . . . . . . . . .
9.2. Messergebnisse . . . . . . .
9.2.1. Aluminium-Prototyp
9.2.2. Chopper-Solenoid . .
9.2.3. MAMI-Solenoid . . .
9.2.4. Quadrupol . . . . .
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10.Der Testaufbau an der PKA 2
67
10.1. Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.2. Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
11.Zusammenfassung und Ausblick
69
A. Anhang
71
A.1. Das 100 keV-MAMI-Solenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
A.2. Das Chopper-Solenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A.3. Spinrotator Solenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4
1. Motivation
Am Institut für Kernphysik der Johannes Gutenberg-Universität Mainz wird derzeit ein
neuartiges Beschleunigerkonzept für Elektronen umgesetzt, mit dem Bau des Mainz Energy
Recovering Superconducting Accelerator - MESA. Der aktuell geplante Aufbau ist in Abbildung 1.1 dargestellt. Geplant ist ein Multi-turn-Beschleuniger, bei dem interne Experimente bei einem Strahlstrom von 1 mA im ER-Modus (Energy Recovering) durchgeführt
werden können, sodass die Energie des Strahls wieder zurückgewonnen und zur Beschleunigung neuer Elektronen genutzt werden kann und der Strahl mit 5 MeV gedumpt wird.
Im EB Modus (External Beam), bei dem ein Strahl mit 85 % Polarisationsgrad mit einem
Strahlstrom von 0,15 mA verwendet werden kann, wird die Strahlenergie nicht zurückgewonnen und der Strahl wird mit 155 MeV gedumpt. Durch den Einsatz von supraleitenden
Beschleunigungskavitäten auf Basis der TESLA-Technologie kann dem Strahl pro Umlauf
ein Energiehub von 50 MeV zugeführt werden. Eine wichtige Aufgabe von MESA ist die
MAGIX
P2
Abbildung 1.1.: Draufsicht des geplanten MESA-Beschleunigers. In der Quelle (STEAM)
mittig rechts wird der Strahl erzeugt und dann durch die Strahlpräparation (MELBA) geführt. Dort wird der kontinuierliche Strahl in einzelne
Pakete (bunches) aufgespalten. Im Injektor (MAMBO) wird der Strahl auf
5 MeV beschleunigt. Nach bis zu 3 möglichen Umläufen hat der Strahl eine
Energie von 155 MeV erreicht. [SAH+ 15].
Bereitstellung polarisierter Elektronenstrahlen. Dabei wird für die Quelle auf ein Konzept
zurückgegriffen, das bereits am Elektronenbeschleuniger MAMI (Mainzer Mikrotron) im
Einsatz ist: Aus einer Halbleiterkathode werden durch gepulste, zirkular polarisierte Laserstrahlung polarisierte Elektronen ausgelöst und zur Vorbeschleunigerstufe der MELBA
1
1. Motivation
(MEsa Low energy Beam Apparatus) hin beschleunigt, siehe Abbildung 1.2. In einem
sogenannten Chopper (engl. Hackmesser) werden die Elektronen zunächst mithilfe eines
Resonators spiralförmig abgelenkt, sodass durch einen Kollimatorschlitz nur ein Teil des
Gesamtstrahls gelangt. So entstehen aus dem kontinuierlichen Strahl einzelne Elektronenpakete. Um eine Emittanzaufweitung des Strahls zu kompensieren, wird der Chopperkollimator von einem Solenoidpaar unterstützt, dessen Brennpunkt auf halber Strecke
zwischen Kollimator und der zweiten Kavität liegt, die die Rotation des Strahls aufhebt.
Teil dieser Arbeit ist es, die gegenpolig betriebenen Solenoidmagnete auszulegen, die an
dieser Stelle zum Einsatz kommen sollen. Da für den Transport von Elektronen ein sehr
gutes Vakuum (< 5 · 10−10 mbar) benötigt wird, soll die Konstruktion aus Chopper und
Strahlrohr bis 250 ◦C ausheizbar sein. Ein am Strahlrohr beziehungsweise Chopperkollimator befestigter Solenoidmagnet muss also auch nach mehreren Ausheizvorgängen seine
Eigenschaften beibehalten. Besondere Aufmerksamkeit ist deshalb der Wahl der Materialien zur Fertigung der Solenoide gewidmet. Der gebunchte Strahl wird anschließend im
MAMBO (Milli Ampere Booster) auf 5 MeV beschleunigt und danach in den eigentlichen
Beschleunigerring injiziert.
100 keV
CW-Strahl → Elektronenpakete
5 MeV
Quelle
Chopper-Buncher-System, MELBA
MAMBO
Abbildung 1.2.: Einfache Konzeptskizze zur Darstellung der Stationen zwischen Quelle
und Injektion. Im Anschluss wird der Strahl in den eigentlichen Beschleunigerring injiziert.
Ein weiterer Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit dem Aufbau eines Teststandes zur
Vermessung von Magnetfeldern, welcher zum Zwecke der Qualitätssicherung eingesetzt
werden soll. Dieser Teststand wird zukünftig auch für Messungen an kleinen Dipolmagneten und Quadrupolmagneten eingesetzt werden.
2
2. Das Solenoid
2.1. Das magnetische Feld
Bevor die magnetischen Eigenschaften eines Solenoids hergeleitet werden, soll kurz allgemein der Begriff des magnetischen Feldes diskutiert werden. Ein Magnetfeld kann als
Ansammlung von Feldlinien (φ) betrachtet werden. Die SI-Einheit der Feldlinie ist das Weber, im CGS Einheitensystem das Maxwell, 1 Wb = 108 Mx. Als magnetische Flussdichte
B bezeichnet man die Anzahl der Feldlinien pro Flächenelement:
B=
φ
A
In CGS-Einheiten wird die magnetische Flussdichte in Gauss dargestellt, 1 G = 1 Mx/cm2 .
Im SI-Einheitensystem in Tesla, wobei 1 T = 1 Wb/m2 ist und damit 1 T = 104 G entspricht.
Das magnetische Feld H hängt über die Materialgleichung der Elektrodynamik mit der
magnetischen Flussdichte B zusammen:
B = µH.
In CGS-Einheiten wird das magnetische Feld in Oersted dargestellt, in SI-Einheiten in
Ampere pro Meter. 1 Oe = 1000
4π A/m = 79,58 A/m. In CGS-Einheiten ist die Permeabilität
des Vakuums 1 und somit gilt dort 1 Oe = 1 G.
2.2. Herleitung des magnetischen Feldes im Solenoid
Auf Grundlage des Feldes einer Leiterschleife wird im Folgenden das Feld eines endlich
ausgedehnten Solenoids hergeleitet [Mon80]. Das Solenoidfeld kann vereinfacht als das Feld
vieler dünner Leiterschleifen verstanden werden. Für eine Leiterschleife kann mittels des
Biot-Savart’schen Gesetzes das Magnetfeld hergeleitet werden:
Hx =
2πIr2
,
10(r2 + x2 )3/2
(2.1)
wobei I der Spulenstrom und r der Radius der Schleife ist. Dabei ist Hx in Oersted
angegeben, r und x in cm. Im Zentrum, d.h. x = 0 der Schleife gilt:
H0 =
2πI 1
.
10 r
Die Integration über eine axiale Verschiebung von Gleichung (2.1), d.h. eine endlich
lange Aneinanderreihung von dünnen Leiterschleifen mit Länge l und Windungszahl N
3
2. Das Solenoid
~r
x~1
~
H
x~2
l
Abbildung 2.1.: Darstellung der Parameter des dünnwandigen Solenoids. Die gestrichelte,
graue Linie deutet die Zentralachse des Solenoiden an. In rosa ist der
felderfüllte Bereich angedeutet, in rot die stromdurchflossenen Leiter.
liefert das Magnetfeld eines dünnwandigen Solenoids wie in Abbildung 2.1 dargestellt:
Zx2
N
H=
l
2πIN
2πIr2
dx =
3/2
2
2
10l
10(r + x )
"
x2
p
x22 + r2
x1
Im Zentrum, d.h. x2 =
l
2
−p
x1
x21 + r2
#
.
= −x1 gilt:
H=
4πIN
√
10 l2 + 4r2
Die Integration über endliche Radien, beispielhaft am x2 -Term gezeigt:
Zr2
x2
p
r1
x22 + r2
dr = x2 ln
q
x22
r2
+
r2
+r
r1
p
= x2 · ln p
x22 + r22 + r2
x22 + r12 + r1
,
liefert das Magnetfeld eines endlich ausgedehnten Solenoiden, wie in Abbildung 2.2 dargestellt:
"
#
p
p
r22 + x22 + r2
r22 + x21 + r2
2πIN
H=
x2 · ln p 2
− x1 · ln p 2
.
10(r2 − r1 )
r1 + x22 + r1
r1 + x21 + r1
Für das Zentralfeld x2 = l/2 = −x1 ergibt sich dann:
"
#
p
r22 + (l/2)2 + r2
4πIN l/2
l
H0 =
· ln p 2
10(r2 − r1 ) 2
r1 + (l/22 ) + r1
Führt man die Parameter α = r2 /r1 und β = b/r1 , (b = l/2) ein, so ergibt sich:
!
p
4πIN b
α + α2 + β 2
p
H0 =
ln
10(r2 − r1 )
1 + 1 + β2
4
2.2. Herleitung des magnetischen Feldes im Solenoid
◦
r~2
◦
◦
◦
◦
r~1
x~1
~
B
x~2
×
×
×
×
×
l
Abbildung 2.2.: Darstellung der Parameter des endlichen Solenoids, wobei sich die Richtung des magnetischen Feldes aus der Richtung des Stromflusses ergibt.
Mit × wird Stromfluss in die Bildebene angedeutet und mit ◦ Stromfluss
aus der Bildebene heraus.
Für eine Spule kann der Parameter λ definiert werden, der das Verhältnis von aktiver
Spulenfläche zur verfügbaren Fläche darstellt. Im Produkt mit der Stromdichte j, die den
Strom pro aktiver Fläche beschreibt, ergibt sich:
jλ =
NI
2b(r2 − r1 )
Und damit folgt für das Zentralfeld H0 :
4πβ
H0 = jλr1
ln
10
!
p
α2 + β 2
p
1 + 1 + β2
α+
(2.2)
Gleichung (2.2) enthält dabei einen komplett geometrieabhängigen Teil, den sogenannten Feldfaktor F (α, β):
!
p
4πβ
α + α2 + β 2
p
F (α, β) =
ln
.
10
1 + 1 + β2
Wie in Abbildung 2.3 zu sehen ist, erreicht der Feldfaktor schnell eine Sättigung, falls
nur der Außenradius beziehungsweise die Länge der Spule im Vergleich zum Innenradius
verändert wird. Um ein möglichst großes Feld zu erzeugen, ist es also wichtig, eine Spule
mit möglichst geringem Innenradius zu planen, die Länge so groß wie möglich zu wählen
und den Außenradius auf den Platzbedarf der Wicklung hin zu optimieren. Der elektrische
Widerstand eines Leiters kann im Allgemeinen über:
R=ρ
l
A
(2.3)
berechnet werden, wobei ρ der spezifische Widerstand des Leitermaterials ist und l die
Länge und A der Querschnitt des Leiters sind. Für Kupfer liegt die Resistivität ρ bei
1,7 · 10−8 Ω m. Setzt man in Gleichung (2.3) die oben definierten Parameter ein, so ergibt
5
2. Das Solenoid
Abbildung 2.3.: Darstellung der Konturen gleicher Feldfaktoren für verschiedene Werte
von α und β. Die durchgezogenen Linien zeigen Werte konstanter Feldfaktoren. Da der Feldfaktor multiplikativ auf das Zentralfeld wirkt, ist eine
Optimierung hier wichtig, um möglichst starke Magnetfelder zu erzeugen.
sich:
R=
N 2 ρ π(α + 1)
λr1 2β(α − 1)
und der elektrische Widerstand eines Solenoids kann anhand der Spulenparameter abgeschätzt werden. Der spezifische Widerstand ρ weist eine Temperaturabhängigkeit auf,
die über:
ρT c = ρ20° · (α(Tc − 20°)
dargestellt werden kann. Über die Änderung des elektrischen Widerstandes eines Leiters
kann eine Abschätzung der durchschnittlichen Temperaturänderung gegeben werden.
2.3. Fokussierung im Solenoid
Der folgende Abschnitt ist: ”Understanding the focusing of charged particle beams in a
solenoid magnetic field” von Vinit Kumar entnommen [Kum09]. In einem einfachen Modell
wird angenommen, dass das Feld im Inneren des Solenoiden homogen ist und außerhalb 0
ist. In der paraxialen Näherung (kleine Winkel und Abstände von der Strahlachse) lassen
sich die Magnetfelder im Innern folgendermaßen beschreiben:
Bz = B0 [u(z) − u(z − L)],
6
2.3. Fokussierung im Solenoid
r
Br = − B0 [δ(z) − δ(z − L)],
2
wobei u(z) = 1 für z > 0 und u(z) = 0 sonst. Betrachtet werden 3 Regionen, z < 0
als Region I, 0 < z < L als Region II und z > L als Region III. In Region I und III
werden die Teilchentrajektorien geraden Linien folgen, da die Teilchen sich im feldfreien
Raum befinden. In Region II folgen sie schraubenförmigen Bahnen. Um die Übergänge der
Trajektorien zwischen den Regionen zu verknüpfen, gilt es, die Delta-Funktion im radialen
Magnetfeld an der Grenzfläche zu beachten. Für die Lorentzkraft gilt:
~ + q~v × B~r .
FL = q E
Da in paraxialer Näherung keine Querimpulse angenommen werden, ist ~v = (0, 0, vz )
und für Br gibt es nur Beiträge in z-Richtung. Somit ergibt sich die Kraft in azimutaler
Richtung zu:
−evz Br (z)
I
II
III
0
L
Abbildung 2.4.: Darstellung des Solenoidfeldes. Der reale Verlauf ist in Rot dargestellt,
der im Rahmen der paraxialen Näherung genutzte Feldverlauf ist in Blau
dargestellt.
Die Erhöhung der azimutalen Geschwindigkeit der Elektronen ist damit gegeben durch:
∆vθ = r0
eB0
,
2γm
wobei r0 die radiale Komponente am Eintrittsort in Region II ist. γ ist der relativistische
Lorentz-Faktor. Die Zyklotron-Frequenz ist definiert als:
ωc =
eB0
γm
7
2. Das Solenoid
und die Larmor-Frequenz entsprechend als halbe Zyklotron-Frequenz:
ωL =
eB0
2γm
Es kann also ∆vθ = r0 ωL geschrieben werden. Die radiale Geschwindigkeit der Teilchen soll
beim Betreten von Region II gleich bleiben und wird vr = 0 bei z = 0 gesetzt. Zu beachten
ist hierbei, dass die longitudinale Geschwindigkeit der Teilchen sich ebenfalls ändert, da die
gesamte kinetische Energie erhalten bleiben muss. Dies kann in der Regel vernachlässigt
werden, da v⊥ /vz 1. Das Teilchen bewegt sich entlang einer schraubenförmigen Bahn
mit Radius Rc gegeben durch:
γmvθ r0
= .
Rc = eB0 2
In Abbildung 2.6 wurden beispielhaft einige Teilchentrajektorien dargestellt, um den Zusammenhang besser zu präsentieren. Jede Teilchentrajektorie berührt die Solenoidachse.
In der Darstellung wird deutlich, dass die Punkte A,B,C,D nach einer gewissen Zeit im
Feld auf die Punkte A’,B’,C’,D’ wandern und sich der Strahlradius somit verkleinert hat.
Dies beobachtet man jedoch nur bei kurzen Solenoiden.
A’
Rc
O’
r0
O
Abbildung 2.5.: Illustration des Zusammenhangs zwischen Larmor- und Zyklotronfrequenz im Feld des Solenoids [Kum09]. Bezüglich der Achse des Solenoids die am Ursprung liegt, hier mit O gekennzeichnet, rotieren die Teilchen
mit der Larmor-Frequenz. Um den Mittelpunkt der schraubenförmigen
Trajektorien der Teilchen, hier mit O’ benannt, rotieren die Teilchen mit
der Zyklotron-Frequenz.
Wie in Abbildung 2.5 dargestellt, rotieren die Teilchen hierbei um die Symmetrieachse
ihrer schraubenförmigen Bahn mit der Zyklotron-Frequenz. Da sie jedoch gegenüber der
Symmetrieachse des Solenoids nur den halben Winkel einnehmen, rotieren sie um die
Magnetsymmetrieachse lediglich mit der Larmor-Frequenz.
