Elektromagnetismus

Elektromagnetismus
Kapitel 15
r
wobei e0 die elektrische Feldkonstante, und r der Ortsvektor der
Ladung q ist. Der Ursprung des Koordinatensystems ist der Mittelpunkt der Ladung Q.
Elektromagnetismus
Siehe Abb. 1.
Q
r
q
F
qQ>0
15.1 Elektrische und magnetische
Felder
Figur 1.
Wir definieren das elektrische Feld der Punktladung Q als
r r
r
r r
1 Qr
F (r )
=
E (r ) ∫
4pe 0 r 2 r
q
15.1.1 Das elektrische Feld
In Kap. 11.6 haben wir die Coulombsche (elektrostatische) Kraft eingeführt.
Siehe die Definition des Gravitationsfelds im Kap. 14.14.1.
Wenn wir eine Punktladung Q und, in einem bestimmten
Abstand von ihr, eine Punktladung q betrachten, so übt die
Punktladung Q eine Kraft auf die Punktladung q aus.
Das Feld entspricht der Kraft, die eine Ladung q in diesem Feld
erfährt, dividiert durch ihre Ladung. Das Feld erklärt die Kraftwirkung auf eine endliche Distanz.
Die elektrische Kraft, die die Ladung Q auf eine Ladung q ausübt, ist
gleich
r
r
1 qQ r
F=
4pe 0 r 2 r
Physik
879
Die Kraft, die die Ladung Q auf die Ladung q ausübt.
Wir sagen, dass die Punktladung Q ein elektrisches Feld im
ganzen Weltraum erzeugt. Im Allgemeinen erzeugt eine Punktladung ein elektrisches Feld in jedem Punkt des Weltraums um
sie. Dieses Feld übt eine elektrische Kraft auf eine zweite
Ladung q an deren Ort aus.
880
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Elektrische und magnetische Felder
Elektromagnetismus
Die zweite Ladung q spürt den lokalen Wert des Feldes und spürt
damit eine Kraft gleich
r r
r r
F ( r ) = qE ( r )
Positive Ladung
Negative Ladung
Für eine positive Ladung q zeigt die Kraft in die Richtung des Feldes.
Für eine negative Ladung zeigt sie in entgegengesetzter Richtung.
+Q
E
E
–Q
E
E
E
E
Siehe Abb. 2.
q>0
E
Das elektrische Feld einer positiven und einer negativen
Punktladung.
Figur 3.
F = qE
15.1.2 Das elektrische Feld und die Relativität
F = qE
Figur 2.
Wir nehmen an, dass sich zwei Ladungen Q und q relativ zu einem
Beobachter O’ in Ruhe befinden.
E
q<0
Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass die Ortsvektoren der
Ladungen die folgenden sind:
r
rQ ¢ = (0, 0, 0)
Die Beziehung zwischen der Kraft und dem elektrischen Feld.
Definitionsgemäss zeigt das elektrische Feld einer positiven Ladung
weg von der Ladung und zu einer negativen hin.
und
r
rq ¢ = ( x ¢, y ¢, 0)
Die elektrische Kraft, die auf q wirkt, hat die folgenden Kompenten:
r
1 qQ r ¢
1 qQ
F¢ =
r =
( x ¢, y ¢, 0)
4pe 0 r¢ 3 q
4pe 0 r¢ 3
q
q
( )
Siehe Abb. 3.
( )
Wir betrachten nun einen zweiten Beobachter O, relativ zu welchem
beide Ladungen und der Beobachter O’ sich mit einer Geschwindig-
Physik
881
882
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Elektrische und magnetische Felder
Elektromagnetismus
keit v=bc in der x-Richtung bewegen. Beide Koordinatensysteme O
und O’ fallen zur Zeit t=t’=0 zusammen. Siehe Abb. 4.
Wir haben die folgenden Beziehungen für den relativistischen Energie-Impuls 4-Vektor benutzt (Siehe Kap. 14.12)
Ï E = g ( E ¢ + bcpx¢ )
Ô
ÔÔcpx = g (cpx¢ + bE ¢ )
Ì
Ôcpy = cpy ¢
Ô
ÔÓcpz = cpz¢
Wir bestimmen die Kraft, die der Beobachter O misst.
Die Lorentz-Transformation (Siehe Kap. 14.10) für die x-Komponente der Kraft, die auf ein Teilchen wirkt, ist gleich:
Fx =
dpx g (cdpx¢ + bdE ¢ )
=
=
dt
g (cdt¢ + bdx ¢ )
Die zeitliche Ableitung der Energie ist gleich
dE ¢ ˆ
Ê cdpx¢
b dE ¢
+b
Á
˜ Fx ¢ +
Ë cdt¢
cdt¢ ¯
c dt¢
=
=
Ê bdx ¢ ˆ
Ê b ˆ
Á1 + ux¢ ˜
Á1 +
˜
Ë
Ë
cdt¢ ¯
c ¯
(
)
dE d r 2 2
=
p c + m02c 4
dt dt
r
r r
-1/ 2
r dp c 2 p dp r r
1 r
= ( p 2c 2 + m02c 4 ) (2c 2 p)
=
= u◊F
dt
E dt
2
wobei u die Geschwindigkeit des Teilchens ist.
Es folgt,
r
¢ b r
dpx Fx + c u ¢ ◊ F ¢
Fx =
=
dt
Ê b ˆ
Á1 + ux¢ ˜
Ë
c ¯
(
y'
y
vt
)
x' q
O'
O
Q
z
Die Lorentz-Transformation für die y-Komponente der Kraft ist
gleich:
y'
x,x'
cdpy¢
dpy
cdpy¢
Fy ¢
1
1
cdt¢
Fy =
=
=
=
dt g (cdt¢ + bdx ¢ ) g Ê bdx ¢ ˆ g Ê b ¢ ˆ
Á1 + ux ˜
Á1 +
˜
Ë
Ë
cdt¢ ¯
c ¯
z'
und eine ähnliche Gleichung gilt für die z-Komponente.
Figur 4. Zwei Ladungen Q und q befinden sich in Ruhe relativ zum
Koordinatensystem O’, das sich relativ zum Koordinatensystem O mit der
Geschwindigkeit v in die x-Richtung bewegt.
Physik
883
884
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Elektrische und magnetische Felder
Elektromagnetismus
Die Kraft kann in Vektorform geschrieben werden als
Aus den Transformations-Regeln für die Kraft folgt für den Fall, dass
die Geschwindigkeit des Teilchens gleich null ist:
Fx = Fx ¢ ; Fy =
r gqQ
1
F=
4pe 0 g 2 x 2 + y 2
Fy ¢
F¢
; Fz = z
g
g
Wir haben in Kap. 11.5 schon erwähnt, dass die elektrische Ladung,
wie die Ruhemasse, relativistisch invariant ist (Siehe Kap. 14.12),
d.h., die elektrische Ladung eines Teilchens ist für alle Beobachter
gleich.
(
x ¢ = g ( x - bct) = gx; y ¢ = y; z¢ = z = 0 fi r¢ 2 = g 2 x 2 + y 2
Physik
)
(
)
]
)
(
)
)
)
und man erkennt das E-Feld, das wir in Kap. 15.1.1 definiert haben.
Der zweite Term v¥BQ entspricht einer zusätzlichen Wechselwirkung zwischen zwei bewegten Ladungen, der sogenannten
magnetischen Wechselwirkung. Das B-Feld wird als magnetisches Feld bezeichnet.
)
(
[
(
Die Kraft, die die Ladung Q zur Zeit t=t’=0 auf die Ladung q ausübt,
ist gleich
(1 - b )
2
3/2
)
Der erste Term EQ ist ein Vektorfeld, das der elektrischen Wechselwirkung entspricht. Wenn v=0 (d.h. g=1) gilt
r
r
Q
r
EQ (v = 0) =
4pe 0 x 2 + y 2 3 / 2
Zur Zeit t=t’=0 sind die Koordinaten der Ladung q gleich
(
(
(
1 qQ
1 1 qQ
Fy =
y ¢; Fz = 0
3 x ¢;
4pe 0 ( r¢ )
g 4pe 0 ( r¢ ) 3
x
gqQ
Ï
3/2
ÔFx = 4pe
2 2
2
0 g x + y
Ô
Ô
y
y
qQ
gqQ
Ô
ÌFy =
3/2 =
2 2
2
2 2
2
4
4
pe
g
pe
0
0 g x + y
g x +y
Ô
Ô
ÔFz = 0
ÔÓ
)
˘
È
˙
Í
r
Ê
ˆ
Í gQ
r
r ˙
vy
gQ
r
Á
= qÍ
e ˜˙
3/2 + v ¥
Á 4pe 0c 2 g 2 x 2 + y 2 3 / 2 z ˜ ˙
Í 4pe 0 g 2 x 2 + y 2
Ë
¯
3
144442
Í14442
r 444
r 44443 ˙
∫
E
∫
B
˙˚
ÍÎ
Q
Q
r
r r
= q EQ + v ¥ BQ
Die elektrische Kraft, die der Beobachter O beobachtet, ist dann
gleich
Fx =
(
gqQ
1
=
4pe 0 g 2 x 2 + y 2
˘
È
2
˙
Í
x
,
y
,
y
(
,
,
)
b
0
0
1
0
(
)
3/2
12
3˙
Í
r
= ey
˚
Î
r
r
r
2
3 / 2 r + b y (ex ¥ ez )
Die magnetische Wechselwirkung hängt von der Geschwindigkeit der
Teilchen ab und verschwindet, wenn die Geschwindigkeit der Teilchen v=0 ist.
885
886
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Elektrische und magnetische Felder
Elektromagnetismus
Zusammenfassend kann man sagen, dass elektrische und magnetische Wechselwirkungen zwei verschiedene Aspekte einer Eigenschaft der Materie, ihrer Ladung, sind.
Aus einer Folgerung des Coulombschen Gesetzes und der
Lorentz-Transformation der Relativitätstheorie haben wir die
allgemeine Form der elektromagnetischen Kraft zwischen
zwei Ladungen hergeleitet.
Der magnetische Term entspricht einer elektrischen Wechselwirkung
zwischen zwei Ladungen, wenn sie sich bewegen.
Die elektromagnetische Kraft zwischen den Punktladungen ist deshalb gleich
r
r
r r
F = q EQ + v ¥ BQ
(
wobei
r
r
)
r
gQ
EQ =
4pe 0 g 2 x 2 + y 2
(
qEQ
v
q
)
qv×BQ
( Punktladung)
3/2
und
r
BQ =
=
vy
gQ
4pe 0c 2 g 2 x 2 + y 2
(
vy
m0
gQ
2 2
4p
g x + y2
(
)
)
3/2
3/2
r
ez
r
ez
( Punktladung)
Die elektrische und magnetische Kraft zwischen zwei Ladungen,
die sich mit derselben Geschwindigkeit v bewegen.
