Elektromagnetismus
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Elektromagnetismus Kapitel 15 r wobei e0 die elektrische Feldkonstante, und r der Ortsvektor der Ladung q ist. Der Ursprung des Koordinatensystems ist der Mittelpunkt der Ladung Q. Elektromagnetismus Siehe Abb. 1. Q r q F qQ>0 15.1 Elektrische und magnetische Felder Figur 1. Wir definieren das elektrische Feld der Punktladung Q als r r r r r 1 Qr F (r ) = E (r ) ∫ 4pe 0 r 2 r q 15.1.1 Das elektrische Feld In Kap. 11.6 haben wir die Coulombsche (elektrostatische) Kraft eingeführt. Siehe die Definition des Gravitationsfelds im Kap. 14.14.1. Wenn wir eine Punktladung Q und, in einem bestimmten Abstand von ihr, eine Punktladung q betrachten, so übt die Punktladung Q eine Kraft auf die Punktladung q aus. Das Feld entspricht der Kraft, die eine Ladung q in diesem Feld erfährt, dividiert durch ihre Ladung. Das Feld erklärt die Kraftwirkung auf eine endliche Distanz. Die elektrische Kraft, die die Ladung Q auf eine Ladung q ausübt, ist gleich r r 1 qQ r F= 4pe 0 r 2 r Physik 879 Die Kraft, die die Ladung Q auf die Ladung q ausübt. Wir sagen, dass die Punktladung Q ein elektrisches Feld im ganzen Weltraum erzeugt. Im Allgemeinen erzeugt eine Punktladung ein elektrisches Feld in jedem Punkt des Weltraums um sie. Dieses Feld übt eine elektrische Kraft auf eine zweite Ladung q an deren Ort aus. 880 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Elektrische und magnetische Felder Elektromagnetismus Die zweite Ladung q spürt den lokalen Wert des Feldes und spürt damit eine Kraft gleich r r r r F ( r ) = qE ( r ) Positive Ladung Negative Ladung Für eine positive Ladung q zeigt die Kraft in die Richtung des Feldes. Für eine negative Ladung zeigt sie in entgegengesetzter Richtung. +Q E E –Q E E E E Siehe Abb. 2. q>0 E Das elektrische Feld einer positiven und einer negativen Punktladung. Figur 3. F = qE 15.1.2 Das elektrische Feld und die Relativität F = qE Figur 2. Wir nehmen an, dass sich zwei Ladungen Q und q relativ zu einem Beobachter O’ in Ruhe befinden. E q<0 Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass die Ortsvektoren der Ladungen die folgenden sind: r rQ ¢ = (0, 0, 0) Die Beziehung zwischen der Kraft und dem elektrischen Feld. Definitionsgemäss zeigt das elektrische Feld einer positiven Ladung weg von der Ladung und zu einer negativen hin. und r rq ¢ = ( x ¢, y ¢, 0) Die elektrische Kraft, die auf q wirkt, hat die folgenden Kompenten: r 1 qQ r ¢ 1 qQ F¢ = r = ( x ¢, y ¢, 0) 4pe 0 r¢ 3 q 4pe 0 r¢ 3 q q ( ) Siehe Abb. 3. ( ) Wir betrachten nun einen zweiten Beobachter O, relativ zu welchem beide Ladungen und der Beobachter O’ sich mit einer Geschwindig- Physik 881 882 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Elektrische und magnetische Felder Elektromagnetismus keit v=bc in der x-Richtung bewegen. Beide Koordinatensysteme O und O’ fallen zur Zeit t=t’=0 zusammen. Siehe Abb. 4. Wir haben die folgenden Beziehungen für den relativistischen Energie-Impuls 4-Vektor benutzt (Siehe Kap. 14.12) Ï E = g ( E ¢ + bcpx¢ ) Ô ÔÔcpx = g (cpx¢ + bE ¢ ) Ì Ôcpy = cpy ¢ Ô ÔÓcpz = cpz¢ Wir bestimmen die Kraft, die der Beobachter O misst. Die Lorentz-Transformation (Siehe Kap. 14.10) für die x-Komponente der Kraft, die auf ein Teilchen wirkt, ist gleich: Fx = dpx g (cdpx¢ + bdE ¢ ) = = dt g (cdt¢ + bdx ¢ ) Die zeitliche Ableitung der Energie ist gleich dE ¢ ˆ Ê cdpx¢ b dE ¢ +b Á ˜ Fx ¢ + Ë cdt¢ cdt¢ ¯ c dt¢ = = Ê bdx ¢ ˆ Ê b ˆ Á1 + ux¢ ˜ Á1 + ˜ Ë Ë cdt¢ ¯ c ¯ ( ) dE d r 2 2 = p c + m02c 4 dt dt r r r -1/ 2 r dp c 2 p dp r r 1 r = ( p 2c 2 + m02c 4 ) (2c 2 p) = = u◊F dt E dt 2 wobei u die Geschwindigkeit des Teilchens ist. Es folgt, r ¢ b r dpx Fx + c u ¢ ◊ F ¢ Fx = = dt Ê b ˆ Á1 + ux¢ ˜ Ë c ¯ ( y' y vt ) x' q O' O Q z Die Lorentz-Transformation für die y-Komponente der Kraft ist gleich: y' x,x' cdpy¢ dpy cdpy¢ Fy ¢ 1 1 cdt¢ Fy = = = = dt g (cdt¢ + bdx ¢ ) g Ê bdx ¢ ˆ g Ê b ¢ ˆ Á1 + ux ˜ Á1 + ˜ Ë Ë cdt¢ ¯ c ¯ z' und eine ähnliche Gleichung gilt für die z-Komponente. Figur 4. Zwei Ladungen Q und q befinden sich in Ruhe relativ zum Koordinatensystem O’, das sich relativ zum Koordinatensystem O mit der Geschwindigkeit v in die x-Richtung bewegt. Physik 883 884 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Elektrische und magnetische Felder Elektromagnetismus Die Kraft kann in Vektorform geschrieben werden als Aus den Transformations-Regeln für die Kraft folgt für den Fall, dass die Geschwindigkeit des Teilchens gleich null ist: Fx = Fx ¢ ; Fy = r gqQ 1 F= 4pe 0 g 2 x 2 + y 2 Fy ¢ F¢ ; Fz = z g g Wir haben in Kap. 11.5 schon erwähnt, dass die elektrische Ladung, wie die Ruhemasse, relativistisch invariant ist (Siehe Kap. 14.12), d.h., die elektrische Ladung eines Teilchens ist für alle Beobachter gleich. ( x ¢ = g ( x - bct) = gx; y ¢ = y; z¢ = z = 0 fi r¢ 2 = g 2 x 2 + y 2 Physik ) ( ) ] ) ( ) ) ) und man erkennt das E-Feld, das wir in Kap. 15.1.1 definiert haben. Der zweite Term v¥BQ entspricht einer zusätzlichen Wechselwirkung zwischen zwei bewegten Ladungen, der sogenannten magnetischen Wechselwirkung. Das B-Feld wird als magnetisches Feld bezeichnet. ) ( [ ( Die Kraft, die die Ladung Q zur Zeit t=t’=0 auf die Ladung q ausübt, ist gleich (1 - b ) 2 3/2 ) Der erste Term EQ ist ein Vektorfeld, das der elektrischen Wechselwirkung entspricht. Wenn v=0 (d.h. g=1) gilt r r Q r EQ (v = 0) = 4pe 0 x 2 + y 2 3 / 2 Zur Zeit t=t’=0 sind die Koordinaten der Ladung q gleich ( ( ( 1 qQ 1 1 qQ Fy = y ¢; Fz = 0 3 x ¢; 4pe 0 ( r¢ ) g 4pe 0 ( r¢ ) 3 x gqQ Ï 3/2 ÔFx = 4pe 2 2 2 0 g x + y Ô Ô y y qQ gqQ Ô ÌFy = 3/2 = 2 2 2 2 2 2 4 4 pe g pe 0 0 g x + y g x +y Ô Ô ÔFz = 0 ÔÓ ) ˘ È ˙ Í r Ê ˆ Í gQ r r ˙ vy gQ r Á = qÍ e ˜˙ 3/2 + v ¥ Á 4pe 0c 2 g 2 x 2 + y 2 3 / 2 z ˜ ˙ Í 4pe 0 g 2 x 2 + y 2 Ë ¯ 3 144442 Í14442 r 444 r 44443 ˙ ∫ E ∫ B ˙˚ ÍÎ Q Q r r r = q EQ + v ¥ BQ Die elektrische Kraft, die der Beobachter O beobachtet, ist dann gleich Fx = ( gqQ 1 = 4pe 0 g 2 x 2 + y 2 ˘ È 2 ˙ Í x , y , y ( , , ) b 0 0 1 0 ( ) 3/2 12 3˙ Í r = ey ˚ Î r r r 2 3 / 2 r + b y (ex ¥ ez ) Die magnetische Wechselwirkung hängt von der Geschwindigkeit der Teilchen ab und verschwindet, wenn die Geschwindigkeit der Teilchen v=0 ist. 885 886 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Elektrische und magnetische Felder Elektromagnetismus Zusammenfassend kann man sagen, dass elektrische und magnetische Wechselwirkungen zwei verschiedene Aspekte einer Eigenschaft der Materie, ihrer Ladung, sind. Aus einer Folgerung des Coulombschen Gesetzes und der Lorentz-Transformation der Relativitätstheorie haben wir die allgemeine Form der elektromagnetischen Kraft zwischen zwei Ladungen hergeleitet. Der magnetische Term entspricht einer elektrischen Wechselwirkung zwischen zwei Ladungen, wenn sie sich bewegen. Die elektromagnetische Kraft zwischen den Punktladungen ist deshalb gleich r r r r F = q EQ + v ¥ BQ ( wobei r r ) r gQ EQ = 4pe 0 g 2 x 2 + y 2 ( qEQ v q ) qv×BQ ( Punktladung) 3/2 und r BQ = = vy gQ 4pe 0c 2 g 2 x 2 + y 2 ( vy m0 gQ 2 2 4p g x + y2 ( ) ) 3/2 3/2 r ez r ez ( Punktladung) Die elektrische und magnetische Kraft zwischen zwei Ladungen, die sich mit derselben Geschwindigkeit v bewegen. Figur 5. Das Produkt e0c2, das wir schon in Kap. 11.6 angetroffen haben, wird in der folgenden Weise definiert: 15.1.3 Die Lorentz-Kraft Wir haben bewiesen, dass die allgemeine Form der elektromagnetischen Kraft zwei unterschiedliche Terme enthält. 