8
2.4. Die Brennweite einer Solenoidlinse
x
A
z
A’
D’
D
O
B
y
B’
C’
C
Abbildung 2.6.: Darstellung der Fokuswirkung eines Solenoids auf geladene Teilchenstrahlen [Kum09]. Die durchgezogene Linie zeigt den Rand eines Elektronenstrahls beim Eintreten in das Solenoid. Die gestrichelte Linie zeigt den
Rand eines Elektronenstrahls nach Durchfliegen der Strecke z im Solenoid. Die gepunkteten Linien sind die Bahnen individueller Elektronen.
2.4. Die Brennweite einer Solenoidlinse
Zur Berechnung der Brennweite eines Solenoiden benutzt man die in Abbildung 2.4 dargestellte paraxiale Näherung für das Magnetfeld und den Matrixformalismus für die Entwicklung der Strahlparameter beim Durchlaufen verschiedener optischer Elemente wie
Drift, Dipol-, Quadrupolfeld etc. Eine detaillierte Darstellung findet man zum Beispiel
bei [Hin08]. Betrachtet man ein Solenoid mit konstantem longitudinalen Feld Bz (0) und
einen Elektronenstrahl mit magnetischer Steifigkeit Bρ0 , der sich in diesem Feld bewegt,
so kann man allgemein die Fokussierstärke k definieren als:
k=
Bz (0)
.
Bρ0
(2.4)
Die magnetische Steifigkeit ist dabei definiert als:
Bρ0 =
γmv
q
(2.5)
9
2. Das Solenoid
Wie bereits im vorherigen Abschnitt erläutert, rotiert der Strahl im Magnetfeld des Solenoids. Diese Rotation bewirkt eine Kopplung der x-y-Komponenten. Zur Beschreibung der
Abbildungseigenschaften eines Solenoids wird also eine 4 × 4-Matrix benötigt. Betrachtet
man jedoch ein mitrotierendes Koordinatensystem, so entkoppeln die x-y-Komponenten
[Dow07]:


C
S/k
0
0
−kS C
0
0 
,
R(−kL)RSole = 
 0
0
C
S/k 
0
0 −kS C
wobei C = cos(kL), S = sin(kL) und L die effektive Länge des magnetischen Feldes ist
und


cos(α)
0
sin(α)
0

0
cos(α)
0
sin(α) 

R(α) = 
− sin(α)
0
cos(α)
0 
0
− sin(α)
0
cos(α)
die Rotationsmatrix für die x-y-Ebene ist [Hin08]. Allgemein beschreibt eine Matrix der
Form:
R11 R21
M=
,
R21 R22
den Übergang der Koordinaten x0 , x00 vor dem optischen Element zu x1 , x01 nach dem
optischen Element in einer Dimension. Für eine dünne Linse gilt:
1 0
M=
1/f 1
Wobei 1/f allgemein als die inverse Brennweite definiert ist. Betrachtet man obige entkoppelte Matrix:
cos(kL) sin(kL)/k
RSole,x =
sin(kL)k cos(kL)
so erkennt man für kurze Linsen, d.h. sin(kL) ≈ kL und L klein, die Form der Abbildungsmatrix eines fokussierenden Elementes:
1 0
k2 L 1
Man erhält für die inverse Brennweite:
1
= k2 L =
f
Bz (0)
2Bρ0
2
L.
Setzt man die Definition der magnetischen Steifigkeit aus 2.5 ein, so erhält man:
10
1
=
f
1
=
f
q
2γmv
2
qc
2γmβc2
Bz (0)2 L,
2
Bz (0)2 L.
(2.6)
(2.7)
2.4. Die Brennweite einer Solenoidlinse
Dabei ist L die Länge des felderfüllten Bereiches, β, γ sind die relativistischen Parameter
der Elektronen, c ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, m0 = 511 keV/c2 die Masse
des Elektrons.
r
Ekin + E0
1
γ=
, β = 1− 2
Ekin
γ
Unabhängig von der Ladung des Teilchens und der Richtung des Feldes wirkt das Solenoid
stets fokussierend. Da das Solenoidfeld jedoch die Bild- und Polarisationsebene dreht,
werden die Solenoide paarweise entgegengesetzt bestromt verbaut, um die Drehung der
Ebenen auszugleichen.
11
2. Das Solenoid
2.5. Abbildungsfehler in Solenoiden
Im optimalen Fall der paraxialen Näherung geht man davon aus, dass jedes Teilchen,
das in der Gegenstandsebene startet, am selben Punkt auf die Bildebene trifft. In der
Realität treffen Teilchen mit unterschiedlichen Ausgangswinkeln auch an unterschiedlichen
Punkten auf die Bildebene. Sphärische Aberration tritt auf als Folge der Terme höherer
Ordnung, die in der paraxialen Näherung vernachlässigt werden. Eine Emittanzaufweitung
des Strahls ist die Folge. Chromatische Aberration tritt auf, wenn die Teilchen im Strahl
unterschiedliche Impulse aufweisen. Ausgehend von [DNSM15] sollen diese Aberrationen
näher betrachtet werden.
2.5.1. Chromatische Aberration
Die chromatische Aberration ist allgemein eine Folge der Impulsverteilung der Teilchen im
Strahl. Da die Fokussierlänge einer Linse von der Geschwindigkeit der Teilchen abhängt,
haben Teilchen mit unterschiedlichem Impuls auch unterschiedliche Fokussierlängen:
f ∝ p2 .
Es bildet sich also im Allgemeinen kein punktartiger Fokus, sondern eine sogenannte Disc
of Confusion, d.h. eine Sphärische Fläche um den Fokus des Sollteilchens, in der Teilchen
verschiedener Energie unterschiedliche Abstände zur Strahlachse besitzen.
Abbildung 2.7.: Illustration der chromatischen Aberration als Folge verschiedener Teilchenenergien, wobei der grüne Strahl Teilchen mit Sollenergie beschreibt
und die rot gestrichelten Strahlen die minimale (kleinerer Impuls) und
maximale (größerer Impuls) Abweichung von der Sollenergie beschreiben.
2.5.2. Sphärische Aberration als Folge von Magnetfeldern
Allgemein tritt sphärische Aberration auf, wenn Teilchen unterschiedliche Abstände zur
Strahlachse aufweisen. Im Falle eines Solenoids, dessen Feld zum Rand seiner Apertur hin
zunimmt, tritt derselbe Effekt auf. Da die Brennweite vom magnetischen Feld abhängig
ist, welches ein Teilchen durchdringt, hängt die Brennweite auch vom Eintrittsort in das
12
2.6. Magnetische Abschirmung
magnetische Feld ab. Teilchen, die weiter innen eindringen werden, weniger stark fokussiert:
1
f∝R 2
B dz
Abbildung 2.8.: Illustration der sphärischen Aberration als Folge der unterschiedlichen
Feldstärken im Solenoid, wobei der grüne Strahl Teilchen mit großer Ablage beschreibt und die rot gestrichelten Strahlen Teilchen mit kleiner
Ablage beschreiben.
Im Falle der hier untersuchten, kleinen Solenoide ist der Effekt der Abbildungsfehler weiter zu untersuchen. Abbildungsfehler entstehen zum Beispiel durch die phasenabhängige
Energieänderung in den Ablenkkavitäten am Chopper. In [DNSM15] werden Simulationen
diskutiert, wo messbare Effekte bei RMS-Strahlgrößen von 10 cm und mehreren Tesla Feld
auftreten.
2.6. Magnetische Abschirmung
Um eine möglichst dünne Linse zu erhalten, die rein fokussierende Wirkung auf den Strahl
hat, ohne weit über die mechanische Länge des Solenoiden zu wirken, wird eine magnetische Abschirmung verwendet. Dabei wird die Luftspule komplett in einem hochpermeablen
Material verschalt, im Folgenden als Mumetall (weichmagnetische Nickel-Eisen-Legierung)
bezeichnet. Dies hat zusätzlich den Effekt, dass das Zentralfeld verstärkt wird, da der magnetische Fluss mehr im Innenbereich verbleibt. Der Effekt der magnetischen Abschirmung
auf das Zentralfeld ist analytisch schwer zugänglich und wird im Rahmen dieser Arbeit
untersucht. Er ist zunächst geometrieabhängig. Ein Einfluss der Dicke der Abschirmung
wird mit dem Programm CST Studio Suite untersucht und später diskutiert. Anhand der
100 keV MAMI-Solenoide (siehe Anhang, Abb. A.1) kann ein erster Eindruck der Wirkung der Abschirmung gewonnen werden. Die reine Luftspule besitzt ein magnetisches
Zentralfeld von 133 G bei 1 A. In der Mumetall-Verschalung wurde bei gleichem Strom
ein Zentralfeld von 280 G gemessen. Für die Abschirmung der MAMI-Solenoide wurde
Hyperm-766 verwendet, eine Nickel-Eisen-Legierung, die sehr ähnlich dem für die Solenoide dieser Arbeit verwendetem Mumetall ASTM A753 Alloy 4 ist. Die Permeabilität µ ist
13
2. Das Solenoid
in Medien folgendermaßen definiert:
B
H
Die Permeabilitätszahl µr ist das Verhältnis von gemessener Permeabilität zur Permeabilität des Vakuums.
µ
µr =
µ0
µ=
Daraus ergibt sich:
µr =
B
µ0 H
(2.8)
Wobei µ0 die Permeabilität des Vakuums ist, mit µ0 = 4π · 10−7 V s/(A m). Für Abschirmungen werden Materialien verwendet, die eine möglichst hohe Permeabilitätszahl
aufweisen, z.B. µr,max = 255000 für Mumetall. Um die Permeabilitätszahl zu berechnen,
wird gleichzeitig Fluss und Feld gemessen und in Formel 2.8 eingesetzt. In Abbildung 2.9
ist hier beispielhaft die Hysteresekurve von Mumetall dargestellt und die daraus gewonnen
Werte für die Permeabilitätszahl sind in Abbildung 2.10 dargestellt. Als Quelle dienen die
für die Simulation mit CST Studio Suite hinterlegten Materialdaten von Mumetall.
Abbildung 2.9.: Unterer Ast der Hysteresekurve von Mumetall. Dargestellt ist der magnetische Fluss B im Mumetall in Abhängigkeit des magnetischen Feldes H.
Erhöht man das magnetische Feld so weit, dass das Material in Sättigung
geht, so steigt der magnetische Fluss nicht weiter an. In Abbildung 2.10
ist die daraus gewonnene Verteilung der Permeabilität dargestellt.
14
2.6. Magnetische Abschirmung
Abbildung 2.10.: Abhängigkeit der relativen Permeabilitätszahl von Mumetall aufgetragen
gegen das magnetische Feld. Es werden Werte bis zu 255 000 erreicht. Ist
das Material gesättigt, so nähert sich die Permeabilitätszahl langsam
dem Wert 1 an. Bei einem magnetischen Feld von H = 10 000 A/m liegt
die Permeabilitätszahl bei etwa 65.
15
3. Magnetfeldmessungen - theoretische
Grundlagen
3.1. Der Hall-Effekt
Der Hall-Effekt tritt auf, wenn ein stromdurchflossener Leiter einem externen Magnetfeld
ausgesetzt ist, das senkrecht zur Flussrichtung wirkt. Im Leiter werden die Ladungsträger
aufgrund der Lorentzkraft abgelenkt. Über die Messung der Hall-Spannung kann eine
Aussage über die Stärke des magnetischen Feldes getroffen werden. Ausgehend von [San09]
soll dies im Folgenden dargestellt werden.
In einem einfachen Modell geht man davon aus, dass der Hall-Effekt in einem Halbleiter
betrachtet wird. Elektronen sind die Majoritätsladungsträger, die Rolle der Löcher wird
vernachlässigt. Alle Elektronen haben die selbe Driftgeschwindigkeit (Smooth Drift Approximation). Thermische Anregungen werden ignoriert. Der Metallstreifen ist unendlich
lang und die Hall-Kontakte sind möglichst klein.
+
z,B
y
b
+
+
+
+
~H
E
~e
E
~vn
VH
J
x
-
-
-
-
-
Abbildung 3.1.: Skizze eines Hall-Generators. Das Magnetfeld zeigt aus der Bildebene heraus. Die Elektronen fließen nach links (blauer Pfeil), die technische Stromrichtung ist von links nach rechts (gelber Pfeil) und das Hall-Feld bildet
sich von oben nach unten aus (schwarzer Pfeil in der Mitte).
Liegt kein äußeres magnetisches Feld an, so bewegen sich die Ladungsträger entlang
~ e . Sobald ein magnetisches Feld
der y-Achse in Richtung des extern anliegenden Feldes E
angelegt wird, wirkt die Lorentzkraft:
~ e + ~vn × B).
~
F~L = q(E
Die Elektronen werden aufgrund der Lorentzkraft von ihrer Bahn abgelenkt und zum
Rand des Leiters hin verschoben. Konsequenterweise reduziert sich die Elektronendich~ H bildet sich und wirkt der
te auf der gegenüberliegenden Seite. Ein elektrisches Feld E
17
3. Magnetfeldmessungen - theoretische Grundlagen
Ladungstrennung entgegen. Im Gleichgewichtszustand gilt:
~ H + ~vn × B
~ = 0.
E
Für das Hall-Feld ergibt sich die Definition:
~ H = −~vn × B
~
E
Es bildet sich eine messbare Hall-Spannung UH zwischen den Rändern des Leiters. Es
soll nun die Hall-Spannung als Funktion des Stroms und des anliegenden Magnetfeldes
dargestellt werden.
Die Geschwindigkeit der Elektronen hängt über die Mobilität µn vom elektrischen Feld
ab:
~ e.
~vn = −µn E
Die Stromdichte J~ hängt über die elektrische Leitfähigkeit des Materials σ vom elektrischen
Feld ab:
~ e.
J~ = σ E
Die elektrische Leitfähigkeit σ kann durch
σ = nqµn
ausgedrückt werden, wobei n die Ladungsträgerdichte im Material ist und q dessen Ladung.
Damit folgt für die zugehörige Stromdichte der Elektronen im Leiter:
~ e = −nq~vn
J~ = nqµn E
Die auftretende Hall-Spannung kann über die Breite b des Leiters berechnet werden:
Z
~ H d~l = −J Bb.
VH = E
nq
b
Die Stromdichte hängt folgendermaßen mit dem Strom im Leiter zusammen:
J=
I
.
bd
Dabei ist b die Breite des Leiters und d seine Dicke. Für einen homogenen, isotropen,
rechteckigen und unendlich langen Hall-Generator ergibt sich dann die Hall-Spannung zu:
VH =
RH
IB.
d
Hierbei ist RH der Hall-Koeffizient, der sich für Elektronen folgendermaßen darstellt:
RH =
1
µn
=
.
nq
σ
Dabei ist die elektrische Leitfähigkeit des Materials temperaturabhängig, da die Mobilität
der Ladungsträger bei zunehmender Temperatur durch Stöße mit den Atomen sinkt. Damit
~
ist auch der Hall-Koeffizient temperaturabhängig. Verallgemeinert, falls das Magnetfeld B
18
3.1. Der Hall-Effekt
einen kleinen Winkel γ mit der Richtung des Stromes I bildet, ergibt sich:
VH =
RH
IB cos γ.
d
Die Hall-Spannung hängt linear von der Geschwindigkeit der Ladungsträger ~vn und von
~ ab. Zusätzlich zur Mobilität der Ladungsträger
der Intensität des magnetischen Feldes B
im Material und der Geometrie hängt die Hall-Spannung von der Dicke d des Sensors ab.
VH ∝
1
d
Der Hall-Winkel ist definiert als der Winkel zwischen dem gesamten elektrischen Feld
~ das die Summe aus externem elektrischen Feld und dem Hall-Feld darstellt, und dem
E,
~H.
Hall-Feld E
|EH |
tan θH =
= −µn B
|Ee |
Für einen idealen Hall-Generator wäre θH = 90°.
Material
InSb
InSb
InSb
Metall
Metall
Feldwert [G]
10 000
280
0,01
280
0,01
Mobilität [cm2 /Vs]
77000
77000
77000
50
50
Hall-Winkel
89,999 999 93°
89,999 997 34°
89,926°
89,996°
26,5661°
Tabelle 3.1.: Darstellung einiger Werte für den Hall-Winkel. Aufgrund eines Hall-Winkels
von fast 90° auch für kleine Felder eignen sich Halbleiter wie InSb und InAs
hervorragend für Hall-Sensoren.
~
E
~H
E
θH
~e
E
~ ergibt
Abbildung 3.2.: Definition des Hall-Winkels für einen n Leiter. Das Gesamtfeld E
sich aus Hall-Feld und dem externen Feld.
3.1.1. Geometrie des Hall-Sensors
Für einen realen Hall-Sensor müssen die endliche Größe der Hall-Kontakte und die Größe
der sensitiven Fläche berücksichtigt werden. Diese zwei Abhängigkeiten können in einem
dimensionslosen Geometriefaktor G zusammengefasst werden, der Werte zwischen 0 und
1 annehmen kann und in der Formel für die Hall-Spannung berücksichtigt werden muss:
l
RH
VH = G
, θH , B BI
(3.1)
b
d
19
3. Magnetfeldmessungen - theoretische Grundlagen
Dieser Geometriefaktor beschreibt die Verringerung der Hall-Spannung aufgrund des unvollständigen Einschlusses des Stroms im Sensor. Die Hauptabhängigkeit findet sich im
Faktor bl .