Figur 5.
Das Produkt e0c2, das wir schon in Kap. 11.6 angetroffen haben, wird
in der folgenden Weise definiert:
15.1.3 Die Lorentz-Kraft
Wir haben bewiesen, dass die allgemeine Form der elektromagnetischen Kraft zwei unterschiedliche Terme enthält.
1
∫ m0
e 0c 2
Die allgemeine elektromagnetische Kraft wird deshalb als
Funktion zweier Vektorfelder, des elektrischen und des
magnetischen Feldes, ausgedrückt
r r
r
r r r
F ∫ FE + FB = q E + v ¥ B
Lorentz - Kraft
Das elektrische Feld und die elektrische Kraft sind radial. Die
magnetische Kraft wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung der
Ladungen. Siehe Abb. 5.
Physik
v
Q
887
(
888
)
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Elektromagnetismus
Elektrische und magnetische Felder
Einheit: im MKSA-System ist die Einheit des elektrischen Feld
gleich
wobei E das elektrische Feld und B das magnetische Feld
(oder magnetische Flussdichte oder magnetische Induktion)
ist. Diese Form der elektromagnetischen Kraft heisst die Lorentz-Kraft1.
r
Kraft ˘ N
[ E ] = ÈÍÎ Ladung
˙= C
˚
Im Allgemeinen können die Felder E und B Vektorfunktionen der
Raumkoordinaten und der Zeit sein:
(Newton dividiert durch Coulomb).
Die Felder definieren eine Vektorgrösse (d.h. eine Grösse mit
einem Betrag und einer Richtung) in jedem Punkt des Raumes
und der Zeit:
r r r
r r r
E ∫ E ( r , t) und B ∫ B( r , t)
Die Einheit des magnetischen Feld ist das Telsa (T)
r
˘
Kraft
N
[B] = ÈÍÎ Ladung.Geschwindigkeit
˙ = C ( m / s) ∫ T
˚
Die Feldstärke des Erdmagnetfeldes ist ungefähr 10–4 T. Die Feldstärke eines Elektromagnets ist ungefähr 1-2 T. Supraleitende Elektromagneten können Feldstärken von ungefähr 10 T erreichen.
In der Elektrostatik oder der Magnetostatik betrachtet man Felder,
die sich mit der Zeit nicht ändern, d.h.
r r r
r r r
E4
∫2
E4
(3
r ) und 1
B4
∫2
B4
(3
r)
1
Elektrostatik
Da das Erdmagnetfeld eine Grössenordnung ª10–4 T hat, benutzt
man auch das Gauss (G):
Magnetostatik
Wir erinnern uns daran, dass die elektromagnetische Lorentz-Kraft
als Folge der relativistischen Lorentz-Transformation der elektrischen Kraft erschienen ist.
1 T = 10 4 G
Magnetische Kraft. Wir betrachten nun den magnetischen Term der
Lorentz-Kraft.
Wir bemerken, dass
1.
2.
eine Punktladung ein elektrisches Feld E in jedem Punkt des Weltraums um sie erzeugt. Das elektrische Feld übt die elektrische
Kraft qE auf eine zweite Ladung q an deren Ort aus.
eine bewegte Punktladung ein magnetisches Feld B in jedem Punkt
des Weltraums erzeugt. Das magnetische Feld übt die magnetische
Kraft qv¥B auf eine zweite bewegte Ladung q aus. Siehe z.B. den
zweiten Term der Kraft in Kap. 15.1.2: für v=0 verschwindet er.
Wir bemerken, dass
1.
2.
die Kraft proportional zur Geschwindigkeit ist. Auf ein ruhendes
Teilchen wirkt keine magnetische Kraft.
Die Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung und zur Richtung des
Feldes wirkt.
1. H. Lorentz (1853-1928).
Physik
889
890
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Feldlininen
3.
Elektromagnetismus
Wir beginnen mit den elektrischen Feldlinien und erwähnen die folgenden Regeln:
Der Betrag der magnetischen Kraft ist gleich
r
r r
FB = q v B sin a
1.
wobei a der Winkel zwischen v und B ist.
2.
Siehe Abb. 6.
3.
4.
v
Die elektrischen Feldlinien werden auch Kraftlinien genannt, weil sie
die Richtung der Kraft anzeigen, die das Feld auf eine positive
Ladung ausübt.
B
Fmag
Die elektrischen Feldlininen beginnen bei positiven Ladungen und
enden bei negativen Ladungen oder im Unendlichen.
An einem bestimmten Punkt im Raum ist die “Liniendichte” zur
Stärke des Feldes an diesem Punkt proportional.
Um eine einzelne Punktladung sind die Feldlinien kugelsymmetrisch verteilt.
Die Anzahl der Feldlinien um eine Punktladung ist zur Grösse der
Ladung proportional.
Die elektrischen Feldlininen einer Punktladung sind z.B. in der
Abb. 7 gezeigt. Die Dichte der Linien nimmt mit dem Abstand r von
der Punktladung ab. Wie erwartet, ist die Feldstärke zu 1/r2 proportional.
+q
Die magnetische Kraft wirkt senkrecht zur Ebene, die durch die
Geschwindigkeit und das Feld definiert ist.
Figur 6.
Feldlinien
Elektrisches Feld
15.2 Feldlininen
+Q
E
E
E
E
+Q
15.2.1 Elektrische Feldlinien
Feldlinien liefern eine graphische Darstellung von elektrischen und
magnetischen Feldern. Sie werden so definiert:
Die Beziehung zwischen dem elektrischen Feld und den Feldlinien.
Die Feldlinien folgen in jedem Punkt des Raumes der Richtung des Feldes.
Figur 7.
Die Feldlinien folgen in allen Punkten des Raumes der Richtung des Feldes.
Physik
891
892
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Feldlininen
Elektromagnetismus
15.2.2 Der elektrische Dipol
Demonstrationsexperiment: Elektrische Feldlinien
Ein System aus zwei gleich grossen Ladungen mit entgegengesetzten
Vorzeichen und in relativ kleinem Abstand voneinander heisst elektrischer Dipol.
Zwei Kreisscheiben werden positiv und negativ geladen und erzeugen damit das elektrische Feld eines Dipols. Mit Pulver kann eine
graphische Darstellung der Feldlinien gewonnen werden. Siehe
Abb. 9.
In der Nähe der positiven Ladung zeigen die Feldlinien radial nach
aussen und in der Nähe der negativen Ladung radial nach innen.
Die beiden Ladungen sind gleich gross und deshalb ist die Anzahl der
Linien, die von der positiven Ladung ausgehen, gleich der Anzahl der
Linien, die bei der negativen Ladung enden.
Das elektrische Feld ist stärker zwischen den zwei Ladungen, und die
“Dichte” der Linien ist deshalb dort höher.
Siehe Abb. 8.
E
+Q
Figur 9.
–Q
Elektrische Feldlinien eines Dipols.
15.2.3 Magnetische Feldlinien
Genau wie das elektrische Feld durch elektrische Feldlinien graphisch dargestellt werden kann, kann das magnetische Feld durch
magnetische Feldlinien (oder Induktionslinien) illustriert werden.
Feldlinien des elektrischen Dipols. Die Linien gehen von der
positiven zur negativen Ladung.
Figur 8.
Physik
893
894
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Feldlininen
1.
2.
Elektromagnetismus
sche Kreise, unabhängig von der Position der Ebene entlang des
Drahtes.
Wie bei einem elektrischen Feld gibt die Tangente in einem Punkt
an eine Induktionslinie die Richtung von B in diesem Punkt an.
Die Anzahl der Linien durch eine Fläche, die senkrecht zu den
Induktionslinien verläuft, d.h. die Dichte der Linien, ist zum
Betrag von B proportional.
Es gibt zwei wesentliche Unterschiede zwischen elektrischen und
magnetischen Feldlinien. Wir bemerken dazu, dass
1.
2.
die elektrischen Feldlinien immer auf positiven Ladungen beginnen und auf negativen Ladungen enden. Die elektrische und
magnetische Wechselwirkung sind zwei verschiedene Aspekte
einer Eigenschaft der Materie, ihrer Ladung. Man hat nie eine
“magnetische Ladung” (sogenannte Monopole) in der Natur
beobachtet. Es folgt, dass es keine Punkte im Raum gibt, an
denen die magnetischen Feldlinien anfangen oder enden. Deshalb bilden die magnetischen Feldlinien geschlossene Schleifen.
die Kraft, die ein elektrisches Feld auf eine Ladung ausübt, wirkt
längs der Feldlinien. Im Gegensatz dazu wirkt die Kraft des
magnetischen Feldes nur auf eine bewegte Ladung und zwar senkrecht zum B-Feld und zur Bewegungsrichtung.
Demonstrationsexperiment: Magnetfeldlinien
Figur 10.
Um ein Magnetfeld zu erzeugen, werden bewegte Ladungen
gebraucht. Wir betrachten dafür verschiedene geometrische Konfigurationen von elektrischen Strömen. Wir schauen die Feldlinien der
erzeugten Felder mit Hilfe von Eisenpulver an.
Die Feldlinien eines Magnetfelds, das ein Strom durch einen Ring
erzeugt, sind in Abb. 11 dargestellt. Wir betrachten eine Ebene senkrecht zur Ebene des Ringes. In der Nähe des Drahtes sind die Feldlinien in dieser Ebene gleich wie im Fall des einzelnen Drahtes, d.h. sie
sind konzentrische Kreise um den Draht. Im Ring ist das resultierende Feld gleich der Summe der Felder, die der Ring erzeugt. Als
Folge sind die Feldlinien desto weniger gekrümmt, je naher, sie dem
Zentrum des Rings sind. Die Feldlinie, die das Zentrum des Rings
durchquert, ist geradlinig. Siehe Abb. 11.
Das Magnetfeld eines Stroms durch einen langen Draht ist in Abb. 10
gezeigt. Wir betrachten eine Ebene senkrecht zum Draht. Die Feldlinien in dieser Ebene sind konzentrische Kreise. Das Magnetfeld ist in
jedem Punkt der Kreise tangential. Wegen der Symmetrie des Drahts
zeigen die Feldlinien für jede Ebene senkrecht zum Draht konzentri-
Physik
895
Feldlinien eines Stroms durch einen vertikalen Draht.
896
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Feldlininen
Elektromagnetismus
Figur 12.
Figur 11.
Magnetfeld eines Stroms durch ein Solenoid.
Eine spezielle Konfiguration eines Solenoids ist der Torus, bei dem
die Windungen eines Solenoids zu einem Kreis geschlossen werden.