1 ∫ m0 e 0c 2 Die allgemeine elektromagnetische Kraft wird deshalb als Funktion zweier Vektorfelder, des elektrischen und des magnetischen Feldes, ausgedrückt r r r r r r F ∫ FE + FB = q E + v ¥ B Lorentz - Kraft Das elektrische Feld und die elektrische Kraft sind radial. Die magnetische Kraft wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladungen. Siehe Abb. 5. Physik v Q 887 ( 888 ) Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Elektromagnetismus Elektrische und magnetische Felder Einheit: im MKSA-System ist die Einheit des elektrischen Feld gleich wobei E das elektrische Feld und B das magnetische Feld (oder magnetische Flussdichte oder magnetische Induktion) ist. Diese Form der elektromagnetischen Kraft heisst die Lorentz-Kraft1. r Kraft ˘ N [ E ] = ÈÍÎ Ladung ˙= C ˚ Im Allgemeinen können die Felder E und B Vektorfunktionen der Raumkoordinaten und der Zeit sein: (Newton dividiert durch Coulomb). Die Felder definieren eine Vektorgrösse (d.h. eine Grösse mit einem Betrag und einer Richtung) in jedem Punkt des Raumes und der Zeit: r r r r r r E ∫ E ( r , t) und B ∫ B( r , t) Die Einheit des magnetischen Feld ist das Telsa (T) r ˘ Kraft N [B] = ÈÍÎ Ladung.Geschwindigkeit ˙ = C ( m / s) ∫ T ˚ Die Feldstärke des Erdmagnetfeldes ist ungefähr 10–4 T. Die Feldstärke eines Elektromagnets ist ungefähr 1-2 T. Supraleitende Elektromagneten können Feldstärken von ungefähr 10 T erreichen. In der Elektrostatik oder der Magnetostatik betrachtet man Felder, die sich mit der Zeit nicht ändern, d.h. r r r r r r E4 ∫2 E4 (3 r ) und 1 B4 ∫2 B4 (3 r) 1 Elektrostatik Da das Erdmagnetfeld eine Grössenordnung ª10–4 T hat, benutzt man auch das Gauss (G): Magnetostatik Wir erinnern uns daran, dass die elektromagnetische Lorentz-Kraft als Folge der relativistischen Lorentz-Transformation der elektrischen Kraft erschienen ist. 1 T = 10 4 G Magnetische Kraft. Wir betrachten nun den magnetischen Term der Lorentz-Kraft. Wir bemerken, dass 1. 2. eine Punktladung ein elektrisches Feld E in jedem Punkt des Weltraums um sie erzeugt. Das elektrische Feld übt die elektrische Kraft qE auf eine zweite Ladung q an deren Ort aus. eine bewegte Punktladung ein magnetisches Feld B in jedem Punkt des Weltraums erzeugt. Das magnetische Feld übt die magnetische Kraft qv¥B auf eine zweite bewegte Ladung q aus. Siehe z.B. den zweiten Term der Kraft in Kap. 15.1.2: für v=0 verschwindet er. Wir bemerken, dass 1. 2. die Kraft proportional zur Geschwindigkeit ist. Auf ein ruhendes Teilchen wirkt keine magnetische Kraft. Die Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung und zur Richtung des Feldes wirkt. 1. H. Lorentz (1853-1928). Physik 889 890 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Feldlininen 3. Elektromagnetismus Wir beginnen mit den elektrischen Feldlinien und erwähnen die folgenden Regeln: Der Betrag der magnetischen Kraft ist gleich r r r FB = q v B sin a 1. wobei a der Winkel zwischen v und B ist. 2. Siehe Abb. 6. 3. 4. v Die elektrischen Feldlinien werden auch Kraftlinien genannt, weil sie die Richtung der Kraft anzeigen, die das Feld auf eine positive Ladung ausübt. B Fmag Die elektrischen Feldlininen beginnen bei positiven Ladungen und enden bei negativen Ladungen oder im Unendlichen. An einem bestimmten Punkt im Raum ist die “Liniendichte” zur Stärke des Feldes an diesem Punkt proportional. Um eine einzelne Punktladung sind die Feldlinien kugelsymmetrisch verteilt. Die Anzahl der Feldlinien um eine Punktladung ist zur Grösse der Ladung proportional. Die elektrischen Feldlininen einer Punktladung sind z.B. in der Abb. 7 gezeigt. Die Dichte der Linien nimmt mit dem Abstand r von der Punktladung ab. Wie erwartet, ist die Feldstärke zu 1/r2 proportional. +q Die magnetische Kraft wirkt senkrecht zur Ebene, die durch die Geschwindigkeit und das Feld definiert ist. Figur 6. Feldlinien Elektrisches Feld 15.2 Feldlininen +Q E E E E +Q 15.2.1 Elektrische Feldlinien Feldlinien liefern eine graphische Darstellung von elektrischen und magnetischen Feldern. Sie werden so definiert: Die Beziehung zwischen dem elektrischen Feld und den Feldlinien. Die Feldlinien folgen in jedem Punkt des Raumes der Richtung des Feldes. Figur 7. Die Feldlinien folgen in allen Punkten des Raumes der Richtung des Feldes. Physik 891 892 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Feldlininen Elektromagnetismus 15.2.2 Der elektrische Dipol Demonstrationsexperiment: Elektrische Feldlinien Ein System aus zwei gleich grossen Ladungen mit entgegengesetzten Vorzeichen und in relativ kleinem Abstand voneinander heisst elektrischer Dipol. Zwei Kreisscheiben werden positiv und negativ geladen und erzeugen damit das elektrische Feld eines Dipols. Mit Pulver kann eine graphische Darstellung der Feldlinien gewonnen werden. Siehe Abb. 9. In der Nähe der positiven Ladung zeigen die Feldlinien radial nach aussen und in der Nähe der negativen Ladung radial nach innen. Die beiden Ladungen sind gleich gross und deshalb ist die Anzahl der Linien, die von der positiven Ladung ausgehen, gleich der Anzahl der Linien, die bei der negativen Ladung enden. Das elektrische Feld ist stärker zwischen den zwei Ladungen, und die “Dichte” der Linien ist deshalb dort höher. Siehe Abb. 8. E +Q Figur 9. –Q Elektrische Feldlinien eines Dipols. 15.2.3 Magnetische Feldlinien Genau wie das elektrische Feld durch elektrische Feldlinien graphisch dargestellt werden kann, kann das magnetische Feld durch magnetische Feldlinien (oder Induktionslinien) illustriert werden. Feldlinien des elektrischen Dipols. Die Linien gehen von der positiven zur negativen Ladung. Figur 8. Physik 893 894 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Feldlininen 1. 2. Elektromagnetismus sche Kreise, unabhängig von der Position der Ebene entlang des Drahtes. Wie bei einem elektrischen Feld gibt die Tangente in einem Punkt an eine Induktionslinie die Richtung von B in diesem Punkt an. Die Anzahl der Linien durch eine Fläche, die senkrecht zu den Induktionslinien verläuft, d.h. die Dichte der Linien, ist zum Betrag von B proportional. Es gibt zwei wesentliche Unterschiede zwischen elektrischen und magnetischen Feldlinien. Wir bemerken dazu, dass 1. 2. die elektrischen Feldlinien immer auf positiven Ladungen beginnen und auf negativen Ladungen enden. Die elektrische und magnetische Wechselwirkung sind zwei verschiedene Aspekte einer Eigenschaft der Materie, ihrer Ladung. Man hat nie eine “magnetische Ladung” (sogenannte Monopole) in der Natur beobachtet. Es folgt, dass es keine Punkte im Raum gibt, an denen die magnetischen Feldlinien anfangen oder enden. Deshalb bilden die magnetischen Feldlinien geschlossene Schleifen. die Kraft, die ein elektrisches Feld auf eine Ladung ausübt, wirkt längs der Feldlinien. Im Gegensatz dazu wirkt die Kraft des magnetischen Feldes nur auf eine bewegte Ladung und zwar senkrecht zum B-Feld und zur Bewegungsrichtung. Demonstrationsexperiment: Magnetfeldlinien Figur 10. Um ein Magnetfeld zu erzeugen, werden bewegte Ladungen gebraucht. Wir betrachten dafür verschiedene geometrische Konfigurationen von elektrischen Strömen. Wir schauen die Feldlinien der erzeugten Felder mit Hilfe von Eisenpulver an. Die Feldlinien eines Magnetfelds, das ein Strom durch einen Ring erzeugt, sind in Abb. 11 dargestellt. Wir betrachten eine Ebene senkrecht zur Ebene des Ringes. In der Nähe des Drahtes sind die Feldlinien in dieser Ebene gleich wie im Fall des einzelnen Drahtes, d.h. sie sind konzentrische Kreise um den Draht. Im Ring ist das resultierende Feld gleich der Summe der Felder, die der Ring erzeugt. Als Folge sind die Feldlinien desto weniger gekrümmt, je naher, sie dem Zentrum des Rings sind. Die Feldlinie, die das Zentrum des Rings durchquert, ist geradlinig. Siehe Abb. 11. Das Magnetfeld eines Stroms durch einen langen Draht ist in Abb. 10 gezeigt. Wir betrachten eine Ebene senkrecht zum Draht. Die Feldlinien in dieser Ebene sind konzentrische Kreise. Das Magnetfeld ist in jedem Punkt der Kreise tangential. Wegen der Symmetrie des Drahts zeigen die Feldlinien für jede Ebene senkrecht zum Draht konzentri- Physik 895 Feldlinien eines Stroms durch einen vertikalen Draht. 