3.1.2. Wahl des Materials
Wie bereits oben dargestellt, hängt die Hall-Spannung sowohl von der Mobilität der Ladungsträger als auch von der Leitfähigkeit des Materials ab. Materialien mit niedriger
Leitfähigkeit und hoher Mobilität sind zu bevorzugen. Metalle weisen im Allgemeinen hohe
Leitfähigkeit bei niedriger Ladungsträgermobilität auf, weswegen sie in den meisten Fällen
ungeeignet sind. In Halbleitern wie Silizium oder n-Leitern in der III-V-Konfiguration wie
z.B. InSb, InAs und GaAs liegt hohe Ladungsträgermobilität und ausreichender Leitfähigkeitswert vor. Silizium besitzt nur eine durchschnittliche Ladungsträgermobilität, aber Integrated Circuit Chips sind daraus viel leichter herstellbar weshalb es sehr attraktiv für
Hall-Sensor-Chips ist.
3.1.3. Charakteristik eines Hall-Sensors
Die Qualität eines Hall-Sensors kann nach einigen einfachen Kriterien bewertet werden:
hohe Sensitivität auf das magnetische Feld
ein niedriger Null-Feld-Offset mit geringer, zeitlicher Drift
niedrige Temperaturabhängigkeit
geringes thermisches, elektrisches und Frequenzrauschen
Kosten und Leistungsaufnahme
Magnetosensitivität
Die absolute Sensitivität kann als:
S=
VH
,
B⊥
[S] = V/T
dargestellt werden. In modernen Sonden werden Werte von 50 mV/T bis 1 V/T bei nominalem Sensorstrom erreicht. Die Sensitivität ändert sich mit der Zeit, weswegen Hall-Sonden
in regelmäßigen Abständen neu kalibriert werden sollten.
Offset-Spannung
Die Offset-Spannung ist eine parasitäre Spannung, die auch in Abwesenheit von magnetischen Feldern auftritt. Sie kann verschiedene Ursachen, wie z.B. strukturelle Asymmetrien
oder Anordnungsfehler der Hall-Kontakte, haben. Die Offset-Spannung ändert sich auch
zeitlich, da z.B. Unreinheiten aus den Kontakten in den aktiven Bereich driften können. In
konventionellen planaren Hall-Sensoren ist die Offset-Spannung klein und liegt im Bereich
einiger µV.
20
3.1. Der Hall-Effekt
Temperaturabhängigkeit
Die Sensitivität von Hall-Sonden ist temperaturabhängig. Der Hauptbeitrag wird durch
die thermische Anregung der Ladungsträger geliefert. Es gilt zwei Fälle zu unterscheiden:
Hall-Sonden mit schmaler Bandlücke (z.B.: InSb), die starke Temperaturabhängigkeit zeigen. Die Temperaturabhängigkeit der intrinsischen Ladungsträgerdichte ni
wird durch die Aktivierungsgleichung beschrieben:
ni ≈ T 3/2 exp(−Eg /2kT )
Diese Temperaturabhängigkeit kann durch geeignete Unreinheiten reduziert werden, mit
denen man das Material extrinsisch macht. Die Ladungsträgerdichte ist dann praktisch
unabhängig von der Temperatur und damit auch der Hall-Koeffizient RH konstant in
einem großen Temperaturbereich.
Hall-Sonden mit großer Bandlücke (z.B.: InAs) sind weniger stark temperaturabhängig, da sie bis zu hohen Temperaturen, auch bei niedriger Dotierung, extrinsisch
bleiben.
Die Temperaturkoeffizienten für Sensitivität und für die Offset-Spannung müssen folgendermaßen berücksichtigt werden:
1 δVH
, [γT ] = K
VH δT
δVOffset
γO =
, [γO ] = µV/K
δT
γT =
Auch die Offset Spannung driftet bei unterschiedlichen Temperaturen, allerdings zufällig
von Gerät zu Gerät verschieden. Die Temperatur muss also entweder möglichst konstant
gehalten werden oder es muss eine zusätzliche Kompensation der Sensitivität eingebaut
werden, was in den meisten kommerziell erhältlichen Geräten durch einen Temperatursensor realisiert wird, der bereits während der Messung eine Temperaturkompensation
durchführt.
Nichtlineare Effekte
Die Hall-Spannung, die von einer Hall-Sonde gemessen wird, wächst nichtlinear mit dem
~ Diese nichtlinearen Effekte kommen zum einen von den Materialeimagnetischen Fluss B.
genschaften, zusammengefasst in einem Faktor N LM , und zum anderen von der Abhängigkeit des Geometriefaktors G vom magnetischen Feld N LG . N LM und N LG haben eine
quadratische Abhängigkeit vom magnetischen Feld, mit entgegengesetztem Vorzeichen und
in der gleichen Größenordnung. Eine Hall-Sonde wird bereits so geplant, dass diese beiden
Effekte sich möglichst komplett kompensieren:
N L = N LM + N LG
Die nichtlinearen Effekte sind damit stark abhängig von den Eigenschaften der Sonde
und dem Feldintervall, in dem gemessen wird. Typischerweise liegen die nichtlinearen
Effekte in der Größenordnung von 0,2 % bei Zimmertemperatur und Feldern unter 1 T. In
kommerziell erhältlichen Sonden wird dieser Fehler meist während der Kalibrierung der
Hall-Sonde erkannt und korrigiert.
21
3. Magnetfeldmessungen - theoretische Grundlagen
Rauschen
Die Messgenauigkeit wird durch das Rauschen des Ausgangssignals limitiert. Es gibt verschiedene Quellen von innerem Rauschen, die bereits im Hall-Sensor generiert werden,
zum Beispiel Johnson- und Flackerrauschen.
3.2. Die Rotating Coil Methode
Die Messungen mit Hilfe einer Hall-Sonde lassen nur über Umwege Aussagen über den
Multipolgehalt der gemessenen Felder zu, da stets nur kleine Flächen im Feld vermessen werden und aus dem Feldgradienten dann der Multipolgehalt gewonnen werden muss.
Es kann also nur aus Abweichungen von der Linearität der gemessenen Werte auf den
Multipolgehalt geschlossen werden. Mit Hilfe der Rotating Coil Methode ist dies im Falle
von Di- und Quadrupolmagneten einfach möglich. Im Folgenden wird kurz die zugrundeliegende Theorie der Messung auf Basis von [WW94] Kapitel 7 beschrieben, bei der die
magnetische Induktion einer Spule ausgenutzt wird um ein Spannungssignal für die Messung zu erhalten. Dabei wird das zeitliche Spannungssignal in ein rein winkelabhängiges
Signal integriert.
Y
Bθ
Radial Coil
R2
R1
θ
X
ω
Tangential Coil
Br
∆
Abbildung 3.3.: Darstellung der möglichen Spulenanordnungen im Rotating Coil Device.
Oben rechts eine Radial Coil zur Messung der azimutalen Feldkomponente, unten eine Tangential Coil zur Messung der radialen Feldkomponente.
In Abbildung 3.3 sind die möglichen Anordnungen idealer Spulen auf einer zylindrischen
22
3.2. Die Rotating Coil Methode
Halterung dargestellt. In der realen Anwendung kommen ausgedehnte Spulen zum Einsatz,
die auch aufgrund ihrer Fertigungstoleranzen sensitiv auf beide Feldkomponenten sind. Des
Weiteren wird der magnetische Mittelpunkt nur grob angepeilt und die Abweichung von
der eigentlichen Position kann durch die Messung bestimmt werden. Eine Abweichung im
Winkel kann ebenfalls aus dem gemessenen Signal gewonnen werden, falls die Kalibration
der Messspulen mit ausreichender Genauigkeit vorgenommen wurde.
3.2.1. Magnetische Induktion
V =−
dφ
dt
Die induzierte Spannung ist gleich der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses. Für
eine Spule gilt:
I
~ · dA
~
φ=N·
B
A
Damit ergibt sich für die Spannung integriert über den Messzeitraum:
Z
V dt = φ1 − φ2 = N · A · (B 1 − B 2 ),
wobei B die durchschnittlichen Feldwerte gemittelt über die Fläche der Spule sind. Ist die
Fläche der Spule klein gegenüber dem Magneten, so spricht man von einer Search Coil,
mit der man einzelne Punktmessungen durchführen kann. Die Fläche einer solchen Search
Coil ist größer als die aktive Fläche eines Hall-Sensors. Ist die Länge der Spule größer als
die Ausdehnung des Magneten, so kann eine integrierte Feldmessung des gesamten Feldes
durchgeführt werden. Die Feldgradienten können gemessen werden, indem die Spulen in
festem Abstand mit einer zusätzlichen kompensierenden Spule (z.B. Dipole Coil) eingesetzt werden. Dies nennt man Harmonic Coil Measurement. In dieser Konfiguration
ist es besonders einfach, den führenden Pol zu unterdrücken und somit sehr genau den
Multipolgehalt zu bestimmen. Wichtig hierbei ist, dass die Fläche der Spule so genau wie
möglich bekannt ist.
3.2.2. Messung der Feldkomponenten
In Abbildung 3.4 ist der einfachste Aufbau zur Messung von Dipolmagneten schematisch
dargestellt. Im Randfeld messen die beiden Endspulen sowohl den homogenen Teil im
Innern des Magneten als auch den nicht homogenen Randfeldteil. Gemessen werden die
Feldkomponenten Bθ und Br . Die Feldwerte in Polarkoordinaten können auch als Summe der Multipole entwickelt werden. Dabei referenziert n die Multipolmomente. n = 1
beschreibt die Dipolmomente, n = 2 die Quadrupolmomente, usw.
Br =
X
Bθ =
X
[An cos(nθ) + Bn sin(nθ)]rn−1
n
[−An sin(nθ) + Bn cos(nθ)]rn−1
n
23
3. Magnetfeldmessungen - theoretische Grundlagen
Magnet
Dipol-Spule
ω
Rotationsachse
Endspule 1
Endspule 2
Abbildung 3.4.: Darstellung der Spulenanordnung einer Harmonic Coil. Die Dipol-Spule,
die die gesamte Länge des Magneten inklusive Randfeld abdeckt, dient
zur Messung der Dipolkomponente und deren Kompensation in den Signalen der anderen Spulen. Die zwei Endspulen dienen zur Untersuchung
der Randfelder. Sie müssen im Innern des Magneten mindestens dieselbe Ausdehnung wie das Randfeld besitzen, um eine Kompensation des
Dipolfeldes zu ermöglichen.
Oder als kartesische Feldkomponenten:
X
Bx =
[An cos(n − 1)θ + Bn sin(n − 1)θ]rn−1
n
By =
X
[−An sin(n − 1)θ + Bn cos(n − 1)θ]rn−1
n
Vereinfacht kann dies in einer komplexen Schreibweise ausgedrückt werden:
X
By + iBx = (Bθ + iBr )e−iθ =
(Bn + iAn )z̃ n−1
n
z̃ = x + iy = r · eiθ
Wobei die An die schrägen Feldkomponenten (skew field) sind und Bn die normalen
Feldkomponenten. In einem einzelnen rotierenden Draht wird die Spannung:
V = ωrBr l
induziert. Fließt der Strom nun über den Mittelpunkt der Rotation zurück und es kommen
N Windungen zum Einsatz, so wird die Spannung
Z r
d
V = −ω
Bθ ldr
dθ 0
induziert. Ist r gleich dem Außenradius der Spule Rcoil und wird das Magnetfeld in Multipolkomponenten entwickelt, so erhält man:
X
n
V = N ωL
(An cos(nθ) + Bn sin(nθ))Rcoil
n
24
3.2. Die Rotating Coil Methode
Eine Fourieranalyse dieses Signals ergibt:
X
(Vn,cos cos(nθ) + Vn,sin sin(nθ)),
V =
n
woraus direkt die Multipolkomponenten des Feldes gewonnen werden können:
An L =
Vn,cos
n
N ωRcoil
Bn L =
Vn,sin
n
N ωRcoil
Ist die Spule wesentlich länger als der Magnet, so werden die integrierten Multipolelemente
gemessen. Ist die Spule kleiner als der Magnet, so werden die Harmonischen An und Bn
im Zentralfeld gemessen. Zur Angabe der Fehler ist zu beachten, dass Messungen mit dem
Rotating Coil-Verfahren immer bezüglich eines festen Radius im Innern des Magneten
referenziert werden. Hier beispielsweise für die Quadrupolkomponente:
n−1
(Bn L)Rref
Vn,sin
relativer Feld Fehler =
=
(B2 L)Rcoil
V2,sin
relativer Gradienten Fehler = (n − 1)
Vn,sin
V2,sin
Rref n−2
Rcoil
Rref n−2
Rcoil
Aus Gründen der Vergleich- bzw. Reproduzierbarkeit muss immer darauf geachtet werden,
bezüglich welcher Größe, Feld oder Gradient, bzw. bezüglich welches Radius die Messungen durchgeführt wurden. In praktischen Anwendungen wird eine Messung bezüglich der
Winkelposition favorisiert, da sie unabhängig von der Rotationsgeschwindigkeit der Spulen
ist:
Z
X
Rn
V dt = N L
(−An sin(nθ) + Bn cos(nθ))) coil
n
n
Um die Reproduzierbarkeit der Messungen zu überprüfen, ist es sinnvoll, in beide Rotationsrichtungen zu messen. Um auch 20-pole sichtbar zu machen, sind zwischen 128 und
512 Winkelpositionen pro Umdrehung sinnvoll. Ein Vielfaches von 2 ist hier wünschenswert, da die häufig verwendete Fast Fourier Analyse (FFT) nur für Signale der Größe 2n
n
funktioniert. Da die Sensitivität der Messung mit Rcoil
geht, ist es sinnvoll, den Radius
der Spule möglichst groß im Innern der Apertur zu machen. Für genaue Messungen einzelner Magnete liegt bereits bei einer Unsicherheit von 15 µm auf den Radius der Spule
von 30 mm ein Fehler von 0,1 % auf die Messung integrierter Felder vor (Werte am Beispiel eines Quadrupolmagneten mit R = 30 mm, L = 50 mm mit einer Messspule von 10
Windungen und einer Rotationsgeschwindigkeit ω = 0,2π/s). Beste Anwendbarkeit liegt
bei hohen Stückzahlen baugleicher Magnete vor, jedenfalls dann, wenn die mechanische
Ausrichtung möglichst präzise geschieht. Daher ist im Allgemeinen sehr großer Wert auf
eine optimale Ausrichtung der Magnete zu legen, das eigentliche Messverfahren geschieht
dann sehr schnell.
3.2.3. Bestimmung von magnetischem Mittelpunkt und Achse
Der Offset zwischen Mittelpunkt des Magneten und der Messspule kann in komplexer
Notation folgendermaßen ausgedrückt werden und ist als Versatz jeder Windung zu ver-
25
3. Magnetfeldmessungen - theoretische Grundlagen
stehen:
∆z = ∆x + i∆y.
Dieser Versatz führt zu einem Fehler in den Feldern von:
X
(Bθ + iBr )e−iθ =
(Bn + iAn )(z̃ + ∆z̃)n−1 .
n
Da sowohl die Windungen als auch das Zentrum der Spule versetzt sind, gibt es keinen
Winkelversatz ∆θ.
Angenommen, dass ∆z̃ klein ist, so kann obige Formel in Reihe entwickelt werden und
liefert:
X
(Bθ + iBr )e−iθ =
(Bn + iAn )[z̃ n−1 + (n − 1)∆z̃ z̃ n−2 ]
n
Die gemessene induzierte Spannung ergibt sich dann für kleine Fehler zu:
X
n−1 i(n−1)θ
n
e
].
V = N ωL Im
einθ + (n − 1)∆z̃Rcoil
(Bn + iAn )[Rcoil
n
Bei einem reinen Multipolmagneten der Ordnung n, ergibt sich:
n−1
n−1
n
sin(nθ) + (n − 1)∆xRcoil
sin((n − 1)θ) + (n − 1)∆yRcoil
cos((n − 1)θ)]
V = N ωLBn [Rcoil
Damit kann man dann aus der Spannungsmessung den Offset der magnetischen Achse
bestimmen zu:
Rcoil Vn−1,sin
Rcoil Vn−1,cos
∆x =
; ∆y =
n − 1 Vn,sin
n − 1 Vn,sin
Ist der Magnet verdreht gegenüber der Messspule, so gilt:
n
sin(n(θ − α)).