Siehe Abb. 13. Bei dieser Anordnung ist das meiste des Magnetfelds
auf das Innere des Torus begrenzt. Wir bemerken tatsächlich, dass das
Magnetfeld im Zentrum des Toruses verschwindet.
Feldlinien eines Stroms durch einen Ring.
Die Feldlinien eines Solenoids sind in Abb. 12 gezeigt. Man kann ein
Solenoid bauen, indem man viele Ringleiter dicht zueinander bringt.
Das kann man z.B. mit vielen Windungen eines einzigen Drahtes
erreichen, wie in Abb. 12 gezeigt wird. Wegen der grossen Anzahl der
Windungen ist das Feld im Innern des Solenoids fast homogen und
parallel zur Länge des Solenoids gerichtet.
Physik
897
898
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Feldlininen
Elektromagnetismus
mentell beobachtet man, dass es zwei Arten von magnetischen Polen
gibt, die mit den Buchstaben N und S definiert werden. In Abb. 14
werden die Feldlinien und die Pole eines Magnetstabs gezeichnet.
Figur 13.
Feldlinien eines Stroms durch einen Torus.
Figur 14.
15.2.4 Magnetische Pole
Kleine Eisenstückchen, die sich natürlich anziehen konnten, wurden
schon Jahrhunderte vor Christus entdeckt. Mit der Entdeckung von
natürlichen Magneten begann die Wissenschaft vom Magnetismus.
Der Name Magnetismus leitet sich von der Provinz Magnesia in
Kleinasien ab, wo der Effekt zum ersten Mal erkannt wurde.
Man beobachtet experimentell:
Die Wechselwirkung zwischen gleichen Magnetpolen ist
abstossend, die zwischen ungleichen Polen ist anziehend.
15.2.5 Das magnetische Feld der Erde
Heute werden leicht Permanentmagnete gebaut. Sie sind direkte
Nachfahren der natürlichen Magnete.
Die Erde stellt einen natürlichen Magneten dar. Im Jahre 1600 beobachtete W. Gilbert, dass die Erde selbst ein magnetisches Feld
erzeugt, dessen magnetische “Pole” in der Nähe der geographischen
Pole liegen. Siehe Abb. 15.
Die Bereiche eines Körpers, in denen der Magnetismus konzentriert
zu sein scheint, werden als magnetische Pole bezeichnet. Experi-
Physik
899
Magnetfeld eines Magnetstabs.
900
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Feldlininen
Elektromagnetismus
Die magnetischen Feldlinien zeigen vom magnetischen Nordpol zum
magnetischen Südpol (Konvention). Da der “Nordpol einer Kompassnadel” nach Norden zeigt, befindet sich der magnetische Südpol der
Erde im geographischen Norden der Erde.
15.3 Elektrische potentielle Energie
und elektrisches Potential
Magnetischer Südpol
N
Wir betrachten zwei Ladungen q und Q im Abstand r voneinander.
Wenn die Ladungen ungleichnamig sind (d.h. sie ziehen einander an)
und man will den Abstand zwischen den Ladungen vergrössern, muss
man Arbeit an den Ladungen leisten.
Drehachse der Erde
Wenn die Ladungen gleichnamig sind (d.h. sie stossen einander ab),
erhält man Arbeit, wenn der Abstand sich vergrössert. In diesem Fall
wird die von den Ladungen geleistete Arbeit einen negativen Wert
besitzen.
Diese Arbeit wird im System der Ladungen als elektrische potentielle Energie gespeichert (Siehe Kap. 4.8 für die Definition der potentiellen Energie).
Magnetische Feldlinien
zeigen nach Norden
Wir haben von der elektrischen potentiellen Energie schon in
Kap. 11.7 gesprochen (Siehe auch Kap. 4.13), als wir das klassische
Atom-Modell betrachtet haben. Wir haben dort bewiesen, dass wenn
sich die Ladungen q und Q im Abstand r voneinander befinden, die
elektrische potentielle Energie der Ladung q gegeben ist durch
r
E e pot ( r ) =
S
Die Feldlinien des magnetischen Feldes der Erde gehen vom
geographischen Südpol zum Nordpol.
Figur 15.
1 qQ
4pe 0 r
Die potentielle Energie hängt nur vom Betrag des Abstandes zwischen den Ladungen ab.
Wir konnten die elektrische potentielle Energie definieren, weil die
elektrische Kraft, die auf eine Ladung Q auf eine zweite Ladung q
ausübt, konservativ ist (Siehe Kap. 4.8.1). Die Arbeit, die durch die
elektrische Kraft F=qE geleistet wird, wenn eine Ladung q entlang
Physik
901
902
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Elektrische potentielle Energie und elektrisches Potential
Elektromagnetismus
Einheit: das Volt (V) wird definiert als ein Joule pro Coulomb
des Weges S vom Punkt A zum Punkt B verschoben wird, ist daher
unabhängig vom Weg S:
B r r
r
r
W AB = Ú F .dr ∫ - E pot ( rB ) - E pot ( rA ) = - DE pot
(
A
[V ] = [
Energie] J
= =V
[Ladung] C
)
D.h., es besteht zwischen Punkten ein Potentialunterschied von einem
Volt, wenn das elektrische Feld bei der Bewegung einer Ladung von
einem Coulomb von einem Punkt zu einem anderen eine Arbeit von
einem Joule leistet.
Es folgt,
B r r
q Ú E .dr = -DE pot
A
Das elektrische Potential (eine skalare Grösse) wird definiert
als
r
E e (r )
r
r
r
V ( r ) ∫ pot
¤ E epot ( r ) ∫ qV ( r )
q
Beispiel: Elektrisches Potential einer Punktladung
r
E pot ( r )
r
1 Q
V (r ) ∫
=
(Punktladung)
4pe 0 r
q
15.3.1 Der Gradient des Potentials
Wenn sich eine Ladung q längs eines Weges von einem Punkt A zu
einem anderen Punkt B bewegt, ist die Arbeit, die vom elektrischen
Feld geleistet wird,
B r r
r
r
r
r
W = Ú F .dr = -( E e pot ( rB ) - E e pot ( rA )) = -q(V ( rB ) - V ( rA ))
Im Kap. 4.12.2 haben gesehen, dass die Kraft als Gradient der potentiellen Energie berechnet werden kann:
r
r
F = -—E pot
A
Mit der Definition des elektrischen Feldes erhalten wir direkt:
r
r
r
r F
—E pot
E= == -—V
q
q
Damit:
r
r
B r r
r
r
E e pot ( rB ) - E e pot ( rA )
.
=
= -(V ( rB ) - V ( rA ))
E
dr
ÚA
q
Wir können daher den elektrischen Potentialunterschied zwischen zwei Punkten als die Arbeit definieren, die ein elektrisches Feld leistet, wenn es eine Einheitsladung von einem
Punkt zu einem anderen bewegt.
Physik
903
D.h.,
das elektrische Feld ist der negative Gradient des elektrischen
Potentials:
r
r
E = -—V
904
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Elektrische potentielle Energie und elektrisches Potential
Elektromagnetismus
Damit:
Die Einheit des elektrischen Feldes kann daher als N/C oder V/m ausgedrückt werden:
r
N V
E = =
C m
Elektrischer Dipol: V ( r) ª
[ ]
Wie erwartet geht das Potential nach Null, wenn der Abstand r nach
unendlich geht. Wir bemerken, dass das elektrische Potential des
Dipols sich mit r–2 ändert, weil das einer Punktladung sich mit r–1
ändert. Als Folge geht das Potential des Dipols schneller nach Null
als das der Punktladung.
15.3.2 Elektrisches Potential des elektrischen Dipols
Wir betrachten den elektrischen Dipol mit Abstand a. Das elektrische
Potential an einem Punkt P ist gleich:
V ( r) =
=
q Ê a cosq ˆ
Á
˜
4pe 0 Ë r 2 ¯
1 q
1 (-q)
q Ê 1 1ˆ
+
=
Á - ˜
4pe 0 r1 4pe 0 r2
4pe 0 Ë r1 r2 ¯
Weil das Feld gleich dem Gradient des Potentials ist, wird das elektrische Feld des Dipols sich mit r–3 ändern, weil das einer Punktladung
mit r–2 ändert. Das ist zu verstehen, weil die Felder der positiven und
negativen Ladungen sich genau kompensieren, wenn der Abstand a
zwischen ihnen vernachlässigt werden kann. Das resultierende Feld
des Dipols verschwindet in diesem Fall.
q Ê r2 - r1 ˆ
Á
˜
4pe 0 Ë r1r2 ¯
P
15.3.3 Die elektrische Spannung
r2
r1
r
q
-q
Die elektrische Spannung ist gleich dem Potentialunterschied zwischen zwei Punkten:
r
r
U AB ∫ V ( rA ) - V ( rB )
Siehe Abb. 16.
+q
Einheit: Die Einheit der Spannung ist das Volt (d.h. dieselbe wie die
des Potentials).
a
Wenn der Abstand a viel kleiner als der Abstand r ist, können wir
schreiben:
r1r2 ª r 2
Physik
und
r2 - r1 = a cosq
905
906
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Elektrischer Strom
Elektromagnetismus
Wenn der Ladungsfluss zeitlich nicht konstant ist, so wird die elektrische Stromstärke mit der Zeit variieren, und man definiert die
momentane elektrische Stromstärke als
Die Spannung wird definiert als Arbeit pro Ladung
r
r
r
r
U AB ∫ V ( rA ) - V ( rB ) = -(V ( rB ) - V ( rA ))
r
r
E pot ( rB ) - E pot ( rA ) W AB
==
q
q
Volt
meter
I ( t) ∫
dQ
dt
wobei dQ die Ladungsmenge ist, die in der Zeit dt durch die Fläche A
tritt. Man benutzt die historische Konvention, dass die positive
Stromrichtung der Flussrichtung der positiven Ladungen folgt.
–
U
2
+
Einheit: im MKSA-System wird die Stromstärke in Ampere2 (A)
gemessen
r2
1
1 A =1 C /s
r1
Wir nehmen nun an, dass jeder bewegte Ladungsträger eine Ladung q
hat, und dass er sich mit einer sogenannten Driftgeschwindigkeit vD
bewegt. Wenn die Dichte der beweglichen Ladungsträger gleich n ist,
dann ist die Stromsträrke, die durch eine Fläche A fliesst, gleich
I=
Ein Voltmeter misst den Potentialunterschied zwischen zwei
Punkten. Die gestrichelten Linien sind die Äquipotentiallinien, d.h. die
Linien gleichen Potentials.
Figur 16.