896 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Feldlininen Elektromagnetismus Figur 12. Figur 11. Magnetfeld eines Stroms durch ein Solenoid. Eine spezielle Konfiguration eines Solenoids ist der Torus, bei dem die Windungen eines Solenoids zu einem Kreis geschlossen werden. Siehe Abb. 13. Bei dieser Anordnung ist das meiste des Magnetfelds auf das Innere des Torus begrenzt. Wir bemerken tatsächlich, dass das Magnetfeld im Zentrum des Toruses verschwindet. Feldlinien eines Stroms durch einen Ring. Die Feldlinien eines Solenoids sind in Abb. 12 gezeigt. Man kann ein Solenoid bauen, indem man viele Ringleiter dicht zueinander bringt. Das kann man z.B. mit vielen Windungen eines einzigen Drahtes erreichen, wie in Abb. 12 gezeigt wird. Wegen der grossen Anzahl der Windungen ist das Feld im Innern des Solenoids fast homogen und parallel zur Länge des Solenoids gerichtet. Physik 897 898 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Feldlininen Elektromagnetismus mentell beobachtet man, dass es zwei Arten von magnetischen Polen gibt, die mit den Buchstaben N und S definiert werden. In Abb. 14 werden die Feldlinien und die Pole eines Magnetstabs gezeichnet. Figur 13. Feldlinien eines Stroms durch einen Torus. Figur 14. 15.2.4 Magnetische Pole Kleine Eisenstückchen, die sich natürlich anziehen konnten, wurden schon Jahrhunderte vor Christus entdeckt. Mit der Entdeckung von natürlichen Magneten begann die Wissenschaft vom Magnetismus. Der Name Magnetismus leitet sich von der Provinz Magnesia in Kleinasien ab, wo der Effekt zum ersten Mal erkannt wurde. Man beobachtet experimentell: Die Wechselwirkung zwischen gleichen Magnetpolen ist abstossend, die zwischen ungleichen Polen ist anziehend. 15.2.5 Das magnetische Feld der Erde Heute werden leicht Permanentmagnete gebaut. Sie sind direkte Nachfahren der natürlichen Magnete. Die Erde stellt einen natürlichen Magneten dar. Im Jahre 1600 beobachtete W. Gilbert, dass die Erde selbst ein magnetisches Feld erzeugt, dessen magnetische “Pole” in der Nähe der geographischen Pole liegen. Siehe Abb. 15. Die Bereiche eines Körpers, in denen der Magnetismus konzentriert zu sein scheint, werden als magnetische Pole bezeichnet. Experi- Physik 899 Magnetfeld eines Magnetstabs. 900 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Feldlininen Elektromagnetismus Die magnetischen Feldlinien zeigen vom magnetischen Nordpol zum magnetischen Südpol (Konvention). Da der “Nordpol einer Kompassnadel” nach Norden zeigt, befindet sich der magnetische Südpol der Erde im geographischen Norden der Erde. 15.3 Elektrische potentielle Energie und elektrisches Potential Magnetischer Südpol N Wir betrachten zwei Ladungen q und Q im Abstand r voneinander. Wenn die Ladungen ungleichnamig sind (d.h. sie ziehen einander an) und man will den Abstand zwischen den Ladungen vergrössern, muss man Arbeit an den Ladungen leisten. Drehachse der Erde Wenn die Ladungen gleichnamig sind (d.h. sie stossen einander ab), erhält man Arbeit, wenn der Abstand sich vergrössert. In diesem Fall wird die von den Ladungen geleistete Arbeit einen negativen Wert besitzen. Diese Arbeit wird im System der Ladungen als elektrische potentielle Energie gespeichert (Siehe Kap. 4.8 für die Definition der potentiellen Energie). Magnetische Feldlinien zeigen nach Norden Wir haben von der elektrischen potentiellen Energie schon in Kap. 11.7 gesprochen (Siehe auch Kap. 4.13), als wir das klassische Atom-Modell betrachtet haben. Wir haben dort bewiesen, dass wenn sich die Ladungen q und Q im Abstand r voneinander befinden, die elektrische potentielle Energie der Ladung q gegeben ist durch r E e pot ( r ) = S Die Feldlinien des magnetischen Feldes der Erde gehen vom geographischen Südpol zum Nordpol. Figur 15. 1 qQ 4pe 0 r Die potentielle Energie hängt nur vom Betrag des Abstandes zwischen den Ladungen ab. Wir konnten die elektrische potentielle Energie definieren, weil die elektrische Kraft, die auf eine Ladung Q auf eine zweite Ladung q ausübt, konservativ ist (Siehe Kap. 4.8.1). Die Arbeit, die durch die elektrische Kraft F=qE geleistet wird, wenn eine Ladung q entlang Physik 901 902 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Elektrische potentielle Energie und elektrisches Potential Elektromagnetismus Einheit: das Volt (V) wird definiert als ein Joule pro Coulomb des Weges S vom Punkt A zum Punkt B verschoben wird, ist daher unabhängig vom Weg S: B r r r r W AB = Ú F .dr ∫ - E pot ( rB ) - E pot ( rA ) = - DE pot ( A [V ] = [ Energie] J = =V [Ladung] C ) D.h., es besteht zwischen Punkten ein Potentialunterschied von einem Volt, wenn das elektrische Feld bei der Bewegung einer Ladung von einem Coulomb von einem Punkt zu einem anderen eine Arbeit von einem Joule leistet. Es folgt, B r r q Ú E .dr = -DE pot A Das elektrische Potential (eine skalare Grösse) wird definiert als r E e (r ) r r r V ( r ) ∫ pot ¤ E epot ( r ) ∫ qV ( r ) q Beispiel: Elektrisches Potential einer Punktladung r E pot ( r ) r 1 Q V (r ) ∫ = (Punktladung) 4pe 0 r q 15.3.1 Der Gradient des Potentials Wenn sich eine Ladung q längs eines Weges von einem Punkt A zu einem anderen Punkt B bewegt, ist die Arbeit, die vom elektrischen Feld geleistet wird, B r r r r r r W = Ú F .dr = -( E e pot ( rB ) - E e pot ( rA )) = -q(V ( rB ) - V ( rA )) Im Kap. 4.12.2 haben gesehen, dass die Kraft als Gradient der potentiellen Energie berechnet werden kann: r r F = -—E pot A Mit der Definition des elektrischen Feldes erhalten wir direkt: r r r r F —E pot E= == -—V q q Damit: r r B r r r r E e pot ( rB ) - E e pot ( rA ) . = = -(V ( rB ) - V ( rA )) E dr ÚA q Wir können daher den elektrischen Potentialunterschied zwischen zwei Punkten als die Arbeit definieren, die ein elektrisches Feld leistet, wenn es eine Einheitsladung von einem Punkt zu einem anderen bewegt. Physik 903 D.h., das elektrische Feld ist der negative Gradient des elektrischen Potentials: r r E = -—V 904 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Elektrische potentielle Energie und elektrisches Potential Elektromagnetismus Damit: Die Einheit des elektrischen Feldes kann daher als N/C oder V/m ausgedrückt werden: r N V E = = C m Elektrischer Dipol: V ( r) ª [ ] Wie erwartet geht das Potential nach Null, wenn der Abstand r nach unendlich geht. Wir bemerken, dass das elektrische Potential des Dipols sich mit r–2 ändert, weil das einer Punktladung sich mit r–1 ändert. Als Folge geht das Potential des Dipols schneller nach Null als das der Punktladung. 15.3.2 Elektrisches Potential des elektrischen Dipols Wir betrachten den elektrischen Dipol mit Abstand a. Das elektrische Potential an einem Punkt P ist gleich: V ( r) = = q Ê a cosq ˆ Á ˜ 4pe 0 Ë r 2 ¯ 1 q 1 (-q) q Ê 1 1ˆ + = Á - ˜ 4pe 0 r1 4pe 0 r2 4pe 0 Ë r1 r2 ¯ Weil das Feld gleich dem Gradient des Potentials ist, wird das elektrische Feld des Dipols sich mit r–3 ändern, weil das einer Punktladung mit r–2 ändert. Das ist zu verstehen, weil die Felder der positiven und negativen Ladungen sich genau kompensieren, wenn der Abstand a zwischen ihnen vernachlässigt werden kann. Das resultierende Feld des Dipols verschwindet in diesem Fall. q Ê r2 - r1 ˆ Á ˜ 4pe 0 Ë r1r2 ¯ P 15.3.3 Die elektrische Spannung r2 r1 r q -q Die elektrische Spannung ist gleich dem Potentialunterschied zwischen zwei Punkten: r r U AB ∫ V ( rA ) - V ( rB ) Siehe Abb. 16. +q Einheit: Die Einheit der Spannung ist das Volt (d.h. dieselbe wie die des Potentials). a Wenn der Abstand a viel kleiner als der Abstand r ist, können wir schreiben: r1r2 ª r 2 Physik und r2 - r1 = a cosq 905 906 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Elektrischer Strom Elektromagnetismus Wenn der Ladungsfluss zeitlich nicht konstant ist, so wird die elektrische Stromstärke mit der Zeit variieren, und man definiert die momentane elektrische Stromstärke als Die Spannung wird definiert als Arbeit pro Ladung r r r r U AB ∫ V ( rA ) - V ( rB ) = -(V ( rB ) - V ( rA )) r r E pot ( rB ) - E pot ( rA ) W AB == q q Volt meter I ( t) ∫ dQ dt wobei dQ die Ladungsmenge ist, die in der Zeit dt durch die Fläche A tritt. Man benutzt die historische Konvention, dass die positive Stromrichtung der Flussrichtung der positiven Ladungen folgt. – U 2 + Einheit: im MKSA-System wird die Stromstärke in Ampere2 (A) gemessen r2 1 1 A =1 C /s r1 Wir nehmen nun an, dass jeder bewegte Ladungsträger eine Ladung q hat, und dass er sich mit einer sogenannten Driftgeschwindigkeit vD bewegt. Wenn die Dichte der beweglichen Ladungsträger gleich n ist, dann ist die Stromsträrke, die durch eine Fläche A fliesst, gleich I= Ein Voltmeter misst den Potentialunterschied zwischen zwei Punkten. Die gestrichelten Linien sind die Äquipotentiallinien, d.h. die Linien gleichen Potentials. Figur 16. DQ qn ( Av D Dt) = = qnAv D Dt Dt weil in dem Zeitintervall Dt alle Ladungen, die sich im Volumen AvDDt befinden, durch die Fläche A fliessen. 