Viel Erfolg - Swiss Physics Olympiad
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SwissPhO 2011 Swiss Physics Olympiad Schweizerische Physik-Olympiade Aarau, 2/3 April 2011 Theorie 6 Kurzaufgaben Dauer: 60 Minuten je Aufgabe 4 Punkte, total 24 Punkte Name ………………………………………… Punktzahl …….. Erlaubte Hilfsmittel : Taschenrechner ohne Formelspeicher Schreib- und Zeichenmaterial Viel Erfolg ! Trägheitsmoment (a) 1 [2 P] Bestimme das Trägheitsmoment I einer homogenen Hohlkugel der Masse m, welche begrenzt ist durch zwei konzentrische Kugeln mit Radius r resp. R, wobei r < R. Zur Erinnerung: Das Trägheitsmoment einer homogenen Kugel mit Radius R und Masse M beträgt (2/5)MR2. (b) [1 P] Überprüfe anschliessend, dass die erhaltene Formel für die Hohlkugel als Spezialfall auch die Vollkugel enthält. (c) [1 P] Berechne schliesslich den Wert von I, wenn r gegen R strebt, um das Trägheitsmoment einer Kugelschale mit Radius R und Masse m zu erhalten. Hinweis: Zur Berechnung von I ist es nicht notwendig, Integrale zu berechnen. Eine kluge, physikalische Überlegung genügt, um zum Resultat zu kommen. Seite 2/27 Elastischer Stoss 2 Ein -Teilchen (= He-Kern) (m = 6.6410-27 kg) stösst mit der Energie 7.6610-13 J auf einen ruhenden Heliumkern und wird dabei um 30° aus seiner vorherigen Flugbahn abgelenkt. In der Modellvorstellung können die Kerne als kleine Kugeln, der Stoss als vollkommen elastisch angenommen werden. (a) [2 P] Welchen Winkel bilden die Bewegungsrichtungen der beiden Teilchen nach dem Stoss miteinander? (b) [2 P] Wie gross ist die Geschwindigkeit des (am Anfang nicht ruhenden) -Teilchens vor und wie gross ist sie nach dem Stoss? Seite 3/27 Gasometer 3 Die so genannten Gasometer, die heute nur noch als Industriedenkmale dienen, waren bis zur Stilllegung riesige Methanspeicher. In der folgenden Aufgabe soll Methan als ideales Gas behandelt werden. Das Methan wurde in dem zylindrischen Gasometer unter einer beweglichen Abdeckscheibe (Masse 1270 t) gelagert. Der Durchmesser des Zylinders betrage d = 67.6 m, die Molmasse von Methan sei MCH4 = 16 g/mol, die spezifische Wärmekapazität von Methan ist bei konstantem Volumen cV = 1.7 kJ/(kgK), bei konstantem Druck cp = 2.2 kJ/(kgK). (a) [1 P] Wie groß ist der Gasdruck des Methans unter der Abdeckscheibe? (b) [1 P] Bestimme die gelagerte Masse an Methangas, wenn sich die Scheibe in einer Höhe von h1 = 100 m befindet. Die Temperatur beträgt T = 20 °C. (c) [1 P] In der Nacht kühlt sich das Gas im Gasometer isobar auf T = 10 °C ab. In welcher Höhe h2 steht die Scheibe, wenn die Gasmasse konstant bleibt? (d) [1 P] Welche Arbeit wird dabei in Aufgabe c) vom Gas an der Scheibe verrichtet? Seite 4/27 Elektrostatik 4 Eine kleine, elektrisch geladene Kugel hängt an einem gut isolierenden Seidenfaden mit vernachlässigbarer Masse zwischen den lotrecht aufgestellten Platten eines Plattenkondensators. Der Aufhängepunkt ist gleich weit von beiden Platten entfernt. Ladung der Kugel: Masse der