DQ qn ( Av D Dt)
=
= qnAv D
Dt
Dt
weil in dem Zeitintervall Dt alle Ladungen, die sich im Volumen
AvDDt befinden, durch die Fläche A fliessen.
15.4 Elektrischer Strom
Leitender Körper. Ein Leiter ist ein Körper, durch welchen sich
elektrische Ladungen bewegen können.
Wenn eine bestimmte Menge elektrische Ladung in einem gegebenen
Zeitintervall durch eine Querschnittsfläche tritt, fliesst ein elektrischer Strom durch die Fläche.
Beispiele: Metalle, ionisierte Gase, Mensch, Erde, usw...
2. A. Ampère (1775-1836).
Physik
907
908
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Elektrischer Strom
Elektromagnetismus
Demonstrationsexperiment: Leiter und Nichtleiter
tenden Festkörper (z.B. einem Kupferdraht) sich die Elektronen
bewegen und die Ionen sich in Ruhe befinden (Siehe Abb. 18).
Siehe Abb. 17.
Die erste mikroskopische Beschreibung wurde im Jahre 1900 von
Drude gefunden. Nach seinem klassischen Modell der elektrischen
Leitung ist ein Leiter ein dreidimensionales Ionengitter, in dem sich
Elektronen bewegen können.
Man beobachtet die Aufladung eines Elektroskops und illustriert
damit die Leitfähigkeit verschiedener Materialien: Glas, altes Kabel,
neues Kabel, usw...
Wenn es kein äusseres elektrisches Feld gibt, verhalten sich die Elektronen wie die Moleküle eines Gases in einem Behälter. Die freien
Elektronen sind mit den Gitterionen im thermodynamischen Gleichgewicht und tauschen durch Stösse Energie und Impuls mit ihnen aus.
Unter dieser Annahme kann man die Geschwindigkeit der Elektronen
mit Hilfe des Gleichverteilungssatzes (Siehe Kap. 12.10) bestimmen.
Die mittlere kinetische Energie eines freien Elektrons ist gleich
E freies
Elektron
1
3
ª me v 2 ª kT
2
2
wobei me die Elektronenmasse ist, und es folgt
vª
3kT
me
Bei Zimmertemperatur erhält man
vª
Demonstrationsexperiment: Aufladung eines Elektroskops durch
verschiedene Materialien.
Figur 17.
3kT
ª 10 5 m / s
me
Diese Geschwindigkeit können wir mit der Driftgeschwindigkeit der
Elektronen für eine bestimmte Stromstärke vergleichen.
15.4.1 Modell der elektrischen Leitung
Die wirkliche Bewegung von Ladungen in einem leitenden Körper
kann sehr kompliziert sein. Tatsächlich weiss man, dass in einem lei-
Physik
909
910
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Elektrischer Strom
Elektromagnetismus
Diese Geschwindigkeit ist viel kleiner als die Elektronengeschwindigkeit, die wir mit Hilfe des Gleichverteilungssatzes berechnet
haben.
.
bewegte
Positive KupferIonen im Ruhezustand Elektronen
–
+
+
–
+
–
+
+
–
–
Kupferdraht
+
–
+
–
+
Wir haben sozusagen gefunden, dass die freien Elektronen sich nicht
ganz frei bewegen! Sie stossen sehr oft mit den Ionen und dadurch
wird die Richtung ihrer Bewegungen geändert.
–
Die mittlere freie Weglänge l wird definiert als die mittlere Wegstrecke, die ein Elektron zwischen zwei Stössen zurücklegt. Sie ist
gleich dem Produkt der mittleren Geschwindigkeit des Elektrons und
der Zeit zwischen zwei Stössen t
l = vt
Einfaches Modell des elektrischen Stroms durch einen leitenden
Kupferdraht.
Figur 18.
Wenn ein äusseres elektrisches Feld auf ein Elektron die Kraft eE
ausübt, wird das Elektron beschleunigt und nach einer mittleren Zeit
t wird es mit einem Ion zusammenstossen.
Wir betrachten einen Kupferdraht mit einer Querschnittsfläche gleich
1mm2. Die Stromstärke ist 1 A. Wir nehmen an, dass es im Kupfer
ein freies Elektron pro Atom gibt. Die Dichte und molare Masse von
Kupfer sind 8,93 g/cm3 und 63,5 g/mol.
Weil die Driftgeschwindigkeit viel kleiner als die thermische
Geschwindigkeit der Elektronen ist, wird die Driftgeschwindigkeit
nach einem Stoss verschwinden.
Dichte der freien Elektronen (1 freies Elektron pro Atom)
(8,93g / cm )(6,02 ¥ 10
3
n=
23
63, 5 g / mol
/ mol)
Die Beschleunigung des Elektrons zwischen zwei Stössen ist deshalb
für die Driftbewegung verantwortlich
r
r
r
Ê et ˆ r
r
r
-eE
F
t=
t = -Á ˜ E ∫ -mE
v D ª at =
me
me
Ë me ¯
= 8, 5 ¥ 10 22 Elektronen / cm 3
Die Driftgeschwindigkeit ist dann gleich
vD =
I
1A
=
qnA (1, 602 ¥ 10 -19 C )(8, 5 ¥ 10 22 Elektronen / cm 3 )(1mm 2 )
wobei m die Beweglichkeit der Elektronen ist.
-5
ª 7 ¥ 10 m / s = 0, 07 mm / s
Physik
Wir finden, dass die Driftgeschwindigkeit proportional zum elektrischen Feld ist. Die Richtung der Elektronenbewegung ist zur Richtung des Feldes parallel, zeigt aber in entgegengesetzer Richtung.
911
912
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Elektrischer Strom
Elektromagnetismus
Siehe Abb. 19.
Die Stromdichte j wird als die Stromstärke pro Flächeneinheit definiert:
Stromdichte:
+
–
VD
–
+
+
–
+
–
+
–
+
–
j=
I
A
Mit dieser Definition erhalten wir:
+
j=
E
I
= (enm ) E = sE
A
wobei s die Leitfähigkeit des Leiters ist. Die Stromdichte ist zum
elektrischen Feld proportional. Diese Gleichung kann in verktorieller
Form ausgedrückt werden, wenn wir die Stromdichte als vertorielle
Grösse definieren:
r
r
j = sE
In einem Leiter wandern die Elektronen entgegen der Richtung
des elektrischen Feldes.
Figur 19.
Wäre die Bewegung der Elektronen durch die Stösse nicht behindert,
so würden die Elektronen permanent mit einer Beschleunigung –eE/
me beschleunigt. Dass die Driftgeschwindigkeit der Elektronen proportional zum Feld ist, kann man aus dem Ohmschen Gesetz herleiten.
In diesem Fall haben wir angenommen, dass die Richtung des Stromdichtevektors in Richtung des Stromflusses zeigt, und dass der Stromfluss parallel zum elektrischen Feld ist:
15.4.2 Die Stromdichte und die Leitfähigkeit
r
E
Wir haben gesehen, dass die Driftgeschwindigkeit der beweglichen
Elektronen in einem Leiter proportional zum elektrischen Feld ist:
r
r
v D = -mE
r
Stromdichte: j
wobei m die Beweglichkeit der Elektronen ist.
Fläche A
Strom: I=jA=jsAE
Wir betrachten einen Leiter vom Querschnitt A, durch welchen ein
konstanter Strom der Stromstärke I fliesst. Es gilt
I = qnAv D = -(-e) nAmE
Physik
913
914
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Elektrischer Strom
Elektromagnetismus
Dieses Ergebnis entspricht dem Ohmschen Gesetz:
Einheit: Die Einheit der Leitfähigkeit ist
r
j
A / m2
A
s
=
=
[ ] r =
V / m Vm
E
Ê Lˆ
U = RI = Á ˜ I
Ë sA ¯
[]
[ ]
wobei R der Widerstand des Leiters ist. Das Gesetz gilt für
alle Metalle.
Das Verhältnis V/A wird als Ohm bezeichnet:
Ohm W =
V
A
Wir bemerken, dass der Widerstand von der Temperatur des Leiters
abhängt. Er nimmt mit der Temperatur zu.
Demonstrationsexperiment: Ohm’sches Gesetz
Man spricht von der Leitfähigkeit von Materialien: z.B.
s Kupfer = 6 ¥ 10 7 (Wm)
s Quarz = 10
-16
(Wm)
-1
Man misst den Potentialunterschied zwischen beiden Enden eines
Drahts, der als elektrischer Widerstand wirkt. Der Strom wird konstant gehalten. Wir beobachten, dass der Potentialunterschied für
konstanten Strom zur Distanz zwischen den zwei Punkten proportional ist.
-1
15.4.3 Das Ohmsche Gesetz
Ein elektrisches Feld in einem Leiter der Länge L wird erzeugt, wenn
wir an die Enden des Leiters eine elektrische Spannung anlegen. Das
elektrische Feld wird in allen Punkten des Leiters konstant sein, und
deshalb ist auch die Stromdichte konstant.
Es gilt
r r
U = Ú E ◊ dr = Ú Edr = EL
I = jA
wobei L die Länge des Leiters ist. Es folgt,
j = sE fi
Physik
jA = s
A
Ê Aˆ
LE fi I = Ás ˜ U
Ë L¯
L
Ohm’sches Gesetz: Der Potentialunterschied ist zum Widerstand
proportional, wenn der Strom konstant gehalten wird.
Figur 20.
915
916
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Elektrischer Strom
Elektromagnetismus
Da
15.4.4 Die elektrische Leistung
Aj = I
Die Aufrechterhaltung eines Stromes in einem Leiter erfordert einen
Energieaufwand. Im Leiter wird wegen der Wechselwirkung der
bewegten Elektronen mit den Ionen des Leiters die Elektronenenergie
auf das Gitter übertragen, wodurch seine Schwingungsenergie (d.h.
Temperatur) erhöht wird. Das führt zu einem Temperaturanstieg des
Leiters: der sogenannte Joule-Effekt.
erhalten wir den Joule-Effekt:
P = UI = RI 2
Wir bestimmen die elektrische Leistung. Die Arbeit, die pro Zeiteinheit an einem Elektron geleistet wird, ist:
r r
r r
dW F ◊ dx r r
=
= F ◊ v = -eE ◊ v
dt
dt
Demonstrationsexperiment: Stahldraht verdampfen
Der Joule-Effekt wird durch die Verdampfung eines Stahldrahts illustriert. Im Experiment (Siehe Abb. 21) wird ein grosser Strom durch
die Entladung eines Kondensators erzeugt. Dieser Strom fliesst plötzlich durch den Draht und wird ihn damit verdampfen. Siehe Abb. 22.