15.4 Elektrischer Strom Leitender Körper. Ein Leiter ist ein Körper, durch welchen sich elektrische Ladungen bewegen können. Wenn eine bestimmte Menge elektrische Ladung in einem gegebenen Zeitintervall durch eine Querschnittsfläche tritt, fliesst ein elektrischer Strom durch die Fläche. Beispiele: Metalle, ionisierte Gase, Mensch, Erde, usw... 2. A. Ampère (1775-1836). Physik 907 908 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Elektrischer Strom Elektromagnetismus Demonstrationsexperiment: Leiter und Nichtleiter tenden Festkörper (z.B. einem Kupferdraht) sich die Elektronen bewegen und die Ionen sich in Ruhe befinden (Siehe Abb. 18). Siehe Abb. 17. Die erste mikroskopische Beschreibung wurde im Jahre 1900 von Drude gefunden. Nach seinem klassischen Modell der elektrischen Leitung ist ein Leiter ein dreidimensionales Ionengitter, in dem sich Elektronen bewegen können. Man beobachtet die Aufladung eines Elektroskops und illustriert damit die Leitfähigkeit verschiedener Materialien: Glas, altes Kabel, neues Kabel, usw... Wenn es kein äusseres elektrisches Feld gibt, verhalten sich die Elektronen wie die Moleküle eines Gases in einem Behälter. Die freien Elektronen sind mit den Gitterionen im thermodynamischen Gleichgewicht und tauschen durch Stösse Energie und Impuls mit ihnen aus. Unter dieser Annahme kann man die Geschwindigkeit der Elektronen mit Hilfe des Gleichverteilungssatzes (Siehe Kap. 12.10) bestimmen. Die mittlere kinetische Energie eines freien Elektrons ist gleich E freies Elektron 1 3 ª me v 2 ª kT 2 2 wobei me die Elektronenmasse ist, und es folgt vª 3kT me Bei Zimmertemperatur erhält man vª Demonstrationsexperiment: Aufladung eines Elektroskops durch verschiedene Materialien. Figur 17. 3kT ª 10 5 m / s me Diese Geschwindigkeit können wir mit der Driftgeschwindigkeit der Elektronen für eine bestimmte Stromstärke vergleichen. 15.4.1 Modell der elektrischen Leitung Die wirkliche Bewegung von Ladungen in einem leitenden Körper kann sehr kompliziert sein. Tatsächlich weiss man, dass in einem lei- Physik 909 910 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Elektrischer Strom Elektromagnetismus Diese Geschwindigkeit ist viel kleiner als die Elektronengeschwindigkeit, die wir mit Hilfe des Gleichverteilungssatzes berechnet haben. . bewegte Positive KupferIonen im Ruhezustand Elektronen – + + – + – + + – – Kupferdraht + – + – + Wir haben sozusagen gefunden, dass die freien Elektronen sich nicht ganz frei bewegen! Sie stossen sehr oft mit den Ionen und dadurch wird die Richtung ihrer Bewegungen geändert. – Die mittlere freie Weglänge l wird definiert als die mittlere Wegstrecke, die ein Elektron zwischen zwei Stössen zurücklegt. Sie ist gleich dem Produkt der mittleren Geschwindigkeit des Elektrons und der Zeit zwischen zwei Stössen t l = vt Einfaches Modell des elektrischen Stroms durch einen leitenden Kupferdraht. Figur 18. Wenn ein äusseres elektrisches Feld auf ein Elektron die Kraft eE ausübt, wird das Elektron beschleunigt und nach einer mittleren Zeit t wird es mit einem Ion zusammenstossen. Wir betrachten einen Kupferdraht mit einer Querschnittsfläche gleich 1mm2. Die Stromstärke ist 1 A. Wir nehmen an, dass es im Kupfer ein freies Elektron pro Atom gibt. Die Dichte und molare Masse von Kupfer sind 8,93 g/cm3 und 63,5 g/mol. Weil die Driftgeschwindigkeit viel kleiner als die thermische Geschwindigkeit der Elektronen ist, wird die Driftgeschwindigkeit nach einem Stoss verschwinden. Dichte der freien Elektronen (1 freies Elektron pro Atom) (8,93g / cm )(6,02 ¥ 10 3 n= 23 63, 5 g / mol / mol) Die Beschleunigung des Elektrons zwischen zwei Stössen ist deshalb für die Driftbewegung verantwortlich r r r Ê et ˆ r r r -eE F t= t = -Á ˜ E ∫ -mE v D ª at = me me Ë me ¯ = 8, 5 ¥ 10 22 Elektronen / cm 3 Die Driftgeschwindigkeit ist dann gleich vD = I 1A = qnA (1, 602 ¥ 10 -19 C )(8, 5 ¥ 10 22 Elektronen / cm 3 )(1mm 2 ) wobei m die Beweglichkeit der Elektronen ist. -5 ª 7 ¥ 10 m / s = 0, 07 mm / s Physik Wir finden, dass die Driftgeschwindigkeit proportional zum elektrischen Feld ist. Die Richtung der Elektronenbewegung ist zur Richtung des Feldes parallel, zeigt aber in entgegengesetzer Richtung. 911 912 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Elektrischer Strom Elektromagnetismus Siehe Abb. 19. Die Stromdichte j wird als die Stromstärke pro Flächeneinheit definiert: Stromdichte: + – VD – + + – + – + – + – j= I A Mit dieser Definition erhalten wir: + j= E I = (enm ) E = sE A wobei s die Leitfähigkeit des Leiters ist. Die Stromdichte ist zum elektrischen Feld proportional. Diese Gleichung kann in verktorieller Form ausgedrückt werden, wenn wir die Stromdichte als vertorielle Grösse definieren: r r j = sE In einem Leiter wandern die Elektronen entgegen der Richtung des elektrischen Feldes. Figur 19. Wäre die Bewegung der Elektronen durch die Stösse nicht behindert, so würden die Elektronen permanent mit einer Beschleunigung –eE/ me beschleunigt. Dass die Driftgeschwindigkeit der Elektronen proportional zum Feld ist, kann man aus dem Ohmschen Gesetz herleiten. In diesem Fall haben wir angenommen, dass die Richtung des Stromdichtevektors in Richtung des Stromflusses zeigt, und dass der Stromfluss parallel zum elektrischen Feld ist: 15.4.2 Die Stromdichte und die Leitfähigkeit r E Wir haben gesehen, dass die Driftgeschwindigkeit der beweglichen Elektronen in einem Leiter proportional zum elektrischen Feld ist: r r v D = -mE r Stromdichte: j wobei m die Beweglichkeit der Elektronen ist. Fläche A Strom: I=jA=jsAE Wir betrachten einen Leiter vom Querschnitt A, durch welchen ein konstanter Strom der Stromstärke I fliesst. Es gilt I = qnAv D = -(-e) nAmE Physik 913 914 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Elektrischer Strom Elektromagnetismus Dieses Ergebnis entspricht dem Ohmschen Gesetz: Einheit: Die Einheit der Leitfähigkeit ist r j A / m2 A s = = [ ] r = V / m Vm E Ê Lˆ U = RI = Á ˜ I Ë sA ¯ [] [ ] wobei R der Widerstand des Leiters ist. Das Gesetz gilt für alle Metalle. Das Verhältnis V/A wird als Ohm bezeichnet: Ohm W = V A Wir bemerken, dass der Widerstand von der Temperatur des Leiters abhängt. Er nimmt mit der Temperatur zu. Demonstrationsexperiment: Ohm’sches Gesetz Man spricht von der Leitfähigkeit von Materialien: z.B. s Kupfer = 6 ¥ 10 7 (Wm) s Quarz = 10 -16 (Wm) -1 Man misst den Potentialunterschied zwischen beiden Enden eines Drahts, der als elektrischer Widerstand wirkt. Der Strom wird konstant gehalten. Wir beobachten, dass der Potentialunterschied für konstanten Strom zur Distanz zwischen den zwei Punkten proportional ist. -1 15.4.3 Das Ohmsche Gesetz Ein elektrisches Feld in einem Leiter der Länge L wird erzeugt, wenn wir an die Enden des Leiters eine elektrische Spannung anlegen. Das elektrische Feld wird in allen Punkten des Leiters konstant sein, und deshalb ist auch die Stromdichte konstant. Es gilt r r U = Ú E ◊ dr = Ú Edr = EL I = jA wobei L die Länge des Leiters ist. Es folgt, j = sE fi Physik jA = s A Ê Aˆ LE fi I = Ás ˜ U Ë L¯ L Ohm’sches Gesetz: Der Potentialunterschied ist zum Widerstand proportional, wenn der Strom konstant gehalten wird. Figur 20. 