16.12.2002: V14

Integralrechnung
Integralrechnung:
’
’
Integrieren = Aufsummieren von
(unendlich) vielen (kleinen)
Beiträgen
Geometrisch: Integral = Fläche
unter einer Kurve
W = P1 ⋅ ∆t1 + P2 ⋅ ∆t 2 + ... = ∑ Pi ⋅ ∆ti
t2
W = ∫ Pdt
t1
’
Leistung
f(x)
Strom
Flächenbeitrag
f(x) ∆x
P=
Energie
dW
dt
Integrieren ist die Umkehrung
von Differenzieren
Beispiel: Ladung
t =t 2
Ladung
Q=
∫ I dt
I=
t =t1
dQ
dt
Gesamtfläche F = Summe
aller Flächenbeiträge
Zeit
n
x2
i =1
x1
F = ∑ f ( xi ) ∆xi =
∫ f ( x)dx
Kirchhoffsche Regeln
Kontinuitätsbedingung:
„nichts geht verloren“:
Bei einer unverzweigten
Leiteranordnung fließt durch
jeden Querschnitt der gleiche
Strom.
1. Knotenregel:
’ Summe aller Ströme an
Knotenpunkt = 0.
i
=0
I1 + I 2 − I 3 − I 4 − I 5 = 0
2. Maschenregel:
’ In jedem geschlossenen
Leiterkreis ist die Summe
aller Teilspannungen =0.
Vergleich:
Kontinuitätsbedingung
bei Flüssigkeiten in
Rohrsystemen!
∑I
∑U
i
=0
Serien- und
Parallelschaltung
’
’
Parallelschaltung:
Serienschaltung:
Serienschaltung
U = U1 = U 2 = U 3
I = I1 + I 2 + I 3
U = U1 + U 2 + U 3
’
I
= G = G1 + G2 + G3
U
I = I1 = I 2 = I 3
’
Widerstände addieren sich:
U U1 U 2 U 3
=
+
+
I
I
I
I
R = R1 + R2 + R3
Leitwerte addieren sich:
’
Widerstände addieren sich reziprok:
I 1 1
1
1
= = +
+
U R R1 R2 R3
Innerer Widerstand von
Spannungsquellen
’
Innenwiderstand Ri:
U Klemme = U Leerlauf − I ⋅ Ri
Ersatzschaltbild
Fazit: Die gemessene Spannung
ist möglicherweise viel kleiner als
die „Leerlaufspannung“.
Wichtig zu wissen z.B. in der
Elektrophysiologie wo hohe
Innenwiderstände auftreten.
Spannungsquelle
geht bei Belastung
„in die Knie“
Spannungsmessung durch
Kompensation
’
Poggendorffsche
Kompensationsanordnung:
I
Spannungsteiler
unbekannte
Spannung Ux
’
Strom auf Null justiert, dann gilt:
U
U x = U1 = I ⋅ R1 = R1
R
U x R1
=
U
R
’
Es fließt kein Strom aus Ux:
also leistungslose
Spannungsmessung;
Messung der
Leerlaufspannung!
Noch mehr Schaltkreise...
’
Beispiel:
Widerstandsmessung aus
U und I Messung
’
Wheatstonesche Brücke:
Widerstandsverhältnis wird so
eingestellt, dass Messgerät
Null anzeigt
Innenwiderstand
des U-Messgeräts
verfälscht das
I-Resultat etwas
Abgleichbedingung :
Rx R3
=
R2 R4
Kompensationsschaltung:
Genaue Messung von
Rx möglich, ohne dass
geeichtes Strommessgerät nötig ist!
Anwendungsbeispiele Widerstandsmessungen: Widerstandsthermometer, Dehnungsmessstreifen, Leitfähigkeit von Lösungen,
Konzentrationsbestimmungen, Reinheitsprüfung von Wasser, ...