Die Arbeit pro Zeiteinheit und Volumeneinheit ist daher gleich:
r r
r r
p = n -eE ◊ v = -enE ◊ v
(
und EL = U
)
wobei n die Zahl der freien Elektronen pro Volumeneinheit ist. Es gilt
(Siehe Kap. 15.4.1):
r
r sAE
s r
=
E
I = qnAv = sAE fi v =
-enA -en
und
r r
r s r
r
r r
p = -enE ◊ v = -enE
E = sE 2 = j ◊ E
-en
Bei einem zylindrischen Leiter mit Querschnittsfläche A und Länge L
ist die gesamte Leistung
r r
P = Vp = ALp = AL j ◊ E = AjEL
(
Physik
)
917
918
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Elektrischer Strom
Elektromagnetismus
Stahldraht
Figur 22.
Verdampfung des Drahtes.
Die Anordnung für die Verdampfung eines Drahtes mit einem
elektrischen Strom.
Figur 21.
15.5 Berechnung der elektrischen und
magnetischen Felder
In einer mikroskopischen Beschreibung tritt die gesamte elektrische
Ladung immer als ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung
(Siehe Kap. 11.5) auf.
In der Praxis können wir manchmal die Ladung in einem bestimmten
Raumgebiet als kontinuierlich verteilt betrachten.
Physik
919
920
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Berechnung der elektrischen und magnetischen Felder
Elektromagnetismus
Wir werden deshalb oft die Raumladungsdichte r benutzen, die so
definiert ist
Die gesamte Fläche A ist gleich
r
dq
r( r ) ∫
dV
A = ÚÚ dA
A
Raumladungsdichte
Dabei bedeutet das A unter dem Integral, dass wir über eine gesamte
Fläche A, von beliebiger Form, integrieren. Jedes Teilstück dA entspricht aber einer infinitesimalen ebenen Fläche.
wobei dq die infinitesimale Ladung im Volumenelement dV ist. Die
Raumladungsdichte ist eine Skalargrösse3, d.h. sie definiert eine
Zahl (d.h. eine Grösse mit einem Betrag) in jedem Punkt des Raumes.
In einer ähnlichen Weise wird man die Linienladungsdichte l definieren:
Es folgt, dass die gesamte Ladung eines Körpers gleich
r
Q ∫ Ú dq = ÚÚÚ r( r ) dV = ÚÚÚ r( x, y, z) dxdydz
V
l∫
V
( Integration über das gesamte Volumen V )
Eine Punktladung dq erzeugt ein elektrisches Feld in einem bestimmten Punkt r gleich
r
r r
1 dq r
1 dq r
r
Coulomb - Gesetz
dE ( r ) =
=
4pe 0 r 2 r 4pe 0 r 3
V = ÚÚÚ dV = ÚÚÚ dxdydz
V
Manchmal kann sich die Ladung in einer dünnen Schicht auf der
Oberfläche eines Körpers befinden. In diesem Fall ist es praktisch, die
Flächenladungsdichte s zu definieren
s∫
dq
dA
wobei die Ladung sich im Ursprung des Koordinatensystems befindet.
Flächenladungsdichte
Wenn die Ladung sich in einem Punkt r’ befindet, dann ist das E-Feld
gleich
r r
r r
dq
1
dE ( r ) =
r r (r - r ¢)
4pe 0 r - r ¢ 3
und
Q ∫ ÚÚ dq
Linienladungsdichte
15.5.1 Berechnung des E-Feldes
ist. Wir haben über das gesamte Volumen V integriert, und das
gesamte Volumen ist natürlich gleich
V
dq
dl
( Integration über die gesamte Fläche A)
A
Für eine gegebene kontinuierliche Ladungsverteilung wird das
erzeugte elektrische Feld an einem bestimmten Ort im Raum gleich
der Vektorsumme der E-Felder, die von den einzelnen Ladungen
3. Vergleiche mit einer Vektorgrösse, die einen Betrag und eine Richtung definiert.
Physik
921
922
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Berechnung der elektrischen und magnetischen Felder
Elektromagnetismus
Die Feldstärke, die durch ein Ladungselement dq=ldx erzeugt wird,
ist gleich
r
ldx
1 dq
1
dE =
=
4pe 0 R 2 4pe 0 x 2 + r 2
dq=rdV erzeugt werden (Prinzip der Superposition, Siehe
Abb. 23):
r
r r
r
1 r( r ¢ ) r r 3 r
E ( r ) = ÚÚÚ dE = ÚÚÚ
r r 3 ( r - r ¢ ) d r¢
4pe 0 r - r ¢
V
V
Wir bemerken, dass die x-Komponenten des Feldes von den Ladungselementen in +x und –x einander kompensieren, so dass das resultierende Feld radial und gleich
+
r
r
r
r Ê
ˆ
r
dE = dE1 cosq + dE 2 cosq = 2 dE1 Á 2
˜
Ë x + r2 ¯
+
r
E2
r
E1
ist.
dq = λdx
dx
r r
r
E = E1 + E 2
Figur 23.
λ
Coulomb pro Meter
x
dq
Prinzip der Superposition: diskreter Fall.
R
=
r
2
x
15.5.2 Elektrisches Feld eines langen geladenen Stabes
+
2
r
dE
Wir berechnen das Feld, das in einem Punkt auf der Mittelsenkrechten erzeugt wird. Wir nehmen an, dass der Stab homogen geladen ist
mit einer Linienladungsdichte l.
dE1
θ
dE2
Die Geometrie für die Berechnung wird in Abb. 24 gezeigt.
Figur 24.
Die Geometrie, um das Feld eines geladenen Stabes zu berechnen.
Die Koordinaten werden so gewählt, dass der Stab sich längs der xRichtung befindet.Wir sind am Feld in einem Punkt mit Abstand r
vom Stab interessiert.
Physik
923
924
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Berechnung der elektrischen und magnetischen Felder
Elektromagnetismus
Das Feld in einem Punkt r ist gleich
r
r r
m dq Ê r r ˆ
dB( r ) = 0 2 Á v ¥ ˜
r¯
4p r Ë
Es folgt daraus,
r
ˆ
r
ldx Ê
1
dE = 2
˜
2
2 Á
2
2
4pe 0 x + r Ë x + r ¯
wobei v der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens ist.
Das gesamte E-Feld ist gleich dem Integral über dx. Das Ergebnis der
Integration können wir in Tabellen finden. Es gilt
Ú (x
dx
A
0
2
+r
)
2 3/2
=
A
x
r
2
x +r
2
=
2
0
(Vergleiche mit dem Coulombschen Gesetz).
A
r
2
Biot - Savart
Wir bemerken, dass
A2 + r2
1.
und wir erhalten
r
dx
A
lr A
l
=2
E =2
4pe 0 Ú0 ( x 2 + r 2 ) 3 / 2
4pe 0 r A 2 + r 2
2.
3.
Wenn die Länge des Stabes viel grösser als der Abstand r ist, können
wir den Stab als unendlich betrachten.
der Betrag des Feldes der Ladunq dq und der Geschwindigkeit v
proportional ist und umgekehrt proportional zum Quadrat des
Abstandes r von der Ladung.
der Betrag zu sing proportional ist, wobei g der Winkel zwischen
der Geschwindigkeit und dem Ortsvektor ist.
das Feld senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor und Ortsvektor
ist. Seine Richtung wird durch die Rechte-Hand-Regel definiert.
Historisch wird das Produkt aus der Ladung und der Geschwindigkeit
vdq durch das Stromelement Idl ersetzt
r
r
dq r
(dq)v = ÊÁË ˆ˜¯ (vdt) = Idl
dt
In diesem Fall ist A>>r und wir finden
r
2l 1
( unendlicher Stab)
E ª
4pe 0 r
Das wichtige Ergebnis der Berechnung ist, dass das elektrische Feld
mit 1/r (und nicht 1/r2 wie im Fall einer Punktladung) vom Abstand
abhängt.
Das erzeugte magnetische Feld ist in diesem Fall gleich
r
r r
m I Ê r rˆ
Biot - Savart
dB( r ) = 0 2 Á dl ¥ ˜
r¯
4p r Ë
15.5.3 Berechnung des B-Feldes
Ausser dem Betrag gibt das Gesetz natürlich noch die Richtung des
Feldes an, die die Richtung des Vektorprodukts aus dl und r ist. Das
Eine Punktladung dq, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt,
erzeugt ein magnetisches Feld in einem bestimmten Punkt, das durch
das Gesetz von Biot-Savart4 bestimmt ist.
4. J.B. Biot (1774-1862) und F. Savart (1791-1841).
Physik
925
926
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Berechnung der elektrischen und magnetischen Felder
Elektromagnetismus
Das wichtige Ergebnis der Berechnung ist, dass das magnetische Feld
von 1/r abhängt und proportional zum Strom I ist.
resultierende magnetische Feld in einem Punkt wird durch das Vektorintegral über alle Stromelemente gefunden:
r r
r
B( r ) = Ú dB
Die Feldlinien eines solchen Feldes sind in Abb. 26 gezeigt.
15.5.4 Magnetisches Feld eines langen geraden Leiters
i
dx
x
Wir betrachten einen langen geraden Leiter, durch den ein Strom I
fliesst. Siehe Abb. 25.
α
Der Betrag des Feldes, das von einem infinitesimalen Leiterelement
dx erzeugt wird, ist gleich
r
m I r R m I
dB = 0 2 dx ¥ = 0 2 dx sin a
R 4p R
4p R
r
R
dB
I
r
m0
dx
4p ( x 2 + r 2 )
x 2 + r2
r
mI
dx
= 0
4p ( x 2 + r 2 ) 3 / 2
=
geht aus der Blattebene heraus
Figur 25.
Ein langer gerader Leiter durch welchen ein Strom fliesst.
Die Richtung der magnetischen Feldelemente dB von allen möglichen Leiterelementen dx haben im betrachteten Punkt dieselbe Richtung, nämlich senkrecht zur Blattebene und aus der Blattebene
heraus.
Das Integral reduziert sich damit auf ein Skalarintegral der Beträge.
Für einen unendlich langen Leiter ist das Integral gleich
r
rx
mI •
mI
B( r ) = 0 Ú
dx = 0 2 2
4p -• ( x 2 + r 2 ) 3 / 2
4p r ( x + r 2 )1/ 2
Physik
•
=
-•
2m 0 I
4pr
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928
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Bewegte Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern
Elektromagnetismus
Wir bemerken, dass die gesamte Energie eines Elementarteilchens
ausgedrückt werden kann als
i
E = m0c 2 + E kin + E pot
r
= gm0c 2 + qV ( r )
r
1
ª m0c 2 + m0v 2 + qV ( r ) wenn v << c
2
B
Das Elektronvolt ist deshalb gleich der gesamten Energiezunahme,
wenn ein Teilchen mit der Elementarladung e durch einen Potentialunterschied von 1 Volt beschleunigt wird.