V = N ωLBn LRcoil
n
[sin(nθ) cos(nα) − cos(nθ) sin(nα)]
V = N ωLBn LRcoil
Damit ergibt sich der Winkel der Neigung gegenüber der echten Achse zu:
1
−1 −Vn,cos
α = tan
n
Vn,sin
D.h. Skew-Komponente der induzierten Spannung dividiert durch Normalkomponente. Die
Möglichkeiten der Analyse des Signals erlauben hier Messungen mit sehr hoher Genauigkeit, sodass in entsprechend kalibrierten Umgebungen Abweichungen des magnetischen
Mittelpunkts im Sub-Mikrometer-Bereich sichtbar gemacht werden können [Spe06].
3.2.4. Anwendungsgebiete
Rotating Coil:
Feldqualität
Feldrichtung und Hauptachse mit hoher Präzision
Amplitude der dominierenden Harmonischen (evtl. auch der anderen Harmonischen)
26
3.2. Die Rotating Coil Methode
Hall-Sonden:
3D - Vermessung von Randfeldern
Feldkarten
Erkennung von Produktionsfehlern in Solenoiden
3.2.5. Fazit
Für die meisten einfachen Aufgaben ist ein geeigneter Hall-Sensor mit Datennahme sehr
gut geeignet, um einen Überblick über Feldwerte zu erhalten. Für höchste Präzision und
Analyse der Multipolmomente ist das Rotating Coil-Verfahren geeignet, jedoch nicht für
Solenoide. Dabei sind die Anforderungen an den Aufbau und die Analyse der Signale
wesentlich höher. Auch sind viele Hall-Sonden kommerziell und damit leicht verfügbar,
während es sich beim Rotating Coil-Verfahren immer um Spezialanfertigungen sowohl der
Spulen als auch der Messtische handelt.
27
3. Magnetfeldmessungen - theoretische Grundlagen
3.3. Messung eines Quadrupols am CERN
Im Rahmen eines kurzen Aufenthaltes am CERN war es möglich, im dortigen Bereich für
Magnetfeldmessungen, mit freundlicher Unterstützung von Stephan Russenschuck, einen
der für MESA gebauten Quadrupole zu vermessen. Dort stehen mehrere Bänke für Rotating Coil-Messungen zur Verfügung. In Abbildung 3.5 ist der Aufbau, der für die Messung
verwendet wurde, dargestellt. Im Allgemeinen werden dort größere Quadrupole und Sextupole vermessen. Mit Hilfe eines Alu-Rohres wurde grob der Mittelpunkt des Quadrupols
bestimmt, dann wurde die Halterung der eigentlichen Rotating Coil eingebracht. Mit Hilfe
eines angeschlossenen Computers konnte der Spulenstrom variiert, die Messung eingeleitet
und die Analyse durchgeführt werden. Der Messstand war vollständig automatisiert, die
eigentliche Messung dauert etwa 30 s. Dabei wurde mit einer Frequenz von 1 Hz gedreht.
Pro Umlauf wurden 512 Winkeleinheiten gemessen.
Abbildung 3.5.: Aufbau des Messstandes am CERN mit bereits ausgerichtetem Quadrupol
und der Rotating Coil im Führungsrohr. Das Führungsrohr ist an beiden
Enden auf einem x-y-Tisch befestigt und kann so sehr genau verfahren
werden. Die gesamte Messbank ist auf Stoßdämpfern gelagert, um den
Einfluss von Schwingungen zu minimieren.
Das magnetische Feld kann, wie oben dargestellt, entwickelt werden:
28
3.3. Messung eines Quadrupols am CERN
B(Rref ) =
X
Bn cos(nφ) + An sin(nφ)
n
Durch Ausklammern der führenden Multipolkomponente kann der Multipolgehalt als Vielfaches des Quadrupolgehalts dargestellt werden:
B(Rref ) = B2 (Rref )
X
bn cos(nφ) + an sin(nφ)
n
Die Software ermöglicht dann die Ausgabe des Referenzradius der Messung, Orts- und
Winkelabweichung des magnetischen Mittelpunktes, Spulenstroms, führender Feldkomponente und der Multipolkomponenten in Vielfachen der führenden Feldkomponente sogenannter Units. Um eine möglichst genaue Analyse der Felder und des Feldgehaltes zu
erhalten, wurde ein Zyklus von 1 A, 2 A, 1 A gemessen, dann umgepolt und der Zyklus
wiederholt. Sehr deutlich wurden in der Messung Remanenzeffekte sichtbar. Beispielsweise wurde beim Hochfahren auf 1 A ein Feldintegral von 8,91 · 10−4 T m gemessen. Nach
dem Herunterfahren von 2 A auf 1 A wurde ein Feldintegral von 9,16 · 10−4 T m gemessen.
Nach dem Umpolen wurde dieser Effekt wieder in gleicher Stärke sichtbar. Bei Betrachtung der Multipolkomponenten verhält es sich genauso. Beim Hochfahren von 1 A auf 2 A
bleibt beispielsweise der relative Wert der Sextupolkomponente b3 mit 4,53 units gleich,
beim Herunterfahren werden wieder Remanenzeffekte sichtbar, die zu einer Verkleinerung
der Sextupolkomponente auf 3,90 units führen. Derselbe Effekt ist auch nach dem Umpolen zu beobachten. In Abbildung 3.6 wurden die Messwerte der Rotating Coil-Messung
von Steffen Heidrich mit den Simulationsdaten von FEMM verglichen.
Abbildung 3.6.: Darstellung des Quadrupolfeldes. Links in FEMM simuliert und rechts
die Darstellung der Messwerte und der aus der Simulation gewonnenen
Daten. Dargestellt ist der Feldgradient des Quadrupols auf der x-Achse
[Hei16].
29
4. Simulationsmethoden
4.1. Mathematische Grundlagen der Finiten Elemente Methode
- FEM
Es soll kurz der mathematische Hintergrund der Finiten Elemente Methode umrissen werden, da diese beispielsweise im Programm FEMM, welches zur Feldsimulation eingesetzt
wird, angewendet wird. Dabei wird das Beispiel einer Poisson’schen DGL in Form eines
2D Randwertproblems betrachtet und der Übergang zum numerisch lösbaren Gleichungssystem soll gezeigt werden. Die Herleitung geschieht nach [Kos94].
Die Poisson’sche DGL kann folgendermaßen dargestellt werden:
div(ε grad u0 ) = −ρ,
(4.1)
wobei u0 die exakte Lösung ist, ρ die Raumladungsdichte beschreibt und ε die Permittivität ist. Für die Oberflächen Γ des Volumens Ω des 2D-Problems gibt es verschiedene
Randbedingungen. Beispielhaft sollen hier:
Γ1 : Dirichlet’sche Randbedingung (L(u(x)) = f (x), x ∈ Ω,
u(x) = g(x), x ∈ ∂Ω)
Γ2 : Von Neumann-Randbedingung (L(u(x)) = f (x), x ∈ Ω,
∂u
∂n (x) = g(x), x ∈ ∂Ω)
dargestellt werden.
∂u0
= q auf Γ2
∂n
Im Allgemeinen ist die gewonnene Lösung nicht die exakte, weshalb eine approximierte
Lösung u ≈ u0 betrachtet wird.
u0 = u auf Γ1 , q0 =
div(ε grad u) + ρ = R,
(4.2)
wobei R das Residuum der Approximation ist. u0 wird durch eine approximierte Lösung
der Form:
p
X
u(x, y, z) =
αk (x, y, z)uk
(4.3)
k=1
genähert, mit ausgewählten, bekannten Formfunktionen αk sowie p unbekannten Potentialwerten uk in den k Knoten. Einsetzen dieser Approximation liefert:
div(ε grad
p
X
αk (x, y, z)uk ) + ρ = R
(4.4)
k=1
Falls die Formfunktionen αk in Gleichung 4.4 die Randbedingungen erfüllen, können die p
31
4. Simulationsmethoden
unbekannten Potentialwerte uk gewonnen werden, indem p Punkte im betrachteten Gebiet
Ω gewählt werden und dort R = 0 erzwungen wird. Daraus erhält man p Bestimmungsgleichungen für die uk . Diese Methode heißt Point-Matching oder Kollokationsmethode.
Wird das Residuum im Sinne einer gewichteten Mittelwertsbildung zum Verschwinden gebracht, so wird eine bessere Approximation erreicht. Diese Methode heißt Strategie eines
gewichteten Residuums.
Z
Z
Rw dΩ = [div(ε grad u) + ρ]w dΩ = 0
(4.5)
Ω
Ω
Dabei ist w eine beliebige Gewichtungsfunktion. Ist u die exakte Lösung, so ist R = 0 und
somit die Gleichung erfüllt. Wird als Gewichtungsfunktionen die Dirac-Delta-Funktion
gewählt, so ergibt sich die Kollokationsmethode als Spezial- bzw. Grenzfall.
Die Formfunktionen αk werden häufig als lineare Funktionen gewählt, da diese einen
niedrigen Programmieraufwand besitzen und bereits hohe Genauigkeit erreichen. Jedoch
ist zu beachten, dass lineare Funktionen an Grenzen oft zu Deltastößen in der zweiten
Ableitung führen. Dies gilt es jedoch zu vermeiden. Umformen des Integranden der linken
Seite von (4.5) liefert:
div(ε grad u) = ε∆u + grad ε grad u
(4.6)
Es reicht also offensichtlich nicht aus, Differenzierbarkeit der Formfunktionen zu fordern,
sondern auch die Stetigkeit der ersten Ableitung muss gegeben sein. Diese Eigenschaft
heißt C1 -Kontinuität. Wegen der einfacheren Handhabung von C0 -Kontinuität sollen diese
Funktionen weiterverwendet werden. Durch Anwendung des 1. Green’schen Satzes:
Z
Z
Z
U1 ∆U2 dΩ = − grad U1 grad U2 dΩ + U1 grad U2~n dΓ,
Ω
Ω
Γ
auf die rechte Seite von Gleichung (4.5) mit der Umformung von Gleichung (4.6) liefert:
Z
Z
Z
∂u
ε∆u dΩ = − grad(εw) grad u dΩ + εw
dΓ,
∂n
Ω
Ω
Γ
und:
Z
Z
Z
Z
∂u
div(ε grad u)w dΩ = (grad ε grad u)w dΩ −
grad(εw) grad u dΩ +
εw
dΓ
∂n
Ω
Ω
Ω
Γ
|
{z
}
I1
Z
I1 =
[ε grad w + w grad ε] grad u dΩ,
Ω
wobei der zweite Term von I1 den Volumenterm vorher kürzt. Es ergibt sich:
Z
Z
Z
∂u
(ε grad u) grad w dΩ − εw
dΓ +
ρw dΩ = 0.
∂n
Ω
Ω
Γ
(4.7)
Es treten nur noch erste Ableitungen auf, weswegen diese Form der DGL auch Schwache Form der DGL genannt wird. Es genügt C0 -Kontinuität der Formfunktionen, aber
zusätzlich muss jetzt auch w C0 -Kontinuität besitzen. Die Randintegrale, die jetzt zusätzlich auftreten, werden durch die oben genannten Bedingungen verarbeitet.
32
4.1. Mathematische Grundlagen der Finiten Elemente Methode - FEM
∂u
Auf Γ1 ist das Potential u vorgegeben und die Normalenableitung ∂n
unbekannt. Die
Dirichlet-Bedingung wird erzwungen, indem die Knotenpotentiale uk in den auf dem Rand
liegenden Knoten vorgegeben werden. Dies nennt sich essentielle Randbedingung. Die unbekannte Normalenableitung wird wirkungslos gemacht, indem die frei wählbare Gewichtsfunktion dort auf Null gesetzt wird. Damit tritt das Randintegral nicht auf.
Auf dem Rand Γ2 ist die Normalenableitung q vorgegeben und das Potential unbekannt. Nur für den Sonderfall q = 0 verschwindet das Randintegral von selbst. Dieser
Sonderfall tritt aber sehr häufig auf. Es handelt sich um eine natürliche Randbedingung.
Die Neumann-Randbedingung lässt sich nicht erzwingen, kann aber durch Verfeinerung
des Gitters am Rand immer besser approximiert werden. Für die Wahl der Gewichtungsfunktion hat sich das Galerkin-Verfahren bewährt, bei dem als Gewichtungsfunktion die
Formfunktionen selbst verwendet werden. Diese sind globale Funktionen, die auf ganz Ω
definiert sind. Dies ist bekannt als globales Galerkin-Verfahren. Für komplizierte Fälle hat
sich gezeigt, dass einfachere lokal begrenzte Gewichtungsfunktionen bessere Ergebnisse
erzielen. Werden lokale Formfunktionen als Gewichtungsfunktionen verwendet, so handelt
es sich um das lokale Galerkin-Verfahren.
wl (x, y, z) = αl (x, y, z)
(4.8)
Gleichung (4.7) hat p-Potentiale uk in den k-Knoten, k = 1, . . . , p, für deren Bestimmung
w nacheinander die Werte α1 , . . . , αk annimmt und p Gleichungen entstehen. Dort gibt
es offensichtlich nur dann von 0 verschiedene Beiträge, wenn sich die Formfunktionen
und damit ihre Gradienten überlappen. Da es gemäß der Konstruktion zu relativ wenigen
Überlappungen kommt, entsteht eine dünn besetzte, diagonaldominante Matrix und damit
der große Vorteil, iterative Gleichungslöser einsetzen zu können. Integration über einen
Teilbereich Ωi liefert:
Z
Z
i
E =
(ε grad u) grad w dΩ +
ρw dΩ
(4.9)
ωi
Ωi
Mit w = αl (x, y, z) und dem Ansatz aus Gleichung (4.3) folgt:
Eli
p Z
X
[
=
k=1
Z
ε grad αk grad αl dΩ]uk +
ωi
ραl dΩ
Ωi
Damit findet man bei Integration über ganz Ω:
p Z
n X
X
i=1 k=1
Ωi
n Z
X
ε grad αk grad αl dΩ uk +
i=1
ραl dΩ = 0, l = 1, . . . , p
(4.10)
Ωi
Statt p Gleichungen für p Werte von uk zu erhalten, sind nacheinander p Gewichtungsfunktionen αl einzuführen. Dasselbe Ergebnis erhält man auch aus dem äquivalenten Variationsproblem mit demselben Ansatz aus (4.3):
Z
Z
1
!
L(u) =
ε(grad u)2 dΩ +
ρu dΩ = min.
2 Ω
Ω
Zusammenfassen der aus dem Produkt von grad αk grad αl und der Integration über Ωi
33
4. Simulationsmethoden
entstehenden Matrixelemente Klk zu einer Matrix K, der unbekannten Knotenpotentiale
~ und der bekannten Raumintegrale über die Raumladungsdichte ρ zu
zu einem Vektor U
einem Spaltenvektor F~ , ergibt:
~ + F~ = 0.
K·U
(4.11)
4.1.1. Wahl der Elemente
Die Wahl der Unterteilung des Volumens oder der Fläche in Elemente der Form:
Ω=
n
X
Ωi
(4.12)
i=1
ist abhängig vom Problem und natürlich auch von der Implementierung.
Die 2D-Elemente
Das einfachste 2D-Element ist das Dreieck. Der Rand Γ einer Fläche ist ein Polygonzug,
dieser kann sehr gut durch zu Dreiecken gehörende Seiten zerlegt werden. Bei genügend
hoher Feinheit der Unterteilung können auch Kreisränder und komplizierte Übergänge gut
approximiert werden. Rechtecke sind eine gute Wahl, wenn sie parallel zu den kartesischen
Koordinaten liegen, da das Problem dann trivial wird. Bei krummen Rändern sind Rechtecke nur bedingt einsetzbar und treten dann in Kombination mit Dreiecken auf. Allgemeine
Vierecke mit frei wählbaren Winkeln sind gut geeignet bei Problemen ohne adaptive Netzverfeinerung, da eine bestmögliche Abdeckung auch komplizierter Geometrien möglich ist.
Der Vorteil liegt hierbei im niedrigeren Rechenaufwand, da man im Allgemeinen weniger
Knoten und weniger Elemente hat.
Die 3D-Elemente
Dem Dreieck entsprechend ist das Tetraeder das Schweizer Taschenmesser in der 3DNetzgenerierung. In Abbildung 4.1 ist beispielhaft die Diskretisierung einer Kugel durch
Tetraeder-Elemente gezeigt. Die Handhabung ist dank der baryzentrischen Koordinaten
einfach und wie das Dreieck sind Tetraeder sehr flexibel anpassbar und gut bei adaptiver
Netzgenerierung einsetzbar. Quader verhalten sich wie die Rechtecke im 2D-Fall, sind
also allenfalls Randerscheinung bei unkomplizierten Geometrien. Analog zum allgemeinen
Viereck gibt es das Brick Element, also ein allgemeines Hexaeder mit 8 Ecken und 6
Flächen. Ein Relikt aus der Anfangszeit der 3D-FEM ist das Prisma. Dabei wurden 2D
approximierte Flächen in eine dritte Dimension erweitert, es entstanden Schichten von
Prismen.