Kugel: Radius der Kugel: Strecke vom Aufhängepunkt bis zum Mittelpunkt der Kugel: Plattenabstand: Kondensatorspannung: Kapazität des Kondensators: Fallbeschleunigung: q m r l d U C g = = = = = = = = 5.00 C 4.00 g 1.00 cm 50.0 cm 40.0 cm 100 V 8.00 pF 9.80 m/s2 Berechne (a) [2 P] den Winkel, welchen der Faden zum Lot beschreibt. (b) [2 P] die geringste Entfernung zwischen der positiv geladenen Platte und der Kugeloberfläche. Vernachlässige dabei jeweils die Ladungsverschiebungen auf der Kugel („Influenz“). Seite 5/27 Magnetismus 5 Ein Draht sei N-mal gleichmässig um eine Röhre mit Radius r gewickelt. Diese Röhre sei zu einem Ring mit Radius R gebogen. (a) [1.5 P] Finde einen Ausdruck für das (tangential zum Kreis gerichtete) Magnetfeld in der Mitte der Röhre in Abhängigkeit der Stromstärke im Draht. Hinweis: Ampèresches Gesetz (b) B.dl 0 I , 0 4 107 VsA -1m -1 [2.5 P] Betrachte 2 solche Ringspulen, welche koaxial angeordnet sind. Dabei seien R1 R2 0.5 m , r1 5.0 cm , r2 3.0 cm , N1 2000 , N 2 3000 . Durch die äussere Spule fliesse ein Wechselstrom mit effektiver Stromstärke I eff 3 A und Frequenz f 50 Hz . Die innere Spule sei an ein Oszilloskop angeschlossen. Unter der Annahme, dass das Magnetfeld überall innerhalb der inneren Spule gleich dem Magnetfeld in der Mitte der Röhre sei, berechne die am Oszilloskop angezeigte Scheitelspannung. Hinweis: Falls Teilaufgabe a) nicht gelöst wurde, kann mit B Seite 6/27 0 I gerechnet werden. R Wechselstrom 6 Gegeben ist die gezeigte Schaltung. D1 und D2 sind ideale Dioden (Durchlassspannung 0 V, ideal sperrend). Es sind folgende Daten geben: C = 41 2 F, L1 = 1 H, L2 = 4 H. Der Schalter S ist offen, und der Kondensator C ist auf die Spannung 1.0 V aufgeladen (Polarität wie gezeigt). Zur Zeit t = 0 wird der Schalter S geschlossen. C S D1 L2 L1 D2 (a) [1 P] Berechne die Periode der Schwingung. (b) [1 P] Zeichne qualitativ den Verlauf der Spannung über dem Kondensator als Funktion der Zeit ab t = 0 für eine Periode der entstehenden Schwingung. Beschrifte die Zeiten der Nulldurchgänge und der Extrema. (c) [2 P] Zeichne qualitativ den Verlauf des Stromes durch den Schalter ab t = 0 für eine Periode der entstehenden Schwingung. Die beiden Graphen in (b) und (c) sollen übereinander mit der gleichen Zeitachse skizziert werden Seite 7/27 Schweizerische Physik-Olympiade 2011 Lösungen der 6 Kurzaufgaben Seite 8/27 Lösung Trägheitsmoment 1 (a) [2 P] remplir la boule avec de la même matière, les masses et les moments d'inertie s'additionnent, la masse volumique est constante, après deux étapes d'algèbre on trouve I=2/5m(R5-r5)/(R3-r3) (b) [1 P] poser r = 0 (c) [1 P] I'=2/3mR2 (calcul de limite, appliquer le théorème de l'Hôpital ou factoriser numérateur et dénominateur) Lösung Stoss 2 Punkteverteilung (a) Energiesatz aufgestellt Impulssatz aufgestellt Pythagoras erkennen, daraus Winkel für Helium = 60 ° (b) Geschwindigkeit Alphateilchen vor dem Stoss nach dem Stoss Seite 9/27 ½P ½P 1P 1P 1P