15.6.2 Bewegung einer Punktladung in einem
elektrischen Feld
Unter der Wirkung der elektrischen Kraft erfährt ein Teilchen der
Ladung q und Masse m die Beschleunigung
r
r
r
r q r
F = qE = ma fi a = E
m
Die magnetischen Feldlinien eines langen geraden Leiters, durch
welchen ein elektrischer Strom i fliesst.
Figur 26.
Wir bemerken, dass die Geschwindigkeit von geladenen Elementarteilchen wie Elektronen oder Protonen in elektrischen Feldern oft so
hoch ist, dass wir die relativistische Masse benutzen müssen
r
q r
E
a=
gm0
15.6 Bewegte Ladungen in elektrischen
und magnetischen Feldern
15.6.1 Beschleunigung durch ein elektrisches Potential
15.6.3 Bewegung einer Punktladung in einem
magnetischen Feld
Wir haben die Definition des Elektronvolts schon in Kap. 11.3.2
erwähnt:
1 eV ∫ (e) Joule = 1, 602 ¥ 10 -19 J
Physik
Die Wirkung des magnetischen Feldes ist immer senkrecht zur Bewegungsrichtung. Es folgt, dass durch die Wirkung des magnetischen
929
930
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Bewegte Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern
Elektromagnetismus
Feldes ein Teilchen nur die Richtung und nicht den Betrag seiner
Geschwindigkeit ändert.
Homogenes magnetisches Feld
Da die magnetische Kraft immer senkrecht zur Bewegungsrichtung
einer Ladung wirkt, ist die an dem Teilchen verrichtete Arbeit null
(Siehe Kap. 4.7):
r r
r r r r
F^v fi W = F ◊ Dr = F ◊ v Dt = 0
v
Bahnkurve
–q
B zeigt aus
der Blattebene heraus
Das magnetische Feld leistet somit keine Arbeit an dem Teilchen und
hat keinen Einfluss auf seine kinetische Energie. Die kinetische Energie des Teilchens wird sich nicht ändern, sondern nur seine Bewegungsrichtung.
F
F = (–q) v X B
Wir betrachten ein homogenes magnetisches Feld. Wenn sich das
Teilchen genau senkrecht zum Feld bewegt, so beschreibt das Teilchen eine Kreisbahn.
Elektronquelle
Siehe Abb. 27.
Figur 27.
qvB =
gm0v 2
r
¤
r=
Die Ablenkung eines Elektrons in einem homogenen magnetischen
Feld.
Die magnetische Kraft wirkt als eine Zentripetalkraft
gm0v
qB
Die Zeit T, die für einen Umlauf des Teilchens benötigt wird, ist
T=
wobei r der Radius der Kreisbahn, m0 die Ruhemasse des Teilchens,
und v die Geschwindigkeit des Teilchens ist.
und die Frequenz des Umlaufes (die als Zyklotronfrequenz bezeichnet wird) ist gleich
Da w=v/r ist, ist die Winkelgeschwindigkeit w gleich
w=
Physik
2p 2pgm0
=
qB
w
qB
gm0
n=
931
932
1
qB
qB
=
ª
T 2pgm0 2pm0
wenn
v << c
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Bewegte Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern
Elektromagnetismus
15.6.4 Die Blasenkammer
Diese Frequenz ist vom Radius der Kreisbahn unabhängig. Für nicht
relativistische Teilchen ist die Umlauffrequenz eine Konstante, die
unabhängig von der Geschwindigkeit des Teilchens ist.
In einer Blasenkammer werden die Bahnen geladener Teilchen nachgewiesen. Siehe Abb. 29.
Demonstrationsexperiment: Elektronenturbine
Kamera
Flüssiger Wasserstoff
Strahl von
geladenen
Elementarteilchen
von einem
Beschleuniger
Licht
Die 10-inch Blasenkammer am Lawrence Radiation Laboratory,
University of California, Berkeley.
Figur 29.
Man kann eine Blasenkammer in ein magnetisches Feld stellen und
von aussen Teilchen aus einem Beschleuniger in die Kammer schiessen.
Eine Aufnahme von der Blasenkammer am Lawrence Radiation
Laboratory, University of California, Berkeley ist z.B. in Abb. 30
gezeigt. Die Bahnkurve eines Elektrons und eines Protons sind sichtbar. Das magnetische Feld ist zur Blattebene senkrecht und besitzt
einen Betrag von 1.17 Tesla.
Das Elektron verliert Energie wenn es sich durch die Kammer bewegt
und seine Bahnkurve ist deshalb eine Spirale. Der Anfangsradius der
Spirale ist 7.3cm.
Krümmung der Elektronenbewegung im Magnetfeld. Die
magnetische Feldstärke ist ungefähr 27 Gauss.
Figur 28.
Physik
933
934
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Bewegte Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern
Elektromagnetismus
B
B = 1.17 tesla
p
v
v
v
v
R i = 7.3 cm
v
e-
Figur 31.
Figur 30. Eine Aufnahme von der Blasenkammer am Lawrence Radiation
Laboratory, University of California, Berkeley. Die Bahnkurve eines
Elektrons und eines Protons werden nachgewiesen. Das magnetische Feld
besitzt einen Betrag von 1.17 Tesla und der Anfangsradius der Spirale des
Elektrons ist gleich 7.3cm. Das Elektron verliert Energie wenn es sich
durch die Kammer bewegt und deshalb ist die Bahnkurve eine Spirale.
Bahnkurve eines geladenen Teilchens im homogenen Magnetfeld:
Helix.
15.7 Kraft auf einen elektrischen Strom
Wenn ein Teilchen nicht genau senkrecht in ein magnetisches Feld
eintritt, wird sein Geschwindigkeitsvektor in eine Komponente parallel und eine Komponente senkrecht zum Feld zerlegt.
Ein elektrischer Strom besteht aus einer Ansammlung sich bewegender Ladungen. Wir erwarten daher, dass ein Magnetfeld auch auf
einen Leiter, durch den ein Strom fliesst, eine Ablenkungskraft ausübt.
Der senkrechte Teil führt zu einer Kreisbewegung. Der parallele Teil
wird durch das Feld nicht beeinflusst.
Auf ein einzelnes Elektron wirkt eine Kraft gleich
r
r
r r
r
f = qv ¥ B = (-e)v D ¥ B
Die Überlagerung ergibt eine Helix.
Siehe Abb. 31.
Die Gesamtkraft auf einen Leiter der Querschnittsfläche A und Länge
L ist:
r
r
r r
r
s r r
F = AL(-e)v D ¥ B = ALn (-e)
E ¥ B = ALj ¥ B
-en
Physik
935
936
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Kraft zwischen zwei parallelen Leitern
Elektromagnetismus
Das Feld zeigt am Ort des Leiters B nach unten. Der Leiter B befindet
sich daher in einem Magnetfeld. Ein Abschnitt L dieses Leiters
erfährt eine Kraft, die seitlich wirkt, mit dem Betrag:
Da jA die Stromstärke im Leiter darstellt, erhalten wir:
r
r r
F = LI ¥ B
F = I B LB = I B L
Oft wird diese Gleichung für ein differentielles Element des Stroms
so geschrieben:
r
r r
r r
dF = LdI ¥ B = IdL ¥ B
Die Kraft, die auf den Leiter B wirkt, liegt in der Ebene der Leiter
und wirkt nach links. In ähnlicher Weise wirkt eine Kraft auf den Leiter A. Sie liegt in der Ebene der Leiter und wirkt nach rechts.
Hier haben wir ein differentielles Element des Leiters als dL und den
Betrag der Stromstärke als I bezeichnet.
Wir haben im Kap. 1.2 die Definition des Ampère gegeben: Durch
zwei unendlich lange, gerade parallele Leiter mit vernachlässigbarem
Querschnitt fliesst ein konstanter Strom von einem Ampère, wenn in
einem Abstand von einem Meter im Vakuum eine Kraft von 2.10–7
Newton pro Längenmeter auf die Leiter wirkt. Diese Definition
basiert auf der Beziehung, die wir hier hergeleitet haben:
15.8 Kraft zwischen zwei parallelen
Leitern
-7
2
F m 0 I 2 ( 4p ¥ 10 Tm / A)(1A )
=
=
= 2 ¥ 10 -7 N
L 2pd
2p (1m)
Wir betrachten zwei parallele gerade Leiter A und B im Abstand d
voneinander. Durch die beiden Leiter fliessen die Ströme IA und IB:
IA
m0IA m0IA IB L
=
2pd
2pd
IB
Demonstrationsexperiment: Stromwaage
r
F
d
r
B
Der Leiter A erzeugt ein magnetisches Feld (Siehe Kap. 15.5.4):
r
2m I
mI
B( r ) = 0 A = 0 A
4pr
2pr
Physik
937
938
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Der Fluss und die Divergenz des Flusses
Elektromagnetismus
Der Fluss df eines Vektorfeldes F durch eine infinitesimale Fläche
dA wird definiert als (der Fluss ist eine Skalargrösse)
r r r r
df ∫ F ◊ dA = F dA cosq
wobei dA ein Vektor ist, der dem infinitesimalen Flächenelement dA
entspricht.
Die infinitesimale Oberfläche kann als eben betrachtet werden. Der
Betrag des Vektors dA ist gleich der Fläche der infinitesimalen Oberfläche und die Richtung ist senkrecht zur Ebene der Fläche.
Der Winkel q ist der Winkel zwischen dem Vektor F und dem Vektor
des Flächenelements dA. Siehe Abb. 33.
Der Fluss ist gleich dem Produkt aus der Komponente des Vektors F,
die senkrecht zur Oberfläche der Fläche dA steht, und dem Betrag der
Fläche dA.
Figur 32.
Stromwaage: die Kraft zwischen zwei Ströme wird gemessen.
15.9 Der Fluss und die Divergenz des
Flusses
φ=0
φ<0
φ>0
F
dA
θ
θ
dA
90°
F
F
15.9.1 Die Definition des Flusses
Der Fluss ist eine charakteristiche Grösse, die man für alle Vektorfelder einführen kann.
dA
Figur 33.
Physik
939
940
Definition des Flusses durch eine infinitesimale Fläche dA.
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Der Fluss und die Divergenz des Flusses
Elektromagnetismus
1.
Für eine endliche Fläche von beliebiger Form wird der Fluss durch
Integration der infinitesimalen ebenen Flächenelemente gewonnen.
Der gesamte Fluss durch die Oberfläche A ist deshalb gleich
r r
f ∫ ÚÚ F ◊ dA
( Integration über die gesamte Fläche A)
2.