4.1.2. Zusammenfassung
Die Finite Elemente Methode ist bei mechanischen Problemen das Mittel der Wahl. Durch
stetig bessere Hardware findet sie auch im Bereich der Elektrodynamik immer mehr Anwendung. Gleichzeitig sind auch andere Methoden wie die Boundary Element Method
(BEM) und die Finite Integration Technique (FIT) im Einsatz. Es muss je nach Problem
bzw. Verfügbarkeit abgewägt werden, welche Methode zum Einsatz kommt. Eine Gemeinsamkeit aller Methoden ist die Unterteilung des Volumens mit Hilfe eines Gitters (Mesh),
34
4.2. Finite Integration Technique - FIT
Abbildung 4.1.: Diskretisierung einer Kugel durch Tetraeder Elemente. Die Darstellung
wurde mit CST Studio Suite erstellt.
welches überhaupt erst die Möglichkeit der Anwendung liefert. Bessere iterative Verfahren
zur Generierung von Gittern liefern hier die Möglichkeit, die Genauigkeit von Simulationen
immer weiter zu erhöhen, falls genug Rechenleistung zur Lösung der Gleichungssysteme
zur Verfügung steht. Zu beachten ist jedoch immer, dass das Simulationsprogramm die
Realität nicht abbilden kann, da Simulationsrechnungen immer Näherungslösungen sind.
4.2. Finite Integration Technique - FIT
In dem Programm CST Studio Suite, welches ein universelles Werkzeug zur Simulation
von statischen und auch frequenzabhängigen elektromagnetischen Feldern ist, kommt die
Finite Integration Technique zum Einsatz. Im Gegensatz zur Finiten Elemente Methode
oder auch anderen Methoden wird kein differentieller Ansatz der Maxwell-Gleichungen
gelöst, sondern ausgehend von der Integraldarstellung der Maxwell-Gleichungen gearbeitet. Wie auch in der Finiten Elemente Methode wird das zu betrachtende Volumen in
endlich viele, endlich große Elemente unterteilt, auf denen dann die entsprechenden Integrale ausbalanciert werden. Eine Besonderheit ist dabei die Unterteilung in ein erstes
Gitter und ein zweites duales Gitter, für höhere Genauigkeit. Dadurch ist es möglich,
sehr genaue numerische Simulationen durchzuführen, ohne Erhaltungssätze zu verletzen.
Die Unterteilung muss dabei so erfolgen, dass zwischen 2 Zellen maximal ein Überlapp
in Form eines Polygonzuges, einer Linie oder eines Punktes entsteht. Details über die
mathematischen Zusammenhänge können zum Beispiel bei [CW01] gefunden werden.
4.3. Anwendung im Design-Prozess - Simulation mit FEMM
Finite Element Method Magnets (FEMM) ist ein nichtkommerzielles Software Paket zur
einfachen 2D-Modellierung und Simulation von magnetischen Feldern. Durch Eingeben
35
4. Simulationsmethoden
eines Querschnitts, beispielsweise einer Spule, und einer Diskretisierung mit DreiecksElementen können sowohl Normal- als auch Tangential-Komponenten des magnetischen
Feldes und des magnetischen Flusses bestimmt werden. Die entstehenden Ergebnisse sind
dabei aber mit Vorsicht zu betrachten, da es sich um eine Approximation eines 3DProblemes vermittels einer 2D-Rechnung handelt. Die Ergebnisse von FEMM lagen etwas
unterhalb der tatsächlichen Werte. Dies konnte auch am Beispiel eines Solenoiden für die
100 keV Beamline von MAMI überprüft werden. Bei 1 A Strom in dem aus 800 Windungen
und einer Mumetall-Abschirmung bestehenden Solenoids wurde ein maximales Zentralfeld
von 273 G gemessen. Bei der Simulation in FEMM wurden nur 210 G erreicht. Dies hängt
wahrscheinlich mit der hohen Komplexität der nichtlinearen Materialien zusammen, die
dazu verwendet werden, das Feld der Spule nach außen hin abzuschirmen. In einem weiteren Schritt wurde dann auf CST Studio Suite zurückgegriffen. Im Falle einer einfachen
Luftspule konnte dort eine Übereinstimmung mit der theoretischen Berechnung gefunden
werden.
4.4. Simulationen mit CST Studio Suite
Für die Simulation der Solenoide wurde auf CST Studio Suite zurückgegriffen. Hier konnten sehr detaillierte Simulationen in 3D zur Untersuchung der Feldeigenschaften durchgeführt werden. Zur Untersuchung des Einflusses der Abschirmung auf das Magnetfeld
wurden weitere Simulationen durchgeführt. Das Programm beinhaltet einen Solver für
magnetostatische Probleme. Der komplette Aufbau wurde im CAD-Programm Inventor
modelliert und in das Simulationsprogramm importiert. Anhand der erstellten Geometrie
konnte dort eine Spule definiert werden. Dabei werden Windungszahl und elektrischer
Widerstand eingestellt. Der Spulenstrom kann frei variiert werden. Die einzelnen Komponenten können mit verschiedenen Materialien geladen werden.
36
5. Simulationen und Ergebnisse
Als Vorlage der Solenoide für den 100 keV-Bereich dienten die entsprechenden Solenoide,
die bereits bei MAMI im Einsatz sind. Ausgehend von diesen nicht ausheizbaren Solenoiden
wurde zunächst die benötigte Feldstärke und die daraus folgenden Änderungen am Design
bestimmt. Bei einem Strom von 1 A soll ein Solenoid ein Feldintegral von 1 T mm liefern. In
mehreren Iterationsschritten wurden dann die bestmöglichen Parameter für die ChopperSolenoide ermittelt und die fertige Geometrie simuliert.
5.1. Design der Spulenparameter
In einem ersten Schritt wurden die analytisch zugänglichen Parameter der Luftspule optimiert. Der Innenradius der Wicklung ist zunächst durch das Strahlrohr und die tragende Konstruktion vorbestimmt, siehe Abbildung 5.1. Bei einem Außendurchmesser des
Strahlrohrs von 25,4 mm und unter Berücksichtigung des Durchmessers der Flansche von
32,9 mm wurde der Innendurchmesser der tragenden Konstruktion auf 35 mm festgelegt.
Eine Dicke von 5 mm der tragenden Konstruktion hat einen Innendurchmesser der Wicklung von 45 mm zur Folge. Zusätzlich ist der zur Verfügung stehende Raum auch außen
durch die Vakuumkammer des Kollimators beschränkt.
32,9 mm
25,4 mm
Abbildung 5.1.: Querschnitt des Strahlrohrs am Chopper-Kollimator.
Um bei einem Strom von 1 A das Feldintegral von 1 T mm erzeugen zu können, sind 800
Windungen nötig. Bei einer Länge der Wicklung von 27 mm ergibt sich der für die Spule
zur Verfügung stehende Raum zu:
A = (rA − rI ) · l.
Bei einem Drahtdurchmesser von 1,02 mm ergibt sich ein Querschnitt von 0,82 mm2 . Für
800 Windungen wird eine Fläche von 654 mm2 benötigt. Berücksichtigt man den Spulenfüllfaktor für eine Anordnung von runden Drähten der bei etwa 0,7 liegt, so ergibt sich
eine Fläche von 934 mm2 . Um etwas Spielraum für die Dichtung mit Silikon zu erhalten und
mögliche Abweichungen vom Füllfaktor berücksichtigen zu können, wurde der Außenradi-
37
5. Simulationen und Ergebnisse
us auf 60 mm festgelegt, so dass sich eine Fläche von 1012,5 mm2 ergibt. Die Wicklung der
Spule erfolgt als wilde Wicklung, d.h. nach einer ersten sorgfältigen Wicklung werden die
weiteren Windungen mit der 1,5- bis 3-fachen Steigung gegenüber dem Drahtdurchmesser
verlegt. Damit wird ein Herabrutschen des Drahtes in die Unterwicklung verhindert und es
entsteht eine homogene Wicklung mit einem Füllfaktor von etwa 70 %. In Abbildung 5.2
ist ein Querschnitt durch das Solenoid dargestellt. Dieser Querschnitt wird im Weiteren
auch zur Darstellung der Simulationsergebnisse präsentiert. Dargestellt ist ein Halbschnitt
mit mittig liegender Spulenwicklung, außen berahmt durch die elektrische Isolation, eine
Schicht MuMetall und die tragende Konstruktion aus niederpermeablem Edelstahl.
Abbildung 5.2.: Querschnitt des Solenoids. In Rot ist die elektrische Isolation mit Drahtkanal dargestellt, in Grün die tragende Konstruktion aus Edelstahl und
in Schwarz der MuMetallrahmen zur Feldführung.
Einfluss der MuMetall-Abschirmung
Um das magnetische Feld möglichst dort zu konzentrieren, wo es benötigt wird, d.h. auf
der Strahlachse, wird eine Abschirmung aus MuMetall verwendet. Das MuMetall besitzt
eine relative Permeabilitätszahl von 255 000 und dient damit als Leiter für die magnetischen Feldlinien. Um den Effekt des MuMetalls zu verdeutlichen, wurde eine Simulation
jeweils mit und ohne MuMetall durchgeführt. In Abbildung 5.3 und Abbildung 5.4 ist
dieselbe Geometrie einmal mit MuMetallrahmen und einmal mit Aluminiumrahmen simuliert worden, bei einem Spulenstrom von 1A. Dargestellt ist der magnetische Fluss B
im Querschnitt. In der logarithmischen Darstellung ist deutlich der Einfluss der hohen
Permeabilitätszahl des MuMetalls sichtbar. Wie bereits in Abschnitt 2.1 dargestellt, gilt
38
5.2. Simulation des magnetischen Feldes mit MuMetall
Abbildung 5.3.: Darstellung des magnetischen Feldes im Fall mit MuMetallabschirmung.
Das maximale Feld auf der Strahlachse beträgt 223 G, das Feldintegral
auf der Strahlachse beträgt 0,996 T mm.
B = µ · H. Eine stromdurchflossene Spule erzeugt ein magnetisches Feld H, abhängig von
den umgebenden Materialien bilden sich unterschiedliche magnetische Flüsse B aus. In
Abbildung 5.3 ist die Spule mit MuMetallrahmen dargestellt, und in Abbildung 5.4 ist
das MuMetall durch Aluminium ersetzt. Für das Zentralfeld auf der Achse ergibt sich im
abgeschirmten Fall ein Maximum von 222,1 G, im Fall ohne MuMetall ein Maximum von
119,3 G. Der Wert für das Zentralfeld ohne Abschirmung kann auch als Kontrolle der vorhergehenden Analyse der Design-Parameter verwendet werden. Nach Gleichung 2.2 ergibt
sich das magnetische Zentralfeld einer Luftspule mit diesen Parametern zu 125,4 G. In
CST Studio Suite kann eine Spule nur mit Hilfe der Parameter Querschnittsfläche, Strom,
Widerstand und Windungszahl definiert werden, weswegen ein Rückschluss auf den Spulenfüllfaktor λ nicht direkt möglich ist und dieser als mögliche Erklärung der Abweichung
zwischen Simulation und Rechnung dienen kann.
5.2. Simulation des magnetischen Feldes mit MuMetall
Für die Chopper-Solenoide wird eine Brennweite, die der halben Strecke von Kollimator zu zweiter Chopper-Kavität entspricht, benötigt. Damit ergibt sich die Brennweite
zu f = 13,2 cm. Dadurch kann mit den Formeln aus Abschnitt 2.4 das Feld und die effektive Länge abgeschätzt werden. Aus der Simulation der optischen Elemente folgt ein
Feld von 193 G mit einer effektiven Länge von 48 mm pro Solenoid [Hei15]. Dabei sind
die Solenoide mit einem Abstand von 105 mm von Mittelpunkt zu Mittelpunkt um den
Chopper-Kollimator gelegt. Im von Ben Ledroit geplanten MESA-Chopper, dargestellt in
39
5. Simulationen und Ergebnisse
Abbildung 5.4.: Darstellung des magnetischen Feldes ohne MuMetallabschirmung. Das
maximale Feld auf der Strahlachse beträgt 119 G, das Feldintegral auf
der Strahlachse beträgt 0,83 T mm.
Abbildung 6.2, liegt der Abstand von Solenoid-Mittelpunkt zu Mittelpunkt bei 113 mm,
was eine Erhöhung des benötigten Feldes auf 198 G zur Folge hat. In Abbildung 5.5 ist
das Feld des geplanten Chopper-Solenoids dargestellt. Würde man zwei dieser Solenoide
als Doppelsolenoid gegenpolig bestromt betreiben, mit einer effektiven Länge von 96 mm,
so ergäbe sich bei einem effektiven Feld von 198 G eine Brennweite von 13,2 cm.
Die Brennweite des Solenoids kann wie bereits in 2.4 dargestellt über:
f=
2m0 c2 βγ
ec
2
1
2 dl
B
l
·R
(5.1)
berechnet werden. Das Magnetfeld hängt linear mit dem Strom zusammen, sodass sich
eine f ∝ 1/I 2 Abhängigkeit der Brennweite vom Strom ergibt. In Abbildung 5.5 sind die
simulierten Feldwerte in Abhängigkeit vom Spulenstrom I dargestellt. Eine entsprechende
Darstellung für die Brennweite des Einzelsolenoids ist in Abbildung 5.6 gegeben. Über
eine quadratische Anpassung wurde die Brennweite f als Funktion des Spulenstromes I
berechnet. Es gilt
C
f = 2,
I
wobei im Parameter C alle Konstanten zusammengefasst wurden. Über diese Anpassung
kann nun für einen beliebigen Spulenstrom die Brennweite eines Solenoids berechnet werden oder entsprechend umgekehrt aus der benötigten Brennweite der Spulenstrom abgeschätzt werden. Für ein einzelnes Solenoid wird ein Strom von 1,35 A benötigt, um eine
Brennweite von 13,2 cm zu erreichen.
40
5.2. Simulation des magnetischen Feldes mit MuMetall
Abbildung 5.5.: Simulation des Magnetfeldes auf der Zentralachse des Chopper-Solenoids.
Der simulierte Aufbau entspricht der Darstellung in Abbildung 5.2. Dargestellt ist das Magnetfeld auf der Zentralachse in Abhängigkeit des
Spulenstromes.
41
5. Simulationen und Ergebnisse
Abbildung 5.6.: Anpassung an die Simulationsdaten. Dargestellt ist die Brennweite in
Abhängigkeit des Stroms I.
42
6. Der Chopper für MESA
Für den Chopper des MESA-Beschleunigers wird ein Solenoidpaar benötigt, um den Strahl
auf die zweite Chopper-Kavität nach dem Chopperkollimator zu fokussieren. Diese Solenoide müssen neu gefertigt werden. Da die lichte Weite der Solenoide leicht erhöht wurde,
kann das alte 100 keV-MAMI-Design nicht zum Einsatz kommen. Um Stöße mit Restgas
zu vermeiden, gilt es, ein möglichst gutes Vakuum in der Gesamtapparatur zu erreichen.
Zu diesem Zweck müssen alle fest verbauten Bauteile ausheizbar sein. Für Solenoide ist es
vorteilhaft, das Magnetfeld möglichst nahe am Einsatzort zu erzeugen, d.h. Solenoide mit
möglichst kleinem Innenradius zu bauen. Dies hat zur Folge, dass auch die Solenoide einen
Ausheizvorgang überstehen müssen, da sie nach ihrem Einbau nicht beliebig abgenommen
werden können. Die Spulen werden aus einem keramikisolierten Draht gewickelt. Die Keramikisolation ist sehr empfindlich gegenüber Feuchtigkeit, weshalb die ganze Spule mit
einem speziellen Silikon abgedichtet wird. Das Silikon ist bis 300 ◦C temperaturbeständig.
Die tragende Konstruktion besteht aus niederpermeablem Edelstahl. Für die elektrische
Isolation der Spule sind Scheiben aus einem Hochtemperatur-Schichtwerkstoff auf Basis
von mit Silikonharz imprägniertem Glimmerpapier eingebracht, die auch den Drahtkanal
beinhalten. Der Keramikdraht besitzt einen Außendurchmesser von 1,02 mm, wobei nur
0,02 mm auf die Keramikisolation entfallen. Er ist spannungsfest bis mindestens 150 V und
temperaturbeständig bis 500 ◦C.