Magnetische Felder
Magnetische Kraftwirkung:
’
’
’
’
’
’
Ungleiche Pole (Nord-Süd)
ziehen sich an
Gleiche Pole (Nord-Nord, SüdSüd) stoßen sich ab
Magnetische Dipole erfahren
ein Drehmoment
(Kompassnadel)
Magnetfeld = Raum in dem
magnetische Kräfte wirken
Kraftrichtung = Tangente an die
Feldlinien (von magn. Nordpol
Magn. Südpol
zum Südpol)
Die Feldstärke entspricht der
Die Erde als
Dichte der Feldlinien
magn. Dipol
Feldlinien
Deklination
(Missweisung)
Feldlinienbilder
Feldlinienverlauf
(Eisenspäne)
Permanentmagnet
entsteht durch
Ausrichten von
Zersägen eines
Elementarmagneten.
Magneten zur
Durchsägen eines
Erzeugung eines
Magneten erzeugt
isolierten Nordkeine isolierten
poles (Monopol)
Monopole
Dipole richten
sich längst der
Feldlinien aus
Starkes Feld
Elektr. Strom erzeugt stets
ein magnetisches Feld
’
’
Rechte-Hand-Regel:
Strom in Richtung Daumen,
magn. Feldlinien in
Richtung Fingerspitzen
Korkenzieher-Regel:
Drehsinn der Feldlinien
dreht „Korkenzieher“ in
Richtung des Stromes
’
Magn. Feldstärke H einer Spule:
Windungszahl n ⋅ Stromstärke I
H=
Länge der Spule l
’
’
A
Einheit der magn. Feldstärke H: 1
m
Beispiele: Erdmagnetfeld ca. 20 A/m
technisch bis ca. 107 A/m
Elektrostatische Felder
Elektrostatische
Kraftwirkung:
’
’
’
’
’
Ungleiche Ladungen (+/-)
ziehen sich an
Gleiche Ladungen (+/+, -/-)
stoßen sich ab
Elektrisches Feld = Raum in
dem (auf eine Probeladung)
elektrische Kräfte wirken
Kraftrichtung = Tangente an
die Feldlinien (von + nach -)
Die Feldstärke entspricht der
Dichte der Feldlinien
’
’
Elektrische Feldstärke E
r
r Kraft F auf Ladung
E=
Größe Q der Ladung
Einheit der elektr. Feldstärke E:
1
’
N
V
=1
As
m
Reibungselektrizität:
Reibungselektrizität
Trennung von Ladungen
durch Reibung
Coulombsches Gesetz
’
Feldlinienbilder:
Coulombsches Gesetz:
Gesetz
(Kraft zwischen zwei
Ladungen)
’
1
Plattenkondensator
’
Leiter
Äquipotentialflächen:
(senkrecht zu Feldlinien)
Q1 Q2
F=
2
4πεε 0 r
Materialkonstante ε =
Dielektrizitätskonstante
’
F~Q1
F~Q2
F~1/r2
Feldkonstante ε0 =
8.85*10-12 As/Vm
Feldstärke: (erzeugt durch Q1,
wirkt auf Probeladung Q2)
F
1 Q1
E=
=
Q2 4πεε 0 r 2
Kondensator
’
’
Ein Kondensator speichert
elektrische Ladungen:
Kapazität C:
C=
’
’
Beim Laden und Entladen
fließt ein Strom:
gespeicherte Ladung Q
Spannung U
Einheit der Kapazität:
C
As
=1
V
V
1 µF = 10-6 F, 1 nF = 10-9 F, 1pF = 10-12 F
1 Farad = 1 F = 1
’
Kondensatoren speichern
elektrische Energie:
Energie
Q
1 Q2
1
W = ∫ UI dt = ∫ UdQ = ∫ dQ =
also : W = CU 2
C
2 C
2
W = ∫ P dt
P = UI
dQ
Q
I=
U=
dt
C
1 2
∫ xdx = 2 x
Q
=U
C
Kondensatoren
’
’
Plattenkondensator:
Plattenkondensator
2 parallele Platten, möglichst
groß, möglichst nah.
Kapazität des Kondensators:
Q
A
= C = εε 00
U
s
+
’
-
CGes = C1 + C2 + C3 + C4
F~Fläche A
F~1/Abstand s
’
’
Parallelschaltung von
Kondensatoren:
Entspricht Vergrößerung
der Platten, also:
Moderne Version:
Aufgewickelte Folien statt Platten
Reihenschaltung von
Kondensatoren:
Entspricht Vergrößerung
des Abstands, also:
1
1
1
1
1
= +
+
+
CGes C1 C2 C3 C4