A
An Punkten der Oberfläche, an denen die elektrischen Feldlinien
die Oberfläche verlassen, zeigt das Feld E ebenfalls nach aussen.
Der Fluss ist dann positiv.
An Punkten der Oberfläche, an denen die elektrischen Feldlinien
in die Oberfläche eindringen, zeigt das Feld E nach innen. Der
Fluss ist dann negativ.
Häufig sind wir am Fluss durch eine geschlossene Oberfläche interessiert. Definitionsgemäss zeigen in diesem Fall die infinitesimalen
Flächen dA an jedem Punkt der Oberfläche nach aussen.
Wir erinnern uns daran, dass die elektrischen Feldlinien bei positiven
Ladungen beginnen und bei negativen Ladungen enden (Siehe
Kap. 15.2).
Das Integral über eine solche Oberfläche wird so bezeichnet
r r
f∫
( geschlossene Oberfläche A)
ÚÚ F ◊ dA
Siehe Abb. 34.
geschlossene A
Feldlinien von pos. und neg. Punktladungen
15.9.2 Der elektrische und magnetische Fluss
Der elektrische Fluss durch eine Fläche A wird definiert als der Fluss
des elektrischen Feldes durch die Fläche
r r
f E ∫ ÚÚ E ◊ dA
( Elektrischer Fluss)
Q=–3
A
Der Fluss des magnetischen Feldes durch eine Fläche A wird in Analogie zum elektrischen Fluss definiert als
r r
f B ∫ ÚÚ B ◊ dA
( Magnetischer Fluss)
Die elektrischen Feldlinien beginnen bei positiven Ladungen und
enden bei negativen Ladungen.
Figur 34.
A
Deshalb werden positive Ladungen als Quelle und negative
Ladungen als Senke des elektrischen Flusses betrachtet.
Positive Ladungen erzeugen elektrischen Fluss und negative
Ladungen vernichten ihn.
Können wir die physikalische Bedeutung dieser Integrale finden?
Wir betrachten den elektrischen Fluss. Die elektrischen Feldlinien
(Siehe Kap. 15.2) können uns helfen, uns den elektrischen Fluss vorzustellen.
Physik
941
Q=+5
Es gibt eine anschauliche Beziehung zwischen dem Fluss und den
Feldlinien. Wir bemerken, dass der gesamte Fluss proportional ist
942
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Der Fluss und die Divergenz des Flusses
Elektromagnetismus
zur Zahl der Feldlinien, die die Oberfläche verlassen, minus der
Zahl der Feldlinien, die in die Oberfläche eindringen. (Wir erinnern uns daran (Siehe Kap. 15.2), dass an einem bestimmen Punkt im
Raum die “Liniendichte” zur Stärke des Feldes an diesem Punkt proportional ist. Es folgt daraus, dass der Fluss durch die Fläche von der
Zahl der Feldlinien, die die Oberfläche kreuzen, abhängt.)
C
Siehe Abb. 35.
In der Abbildung beobachtet man, dass der Fluss durch die Fläche A
proportional zu +5 ist, weil 5 Feldlinien sie verlassen. Der Fluss
durch die Fläche B ist zu –3 proportional, weil 3 Feldlinien in sie eindringen. Der Fluss durch die Fläche C ist proportional zu 2, weil nur
zwei Feldlinien sie verlassen.
B
–3
+5
A
Wir müssen die positive Ladung als eine Flussquelle von 5 Einheiten
und die negative Ladung als Flusssenke, die 3 Einheiten vernichtet,
betrachten.
Wie erwartet, ist der Fluss durch C die Summe der Quelle minus der
Senke und ist deshalb zu
+5(Quelle) - 3( Senke) = 2
proportional.
Figur 35. Der elektrische Fluss. Der Fluss ist zur Zahl der Linien, die die
Oberfläche verlassen, minus der Zahl der Linien, die in die Oberfläche
endringen, proportional.
Physik
943
944
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Der Fluss und die Divergenz des Flusses
Elektromagnetismus
15.9.3 Elektrischer Fluss durch eine geschlossene
Oberfläche, die eine Punktladung umfasst
Wir betrachten nun eine quantitative Bestimmung des Flusses durch
zwei kugelförmige (geschlossene) Oberflächen, die als A1 und A2
bezeichnet werden, in deren Mittelpunkt eine Punktladung Q liegt.
Siehe Abb. 36.
r1
Der Fluss durch die Fläche A1 mit Radius R1 ist gleich
r r
f A1 ∫ ÚÚ E ◊ dA
Q
E1
A1
Wir bemerken, dass das elektrische Feld überall auf der Oberfläche
A1 denselben Betrag besitzt und dass es immer radial ist.
r2
A1
E2
A2
Es folgt,
r r
r r
r
r
f A1 ∫ ÚÚ E ◊ dA = ÚÚ E1 dA cosq = E1 ÚÚ dA = E1 ( 4pR12 )
A1
A1
Fluss durch zwei kugelförmige Oberflächen, die eine Punktladung
umfassen.
Figur 36.
A1
und der Fluss beim Radius R1 ist deshalb gleich
Für die Fläche A2 gilt es
r r
r r
r
r
f A 2 ∫ ÚÚ E ◊ dA = ÚÚ E 2 dA cosq = E 2 ÚÚ dA = E 2 ( 4pR22 )
A2
A2
1 Q
(4pR12 ) = eQ
4pe 0 R12
0
und in einer ähnlichen Weise gilt
r
f A 2 = E 2 ( 4pR22 ) =
1 Q
(4pR22 ) = eQ
4pe 0 R22
0
A2
Im Fall der Punktladung kennen wir den Ausdruck für das Feld als
Funktion des Abstandes. Es ist durch das Coulombsche Gesetz gegeben
r
r
1 Q
1 Q
und
E2 =
E1 =
2
4pe 0 R1
4pe 0 R22
Physik
r
f A1 = E1 ( 4pR12 ) =
945
Wir beobachten, dass
946
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Der Fluss und die Divergenz des Flusses
1.
Elektromagnetismus
wobei wir das Feld über die Fläche dxdz konstant angenommen
haben.
der Fluss durch die Fläche A1 gleich dem Fluss durch die Fläche
A2 ist. Es war zu erwarten, weil die Zahl von Feldlinien, die die
beiden Oberflächen kreuzen, dieselbe ist (die Feldlinien sind
radial, und jede Linie, die A1 kreuzt, wird auch A2 kreuzen!)
z
f A1 = f A 2
2.
der Fluss zur Punktladung Q, die von der Fläche eingeschlossen
wird, proportional ist. Die Proportionalitätskonstante ist die elektrische Feldkonstante
dz
dA2
Q = e 0f A1 = e 0f A 2
y
dx
15.9.4 Die Divergenz des Feldes
dy
Wir betrachten nun den Fluss durch eine geschlossene Oberfläche,
die ein Volumenenelement dV umschliesst..
x
Das Volumenelement ist gleich
dV = dxdydz
Figur 37.
Siehe Abb. 37.
Ein infinitesimales Volumenelement.
Der Fluss durch die Fläche dA2 ist gleich
df 2 = - Fy ( x, y, z) dxdz
Das Feld besitzt die folgenden drei Komponenten:
r
F = Fx , Fy , Fz
(
)
wobei das negative Vorzeichen daher kommt, dass der Winkel zwischen dem Feld und der Fläche, die nach aussen zeigt, gleich 180° ist.
Wenn das Volumenelement infinitesimal ist, können wir annehmen,
dass das Feld über jede seiner Oberflächen konstant ist.
Der Fluss durch die Fläche dA1 ist gleich
df1 = Fy ( x, y + dy, z) dxdz
Physik
dA1
947
948
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Der Fluss und die Divergenz des Flusses
Elektromagnetismus
Die Summe der Flüsse ist gleich
Das Symbol — hat die folgende Bedeutung:
r Ê ∂ ∂ ∂ˆ
—∫Á , , ˜
Ë ∂x ∂y ∂z ¯
df1 + df 2 = Fy ( x, y + dy, z) dxdz - Fy ( x, y, z) dxdz
(
)
= Fy ( x, y + dy, z) - Fy ( x, y, z) dxdz
∂Fy ( x, y, z)
dydxdz
=
∂y
Es muss immer auf etwas wirken, wie z.B.
r r
∂f r ∂f r ∂f r
Gradient (Vektorgrösse):
G = —f = ex + ey + ez
∂z
∂y
∂x
r r Ê ∂F ∂Fy ∂Fz ˆ
Divergenz (Skalargrösse):
d = —◊ F = Á x +
+
˜
Ë ∂x
∂y
∂z ¯
Eine ähnliche Herleitung gilt auch für die zwei anderen Komponenten. Der gesamte Fluss durch die Oberfläche ist dann gleich
Ê ∂Fy ˆ
Ê ∂F ˆ
Ê ∂F ˆ
dy˜ dxdz + Á z dz˜ dxdy
df tot ( x, y, z) = Á x dx˜ dydz + Á
Ë ∂x ¯
Ë ∂z ¯
Ë ∂y ¯
Nehmen wir einmal an, dass wir zwei Volumenelemente dV1 im
Punkt (x1,y1,z1) und dV2 im Punkt (x2,y2,z2) so neben einander stellen, dass sie sich berühren. Wir berechnen den gesamten Fluss, der
beide Volumenenelemente verlässt.
Ê ∂F ( x, y, z) ∂Fy ( x, y, z) ∂Fz ( x, y, z) ˆ
+
+
=Á x
˜ dxdydz
Ë
∂x
∂y
∂z
¯
1444444424444
4
444
3
r
Divergenz von F
Wir betrachten die Oberfläche, die beide Volumenelemente verbindet.
Der Fluss, der durch diese Oberfläche das Volumenelement dV1 verlässt, wird in das Volumenelement dV2 eindringen. In diesem Grenzpunkt werden die Flüsse, die dV1 verlassen und in dV2 eindringen,
einander kompensieren.
wobei die Divergenz des Vektorfeldes F am Punkt (x,y,z) definiert
wurde.