6.1. Aufbau
Das Chopper-System bestehend aus den 2 Ablenkkavitäten, dem Chopper-Kollimator und
dem Solenoidpaar dient dazu, den kontinuierlichen Elektronenstrahl der Quelle in einzelne
Elektronenpakete aufzuteilen. Dazu wird der Elektronenstrahl mit Hilfe der ersten Ablenkkavität, die mit einer modifizierten TM-110-Mode betrieben wird, auf eine nahezu
kreisförmige Bahn abgelenkt. Im Kollimator, der über bewegliche Seitenbacken verfügt,
wird der ringförmig abgelenkte Strahl zum größten Teil absorbiert und nur durch einen
einstellbaren Spalt gelangt ein Elektronenpaket hindurch. Bei einer Betriebsfrequenz des
MESA-Beschleunigers von 1,3 GHz liegt die Periodenlänge bei 769 ps, d.h. über eine Periode wird der Elektronenstrahl auf einen Kreisrand von 360° verteilt. Die oberen 180° werden von der unbeweglichen oberen Kollimatorbacke absorbiert. Die restlichen 180° werden
dann durch die beweglichen Seitenbacken noch weiter unterteilt, wodurch verschiedene
Bunchlängen möglich sind. 1° entspricht etwa 2,14 ps Bunchlänge. Die spiegelsymmetrisch
zur ersten Kavität aufgebaute zweite Kavität dient dazu, die entstandenen Querimpulse
der ersten Kavität aufzuheben. Um eine Emittanzaufweitung des Strahls zu verhindern,
wird das Doppelsolenoid verwendet. Dessen Brennweite ist auf die halbe Strecke zwischen
Kavität und Kollimator einzustellen, sodass sich eine Punkt-zu-Punkt-Abbildung ergibt.
43
6. Der Chopper für MESA
Abbildung 6.1.: Vereinfachte Darstellung des MESA-Choppers. Dargestellt sind in Grau
die Deflektor-Kavitäten, in Grün das Solenoidpaar und in Rot der Kollimator mit den beweglichen Seitenbacken. [Bec13]
Abbildung 6.2.: Draufsicht aus der technischen Zeichnung des Chopper-Kollimators
[Led16]. In der Mitte verläuft das Strahlrohr mit den aufgesetzten Solenoiden (rot markiert). Rechts und links ist jeweils die Durchführung für die
Mechanik der Kollimatorbacken. Der Abstand von Solenoid-Mittelpunkt
zu Mittelpunkt beträgt 113 mm.
44
7. Der Spinrotator für MESA
Für die Spinmanipulation im Bereich des niederenergetischen Strahltransports wird ein
Aufbau aus zwei Wien-Filtern und einem Solenoid verwendet [ADF+ 14]. In Abbildung 7.1
ist das Prinzip des Strahlrotators dargestellt.
Quelle
α-Magnet
φ = 90°
θ = ±90°
Wien-Filter 1
Solenoid 1+2
×
φ = Var.
Wien-Filter 2
Solenoid 3+4
Abbildung 7.1.: Prinzipskizze des Spinrotators (Seitenansicht). Solenoid 1 und 2 werden
gleichpolig betrieben, Solenoid 3 und 4 gegenpolig. Der Strahl verlässt die
Quelle mit longitudinaler Polarisation, passiert den α-Magneten unbeeinflusst und wird vom ersten Wien-Filter um 90° in eine transversale Polarisation gedreht. Durch das nachfolgende Solenoidpaar wird der Spin, je
nach Stromrichtung, um ±90° in der transversalen Ebene gedreht. Durch
den Variabel einstellbaren zweiten Wien-Filter wird die Spinpräzession im
weiteren Verlauf des Beschleunigers kompensiert. Das zweite Solenoidpaar
dient nur zur Fokussierung, wird gegenpolig betrieben und beeinflusst den
Spin nicht weiter.
Für den Spindrehwinkel θS eines Solenoids gilt [CT99]:
Z
Ze(1 + G)
θS =
Bds.
m0 cβγ
(7.1)
Wobei Z die Ladungszahl der betrachteten Teilchen ist und G = (2 − g)/2 das anomale
magnetische Moment ist. Der Spindrehwinkel ist proportional zum magnetischen Feld und
über die Feldrichtung kann in beide Richtungen gedreht werden. Die Brennweite eines
Solenoids ist proportional dem Quadrat des Feldes und damit unabhängig vom Vorzeichen.
Für einen Spindrehwinkel von ±90° wird bei 100 keV ein Feldintegral von 1,752 T mm
45
7. Der Spinrotator für MESA
benötigt.
Abbildung 7.2.: Darstellung der mit CST gewonnenen Feldverteilung bei verschiedenen
Spulenströmen. Bei einem Strom von 0,584 A würde ein Doppelsolenoid
das benötigte Feld für die Drehung des Spins um 90° liefern.
Um eine Aufweitung des Strahls hinter dem Fokus des Solenoids zu vermeiden, kann
ein Doppelsolenoid, das gegenpolig betrieben wird, verwendet werden. Der Einfachheit
halber kann ein entsprechendes Solenoid für die Spinrotation als Doppelsolenoid mit gleicher Polung betrieben werden. Somit muss nur ein allgemein einsetzbares Doppelsolenoid
geplant werden. Aufgrund des Außendurchmessers von 42 mm des Strahlrohrs und entsprechend höheren Platzbedarfs der Flanschhalterungen wird der Innendurchmesser der
Doppelsolenoide auf 50 mm festgelegt. Dies hat einen Innendurchmesser der Wicklung von
60 mm zur Folge. Ausgehend vom diesem Innenradius kann das Doppelsolenoid bezüglich
des geforderten Feldintegrals optimiert werden. Eine Einbaulänge von 10 cm ist pro Doppelsolenoid vorgesehen. Setzt man die effektive Länge zunächst gleich der mechanischen
Länge benötigt man ein effektives Feld B0 von 175 G. Mit einer Breite der Wicklung von
30 mm und einem Außendurchmesser von 152 mm können 1200 Windungen verbaut werden. Auch diese Spulen werden in MuMetall verschalt. Eine Skizze des Aufbaus findet sich
im Anhang A.3. In Abbildung 7.2 sind die aus der Simulation gewonnen Feldwerte des
Einzelsolenoiden bei verschiedenen Spulenströmen dargestellt.
46
8. Das Chopper-Solenoidpaar
Um die Ergebnisse der Simulation überprüfen zu können, wurde zunächst ein Prototyp
in einem vereinfachten Aufbau aus Aluminium gefertigt. Dieser kann für erste Magnetfeldmessungen und als Erfahrungsgewinn für die eigentliche Fertigung verwendet werden.
Abbildung 8.1 zeigt den gesamten Aufbau des Aluminium-Prototypen. Der innere Zylinder wurde mit Kaptonfolie zusätzlich elektrisch isoliert. Mit einer Edelstahlschlauchschelle
kann der äußere MuMetallrahmen angepresst werden, sodass er fest auf den MuMetallscheiben liegt.
48 mm
MuMetall
Kaptonfolie
Aluminium
Drahtkanal
120 mm
Abbildung 8.1.: Aluminium-Prototyp vor dem Wickeln mit aufgelegtem MuMetallRahmen und dem sichtbaren Drahtkanal. Innen ist das Aluminium mit
Kaptonfolie elektrisch isoliert.
Die Probewicklung wurde mit Kupferlackdraht mit 0,95 mm Durchmesser, 1,004 mm inklusive Lackschicht durchgeführt. Es wurden 802 Windungen gewickelt. Der gesamte Spulenkörper wurde mit Silikon abgedichtet, Drahtanfang und Ende mit silikonimprägniertem
Glasfaserschlauch geschützt.
47
8. Das Chopper-Solenoidpaar
8.1. Umsetzung der Design-Parameter
Die Isolation des Keramikdrahtes ist sehr empfindlich gegenüber mechanischer Beanspruchung, weswegen bei der Umsetzung besondere Vorsicht dem Drahtkanal und der Kabelführung gilt. Der minimale Biegeradius des Keramikdrahtes ist das Fünffache seines
Durchmessers, d.h. 5,1 mm. Eine detaillierte Zeichnung des Gesamtaufbaus findet man im
Anhang A.2.
Um den Drahtanfang gefahrlos zurückführen zu können, wurde die innere Scheibe aus
Kelutherm 800M gefertigt, einem bis 800 ◦C Temperatur beständigen Silikonharz imprägniertem Glimmerpapier und mit einem Drahtkanal versehen. Die äußere tragende Konstruktion und der Hauptzylinder sind aus niederpermeablem Edelstahl (1.4429 ESU) gefertigt. Dieses Material weist eine sehr geringe Permeabilität von µr ≤ 1, 005 auf. Es
wird statt Aluminium verwendet, da es eine bessere Temperaturbeständigkeit besitzt. Außen wird der MuMetall-Rahmen mit einer Schlauchschelle aus Edelstahl gehalten. Für
die Drahtdurchführung wird ein kleines MuMetall-Plättchen mit 2 Löchern versehen und
außen aufgespannt.
46 mm
Isolator
Edelstahl
MuMetall
122 mm
Abbildung 8.2.: Der fertige Wickelkörper aus niederpermeablem Edelstahl. Innen liegen
die Scheiben aus Kelutherm 800M. Zwischen Edelstahl und Kelutherm ist
eine 1 mm starke MuMetallscheibe.
8.2. Wicklung und Montage
Zur Wicklung wurden die Wickelkörper zur Firma WISP Komponenten [Kus16] geschickt.
Zunächst wurde der Prototyp zum Erfahrungsgewinn gefertigt. Dabei wurde normaler
Kupferlackdraht eingesetzt, jedoch auf die Bedürfnisse des empfindlicheren Keramikdrah-
48
8.2. Wicklung und Montage
tes geachtet. So konnten erste Erfahrungen für die Wicklung mit Keramikdraht gewonnen
werden.
Abbildung 8.3.: Aluminium-Prototyp beim Wickelbeginn bei Firma WISP Komponenten.
Die erste Drahtlage wird sorgfältig auf den mit Kaptonfolie isolierten
Körper gewickelt.
Für die Wicklung mit dem empfindlicheren Keramikdraht wurden spezielle Vorbereitungen getroffen. Um den Drahtanfang bestmöglich zu schützen, wurde eine kleine Rundung
aufgeklebt und der bereits mit Isolierschlauch versehene Draht befestigt, siehe Abbildung
8.4. Die Drahtenden wurden innen verklebt und der gesamte Wickelkörper mit Silikon
gegen Feuchtigkeit abgedichtet.
Da sowohl die Spulenkörper als auch der Draht mit einer Toleranz bezüglich der Herstellung angegeben sind, findet man minimale Unterschiede der Wicklung. Eine Messung
des Widerstandes der Wicklungen zeigt für das erste Solenoid 5,72 Ω und für das Zweite
5,74 Ω. Dies entspricht einem Unterschied in der Länge der aufgebrachten Wicklung von
0,72 m. Bei einer Gesamtlänge des Drahtes von 202 m entspricht dies einer Abweichung
von 0,36 %.
49
8. Das Chopper-Solenoidpaar
Abbildung 8.4.: Links: Edelstahlkörper beim Wickelbeginn bei Firma WISP Komponenten [Kus16]. Über die seitlich aufgebrachte Rundung wird ein Abknicken
des Drahtes vermieden. Rechts: Befestigung des Drahtendes nach dem
Aufbringen der 802 Windungen.
50
9. Magnetfeldmessungen
9.1. Messaufbau
Zur Messung der Magnetfelder der Solenoide wurde ein Messstand aufgebaut. Dieser besteht aus einem 3-Achsen-System, das auf einer Aluminium Platte montiert ist. Die längste
Achse ist die x-Achse, sie misst 1071 mm. Dies erlaubt einen Verfahrweg von fast 1 m (Der
Gleiter misst 65 mm und die beiden Endschalter erzeugen einen Offset von je 11,5 mm).
Die y- und z-Achse messen jeweils 471 mm und besitzen damit fast 400 mm Verfahrweg.
Bei den Achsen handelt es sich um L-65-Achsen der Firma Movtec. Ihre Wiederholgenauigkeit liegt unter 60 µm, die Positioniergenauigkeit ist kleiner 10 µm. Die Spindelsteigung
beträgt 5 mm, der Schrittwinkel des Motors ist 1,8°. Der Vollschritt ist elektronisch in
8 Mikroschritte unterteilt, sodass pro Umdrehung der Motorwelle 1600 Schritte gefahren
werden. Dies entspricht einem Verfahrweg von 5 mm. Über ein Netzteil der Firma Toellner
können die verschiedenen Magnete bestromt werden.
Abbildung 9.1.: Der Aufbau des Magnetmessstandes. Die Aluminium Platte misst 1,2 m
× 0,8 m. Über die vorgesehenen Bohrungen in der Platte können beliebige
Halterungen für verschiedenste Magnete befestigt werden.
51
9. Magnetfeldmessungen
Über einen massiven Aluminiumwinkel ist die z-Achse am Gleiter der x-Achse befestigt.
Die y-Achse ist auf dem Gleiter der z-Achse befestigt. Auf dem Gleiter der y-Achse ist
eine Halterung befestigt, die ein U-Profil aus Aluminium trägt. In diesem U-Profil können
durch verschiedene Schablonen verschiedenste Sonden fest eingespannt werden. Für die
Steuerung der Achsen werden Schrittmotortreiber der Firma Nanotec eingesetzt. In einer
zusätzlichen Kiste konnten die 3 Motortreiber, ein Schaltnetzteil zur Spannungsversorgung
und die Ansteuerung per RS-485 zu USB Konverter untergebracht werden.
Abbildung 9.2.: Detailansicht des 3-Achsen-Systems. Jeder Motor ist über ein RS-485Kabel mit dem Schrittmotortreiber verbunden. Die y- und z-Achse messen
jeweils 471 mm.
Zu Testzwecken standen eine transversale und eine longitudinale Sonde von Bell Instruments zur Verfügung. Mit Hilfe der dem 3-Achsen-System beiliegenden Software RasterPos
ist es möglich, in einer beliebigen Ebene einzelne Punkte anzufahren. Über einfache Tabellen wird eine Liste der abzufahrenden Punkte und der Wartezeit übergeben. Über ein digitales Multimeter wird die zur Messung verwendete Spannung des Gaussmeters ausgelesen
und kann zunächst von Hand notiert werden. Das bis zu 1 V große Signal des Gaussmeters
repräsentiert den gesamten Messbereich. Dieser wird dynamisch am Gaussmeter variiert.
52
9.1. Messaufbau
Der Messbereich liegt zwischen 30 G und 30 kG. Der Nachteil des Gaussmeters liegt in seiner schlechten Messgenauigkeit. Auf ein Signal von 1 V kommt eine zufällige Schwankung
von 2 mV. Im Messbereich von 300 G erhält man somit eine systematische Unsicherheit
von 0,6 G. Bei den nur wenige Gauss starken Randfeldern ist diese Unsicherheit nicht
hinnehmbar, da hier bereits 15 % relativer Fehler vorliegt.
Im weiteren Verlauf der Arbeit kam zusätzlich ein Digital Signal Processing Gaussmeter
DSP-455 der Firma Lakeshore zum Einsatz. Dieses war ursprünglich für Magnetfeldmessungen bei tiefen Temperaturen vorgesehen. Der beiliegende longitudinale Hall-Generator
wird als longitudinale Sonde verwendet. Über einen Plexiglasstab wurde das empfindliche
Anschlusskabel des Hall Generators geführt und mit Spiralschlauch verstärkt. Das DSP455 bietet dabei den großen Vorteil, dass sofort Feldwerte digital aufgenommen werden
und über ein RS-232-Kabel direkt am Computer ausgewertet werden können. Durch ein
selbst geschriebenes Programm ist es möglich, sowohl das 3-Achsen-System zu verfahren
als auch die Feldmessung vorzunehmen und somit Tabellen von Orts- und Feldwerten zu
erhalten.
Reproduzierbarkeit der Position
Die Positionsgenauigkeit der Achsen ist beim vermessen der Randfelder von Solenoiden
oder Quadrupolen eine mögliche Fehlerquelle. Um diese nicht zum limitierenden Faktor der
Messgenauigkeit werden zu lassen, muss der Einfluss der Positionsgenauigkeit untersucht
werden. Im Randfeld eines Solenoiden mit einem effektiven Feld von 200 G findet sich
ein maximaler Gradient von 6,91 G/mm. Der maximale Messfehler, den man durch eine
Verschiebung der Position ∆x erhält lässt sich dann folgendermaßen nach oben abschätzen:
∆Bmax =
dB
· ∆x.
dx
Um eine Messgenauigkeit von ±0,03 G oder besser zu erhalten, wird eine Positionsgenauigkeit von 4,3 µm benötigt. Nachdem die richtige Kalibrierung der Achsen eingestellt war,
wurde eine Messreihe zur Positionsgenauigkeit der Motoren aufgenommen. Dabei wurde
eine Messlehre und die lange x-Achse verwendet. Zunächst wurde der durch den Endschalter auf der Achse vorgegebene Offset zu 11,5 mm bestimmt. Mit Hilfe der Software
wurde der Endschalter zum Nullpunkt gesetzt und verschiedene Punkte entlang der Achse angefahren, dabei wurde jeweils der Abstand mit Hilfe der Messlehre nachgemessen.