Lösung Gasometer (d) Aufgabe 3 die Arbeitsleistung am Gas ist pV, diejenige an der Scheibe pV (Vorzeichen!) V = hA = (h2 h2) A = (96.6 m – 100 m) (67.6)2 m = – 12202.9 m3 W = mgV = 1.27106 kg 9.81 m/s2 (– 12202.9 m3) = – 1.52106 J Seite 10/27 [1 P] Lösung Elektrostatik (a) (b) Aufgabe 4 E = U / d ( = 250V/m) FE = q * E = q * U / d ( = 1.25mN) FG = m * g ( = 39.2mN) = arctan(FE / FG) = arctan(q * U / (m * g * d)) = 0.0319 (rad) ( = 1.83°) (½ P falls Endresultat falsch) (½ P falls Endresultat falsch) (½ P falls Endresultat falsch) (2 P falls Endresultat richtig) x = l * sin() x = l * sin(arctan(q * U / (m * g * y))) ( = 1.59cm) s = d/2 – r – x s = d/2 – r – l * sin(arctan(q * U / (m * g * d))) s = 17.4cm (½ P falls Endresultat falsch) (½ P falls Endresultat falsch) (= 20cm – 1cm – 1.59cm) (2 P falls Endresultat richtig) Abzüge: - ½ P bei weniger als 2 oder mehr als 4 signifikanten Stellen (oder nach Abmachung); - ¾ P fürs Verwechseln von Bogenmass und Gradmass bei a) (Also = 0.0319° oder = 1.83); - ¾ P fürs Vergessen des Radius bei b) (Also s = 18.4cm); - ¾ P fürs Berechnen des Abstandes zur falschen l x d Seite 11/27 r s Lösung Magnetismus Aufgabe 5 (a) B.dl 2RB B I 0 tot 0 NI 1 pt. 0 IN 2R 0.5 pt. (b) N 2 B r2 N 2 N 1 2 I 0 2 r2 2R 2 cos(t ) I U eff 0 1 pt. N1 N 2 2 r2 2R N N Uˆ 2 (2 f ) I eff 0 1 2 r22 9.05 V 2R 1 pt. 0.5 pt. falls mit alternativem Wert für B gerechnet wurde: N 2 B r2 N 2 2 I 0 2 r2 R 1 pt. 2 cos(t ) I N 2 r 2 U eff 0 2 R 1 pt. N Uˆ 2 (2 f ) I eff 0 2 r22 2.3 * 10 3 V R 0.5 pt. Hinweis: falls die Unterscheidung von effektiver und Scheitelspannung nicht oder nicht korrekt gemacht wurde, sollte ½ pt. Abzug gegeben werden. Seite 12/27 Lösung Wechselstrom (a) (b) Aufgabe 6 Die Periode des Schwingreises besteht aus einer Halbschwingung mit T1 1 = 2 LC 12 1 H 41 2 F 12 s 2 2 und einer Halbschwingung T2 1 = 2 2 LC 12 4 H 41 2 F 1 s 2 Die Periode ist somit T = 12 1 s 1.5 s [1P] und (c) UC 1V total [1P] t 0.25 s 0.5 s T1 1.0 s Fehlende Zeiten minus ½ P 1.5 s T2 total [2P] T I Skizze Extremum der 1. Halbschwingung grösser als Extremum der 2. Halbschwingung [1P] (folgt aus Ladungserhaltung!) t 0.25 s 0.5 s 1.0 s [1P] 1.5 s Seite 13/27 SwissPhO 2011 Swiss Physics Olympiad Schweizerische Physik-Olympiade Aarau, 2./3. April 2011 Theorie 3 Probleme [3 von 4] Dauer: 150 Minuten je Aufgabe 16 Punkte, total 48 Punkte Name ………………………………………… Punktzahl …….. Erlaubte Hilfsmittel : Taschenrechner ohne Formelspeicher Schreib- und Zeichenmaterial Viel Erfolg ! Seite 14/27 Sonnensegel Cosmos 1 Der Einsatz von Sonnensegeln, die den Strahlungsdruck des Sonnenlichts für den Antrieb von Satelliten nutzen sollen, wird als Alternative zu den konventionellen chemischen Triebwerken untersucht. Der Testsatellit Cosmos-1 mit einer Gesamtmasse von 110 kg befinde sich zunächst auf einer Sonnenumlaufbahn mit Radius r = 1.496 · 1011 m (Erdbahnradius), wobei die Segel noch eingeklappt sind. Nachdem er sich auf dieser Bahn stabilisiert