915 916 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Elektrischer Strom Elektromagnetismus Da 15.4.4 Die elektrische Leistung Aj = I Die Aufrechterhaltung eines Stromes in einem Leiter erfordert einen Energieaufwand. Im Leiter wird wegen der Wechselwirkung der bewegten Elektronen mit den Ionen des Leiters die Elektronenenergie auf das Gitter übertragen, wodurch seine Schwingungsenergie (d.h. Temperatur) erhöht wird. Das führt zu einem Temperaturanstieg des Leiters: der sogenannte Joule-Effekt. erhalten wir den Joule-Effekt: P = UI = RI 2 Wir bestimmen die elektrische Leistung. Die Arbeit, die pro Zeiteinheit an einem Elektron geleistet wird, ist: r r r r dW F ◊ dx r r = = F ◊ v = -eE ◊ v dt dt Demonstrationsexperiment: Stahldraht verdampfen Der Joule-Effekt wird durch die Verdampfung eines Stahldrahts illustriert. Im Experiment (Siehe Abb. 21) wird ein grosser Strom durch die Entladung eines Kondensators erzeugt. Dieser Strom fliesst plötzlich durch den Draht und wird ihn damit verdampfen. Siehe Abb. 22. Die Arbeit pro Zeiteinheit und Volumeneinheit ist daher gleich: r r r r p = n -eE ◊ v = -enE ◊ v ( und EL = U ) wobei n die Zahl der freien Elektronen pro Volumeneinheit ist. Es gilt (Siehe Kap. 15.4.1): r r sAE s r = E I = qnAv = sAE fi v = -enA -en und r r r s r r r r p = -enE ◊ v = -enE E = sE 2 = j ◊ E -en Bei einem zylindrischen Leiter mit Querschnittsfläche A und Länge L ist die gesamte Leistung r r P = Vp = ALp = AL j ◊ E = AjEL ( Physik ) 917 918 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Elektrischer Strom Elektromagnetismus Stahldraht Figur 22. Verdampfung des Drahtes. Die Anordnung für die Verdampfung eines Drahtes mit einem elektrischen Strom. Figur 21. 15.5 Berechnung der elektrischen und magnetischen Felder In einer mikroskopischen Beschreibung tritt die gesamte elektrische Ladung immer als ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung (Siehe Kap. 11.5) auf. In der Praxis können wir manchmal die Ladung in einem bestimmten Raumgebiet als kontinuierlich verteilt betrachten. Physik 919 920 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Berechnung der elektrischen und magnetischen Felder Elektromagnetismus Wir werden deshalb oft die Raumladungsdichte r benutzen, die so definiert ist Die gesamte Fläche A ist gleich r dq r( r ) ∫ dV A = ÚÚ dA A Raumladungsdichte Dabei bedeutet das A unter dem Integral, dass wir über eine gesamte Fläche A, von beliebiger Form, integrieren. Jedes Teilstück dA entspricht aber einer infinitesimalen ebenen Fläche. wobei dq die infinitesimale Ladung im Volumenelement dV ist. Die Raumladungsdichte ist eine Skalargrösse3, d.h. sie definiert eine Zahl (d.h. eine Grösse mit einem Betrag) in jedem Punkt des Raumes. In einer ähnlichen Weise wird man die Linienladungsdichte l definieren: Es folgt, dass die gesamte Ladung eines Körpers gleich r Q ∫ Ú dq = ÚÚÚ r( r ) dV = ÚÚÚ r( x, y, z) dxdydz V l∫ V ( Integration über das gesamte Volumen V ) Eine Punktladung dq erzeugt ein elektrisches Feld in einem bestimmten Punkt r gleich r r r 1 dq r 1 dq r r Coulomb - Gesetz dE ( r ) = = 4pe 0 r 2 r 4pe 0 r 3 V = ÚÚÚ dV = ÚÚÚ dxdydz V Manchmal kann sich die Ladung in einer dünnen Schicht auf der Oberfläche eines Körpers befinden. In diesem Fall ist es praktisch, die Flächenladungsdichte s zu definieren s∫ dq dA wobei die Ladung sich im Ursprung des Koordinatensystems befindet. Flächenladungsdichte Wenn die Ladung sich in einem Punkt r’ befindet, dann ist das E-Feld gleich r r r r dq 1 dE ( r ) = r r (r - r ¢) 4pe 0 r - r ¢ 3 und Q ∫ ÚÚ dq Linienladungsdichte 15.5.1 Berechnung des E-Feldes ist. Wir haben über das gesamte Volumen V integriert, und das gesamte Volumen ist natürlich gleich V dq dl ( Integration über die gesamte Fläche A) A Für eine gegebene kontinuierliche Ladungsverteilung wird das erzeugte elektrische Feld an einem bestimmten Ort im Raum gleich der Vektorsumme der E-Felder, die von den einzelnen Ladungen 3. Vergleiche mit einer Vektorgrösse, die einen Betrag und eine Richtung definiert. Physik 921 922 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Berechnung der elektrischen und magnetischen Felder Elektromagnetismus Die Feldstärke, die durch ein Ladungselement dq=ldx erzeugt wird, ist gleich r ldx 1 dq 1 dE = = 4pe 0 R 2 4pe 0 x 2 + r 2 dq=rdV erzeugt werden (Prinzip der Superposition, Siehe Abb. 23): r r r r 1 r( r ¢ ) r r 3 r E ( r ) = ÚÚÚ dE = ÚÚÚ r r 3 ( r - r ¢ ) d r¢ 4pe 0 r - r ¢ V V Wir bemerken, dass die x-Komponenten des Feldes von den Ladungselementen in +x und –x einander kompensieren, so dass das resultierende Feld radial und gleich + r r r r Ê ˆ r dE = dE1 cosq + dE 2 cosq = 2 dE1 Á 2 ˜ Ë x + r2 ¯ + r E2 r E1 ist. dq = λdx dx r r r E = E1 + E 2 Figur 23. λ Coulomb pro Meter x dq Prinzip der Superposition: diskreter Fall. R = r 2 x 15.5.2 Elektrisches Feld eines langen geladenen Stabes + 2 r dE Wir berechnen das Feld, das in einem Punkt auf der Mittelsenkrechten erzeugt wird. Wir nehmen an, dass der Stab homogen geladen ist mit einer Linienladungsdichte l. dE1 θ dE2 Die Geometrie für die Berechnung wird in Abb. 24 gezeigt. Figur 24. Die Geometrie, um das Feld eines geladenen Stabes zu berechnen. Die Koordinaten werden so gewählt, dass der Stab sich längs der xRichtung befindet.Wir sind am Feld in einem Punkt mit Abstand r vom Stab interessiert. Physik 923 924 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Berechnung der elektrischen und magnetischen Felder Elektromagnetismus Das Feld in einem Punkt r ist gleich r r r m dq Ê r r ˆ dB( r ) = 0 2 Á v ¥ ˜ r¯ 4p r Ë Es folgt daraus, r ˆ r ldx Ê 1 dE = 2 ˜ 2 2 Á 2 2 4pe 0 x + r Ë x + r ¯ wobei v der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens ist. Das gesamte E-Feld ist gleich dem Integral über dx. Das Ergebnis der Integration können wir in Tabellen finden. Es gilt Ú (x dx A 0 2 +r ) 2 3/2 = A x r 2 x +r 2 = 2 0 (Vergleiche mit dem Coulombschen Gesetz). A r 2 Biot - Savart Wir bemerken, dass A2 + r2 1. und wir erhalten r dx A lr A l =2 E =2 4pe 0 Ú0 ( x 2 + r 2 ) 3 / 2 4pe 0 r A 2 + r 2 2. 3. Wenn die Länge des Stabes viel grösser als der Abstand r ist, können wir den Stab als unendlich betrachten. der Betrag des Feldes der Ladunq dq und der Geschwindigkeit v proportional ist und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes r von der Ladung. der Betrag zu sing proportional ist, wobei g der Winkel zwischen der Geschwindigkeit und dem Ortsvektor ist. das Feld senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor und Ortsvektor ist. Seine Richtung wird durch die Rechte-Hand-Regel definiert. Historisch wird das Produkt aus der Ladung und der Geschwindigkeit vdq durch das Stromelement Idl ersetzt r r dq r (dq)v = ÊÁË ˆ˜¯ (vdt) = Idl dt In diesem Fall ist A>>r und wir finden r 2l 1 ( unendlicher Stab) E ª 4pe 0 r Das wichtige Ergebnis der Berechnung ist, dass das elektrische Feld mit 1/r (und nicht 1/r2 wie im Fall einer Punktladung) vom Abstand abhängt. Das erzeugte magnetische Feld ist in diesem Fall gleich r r r m I Ê r rˆ Biot - Savart dB( r ) = 0 2 Á dl ¥ ˜ r¯ 4p r Ë 15.5.3 Berechnung des B-Feldes Ausser dem Betrag gibt das Gesetz natürlich noch die Richtung des Feldes an, die die Richtung des Vektorprodukts aus dl und r ist. Das Eine Punktladung dq, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, erzeugt ein magnetisches Feld in einem bestimmten Punkt, das durch das Gesetz von Biot-Savart4 bestimmt ist. 4. J.B. Biot (1774-1862) und F. Savart (1791-1841). Physik 925 926 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Berechnung der elektrischen und magnetischen Felder Elektromagnetismus Das wichtige Ergebnis der Berechnung ist, dass das magnetische Feld von 1/r abhängt und proportional zum Strom I ist. resultierende magnetische Feld in einem Punkt wird durch das Vektorintegral über alle Stromelemente gefunden: r r r B( r ) = Ú dB Die Feldlinien eines solchen Feldes sind in Abb. 26 gezeigt. 