Im Rahmen der Ablesegenauigkeit von 0,1 mm der Messlehre konnte keine Abweichung
der Achsenposition von der im Programm angegebenen Position gefunden werden. Zum
Schluss wurden noch Tests mit mehrfachem Anfahren eines speziellen Punktes mit Hinund Rückweg durchgeführt. Es wurde jeweils im Abstand von 10 mm und im Abstand von
60 mm vom Endschalter mit Hilfe der Messlehre gemessen. Auch bei wiederholtem Anfahren fester Punkte konnte im Rahmen der Messgenauigkeit von 0,1 mm der Messlehre keine
Abweichung gefunden werden. Durch den Hersteller wird eine Wiederholgenauigkeit von
weniger als 60 µm garantiert. Die Positionsgenauigkeit ist kleiner als 10 µm. Damit ist gesichert, dass die Achsen bei der Messung nicht zum limitierenden Faktor der Genauigkeit
werden. Ein Verfahrweg von 1 mm beziehungsweise 320 Schritten ist mit maximal einem
Mikroschritt von 3,125 µm fehlerbehaftet.
53
9. Magnetfeldmessungen
Messgenauigkeit, Reproduzierbarkeit und zeitlicher Drift
Laut Hersteller bietet das DSP-455 eine Genauigkeit von ±0,075 % der Displayausgabe
und ±0,005 % des eingestellten Messbereichs bei DC-Messung. Um diese Werte zu überprüfen wurde die Schwankung der Messwerte über einen Zeitraum von 120 min gemessen.
Die Sonde wurde mit der Nullpunktskalibration auf eine Displayausgabe von 0 G kalibriert.
Alle 5 Sekunden wurde ein Messwert aufgenommen. Die gewonnenen Werte sind in Abbildung 9.3 dargestellt. Die rote Linie ist dabei der Mittelwert der Messung bei 0,0013 G. Die
beiden gestrichelten Linien markieren das Intervall der Standardabweichung von 0,058 G.
Bei einem Messbereich von 35 G besitzt das DSP-455 laut Hersteller einen maximalen,
rein elektronischen Fehler von ±0,08 %. Das entspricht einer Schwankung von 0,028 G.
Schwankungen der Temperatur und damit Änderungen der Sondenempfindlichkeit wurden hier nicht berücksichtigt. Bei einer Displayausgabe von 0 G bleibt jedoch mindestens
ein Fehler von 0,002 G, der auch im Rahmen der Schwankungsmessung sichtbar ist. Im
Vergleich zum Bell Instruments Gaussmeter steigt die Genauigkeit der Feldmessung stark
an. Im Messbereich von 35 G liegt mindestens ein statistischer Fehler von ±0,02 G vor.
Abbildung 9.3.: Darstellung der gewonnenen Messwerte zur Untergrundbestimmung.
Im Messbereich von 350 G wurde dieselbe Messung vorgenommen und analysiert. In
Abbildung 9.4 sind die gewonnenen Messwerte dargestellt, wieder mit der Darstellung von
Mittelwert und Standardabweichung. Im Messbereich von 350 G liegt der Fehler laut Hersteller bei mindestens ±0,02 G und maximal bei ±0,28 G. Auch hier ist die Schwankung der
Werte deutlich zu erkennen. Im Messbereich von 350 G liegt mindestens ein statistischer
Fehler von ±0,03 G vor.
Eine weitere Messreihe wurde im Feld von Chopper-Solenoid 2 durchgeführt, um Effekte
der Positionier- und Wiederholgenauigkeit zu untersuchen. Dabei wurde das Solenoid mit
1 A bestromt. Ausgehend vom magnetischen Mittelpunkt wurde ein Punkt im Fernfeld im
54
9.1. Messaufbau
Abbildung 9.4.: Darstellung der gewonnen Messwerte zur Untergrundbestimmung im
Messbereich von 350 G.
Abstand von 50 mm angefahren und dort das magnetische Feld gemessen. Danach wurde wieder der magnetische Mittelpunkt angefahren und dort der Feldwert aufgenommen.
Dieser Vorgang wurde 200 Mal wiederholt. Die gewonnenen Messergebnisse sind in Abbildung 9.5 und Abbildung 9.6 dargestellt. Im Bereich des Fernfeldes liegt die gemessene
Schwankung bei maximal ± 0,03 G, also sehr ähnlich der bereits vorher diskutierten Messung bei Null Feld. Im Bereich des Zentralfeldes beobachtet man einen weiteren Effekt: das
Zentralfeld wächst zunächst steiler an und flacht dann ab. Eine mögliche Erklärung bietet
die Erwärmung des Solenoids, die später diskutiert wird. Die Schwankung der Feldwerte
liegt bei ± 0,25 G. Mit den so gewonnenen Ergebnissen kann auch gezeigt werden, dass
die relativen Fehler auch bei kleinen Messwerten klein sind, z.B. 0,36 % bei 8,36 G.
Um eine Aussage zur gesamten Messgenauigkeit zu treffen, gilt es auch die Eigenschaften des Hall-Sensors HGCA-3020 zu berücksichtigen. Es handelt sich um einen InAs-HallGenerator, der auch für kryogenische Anwendungen geeignet ist. Laut Hersteller liegt
die Messgenauigkeit der Sonde bei 0,1 % des Messwertes, falls softwareseitig eine Korrektur der Nichtlinearität erfolgt. Bei dem verwendeten Hall-Sensor liegt die Nullfeld-OffsetSpannung bei −1 µV. Die Sensitivität liegt bei 0,981 mV/kG. Diese Werte werden vom
DSP-455 bei der Messung berücksichtigt. Zusätzlich hat jede Sonde ein genau vermessenes
nichtlineares Verhalten, das zusätzlich tabellarisch mitgeliefert wurde. Mit Hilfe einer Hinterlegung dieser Nichtlinearitäten als Tabelle im Software Bereich der Auswertung, kann
jeder Messwert noch einmal korrigiert werden. Im verwendeten Messbereich von 350 G ist
der Einfluss der Nichtlinearitäten nicht vernachlässigbar. Bei einer Messung von 300 G
liegt ein Offset von −0,466 G als systematischer Fehler der Sonde vor. Die Berücksichtigung des nichtlinearen Verhaltens sollte in die Auswertung integriert werden. Eine weitere
55
9. Magnetfeldmessungen
Abbildung 9.5.: Darstellung der bei einem Abstand von 50 mm zum magnetischen Mittelpunkt gemessenen Feldwerte und ihrer Schwankung bei wiederholtem
Anfahren.
Abbildung 9.6.: Darstellung der im magnetischen Mittelpunkt gemessenen Feldwerte und
ihrer Schwankung bei mehrfachem Anfahren.
56
9.2. Messergebnisse
systematische Fehlerquelle ist ein Verdrehen des Hall-Sensors, sodass das zu messende Feld
nicht komplett senkrecht auf der Sonde steht. Bei 5° hat dies einen Messfehler von 0,4 %
zur Folge. Eine kleine Verschiebung des Winkels ist selbst bei fest eingespannter Sonde
und Magnet nicht auszuschließen, da keine äußere Kontrolle erfolgt. Eine Abhängigkeit der
Feldwerte von der Umgebungstemperatur ist noch zu überprüfen, jedoch spezifiziert der
Hersteller den Hall-Generator als nur schwach temperaturabhängig. Die magnetische Sensitivität steigt beim Übergang von Raumtemperatur auf 200 K um 0,05 % an. Ein weiteres
Absenken der Temperatur führt zu sinkender Sensitivität. Der in Abbildung 9.6 dargestellte Verlauf lässt eine Temperaturabhängigkeit vermuten. Eine weitere Messung bei fester
Position im Zentralfeld über eine längere Messdauer konnte den Verlauf reproduzieren.
Durch eine fest eingespannte Temperatursonde vor dem Magneten konnte ein Anstieg der
Temperatur beobachtet werden. In 10 cm Abstand von dem Solenoid stieg die Temperatur
während der Messung von 21,8° auf 22,2°. Gleichzeitig stieg der Widerstand der Spule
von 5,72 Ω auf 6,12 Ω an. Dieser Temperaturanstieg kann mittels der Formel für die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes in eine Durchschnittstemperatur des
Drahtes zurückgerechnet werden. Im Durchschnitt hat sich der Draht um 22,7° erwärmt.
Erwartungsgemäß sollten die Feldwerte bei steigender Temperatur leicht sinken, da die
Spule sich durch Erwärmung ausdehnt. Der beobachtete Anstieg der Feldwerte lässt sich
durch steigende Sensitivität der Hall-Sonde bei höherer Temperatur erklären.
9.2. Messergebnisse
9.2.1. Aluminium-Prototyp
Der Aluminium-Prototyp wurde mit Hilfe einer speziellen Halterung fest eingespannt, der
komplette Aufbau mit eingespanntem Prototyp ist in Abbildung 9.1 dargestellt. Die longitudinale Hall-Sonde von Bell Instruments wurde zunächst per Augenmaß grob in die
Mitte der Öffnung gefahren. Der Solenoid wurde mit 1 A bestromt. Dann wurde zunächst
entlang der x- beziehungsweise z-Achse verfahren, um den magnetischen Mittelpunkt in
der x-z-Ebene zu bestimmen, dies geschieht mittels eines 1 mm feinen Rasters entlang der
Achsen, da das Magnetfeld im magnetischen Mittelpunkt ein Minimum besitzt. Danach
wurde ein 5 mm Raster entlang der y-Achse abgefahren, um das Feld entlang der Strahlachse zu vermessen. Das maximale Feld des Prototypen liegt bei 171 G, sein Feldintegral
ergibt sich zu 0,943 T mm und seine effektive Länge damit zu 55 mm.
Nach dem Einbau des Lakeshore DSP-455 und der Automatisierung der Messung konnte
eine genauere Feldkarte des Prototypen aufgenommen werden. Zunächst wurde mit einem
1 mm feinen Raster der magnetische Mittelpunkt des Solenoids bestimmt. Mit einer 1 mm
feinen Rasterung entlang der Strahlachse wurde dann das Magnetfeld vermessen. Dabei
lag das Maximum des Feldes bei 179 G, das Feldintegral lag bei 0,97 T mm und damit ergibt sich die effektive Länge zu 54,4 mm. In Abbildung 9.7 sind die Messergebnisse bei 1 A
dargestellt. Zum Vergleich wurden auch die Simulationsdaten des Prototypen eingezeichnet. Bei der Simulation lag das Maximum des Feldes bei 200 G, das Feldintegral ergibt
sich zu 1 T mm und die effektive Länge damit zu 50 mm.
Die Abweichung von den Simulationsdaten lässt sich mit einigen Unvollkommenheiten
des Prototypen erklären. Zum einen wurden tragende Konstruktion und Drahtkanalscheiben in einer Scheibe gefertigt, was zur Folge hat, dass die MuMetallscheiben außen liegen.
Zum anderen liegt eine der beiden MuMetallscheiben etwas schief auf und hat deswegen
57
9. Magnetfeldmessungen
Abbildung 9.7.: Darstellung der mit dem DSP-455 gemessenen Werte im direkten Vergleich zur Simulation des Prototypen. Die Messwerte sind rot eingezeichnet, die Simulationsergebnisse schwarz.
wenig Kontakt mit dem äußeren MuMetallrahmen. Dies hat zur Folge, dass die Feldlinien
leitenden Eigenschaften des MuMetalls nicht voll zum Tragen kommen. Die Erfahrungen
aus der Herstellung des Prototypen konnten aber entsprechend berücksichtigt werden.
9.2.2. Chopper-Solenoid
Die Vermessung der beiden Chopper-Solenoide geschieht analog zu der Vermessung des
Aluminium-Prototyps. Die magnetische Mitte wurde bestimmt und entlang der Achse das
Zentralfeld vermessen. Die Schwankung der Feldwerte Bz (r) bei festem Radius wurde untersucht. In Abbildung 9.2.2 sind die Feldwerte entlang der Zentralachse bei verschiedenen
Spulenströmen dargestellt.
Vergleicht man die Messung des Magneten mit den aus der Simulation gewonnen Verteilungen, die in Abbildung 5.5 dargestellt sind, ergeben sich nur kleine Abweichungen. Die
Werte für das maximale Feld liegen bei verschiedenen Spulenströmen jeweils leicht unter
den simulierten Werten. Die gemessenen Verteilungen sind etwas breiter als die simulierten, sodass sich auch bei den Feldintegralen nur kleine Abweichungen von der Simulation
ergeben. Detailliert ist dies für einen Strom von 1 A in Abbildung 9.2.2 dargestellt und in
Tabelle 9.1 ausgewertet. Auch zwischen den beiden identisch gefertigten Solenoiden sind
58
9.2. Messergebnisse
Abbildung 9.8.: Darstellung der entlang der Achse gemessenen Feldwerte bei Spulenströmen von 0,25 A, 0,5 A, 0,75 A und 1 A.
die Abweichungen minimal, siehe Abbildung 9.2.2. Die Chopper-Solenoide werden bei 1 A
betrieben. Bei diesem Strom nehmen sie eine Leistung von 5,72 W beziehungsweise 5,74 W
auf. Das Doppelsolenoid hat dann eine Brennweite von 13,2 cm.
Strom
Maximales Feld
Feldintegral
Effektive Länge
Messung Sole 1
1A
200,1 G
9823 Gmm
49,1 mm
Messung Sole 2
1A
196,6 G
9814 Gmm
49,2 mm
CST
1A
222,1 G
9973 Gmm
44,8 mm
Tabelle 9.1.: Felddaten der Chopper-Solenoide und CST im Vergleich.
Eine weitere Messreihe wurde zur Untersuchung der Feldsymmetrie durchgeführt. Erwartet wird ein symmetrisch um den magnetischen Mittelpunkt steigendes magnetisches
Feld. Gemessen wurde bei 0,5 A an 8 Positionen im Abstand von 45° bei festen Radien von
1 mm und 3 mm. In Abbildung 9.12 und Abbildung 9.13 sind die beiden Messreihen dargestellt. Die Symmetrie der gefundenen Ergebnisse lässt eine ungenügende Bestimmung
des magnetischen Mittelpunktes vermuten. Die Messpunkte bei 90° und 270° weisen eine
entgegengesetzt gleichgroße Abweichung vom Mittelwert auf, dies trifft auch auf andere
Paare von symmetrischen Messpunkten zu. Bei der Messung mit größerem Radius tritt
dieser Effekt dann entsprechend verstärkt auf. Eine weitere Automatisierung der Messapparatur zur genaueren Bestimmung des magnetischen Mittelpunktes eines Solenoids ist
hier sinnvoll.
Während des Betriebes erwärmen sich die Solenoide. Ihr elektrischer Widerstand nimmt
59
9. Magnetfeldmessungen
Abbildung 9.9.: Anpassung an die Brennweiten bei den gemessenen Strömen für ein Solenoid. Im Vergleich mit der aus den Simulationsdaten gewonnen Anpassung, ergibt sich eine Abweichung von 3 cm bei 1 A.
deshalb zu und es wird mehr Leistung aufgenommen. Ein Gleichgewicht stellt sich erst bei
einem elektrischen Widerstand von 6,12 Ω ein, was einer durchschnittlichen Temperaturerhöhung des Drahtes von 22,7 ◦C entspricht.
60
9.2. Messergebnisse
Abbildung 9.10.: Vergleich der Simulationsdaten des Chopper-Solenoids mit den gemessenen Feldwerten bei 1 A.
Abbildung 9.11.: Vergleich der bei 1 A gemessenen Feldwerte der beiden ChopperSolenoide.
61
9. Magnetfeldmessungen
Abbildung 9.12.: Darstellung der gemessenen Feldwerte bei einem Radius von 1 mm und
einem Spulenstrom von 0,5 A. Die Schwankung der Werte liegt bei 0,3 G.
Abbildung 9.13.: Darstellung der gemessenen Feldwerte bei einem Radius von 3 mm und
einem Spulenstrom von 0,5 A. Die Schwankung der Werte liegt bei 0,9 G.
62
9.2. Messergebnisse
9.2.3. MAMI-Solenoid
Eine Messung der ursprünglichen 100 keV Solenoide wurde durchgeführt. Diese wurden
bereits 1986 von U. Reiss vermessen und dokumentiert [Rei86]. In Abbildung 9.14 sind
die gemessenen Werte dargestellt. Zusätzlich sind die mit CST simulierten Feldwerte dargestellt. Die Abweichung zwischen den gemessenen und den simulierten Daten hängt wie
bereits oben erwähnt mit der Definition der Spulenparameter in CST zusammen. Auffällig
ist jedoch die große Abweichung zwischen früher und aktueller Messung. Diese ist nicht
ausschließlich dadurch zu erklären, dass der Strom bei 0,9996 A lag.