hat, werden die drehbaren Segel mit einer Gesamtfläche von 600 m2 ausgeklappt. Das Intensitätsmaximum des kontinuierlichen Sonnenspektrums liegt bei einer Wellenlänge von λm = 455 nm, die Leuchtkraft (Strahlungsleistung) der Sonne beträgt L = 3.82 · 1026 W. Vereinfachend wird im Folgenden davon ausgegangen, dass die Sonne ausschließlich Licht der Wellenlänge λm abstrahlt, das Sonnenlicht vorerst senkrecht auf die Segel trifft und alle auftreffenden Photonen reflektiert werden. (a) [3 P] Berechne Energie und Impuls eines Photons der Wellenlänge λm = 455 nm. (b) [2 P] Wie viele Photonen sendet die Sonne pro Sekunde aus? Gib allgemein an, auf welche Fläche diese im Abstand r vom Sonnenmittelpunkt verteilt werden. (c) [2 P] Welche Kraft wird durch die reflektierten Photonen auf den Satelliten, der sich auf seiner Sonnenumlaufbahn befindet, übertragen? (d) [2 P] Von der Sonne wird auch der „Sonnenwind“ emittiert, der u. a. aus Protonen mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 400 km/s besteht. An der Position des Satelliten treffen jede Sekunde 3.0 · 108 Protonen auf einen Quadratzentimeter. Weise nach, dass die durch die Protonen verursachte Kraft auf die Segel vernachlässigbar ist. (e) [3 P] Zeige, dass die Gravitationskraft, die die Sonne auf den Satelliten ausübt, erheblich grösser ist als die in Teilaufgabe c) berechnete Kraft. Begründe damit, dass sich der Satellit nur dann mit Hilfe des Sonnensegelantriebs von der Sonne entfernen kann, wenn er sich zunächst auf einer Sonnenumlaufbahn befindet. Begründe schließlich, ob und gegebenenfalls wie sich das Verhältnis der beiden Kräfte ändert, wenn der Satellit weiter von der Sonne entfernt ist. (f) [4 P] Der Satellit soll sich auf einer spiralförmigen Bahn von der Sonne entfernen. Um ihn zu beschleunigen, wird das Sonnensegel so gedreht, dass α = 30° gilt (siehe Abbildung). Begründe, warum die beschleunigende Kraft senkrecht zum Segel wirkt. Auf welchen Prozentsatz sinkt der Betrag F der durch die Photonen übertragenen Kraft bei der Verringerung des Winkels α von 90° auf 30°? Seite 15/27 Lösung Sonnensegel Cosmos a) 2 Punkte für E: 1 Punkt für f=c/lambda, 1 Punkt für E=hf 1 Punkt für p b) 1 Punkt Fläche = Kugeloberfläche = 4 r2 1 Punkt für Kugeloberfläche c) 1 Punkt für Verhältnis ASegel/Kugeloberfläche Achtung: kein Abzug für Folgefehler aus b) Kugeloberfläche!! 1 Punkt für Endergebnis, auch wenn die 2 (wegen Reflexion) fehlt, d.h. für 2.72 mN d) 1 Punkt für m*v 1 Punkt für Endergebnis, egal ob mit oder ohne 2 gerechnet wurde e) 1 Punkt Begründungen für: dass sich der Satellit nur dann mit Hilfe des Sonnensegelantriebs von der Sonne entfernen kann, wenn er sich zunächst auf einer Sonnenumlaufbahn befindet Radiale Entfernung prinzipiell nicht möglich. Ein ruhender Satellit würde in die Sonne stürzen. 