Die Divergenz des Feldes in jedem Punkt (x,y,z) ist gleich dem
Fluss, der das Volumenelement im Punkt (x,y,z) des Volumens
dxdydz verlässt, pro Volumeneinheit.
r r
df tot ( x, y, z) = — ◊ F ( x, y, z) dxdydz
(
)
Wir können deshalb den gesamten Fluss, der beide Volumenelemente
verlässt, als die Summe der Flüsse, die die einzelnen Volumenelemente verlassen, betrachten:
wobei wir den Nabla-Operator für die Divergenz des Feldes
im Punkt (x,y,z) verwendet haben (Siehe Kap. 4.12).
df tot = df ( x1, y1, z1 ) + df ( x 2 , y 2 , z2 )
r r
r r
= — ◊ F ( x1, y1, z1 ) dxdydz + — ◊ F ( x 2 , y 2 , z2 ) dxdydz
(
r r
Ê ∂F ( x, y, z) ∂Fy ( x, y, z) ∂Fz ( x, y, z) ˆ
+
+
— ◊ F ( x, y, z ) = Á x
˜
Ë
∂x
∂y
∂z
¯
1444444424444444
3
r
)
(
Divergenz von F
Physik
949
950
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
)
Das Gauss’sche Gesetz
Elektromagnetismus
Der Fluss, der das Volumenelement wegen der Anwesenheit der
Ladung verlässt, ist gleich (Siehe Kap. 15.9.2)
Um dieses Ergebnis auf ein endliches, nicht-infinitesimales Volumen
zu erweitern, addieren wir die Flüsse, die in jedem Punkt des ganzen
Volumens die infinitesimalen Volumen dV verlassen:
r r
r r
f tot = ÚÚÚ df = ÚÚÚ — ◊ F ( x, y, z) dxdydz = ÚÚÚ — ◊ F dV
V
V
(
)
V
(
e 0 df = dq
)
oder
r r
e 0 — ◊ E ( x, y, z) dV = r( x, y, z) dV
(
Zusammenfassend:
Wir haben das Theorem der Divergenz (oder Theorem von
Gauss) für den gesamten Fluss ftot, der ein Volumen V verlässt, hergeleitet:
r r
r r
f tot ∫ ÚÚ F ◊ dA = ÚÚÚ — ◊ F dV
A =∂
V 24
V4
1
4
3 1
4244
3
(
Flächenintegral
wobei wir den Fluss, der das Volumenelment verlässt, durch die
Divergenz des Feldes im Punkt (x,y,z) ersetzt haben.
)
Es folgt,
r r r
r
e 0 — ◊ E ( r ) = r( r )
(
Volumenintegral
wobei A die Oberfläche ist, die das Volumen V umschliesst.
Dieses Theorem stellt ein Flächenintegral mit einem Volumenintegral in Beziehung.
)
Gesetz von Gauss für das elektrische Feld
Man spricht von der differentiellen Form des Gauss’schen Gesetzes.
Diese Beziehung gilt in jedem Punkt des Raumes. Es sagt nichts über
das Feld aus, sondern nur etwas über dessen Divergenz (die Summe
der partiellen Ableitungen des Feldes).
Diese Beziehung zwischen der Divergenz des elektrischen Feldes und der Ladungdichte im jedem Punkt des Raumes entspricht einem fundamentalen Gesetz des Elektomagnetismus.
15.10 Das Gauss’sche Gesetz
Wir betrachten nun die elektrischen und magnetischen Felder.
Mit Hilfe des Theorems der Divergenz können wir eine fundamentale
Beziehung für ein endliches Volumen V herleiten.
15.10.1 Gesetz für das elektrische Feld
Es gilt
Im Kap. 15.9.2 haben wir gesehen, dass positive Ladungen elektrischen Fluss erzeugen und dass negative Ladungen ihn vernichten.
f tot ∫
Wir betrachten das infinitesimale kugelförmige Volumenelement dV in
einem Punkt (x,y,z), das eine Ladung dq enthält. Die Ladung verhält
sich wie eine Flussquelle (dq>0) oder eine Flusssenke (dq<0).
Physik
)
951
952
r r
r r
r
Q
1
E ◊ dA = ÚÚÚ — ◊ E dV = ÚÚÚ r( r ) dV = innerhalb
e0 V
e0
A =∂V
V
ÚÚ
(
)
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Das Gauss’sche Gesetz
Elektromagnetismus
wobei
wobei A die Oberfläche ist, die das Volumen V umschliesst,
und Qinnerhalb ist die gesamte Ladung, die von der Oberfläche
A eingeschlossen wird, oder die sich im Volumen V befindet.
3 2
3
2
2 1/ 2
ˆ r - x (x + y + z ) 2x
x
∂ Ê xˆ ∂ Ê
2
Á ˜= Á
˜=
∂x Ë r 3 ¯ ∂x ÁË ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 ˜¯
r6
Beispiel: Elektrisches Feld einer Punktladung
=
Das elektrische Feld, das von einer Punktladung Q erzeugt wird, die
sich im Ursprung des Koordinatensystems befindet, ist gleich
r
r r
1 Qr
1 Q
=
E (r ) =
( x, y, z )
2
4pe 0 r r 4pe 0 r 3
r 3 - 3rx 2
r6
Die Divergenz des Feldes ist dann
r r
—◊ E =
Die Ladung befindet sich im Ursprung des Koordinatensystems. Es
folgt, dass die Ladungsverteilung sich so verhält5:
r r
r ÏÔQ wenn r = 0 d .h . r = 0
Punktladung: r( r ) = Ì
r r
ÔÓ0 wenn r π 0 d .h . r > 0
Ê r 3 - 3rx 2 r 3 - 3ry 2 r 3 - 3rz 2 ˆ
1
QÁ
+
+
˜
4pe 0 Ë
r6
r6
r6 ¯
1 Q
(3r 3 - 3rx 2 - 3ry 2 - 3rz 2 )
4pe 0 r 6
=0
=
wie erwartet.
Wir wollen deshalb prüfen, ob die Divergenz dieses Feldes verschwindet, wenn der Abstand r verschieden von Null ist.
15.10.2 Berechnung des elektrischen Feldes mit Hilfe
des Gauss’schen Gesetzes
Es gilt,
Das Gauss’sche Gesetz für ein endliches Volumen lautet
r r
e 0 ÚÚ E ◊ dA = Qinnerhalb
r r ∂E
∂E y ∂E z
Ê ∂ Ê x ˆ ∂ Ê y ˆ ∂ Ê z ˆˆ
1
QÁ Á ˜ + Á ˜ + Á ˜ ˜
+
=
—◊ E = x +
∂x
∂y
∂z
4pe 0 Ë ∂x Ë r 3 ¯ ∂y Ë r 3 ¯ ∂z Ë r 3 ¯ ¯
A =∂V
wobei A die Fläche ist, die das Volumen V umschliesst. Qinnerhalb ist
die gesamte Ladung, die sich im Volumen V befindet.
Für eine sehr symmetrische Ladungsverteilung können wir Oberflächen finden, bei denen der Betrag des elektrischen Feldes konstant ist
und das Feld senkrecht zur Oberfläche steht.
5. Im Prinzip muss die Ladungsdichte eine Ladung pro Volumeneinheit sein. Deshalb ist die
Ladungsdichte einer Punktladung Q als die Ladung Q mal eine Funktion d(r), so dass
r=Qd(r).
Physik
953
954
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Das Gauss’sche Gesetz
Elektromagnetismus
Der gesamte elektrische Fluss durch diese Oberfläche wird leicht
berechnet.
15.11 Divergenz des magnetischen
Feldes
Beispiel: Elektrisches Feld einer geladenen Kugel mit Radius R und
Ladung Q
Im Kap. 15.2.3 haben wir schon erwähnt, dass man noch nie eine
“magnetische” Ladung (sogenannte Monopole) in der Natur beobachtet hat.
Wir haben in Kap. 3.13.4 hergeleitet, dass die Gravitationskraft der
Erde dieselbe ist, wie wenn ihre ganze Masse im Zentrum der Erde
konzentriert wäre.
Es folgt, dass nie magnetischer Fluss erzeugt oder vernichtet wird. Es
gibt keine Punkte im Raum, an denen die magnetischen Feldlinien
anfangen oder enden.
Wir können nun beweisen, dass das elektrische Feld (ausserhalb)
einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung dasselbe ist, wie wenn
die ganze Ladung im Zentrum der Kugel konzentriert wäre.
Die Divergenz des magnetischen Feldes muss deshalb in
jedem Punkt des Raumes gleich null sein:
r r r
— ◊ B( r ) = 0
Gesetz von Gauss für das magnetische Feld
Im Kap. 3.13.4 haben wir das Ergebnis durch eine lange Integration
gefunden (Siehe Kap. 3.13.2 und 3.13.3). Hier werden wir das
Gauss’sche Gesetz benutzen (das Gesetz gilt natürlich auch für die
Gravitationskraft!).
Eine Folgerung daraus ist, dass der magnetische Fluss durch eine
geschlossene Oberfläche immer gleich null ist.
Wir nehmen eine kugelförmige Oberfläche A mit Radius r>R. Es gilt,
r r
r
e 0 ÚÚ E ◊ dA = e 0 E ( 4pr 2 )
Diese Bedingung für die Divergenz des magnetischen Feldes
in jedem Punkt des Raumes entspricht einem zweiten fundamentalen Gesetz des Elektomagnetismus.
A
Die gesamte Ladung innerhalb der Oberfläche A ist die Gesamtladung Q:
r
r
1 Q
gilt für r > R
e 0 E ( 4pr 2 ) = Q fi E ( r) =
4pe 0 r 2
Beispiel: Magnetisches Feld eines langen geraden Leiters
Wir haben im Kap. 15.5.3 hergeleitet, dass das magnetische Feld
eines langen geraden Leiters gleich
B( r ) =
Physik
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956
2m 0 I
4pr
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Divergenz des magnetischen Feldes
Elektromagnetismus
Die partiellen Ableitungen sind
ist, wobei I der Strom ist, der durch den Leiter fliesst, und r ist der
Abstand zwischen dem Leiter und dem betrachteten Punkt im Raum.
r =x +y
2
2
∂ Ê y ˆ
∂ Ê yˆ
0 - y2 x
Á- ˜ = - Á 2
˜ =r4
∂x Ë x + y 2 ¯
∂x Ë r 2 ¯
2
∂ Ê x ˆ ∂ Ê x ˆ 0 - x2 y
Á ˜= Á
˜=
r4
∂y Ë r 2 ¯ ∂y Ë x 2 + y 2 ¯
Siehe Abb. 25.
Wenn wir die Richtung des magnetischen Feldes einsetzen wollen,
können wir den magnetischen Feldvektor ausdrücken als
r
2m I Ê y x ˆ 2m I Ê y x ˆ
B( x, y, z) = 0 Á - , , 0˜ = 0 Á - 2 , 2 , 0˜
4p Ë r r ¯
4pr Ë r r ¯
Die Divergenz des magnetischen Feldes ist dann gleich
r r 2m I
— ◊ B = 0 4 (2 yx - 2 xy ) = 0
4pr
wie erwartet.
Siehe Abb. 38 (Betrachte z.B. B(x,0,0), B(0,y,0), usw...)
z
i
y
B
x
Figur 38.
Physik
und
Das magnetische Feld eines langen geraden Leiters.
957
958
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)