15.5.4 Magnetisches Feld eines langen geraden Leiters i dx x Wir betrachten einen langen geraden Leiter, durch den ein Strom I fliesst. Siehe Abb. 25. α Der Betrag des Feldes, das von einem infinitesimalen Leiterelement dx erzeugt wird, ist gleich r m I r R m I dB = 0 2 dx ¥ = 0 2 dx sin a R 4p R 4p R r R dB I r m0 dx 4p ( x 2 + r 2 ) x 2 + r2 r mI dx = 0 4p ( x 2 + r 2 ) 3 / 2 = geht aus der Blattebene heraus Figur 25. Ein langer gerader Leiter durch welchen ein Strom fliesst. Die Richtung der magnetischen Feldelemente dB von allen möglichen Leiterelementen dx haben im betrachteten Punkt dieselbe Richtung, nämlich senkrecht zur Blattebene und aus der Blattebene heraus. Das Integral reduziert sich damit auf ein Skalarintegral der Beträge. Für einen unendlich langen Leiter ist das Integral gleich r rx mI • mI B( r ) = 0 Ú dx = 0 2 2 4p -• ( x 2 + r 2 ) 3 / 2 4p r ( x + r 2 )1/ 2 Physik • = -• 2m 0 I 4pr 927 928 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Bewegte Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern Elektromagnetismus Wir bemerken, dass die gesamte Energie eines Elementarteilchens ausgedrückt werden kann als i E = m0c 2 + E kin + E pot r = gm0c 2 + qV ( r ) r 1 ª m0c 2 + m0v 2 + qV ( r ) wenn v << c 2 B Das Elektronvolt ist deshalb gleich der gesamten Energiezunahme, wenn ein Teilchen mit der Elementarladung e durch einen Potentialunterschied von 1 Volt beschleunigt wird. 15.6.2 Bewegung einer Punktladung in einem elektrischen Feld Unter der Wirkung der elektrischen Kraft erfährt ein Teilchen der Ladung q und Masse m die Beschleunigung r r r r q r F = qE = ma fi a = E m Die magnetischen Feldlinien eines langen geraden Leiters, durch welchen ein elektrischer Strom i fliesst. Figur 26. Wir bemerken, dass die Geschwindigkeit von geladenen Elementarteilchen wie Elektronen oder Protonen in elektrischen Feldern oft so hoch ist, dass wir die relativistische Masse benutzen müssen r q r E a= gm0 15.6 Bewegte Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern 15.6.1 Beschleunigung durch ein elektrisches Potential 15.6.3 Bewegung einer Punktladung in einem magnetischen Feld Wir haben die Definition des Elektronvolts schon in Kap. 11.3.2 erwähnt: 1 eV ∫ (e) Joule = 1, 602 ¥ 10 -19 J Physik Die Wirkung des magnetischen Feldes ist immer senkrecht zur Bewegungsrichtung. Es folgt, dass durch die Wirkung des magnetischen 929 930 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Bewegte Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern Elektromagnetismus Feldes ein Teilchen nur die Richtung und nicht den Betrag seiner Geschwindigkeit ändert. Homogenes magnetisches Feld Da die magnetische Kraft immer senkrecht zur Bewegungsrichtung einer Ladung wirkt, ist die an dem Teilchen verrichtete Arbeit null (Siehe Kap. 4.7): r r r r r r F^v fi W = F ◊ Dr = F ◊ v Dt = 0 v Bahnkurve –q B zeigt aus der Blattebene heraus Das magnetische Feld leistet somit keine Arbeit an dem Teilchen und hat keinen Einfluss auf seine kinetische Energie. Die kinetische Energie des Teilchens wird sich nicht ändern, sondern nur seine Bewegungsrichtung. F F = (–q) v X B Wir betrachten ein homogenes magnetisches Feld. Wenn sich das Teilchen genau senkrecht zum Feld bewegt, so beschreibt das Teilchen eine Kreisbahn. Elektronquelle Siehe Abb. 27. Figur 27. qvB = gm0v 2 r ¤ r= Die Ablenkung eines Elektrons in einem homogenen magnetischen Feld. Die magnetische Kraft wirkt als eine Zentripetalkraft gm0v qB Die Zeit T, die für einen Umlauf des Teilchens benötigt wird, ist T= wobei r der Radius der Kreisbahn, m0 die Ruhemasse des Teilchens, und v die Geschwindigkeit des Teilchens ist. und die Frequenz des Umlaufes (die als Zyklotronfrequenz bezeichnet wird) ist gleich Da w=v/r ist, ist die Winkelgeschwindigkeit w gleich w= Physik 2p 2pgm0 = qB w qB gm0 n= 931 932 1 qB qB = ª T 2pgm0 2pm0 wenn v << c Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Bewegte Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern Elektromagnetismus 15.6.4 Die Blasenkammer Diese Frequenz ist vom Radius der Kreisbahn unabhängig. Für nicht relativistische Teilchen ist die Umlauffrequenz eine Konstante, die unabhängig von der Geschwindigkeit des Teilchens ist. In einer Blasenkammer werden die Bahnen geladener Teilchen nachgewiesen. Siehe Abb. 29. Demonstrationsexperiment: Elektronenturbine Kamera Flüssiger Wasserstoff Strahl von geladenen Elementarteilchen von einem Beschleuniger Licht Die 10-inch Blasenkammer am Lawrence Radiation Laboratory, University of California, Berkeley. Figur 29. Man kann eine Blasenkammer in ein magnetisches Feld stellen und von aussen Teilchen aus einem Beschleuniger in die Kammer schiessen. Eine Aufnahme von der Blasenkammer am Lawrence Radiation Laboratory, University of California, Berkeley ist z.B. in Abb. 30 gezeigt. Die Bahnkurve eines Elektrons und eines Protons sind sichtbar. Das magnetische Feld ist zur Blattebene senkrecht und besitzt einen Betrag von 1.17 Tesla. Das Elektron verliert Energie wenn es sich durch die Kammer bewegt und seine Bahnkurve ist deshalb eine Spirale. Der Anfangsradius der Spirale ist 7.3cm. Krümmung der Elektronenbewegung im Magnetfeld. Die magnetische Feldstärke ist ungefähr 27 Gauss. Figur 28. Physik 933 934 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Bewegte Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern Elektromagnetismus B B = 1.17 tesla p v v v v R i = 7.3 cm v e- Figur 31. Figur 30. Eine Aufnahme von der Blasenkammer am Lawrence Radiation Laboratory, University of California, Berkeley. Die Bahnkurve eines Elektrons und eines Protons werden nachgewiesen. Das magnetische Feld besitzt einen Betrag von 1.17 Tesla und der Anfangsradius der Spirale des Elektrons ist gleich 7.3cm. Das Elektron verliert Energie wenn es sich durch die Kammer bewegt und deshalb ist die Bahnkurve eine Spirale. Bahnkurve eines geladenen Teilchens im homogenen Magnetfeld: Helix. 15.7 Kraft auf einen elektrischen Strom Wenn ein Teilchen nicht genau senkrecht in ein magnetisches Feld eintritt, wird sein Geschwindigkeitsvektor in eine Komponente parallel und eine Komponente senkrecht zum Feld zerlegt. Ein elektrischer Strom besteht aus einer Ansammlung sich bewegender Ladungen. Wir erwarten daher, dass ein Magnetfeld auch auf einen Leiter, durch den ein Strom fliesst, eine Ablenkungskraft ausübt. Der senkrechte Teil führt zu einer Kreisbewegung. Der parallele Teil wird durch das Feld nicht beeinflusst. Auf ein einzelnes Elektron wirkt eine Kraft gleich r r r r r f = qv ¥ B = (-e)v D ¥ B Die Überlagerung ergibt eine Helix. Siehe Abb. 31. Die Gesamtkraft auf einen Leiter der Querschnittsfläche A und Länge L ist: r r r r r s r r F = AL(-e)v D ¥ B = ALn (-e) E ¥ B = ALj ¥ B -en Physik 935 936 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Kraft zwischen zwei parallelen Leitern Elektromagnetismus Das Feld zeigt am Ort des Leiters B nach unten. Der Leiter B befindet sich daher in einem Magnetfeld. Ein Abschnitt L dieses Leiters erfährt eine Kraft, die seitlich wirkt, mit dem Betrag: Da jA die Stromstärke im Leiter darstellt, erhalten wir: r r r F = LI ¥ B F = I B LB = I B L Oft wird diese Gleichung für ein differentielles Element des Stroms so geschrieben: r r r r r dF = LdI ¥ B = IdL ¥ B Die Kraft, die auf den Leiter B wirkt, liegt in der Ebene der Leiter und wirkt nach links. In ähnlicher Weise wirkt eine Kraft auf den Leiter A. Sie liegt in der Ebene der Leiter und wirkt nach rechts. Hier haben wir ein differentielles Element des Leiters als dL und den Betrag der Stromstärke als I bezeichnet. Wir haben im Kap. 1.2 die Definition des Ampère gegeben: Durch zwei unendlich lange, gerade parallele Leiter mit vernachlässigbarem Querschnitt fliesst ein konstanter Strom von einem Ampère, wenn in einem Abstand von einem Meter im Vakuum eine Kraft von 2.10–7 Newton pro Längenmeter auf die Leiter wirkt. Diese Definition basiert auf der Beziehung, die wir hier hergeleitet haben: 15.8 Kraft zwischen zwei parallelen Leitern -7 2 F m 0 I 2 ( 4p ¥ 10 Tm / A)(1A ) = = = 2 ¥ 10 -7 N L 2pd 2p (1m) Wir betrachten zwei parallele gerade Leiter A und B im Abstand d voneinander. Durch die beiden Leiter fliessen die Ströme IA und IB: IA m0IA m0IA IB L = 2pd 2pd IB Demonstrationsexperiment: Stromwaage r F d r B Der Leiter A erzeugt ein magnetisches Feld (Siehe Kap. 15.5.4): r 2m I mI B( r ) = 0 A = 0 A 4pr 2pr Physik 937 938 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Der Fluss und die Divergenz des Flusses Elektromagnetismus Der Fluss df eines Vektorfeldes F durch eine infinitesimale Fläche dA wird definiert als (der Fluss ist eine Skalargrösse) r r r r df ∫ F ◊ dA = F dA cosq wobei dA ein Vektor ist, der dem infinitesimalen Flächenelement dA entspricht. Die infinitesimale Oberfläche kann als eben betrachtet werden. Der Betrag des Vektors dA ist gleich der Fläche der infinitesimalen Oberfläche und die Richtung ist senkrecht zur Ebene der Fläche. Der Winkel q ist der Winkel zwischen dem Vektor F und dem Vektor des Flächenelements dA. Siehe Abb. 33. Der Fluss ist gleich dem Produkt aus der Komponente des Vektors F, die senkrecht zur Oberfläche der Fläche dA steht, und dem Betrag der Fläche dA. Figur 32. Stromwaage: die Kraft zwischen zwei Ströme wird gemessen. 