1 Punkt ob und gegebenenfalls wie sich das Verhältnis der beiden Kräfte ändert, wenn der Satellit weiter von der Sonne entfernt ist 2 Punkte (1 für unabhängig und 1 für Begründung) Seite 16/27 1 f) 2 Punkte = je 1 Punkt für die zwei sin am richtigen Ort 1 Punkt für % Seite 17/27 „Ping-Pong“-Widerstand 2 Ein Kondensator besteht aus zwei runden, parallel angeordneten Platten (Radius R) im Abstand d voneinander, wobei d << R ist, wie in Abbildung 1 dargestellt. Die obere Platte ist mit einer konstanten Spannungsquelle verbunden und liegt auf dem Potenzial V, während die untere Platte geerdet ist. Anschliessend wird eine dünne und kleine Scheibe mit der Masse m, dem Radius r (r << R, d) und der Dicke t (<< r) auf die Mitte der unteren Platte gelegt, wie in Abbildung 2 dargestellt. Nehmen wir an, dass der Raum zwischen den Platten sich in einem Vakuum mit der Dielektrizitätskonstante ε0 befindet; die Platten und die Scheibe bestehen aus idealen Leitern und alle elektrostatischen Randeffekte können vernachlässigt werden. Die Induktivität der gesamten Schaltung und die relativistischen Effekte können außer Acht gelassen werden. Auch die Wirkung von Spiegelladungen ist vernachlässigbar. Abbildung 1: Aufbauschema (a) Abbildung 2: Seitenansicht [2.5 P] Berechnen Sie die elektrostatische Kraft Fp, zwischen den Platten (Abstand d), im Anfangszustand (wie in Abbildung 1 dargestellt), d.h. bevor die Scheibe eingefügt wird. Hinweis: Eine Art vorzugehen ist, die vom Kondensator im elektrischen Feld gespeicherte Energie zu berechnen und danach den Zusammenhang zwischen Energie und Kraft zu benutzen. (b) [2 P] Wenn man die Scheibe auf die untere Platte legt, so ist die Ladung q auf der Scheibe (vgl. Abbildung 2) der Spannung V proportional: q = χV. Bestimmen Sie χ in Abhängigkeit von r, d, und ε0. (c) [1.5 P] Die parallelen Platten liegen senkrecht zu einem homogenen Gravitationsfeld g. Um die Scheibe, die anfangs auf der unteren Platte liegt, anzuheben, muss man die angelegte Spannung über eine Schwellenspannung Vs hinaus erhöhen. Bestimmen Sie Vs in Abhängigkeit von m, g, d und χ. Seite 18/27 (d) [5 P] Wenn V > Vs , so führt die Scheibe eine Auf- und Abwärtsbewegung zwischen den beiden Platten aus. (Wir nehmen an, dass die Scheibe sich lediglich vertikal bewegt, ohne zu wackeln.). Die Stöße zwischen der Scheibe und der Platte sind unelastisch mit dem Restitutions-Koeffizienten (Stoßzahl) η ≡ (vnach / vvor), wobei vvor und vnach die Geschwindigkeiten kurz vor und nach dem Stoß bezeichnen. Die Platten sind unbeweglich. Die Geschwindigkeit der Scheibe kurz nach dem Stoß mit der unteren Platte erreicht einen stationären Zustand bei einer Geschwindigkeit von vs, („steady-state speed"), die von V folgendermaßen abhängt: vs V 2 Bestimmen Sie die Koeffizienten α und β in Abhängigkeit von m, g, χ, d und η. Nehmen Sie an, dass die gesamte Scheibenoberfläche die Platte gleichmäßig und gleichzeitig berührt, sodass der Ladungsaustausch bei jedem Stoß augenblicklich und vollständig erfolgt. (e) [5 P] Nach dem Erreichen der stationären Geschwindigkeit („steady state") ist der zeitliche Mittelwert der Stromstärke