Strom
Maximales Feld
rel. Abweichung
Feldintegral
Messung MAGMA
0,9996 A
260,1 G
Messung
1A
282 G
+8,3 %
1,13 T mm
CST
1A
268 G
+1,03 %
0,97 T mm
Tabelle 9.2.: Felddaten des MAMI-Solenoiden von MAGMA, der aktuellen Messung und
CST im Vergleich.
Abbildung 9.14.: Darstellung der Messergebnisse des MAMI-Solenoids bei einem Strom
von 1 A. Zum Vergleich sind die mit CST Studio Suite gewonnenen Simulationsdaten in rot eingezeichnet.
63
9. Magnetfeldmessungen
Um die Abweichung von der früheren Messung weiter zu analysieren, wurde bei den
damals verwendeten Stromwerten zwischen 0,2 A und 1 A in 0,2 A-Schritten das maximale
Feld im magnetischen Mittelpunkt gemessen.
Strom
0,2 A
0,4 A
0,6 A
0,8 A
1A
Messung
56,6 G
113,2 G
169,6 G
225,9 G
281,7 G
Messung MAGMA
51,6 G
103,9 G
156,2 G
208,2 G
260,1 G
Abweichung
+9,7 %
+9,0 %
+8,6 %
+8,5 %
+8,3 %
Tabelle 9.3.: Maximales Feld des MAMI-Solenoids bei verschiedenen Spulenströmen und
Abweichung von der MAGMA-Messung
Die Abweichung von der früheren Messung kann vielfache Ursachen haben, beispielsweise wurden bei einem Umbau der Quelle von MAMI neue Solenoide gebaut. Eventuell
wurde einer dieser Solenoide vermessen und keiner der damals mit MAGMA vermessenen.
Dies erklärt auch die Abweichung zwischen Messung und Simulationsdaten, da hier der
originale 100 keV-MAMI-Solenoid simuliert wurde.
64
9.2. Messergebnisse
9.2.4. Quadrupol
Um das Konzept des Messtisches für verschiedene Magnete testen zu können, wurde mit
Hilfe der transversalen Hall-Sonde ein Quadrupolmagnet für MESA vermessen. Ziel war
es, Feldgradient und, wenn möglich, sogar Multipolgehalt des Quadrupols zu bestimmen.
Hierfür wurde die transversale Sonde des Bell Instruments Gaussmeters verwendet. Der
geometrische Mittelpunkt wurde grob angefahren und dann wurden entlang der x-Achse
Feldwerte aufgenommen. Eine Anpassung an die Feldwerte der Form
By (x) = B0 + kx + mx2
wurde durchgeführt und daraus der Multipolgehalt gewonnen. Der Quadrupol k ergab sich
zu (785 ± 7) mT/m. Für den Sextupolgehalt m ergab sich (0,2 ± 0,4) mT/m2 . In Abbildung
9.15 sind die gemessenen Werte mit der Anpassung dargestellt. Bei der Messung am CERN
wurde ein Feldgradient von 744 mT/m mit einem Sextupolgehalt von (0,40 ± 0,03) mT/m2
bestimmt. Die starke Abweichung der Messung liegt zum einen an der geringen Anzahl
an Messpunkten und sollte zu einem späteren Zeitpunkt mit dem automatisierten Aufbau
wiederholt werden. Zum anderen war die Mittelpunktsbestimmung per Augenmaß und
ohne Halterung sehr ungenau. Die Bestimmung von Gradienten sollte mit dem DSP-455
möglich sein.
Abbildung 9.15.: Anpassung an die Messdaten des Quadrupols, gemessen bei einem Strom
von 1 A.
65
10. Der Testaufbau an der PKA 2
10.1. Aufbau
Im Rahmen der Master-Arbeit von Ben Ledroit soll der von ihm gefertigte ChopperKollimator gemeinsam mit den Solenoiden aufgebaut und getestet werden. Hierfür steht
mit der PKA 2 (Polarisierte Kanone) eine der MAMI-Quelle baugleiche Quelle zur Erzeugung von Elektronen bereit. Mit Hilfe eines gepulsten Lasers können Elektronenpakete
verschiedener Länge erzeugt werden. Durch einen bereits vorhanden Chopperresonator
kann der Strahl kreisförmig abgelenkt werden. Anschließend wird der Kollimator mit den
aufgesetzten Solenoiden eingebaut, über einen Strahlfänger mit Leuchtschirm kann der
Strahlfleck beobachtet werden und die Funktionsweise von Kollimator und Solenoiden
überprüft werden.
Abbildung 10.1.: Skizze des Testaufbaus an der PKA2 [Led16].
10.2. Ergebnisse
Zur Überprüfung der fokussierenden Eigenschaften der Solenoide stand nur der Prototyp
zur Verfügung. Er wurde vor der Kollimator-Kammer eingebaut. Der in der PKA2 erzeugte
Strahl wird bis zum Faraday-Cup am Ende des Aufbaus durchgefädelt. Dabei werden die
verschiedenen optischen Elemente wie Wedler und Quadrupole so optimiert, dass möglichst
100 % Transmission des Quellenstroms erreicht werden. Zur Veranschaulichung der fokussierenden Eigenschaften wurde zunächst der dc-Strahl auf dem Leuchtschirm betrachtet,
siehe Abbildung 10.2.
Bei eingeschalteter Chopper-Kavität ergibt sich, aufgrund der oberen Kollimatorbacke,
die die Hälfte des Kreises abschneidet, ein Halbkreis. Der Strom im Solenoid wird nun
erhöht und der Strahlfleck auf dem Schirm beobachtet. Bei 1,5 A liegt der Fokus auf
dem Schirm. Wird der Strom weiter erhöht, so liegt der Fokus vor dem Schirm und man
beobachtet einen gedrehten Halbkreis auf dem Schirm. Da das Solenoid nicht perfekt auf
67
10. Der Testaufbau an der PKA 2
Abbildung 10.2.: Darstellung der Strahlprofile, die auf dem Leuchtschirm aufgenommen
wurden.
dem Strahlrohr montiert ist und der Strahl nicht genau mittig durch das Solenoid läuft,
sind Abbildungsfehler sichtbar. Die abbildenden Eigenschaften des Solenoids sind klar zu
erkennen.
68
11. Zusammenfassung und Ausblick
Ziel dieser Arbeit war das Design, die Entwicklung und das anschließende Vermessen des
Solenoidpaares für den 100 keV-Strahltransport am Chopper-Kollimator von MESA. Ein
erster Prototyp aus Aluminium wurde komplett geplant, gefertigt und vermessen. Dabei
konnten wertvolle Erfahrungen für die Fertigung der empfindlicheren, ausheizbaren Solenoide gewonnen werden und deren Fertigung durchgeführt werden. Die im Design-Prozess
simulierten Feldwerte konnten in der Messung bestätigt werden. Die beiden ChopperSolenoide erreichen zusammen eine Brennweite von 12,6 cm bei 1 A. Mit Hilfe des Prototypen konnte am Testaufbau an der PKA2 die fokussierende Eigenschaft der Solenoide
auch mit Strahl beobachtet werden.
Ausgehend von den gewonnenen Erfahrungen mit dem ausheizbar konstruiertem Solenoidmagnetpaar ist es möglich, auch weitere Solenoide für den niederenergetischen Strahltransport zu realisieren. Hier wurde beispielhaft das Doppelsolenoid für den Spinrotator
ausgeführt. Dieses Doppelsolenoid ist fast universell im ganzen 100 keV-Bereich einsetzbar.
Weitere Solenoide werden für den MAMBO benötigt. Die dort benötigten Feldwerte sind
etwa 3 Mal größer als die im 100 keV-Bereich benötigten. Es gilt zwischen sehr großen
Solenoiden, die Platzprobleme verursachen können, und wassergekühlten, kompakteren
Modellen zu entscheiden. Hier sind noch weitere Planungsschritte zu unternehmen.
Mit Hilfe des automatisierten 3-Achsen-Lineartisches ist es möglich, verschiedene Magnete vermittels einer longitudinalen Hall-Sonde zu kartieren. Sowohl die Ortsinformation
als auch die Feldwerte können über einen angeschlossenen Computer ausgelesen und gespeichert werden. Mit der Verwendung des DSP-455 und der Automatisierung der Feldmessungen konnte die Genauigkeit der Messung maßgeblich gesteigert werden. Für die
Messung von Solenoiden ist der Tisch voll ausgestattet. Die Automatisierung könnte hierbei noch weiter fortgesetzt werden, um beispielsweise den magnetischen Mittelpunkt eines
Solenoids anzufahren. Um auch Dipole und Quadrupole vermessen zu können, wird eine
transversale Sonde, die mit dem DSP-455 kompatibel ist, eingebaut und getestet.
69
A. Anhang
A.1. Das 100 keV-MAMI-Solenoid
00
110,
A
A
113,
00
30
,00
1,50
A-A ( 1 : 2 )
41,50
71,50
111,50
113,00
Institut f r Kernphysik
Johannes Gutenberg-Universit t
D-55128 Mainz
Kollaboration
B
Ma stab
Projekt MamiSole
Zeichn.-Datum 23.09.2015
Bauteil 100keV
Material Alu,Kupfer,Hyperm766
Anzahl
Zeichner
CStoll
Telefon
23471
Seite 1 von 1
A4
Abbildung A.1.: Zeichnung des 100 keV-MAMI-Solenoids. Das Solenoid ist in ein 1,5 mm
starkes Mumetall verschalt und trägt 800 Windungen.
71
A. Anhang
A.2. Das Chopper-Solenoid
0
35,0
40,00
A
5,50
4,50
27,00
9,50
,00
124
122,00
A-A ( 1 : 1 )
46,00
120,00
A
45,00
37,50
120,00
122,00
Institut f r Kernphysik
Johannes Gutenberg-Universit t
D-55128 Mainz
Kollaboration
B
Ma stab
Projekt ChopperSole
Zeichn.-Datum 23.11.2015
Komplett
Bauteil
Zeichner
CStoll
Material Magnetfreier Edelstahl, MuMetall Telefon
23471
Anzahl 2
Seite 1 von 1
A4
Abbildung A.2.: Zeichnung des Chopper-Solenoids. Das Solenoid ist in ein 1 mm starkes
Mumetall verschalt. Die aktive Spulenfläche beträgt 1012 mm2 und trägt
800 Windungen.
72
A.3. Spinrotator Solenoid
A.3. Spinrotator Solenoid
A
A
154,00
152,00
55,00
50,
00
9,00
5,00
30,00
48,00
4,00
A-A ( 1 : 1,5 )
60,00
46,00
152,00
154,00
Institut f r Kernphysik
Johannes Gutenberg-Universit t
D-55128 Mainz
Kollaboration
B
Ma stab
Projekt Spinrotator
Zeichn.-Datum 26.04.2016
Bauteil Solenoid
Zeichner
Material
Anzahl
Telefon
Seite 1 von 1
CStoll
A4
Abbildung A.3.: Zeichnung des Spinrotator-Solenoids. Das Solenoid ist in ein 1 mm starkes
Mumetall verschalt. Die aktive Spulenfläche beträgt 1380 mm2 und trägt
1200 Windungen.
73
Abbildungsverzeichnis
1.1. Draufsicht MESA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Skizze des Aufbaus von Quelle bis Injektion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2.1. Darstellung der Parameter des dünnwandigen Solenoids . .
2.2. Darstellung der Parameter des endlichen Solenoids . . . . .
2.3. Feldfaktor Konturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Darstellung der Regionen des Solenoidfeldes . . . . . . . . .
2.5. Zusammenhang zwischen Larmor- und Zyklotron-Frequenz
2.6. Fokuswirkung eines Solenoids . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Chromatische Aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Sphärische Aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Unterer Ast der Hysteresekurve von Mumetall . . . . . . . .
2.10. Permeabilitätszahl von Mumetall . . . . . . . . . . . . . . .
.
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.
4
5
6
7
8
9
12
13
14
15
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
.
.
.
.
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.
17
19
22
24
28
29
Skizze eines Hall-Generators . . . . . . . . . . . .
Definition des Hall-Winkels für einen n-Leiter . .
Spulenanordnungen Rotating-Coil-Verfahren . . .
Darstellung der Spulenanordnung einer Harmonic
CERN Rotating Coil Messstand . . . . . . . . . .
Quadrupolfeld, Simulation und Messung . . . . .
. . .
. . .
. . .
Coil
. . .
. . .
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.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.1. Diskretisierung einer Kugel durch Tetraeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
Konzept Flansch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Querschnitt des Solenoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfluss von MuMetallabschirmung auf das Magnetfeld . . . . . . . . .
Einfluss von MuMetallabschirmung auf das Magnetfeld (ungeschirmter
Simulation des Magnetfeldes des geplanten Chopper-Solenoiden . . . .
Brennweiten Anpassung an die Simulationsdaten . . . . . . . . . . . .
. . .
. . .
. . .
Fall)
. . .
. . .
37
38
39
40
41
42
6.1. Vereinfachte Darstellung des MESA-Choppers . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2. Ausschnitt aus der technischen Zeichnung des Chopper-Kollimators . . . . . 44
7.1. Prinzipskizze Spinrotator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.2. Spinrotator-Solenoid Feldverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
Aluminium-Prototyp . . . . . . . . . .
Wickelkörper aus Edelstahl . . . . . .
Wickelbeginn Aluminium-Prototyp . .
Wickeln der Spule auf Edelstahlkörper
.
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.
.
.
47
48
49
50
9.1. Der Magnetmessstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
75
Abbildungsverzeichnis
9.2. Detailansicht der Achsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Untergrundmessung DSP-455, 35 G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4. Untergrundmessung DSP-455, 350 G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5. Wiederholungsmessung im Fernfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6. Wiederholungsmessung im Zentralfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7. Messung des Prototypen und Simulationsdaten . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8. Chopper-Solenoid Magnetfeld bei verschiedenen Strömen . . . . . . . . . . .
9.9. Chopper-Solenoid Brennweite über Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.10. Vergleich zwischen simulierten und gemessenen Feldwerten des ChopperSolenoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.11. Vergleich zwischen den gemessenen Feldwerten der beiden Chopper-Solenoide
9.12. Untersuchung der Feldsymmetrie bei einem Radius von 1 mm . . . . . . . .
9.13. Untersuchung der Feldsymmetrie bei einem Radius von 3 mm . . . . . . . .
9.14. Darstellung der Messdaten des MAMI-Solenoids . . . . . . . . . . . . . . .
9.15. Anpassung an die Messdaten des Quadrupols . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
54
55
56
56
58
59
60
61
61
62
62
63
65
10.1. Skizze des Testaufbaus an der PKA 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.2. PKA2 Strahlprofile auf Leuchtschirm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
A.1. Zeichnung des MAMI-Solenoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
A.2. Zeichnung des Chopper-Solenoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A.3. Zeichnung des Spinrotator-Solenoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
76
Tabellenverzeichnis
3.1. Typische Werte θH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9.1. Felddaten der Chopper-Solenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.2. Felddaten MAMI-Solenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.3. Felddaten B0 MAMI-Solenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
77
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World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 1994 (2nd)
80
Danksagung
Herzlich bedanken möchte ich mich bei Prof. Dr. Aulenbacher, Dr. Robert Heine, Dr.
Lutz Hein, Steffen, Frank, Reiner, Tobias, Max, Philipp II., Timo, Ben, Philipp IV., Viktor, Christoph, den Mitarbeitern der mechanischen Werkstatt und Herrn Luzius für stets
wertvolle Anregungen, Diskussionen, konkrete Hilfen und Rückmeldungen. Für stets erholsame Pausen, gemeinsamen Aktivitäten auch außerhalb der Arbeit und stets guter
Laune danke ich der gesamten Arbeitsgruppe B1,B2 und MESA. Auch bei Herrn Prof.
Dr. Russenschuck möchte ich mich bedanken, für die Möglichkeit die Magnetfeldmessgruppe am CERN kennenzulernen. Danke Igor für einen letzten Endspurt mit Strahl, der sehr
lehrreich war.
Für Beratung zur Realisierung der Solenoide und stets gute Zusammenarbeit bedanke
ich mich bei Firma WISP Komponenten, besonders Herrn Kusstatscher für Anregungen
und Gedankengänge, die sonst eventuell unberücksichtigt geblieben wären.
Besonderer Dank gilt Steffen und Max, die mich oft tatkräftig unterstützt haben. Sei es
bei der Kommunikation mit Messgeräten, Diskussionen über Multipolentwicklungen oder
Korrekturlesen der Arbeit.
Zu großem Dank bin ich dem Allgemeinen Hochschulsport und besonders dem Geräteturnen verpflichtet. Philipp, John, Christoph, Lukas, Elaine, Simon, Steffi, Daniel und
Slobo waren verantwortlich für mein körperliches und geistiges Wohlbefinden beim gemeinsamen Schwitzen und Ausgleich finden.
Zuletzt gilt mein Dank meiner Familie, die mich in allen Lebenslagen unterstützt und
gefördert hat.
81