15.9 Der Fluss und die Divergenz des Flusses φ=0 φ<0 φ>0 F dA θ θ dA 90° F F 15.9.1 Die Definition des Flusses Der Fluss ist eine charakteristiche Grösse, die man für alle Vektorfelder einführen kann. dA Figur 33. Physik 939 940 Definition des Flusses durch eine infinitesimale Fläche dA. Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Der Fluss und die Divergenz des Flusses Elektromagnetismus 1. Für eine endliche Fläche von beliebiger Form wird der Fluss durch Integration der infinitesimalen ebenen Flächenelemente gewonnen. Der gesamte Fluss durch die Oberfläche A ist deshalb gleich r r f ∫ ÚÚ F ◊ dA ( Integration über die gesamte Fläche A) 2. A An Punkten der Oberfläche, an denen die elektrischen Feldlinien die Oberfläche verlassen, zeigt das Feld E ebenfalls nach aussen. Der Fluss ist dann positiv. An Punkten der Oberfläche, an denen die elektrischen Feldlinien in die Oberfläche eindringen, zeigt das Feld E nach innen. Der Fluss ist dann negativ. Häufig sind wir am Fluss durch eine geschlossene Oberfläche interessiert. Definitionsgemäss zeigen in diesem Fall die infinitesimalen Flächen dA an jedem Punkt der Oberfläche nach aussen. Wir erinnern uns daran, dass die elektrischen Feldlinien bei positiven Ladungen beginnen und bei negativen Ladungen enden (Siehe Kap. 15.2). Das Integral über eine solche Oberfläche wird so bezeichnet r r f∫ ( geschlossene Oberfläche A) ÚÚ F ◊ dA Siehe Abb. 34. geschlossene A Feldlinien von pos. und neg. Punktladungen 15.9.2 Der elektrische und magnetische Fluss Der elektrische Fluss durch eine Fläche A wird definiert als der Fluss des elektrischen Feldes durch die Fläche r r f E ∫ ÚÚ E ◊ dA ( Elektrischer Fluss) Q=–3 A Der Fluss des magnetischen Feldes durch eine Fläche A wird in Analogie zum elektrischen Fluss definiert als r r f B ∫ ÚÚ B ◊ dA ( Magnetischer Fluss) Die elektrischen Feldlinien beginnen bei positiven Ladungen und enden bei negativen Ladungen. Figur 34. A Deshalb werden positive Ladungen als Quelle und negative Ladungen als Senke des elektrischen Flusses betrachtet. Positive Ladungen erzeugen elektrischen Fluss und negative Ladungen vernichten ihn. Können wir die physikalische Bedeutung dieser Integrale finden? Wir betrachten den elektrischen Fluss. Die elektrischen Feldlinien (Siehe Kap. 15.2) können uns helfen, uns den elektrischen Fluss vorzustellen. Physik 941 Q=+5 Es gibt eine anschauliche Beziehung zwischen dem Fluss und den Feldlinien. Wir bemerken, dass der gesamte Fluss proportional ist 942 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Der Fluss und die Divergenz des Flusses Elektromagnetismus zur Zahl der Feldlinien, die die Oberfläche verlassen, minus der Zahl der Feldlinien, die in die Oberfläche eindringen. (Wir erinnern uns daran (Siehe Kap. 15.2), dass an einem bestimmen Punkt im Raum die “Liniendichte” zur Stärke des Feldes an diesem Punkt proportional ist. Es folgt daraus, dass der Fluss durch die Fläche von der Zahl der Feldlinien, die die Oberfläche kreuzen, abhängt.) C Siehe Abb. 35. In der Abbildung beobachtet man, dass der Fluss durch die Fläche A proportional zu +5 ist, weil 5 Feldlinien sie verlassen. Der Fluss durch die Fläche B ist zu –3 proportional, weil 3 Feldlinien in sie eindringen. Der Fluss durch die Fläche C ist proportional zu 2, weil nur zwei Feldlinien sie verlassen. B –3 +5 A Wir müssen die positive Ladung als eine Flussquelle von 5 Einheiten und die negative Ladung als Flusssenke, die 3 Einheiten vernichtet, betrachten. Wie erwartet, ist der Fluss durch C die Summe der Quelle minus der Senke und ist deshalb zu +5(Quelle) - 3( Senke) = 2 proportional. Figur 35. Der elektrische Fluss. Der Fluss ist zur Zahl der Linien, die die Oberfläche verlassen, minus der Zahl der Linien, die in die Oberfläche endringen, proportional. Physik 943 944 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Der Fluss und die Divergenz des Flusses Elektromagnetismus 15.9.3 Elektrischer Fluss durch eine geschlossene Oberfläche, die eine Punktladung umfasst Wir betrachten nun eine quantitative Bestimmung des Flusses durch zwei kugelförmige (geschlossene) Oberflächen, die als A1 und A2 bezeichnet werden, in deren Mittelpunkt eine Punktladung Q liegt. Siehe Abb. 36. r1 Der Fluss durch die Fläche A1 mit Radius R1 ist gleich r r f A1 ∫ ÚÚ E ◊ dA Q E1 A1 Wir bemerken, dass das elektrische Feld überall auf der Oberfläche A1 denselben Betrag besitzt und dass es immer radial ist. r2 A1 E2 A2 Es folgt, r r r r r r f A1 ∫ ÚÚ E ◊ dA = ÚÚ E1 dA cosq = E1 ÚÚ dA = E1 ( 4pR12 ) A1 A1 Fluss durch zwei kugelförmige Oberflächen, die eine Punktladung umfassen. Figur 36. A1 und der Fluss beim Radius R1 ist deshalb gleich Für die Fläche A2 gilt es r r r r r r f A 2 ∫ ÚÚ E ◊ dA = ÚÚ E 2 dA cosq = E 2 ÚÚ dA = E 2 ( 4pR22 ) A2 A2 1 Q (4pR12 ) = eQ 4pe 0 R12 0 und in einer ähnlichen Weise gilt r f A 2 = E 2 ( 4pR22 ) = 1 Q (4pR22 ) = eQ 4pe 0 R22 0 A2 Im Fall der Punktladung kennen wir den Ausdruck für das Feld als Funktion des Abstandes. Es ist durch das Coulombsche Gesetz gegeben r r 1 Q 1 Q und E2 = E1 = 2 4pe 0 R1 4pe 0 R22 Physik r f A1 = E1 ( 4pR12 ) = 945 Wir beobachten, dass 946 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Der Fluss und die Divergenz des Flusses 1. Elektromagnetismus wobei wir das Feld über die Fläche dxdz konstant angenommen haben. der Fluss durch die Fläche A1 gleich dem Fluss durch die Fläche A2 ist. Es war zu erwarten, weil die Zahl von Feldlinien, die die beiden Oberflächen kreuzen, dieselbe ist (die Feldlinien sind radial, und jede Linie, die A1 kreuzt, wird auch A2 kreuzen!) z f A1 = f A 2 2. der Fluss zur Punktladung Q, die von der Fläche eingeschlossen wird, proportional ist. Die Proportionalitätskonstante ist die elektrische Feldkonstante dz dA2 Q = e 0f A1 = e 0f A 2 y dx 15.9.4 Die Divergenz des Feldes dy Wir betrachten nun den Fluss durch eine geschlossene Oberfläche, die ein Volumenenelement dV umschliesst.. x Das Volumenelement ist gleich dV = dxdydz Figur 37. Siehe Abb. 37. Ein infinitesimales Volumenelement. Der Fluss durch die Fläche dA2 ist gleich df 2 = - Fy ( x, y, z) dxdz Das Feld besitzt die folgenden drei Komponenten: r F = Fx , Fy , Fz ( ) wobei das negative Vorzeichen daher kommt, dass der Winkel zwischen dem Feld und der Fläche, die nach aussen zeigt, gleich 180° ist. Wenn das Volumenelement infinitesimal ist, können wir annehmen, dass das Feld über jede seiner Oberflächen konstant ist. Der Fluss durch die Fläche dA1 ist gleich df1 = Fy ( x, y + dy, z) dxdz Physik dA1 947 948 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Der Fluss und die Divergenz des Flusses Elektromagnetismus Die Summe der Flüsse ist gleich Das Symbol — hat die folgende Bedeutung: r Ê ∂ ∂ ∂ˆ —∫Á , , ˜ Ë ∂x ∂y ∂z ¯ df1 + df 2 = Fy ( x, y + dy, z) dxdz - Fy ( x, y, z) dxdz ( ) = Fy ( x, y + dy, z) - Fy ( x, y, z) dxdz ∂Fy ( x, y, z) dydxdz = ∂y Es muss immer auf etwas wirken, wie z.B. r r ∂f r ∂f r ∂f r Gradient (Vektorgrösse): G = —f = ex + ey + ez ∂z ∂y ∂x r r Ê ∂F ∂Fy ∂Fz ˆ Divergenz (Skalargrösse): d = —◊ F = Á x + + ˜ Ë ∂x ∂y ∂z ¯ Eine ähnliche Herleitung gilt auch für die zwei anderen Komponenten. Der gesamte Fluss durch die Oberfläche ist dann gleich Ê ∂Fy ˆ Ê ∂F ˆ Ê ∂F ˆ dy˜ dxdz + Á z dz˜ dxdy df tot ( x, y, z) = Á x dx˜ dydz + Á Ë ∂x ¯ Ë ∂z ¯ Ë ∂y ¯ Nehmen wir einmal an, dass wir zwei Volumenelemente dV1 im Punkt (x1,y1,z1) und dV2 im Punkt (x2,y2,z2) so neben einander stellen, dass sie sich berühren. Wir berechnen den gesamten Fluss, der beide Volumenenelemente verlässt. Ê ∂F ( x, y, z) ∂Fy ( x, y, z) ∂Fz ( x, y, z) ˆ + + =Á x ˜ dxdydz Ë ∂x ∂y ∂z ¯ 1444444424444 4 444 3 r Divergenz von F Wir betrachten die Oberfläche, die beide Volumenelemente verbindet. Der Fluss, der durch diese Oberfläche das Volumenelement dV1 verlässt, wird in das Volumenelement dV2 eindringen. In diesem Grenzpunkt werden die Flüsse, die dV1 verlassen und in dV2 eindringen, einander kompensieren. wobei die Divergenz des Vektorfeldes F am Punkt (x,y,z) definiert wurde. Die Divergenz des Feldes in jedem Punkt (x,y,z) ist gleich dem Fluss, der das Volumenelement im Punkt (x,y,z) des Volumens dxdydz verlässt, pro Volumeneinheit. r r df tot ( x, y, z) = — ◊ F ( x, y, z) dxdydz ( ) Wir können deshalb den gesamten Fluss, der beide Volumenelemente verlässt, als die Summe der Flüsse, die die einzelnen Volumenelemente verlassen, betrachten: wobei wir den Nabla-Operator für die Divergenz des Feldes im Punkt (x,y,z) verwendet haben (Siehe Kap. 4.12). df tot = df ( x1, y1, z1 ) + df ( x 2 , y 2 , z2 ) r r r r = — ◊ F ( x1, y1, z1 ) dxdydz + — ◊ F ( x 2 , y 2 , z2 ) dxdydz ( r r Ê ∂F ( x, y, z) ∂Fy ( x, y, z) ∂Fz ( x, y, z) ˆ + + — ◊ F ( x, y, z ) = Á x ˜ Ë ∂x ∂y ∂z ¯ 1444444424444444 3 r ) ( Divergenz von F Physik 949 950 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) ) Das Gauss’sche Gesetz Elektromagnetismus Der Fluss, der das Volumenelement wegen der Anwesenheit der Ladung verlässt, ist gleich (Siehe Kap. 15.9.2) Um dieses Ergebnis auf ein endliches, nicht-infinitesimales Volumen zu erweitern, addieren wir die Flüsse, die in jedem Punkt des ganzen Volumens die infinitesimalen Volumen dV verlassen: r r r r f tot = ÚÚÚ df = ÚÚÚ — ◊ F ( x, y, z) dxdydz = ÚÚÚ — ◊ F dV V V ( ) V ( e 0 df = dq ) oder r r e 0 — ◊ E ( x, y, z) dV = r( x, y, z) dV ( Zusammenfassend: Wir haben das Theorem der Divergenz (oder Theorem von Gauss) für den gesamten Fluss ftot, der ein Volumen V verlässt, hergeleitet: r r r r f tot ∫ ÚÚ F ◊ dA = ÚÚÚ — ◊ F dV A =∂ V 24 V4 1 4 3 1 4244 3 ( Flächenintegral wobei wir den Fluss, der das Volumenelment verlässt, durch die Divergenz des Feldes im Punkt (x,y,z) ersetzt haben. ) Es folgt, r r r r e 0 — ◊ E ( r ) = r( r ) ( Volumenintegral wobei A die Oberfläche ist, die das Volumen V umschliesst. Dieses Theorem stellt ein Flächenintegral mit einem Volumenintegral in Beziehung. ) Gesetz von Gauss für das elektrische Feld Man spricht von der differentiellen Form des Gauss’schen Gesetzes. Diese Beziehung gilt in jedem Punkt des Raumes. Es sagt nichts über das Feld aus, sondern nur etwas über dessen Divergenz (die Summe der partiellen Ableitungen des Feldes). Diese Beziehung zwischen der Divergenz des elektrischen Feldes und der Ladungdichte im jedem Punkt des Raumes entspricht einem fundamentalen Gesetz des Elektomagnetismus. 15.10 Das Gauss’sche Gesetz Wir betrachten nun die elektrischen und magnetischen Felder. Mit Hilfe des Theorems der Divergenz können wir eine fundamentale Beziehung für ein endliches Volumen V herleiten. 15.10.1 Gesetz für das elektrische Feld Es gilt Im Kap. 15.9.2 haben wir gesehen, dass positive Ladungen elektrischen Fluss erzeugen und dass negative Ladungen ihn vernichten. f tot ∫ Wir betrachten das infinitesimale kugelförmige Volumenelement dV in einem Punkt (x,y,z), das eine Ladung dq enthält. Die Ladung verhält sich wie eine Flussquelle (dq>0) oder eine Flusssenke (dq<0). Physik ) 951 952 r r r r r Q 1 E ◊ dA = ÚÚÚ — ◊ E dV = ÚÚÚ r( r ) dV = innerhalb e0 V e0 A =∂V V ÚÚ ( ) Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Das Gauss’sche Gesetz Elektromagnetismus wobei wobei A die Oberfläche ist, die das Volumen V umschliesst, und Qinnerhalb ist die gesamte Ladung, die von der Oberfläche A eingeschlossen wird, oder die sich im Volumen V befindet. 3 2 3 2 2 1/ 2 ˆ r - x (x + y + z ) 2x x ∂ Ê xˆ ∂ Ê 2 Á ˜= Á ˜= ∂x Ë r 3 ¯ ∂x ÁË ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 ˜¯ r6 Beispiel: Elektrisches Feld einer Punktladung = Das elektrische Feld, das von einer Punktladung Q erzeugt wird, die sich im Ursprung des Koordinatensystems befindet, ist gleich r r r 1 Qr 1 Q = E (r ) = ( x, y, z ) 2 4pe 0 r r 4pe 0 r 3 r 3 - 3rx 2 r6 Die Divergenz des Feldes ist dann r r —◊ E = Die Ladung befindet sich im Ursprung des Koordinatensystems. Es folgt, dass die Ladungsverteilung sich so verhält5: r r r ÏÔQ wenn r = 0 d .h . r = 0 Punktladung: r( r ) = Ì r r ÔÓ0 wenn r π 0 d .h . r > 0 Ê r 3 - 3rx 2 r 3 - 3ry 2 r 3 - 3rz 2 ˆ 1 QÁ + + ˜ 4pe 0 Ë r6 r6 r6 ¯ 1 Q (3r 3 - 3rx 2 - 3ry 2 - 3rz 2 ) 4pe 0 r 6 =0 = wie erwartet. Wir wollen deshalb prüfen, ob die Divergenz dieses Feldes verschwindet, wenn der Abstand r verschieden von Null ist. 15.10.2 Berechnung des elektrischen Feldes mit Hilfe des Gauss’schen Gesetzes Es gilt, Das Gauss’sche Gesetz für ein endliches Volumen lautet r r e 0 ÚÚ E ◊ dA = Qinnerhalb r r ∂E ∂E y ∂E z Ê ∂ Ê x ˆ ∂ Ê y ˆ ∂ Ê z ˆˆ 1 QÁ Á ˜ + Á ˜ + Á ˜ ˜ + = —◊ E = x + ∂x ∂y ∂z 4pe 0 Ë ∂x Ë r 3 ¯ ∂y Ë r 3 ¯ ∂z Ë r 3 ¯ ¯ A =∂V wobei A die Fläche ist, die das Volumen V umschliesst. Qinnerhalb ist die gesamte Ladung, die sich im Volumen V befindet. Für eine sehr symmetrische Ladungsverteilung können wir Oberflächen finden, bei denen der Betrag des elektrischen Feldes konstant ist und das Feld senkrecht zur Oberfläche steht. 5. Im Prinzip muss die Ladungsdichte eine Ladung pro Volumeneinheit sein. Deshalb ist die Ladungsdichte einer Punktladung Q als die Ladung Q mal eine Funktion d(r), so dass r=Qd(r). Physik 953 954 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Das Gauss’sche Gesetz Elektromagnetismus Der gesamte elektrische Fluss durch diese Oberfläche wird leicht berechnet. 15.11 Divergenz des magnetischen Feldes Beispiel: Elektrisches Feld einer geladenen Kugel mit Radius R und Ladung Q Im Kap. 15.2.3 haben wir schon erwähnt, dass man noch nie eine “magnetische” Ladung (sogenannte Monopole) in der Natur beobachtet hat. Wir haben in Kap. 3.13.4 hergeleitet, dass die Gravitationskraft der Erde dieselbe ist, wie wenn ihre ganze Masse im Zentrum der Erde konzentriert wäre. Es folgt, dass nie magnetischer Fluss erzeugt oder vernichtet wird. Es gibt keine Punkte im Raum, an denen die magnetischen Feldlinien anfangen oder enden. Wir können nun beweisen, dass das elektrische Feld (ausserhalb) einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung dasselbe ist, wie wenn die ganze Ladung im Zentrum der Kugel konzentriert wäre. Die Divergenz des magnetischen Feldes muss deshalb in jedem Punkt des Raumes gleich null sein: r r r — ◊ B( r ) = 0 Gesetz von Gauss für das magnetische Feld Im Kap. 3.13.4 haben wir das Ergebnis durch eine lange Integration gefunden (Siehe Kap. 3.13.2 und 3.13.3). Hier werden wir das Gauss’sche Gesetz benutzen (das Gesetz gilt natürlich auch für die Gravitationskraft!). Eine Folgerung daraus ist, dass der magnetische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche immer gleich null ist. Wir nehmen eine kugelförmige Oberfläche A mit Radius r>R. Es gilt, r r r e 0 ÚÚ E ◊ dA = e 0 E ( 4pr 2 ) Diese Bedingung für die Divergenz des magnetischen Feldes in jedem Punkt des Raumes entspricht einem zweiten fundamentalen Gesetz des Elektomagnetismus. A Die gesamte Ladung innerhalb der Oberfläche A ist die Gesamtladung Q: r r 1 Q gilt für r > R e 0 E ( 4pr 2 ) = Q fi E ( r) = 4pe 0 r 2 Beispiel: Magnetisches Feld eines langen geraden Leiters Wir haben im Kap. 15.5.3 hergeleitet, dass das magnetische Feld eines langen geraden Leiters gleich B( r ) = Physik 955 956 2m 0 I 4pr Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich) Divergenz des magnetischen Feldes Elektromagnetismus Die partiellen Ableitungen sind ist, wobei I der Strom ist, der durch den Leiter fliesst, und r ist der Abstand zwischen dem Leiter und dem betrachteten Punkt im Raum. r =x +y 2 2 ∂ Ê y ˆ ∂ Ê yˆ 0 - y2 x Á- ˜ = - Á 2 ˜ =r4 ∂x Ë x + y 2 ¯ ∂x Ë r 2 ¯ 2 ∂ Ê x ˆ ∂ Ê x ˆ 0 - x2 y Á ˜= Á ˜= r4 ∂y Ë r 2 ¯ ∂y Ë x 2 + y 2 ¯ Siehe Abb. 25. Wenn wir die Richtung des magnetischen Feldes einsetzen wollen, können wir den magnetischen Feldvektor ausdrücken als r 2m I Ê y x ˆ 2m I Ê y x ˆ B( x, y, z) = 0 Á - , , 0˜ = 0 Á - 2 , 2 , 0˜ 4p Ë r r ¯ 4pr Ë r r ¯ Die Divergenz des magnetischen Feldes ist dann gleich r r 2m I — ◊ B = 0 4 (2 yx - 2 xy ) = 0 4pr wie erwartet. Siehe Abb. 38 (Betrachte z.B. B(x,0,0), B(0,y,0), usw...) z i y B x Figur 38. Physik und Das magnetische Feld eines langen geraden Leiters. 957 958 Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