I durch die Kondensatorplatten näherungsweise gegeben durch I = γV2, falls qV >> mgd. Drücken Sie den Koeffizienten γ in Abhängigkeit von m, χ, d und η aus. Hinweis: Wie lautet der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit nach einem Stoss mit der unteren Platte und der nach einem Stoss mit der oberen, unter der obigen Annahme? Um die Dauer eines Zyklus zu finden, ist es also einfacher, die Gleichung für die Geschwindigkeit v(t) zu betrachten als jene für die Position z(t). Seite 19/27 Lösung „Ping-Pong“-Widerstand Seite 20/27 2 Seite 21/27 Seite 22/27 Der Kryostat 3 Bekanntlich lassen sich mit flüssigem Stickstoff sehr tiefe Temperaturen erreichen: Die Siedetemperatur beträgt bei Normalbedingungen TS = 77.0 K. Doch wie geht man vor, wenn man, wie in unserem Beispiel, für eine Probe eine möglichst konstante Temperatur von 100 K benötigt? Das Gerät dazu heisst „Kryostat“, und wir werden es in dieser Aufgabe analysieren. Der Aufbau eines Kryostaten ist auf der nächsten Seite schematisch dargestellt. Die Probe ist in der Mitte eines mit flüssigem Stickstoff teilgefüllten Thermobehälters in einem kleinen geraden Zylinder mit kreisförmiger Grundfläche (Radius R = 5.00 cm) enthalten. (Für alle Rechnungen soll davon ausgegangen werden, dass der kleine Zylinder stets vollständig im Stickstoff eingetaucht ist.) Durch eine kleine, kreisrunde Öffnung (Radius r = 1.00 cm) im Zylinder ist die Probe über ein kleines Rohr mit der Aussenwelt verbunden. Ein elektronisch gesteuerter Heizwiderstand sorgt dafür, dass die Innentemperatur im Zylinder stets konstant 100 K beträgt. Der kleine Zylinder gebe allein über Grund- und Deckfläche Wärme ab. Die Mantelfläche und das kleine Rohr sollen hingegen als perfekt isoliert angesehen werden. Sowohl Grund- als auch Deckfläche bestehen aus zwei Materialien, nämlich Kupfer (jeweils auf der Aussenseite) und Aluminiumoxid (auf der Innenseite). Beide Kupferplatten sind je 1.00 cm, beide Aluminiumoxidplatten je 3.00 cm dick. Die Wärmeleitzahlen betragen unter diesen Bedingungen Cu = 600W/(mK) beziehungsweise A = 26.0W/(mK). (a) [3 P] Welche Temperatur herrscht in der Zwischenfläche zwischen dem Kupfer und dem Aluminiumoxid? (b) [3 P] Wie viel Wärmeenergie wird insgesamt von den zwei Flächen pro Sekunde aus dem Zylinder geleitet? Der Aussenbehälter, welcher den flüssigen Stickstoff enthält, ist ebenfalls zylinderförmig mit einem Radius von RA = 15.0 Zentimetern. Alle Wände des Aussenzylinders sollen als perfekt wärmeisoliert angesehen werden. Aus einem Ventil in der Deckfläche kann gasförmiger Stickstoff entweichen. Damit wird der Innendruck im Behälter so geregelt, dass er stets dem Normaldruck entspricht. (c) [2 P] Wie viel flüssiger Stickstoff verdampft pro Sekunde? Gib das Resultat in SI-Grundeinheiten an. (d) [4 P] Mit welcher Geschwindigkeit sinkt der Spiegel des flüssigen Stickstoffs im Behälter? (Vernachlässige das Volumen des kleinen Rohrs.) (e) [4 P] Wie viele Mol Gas entweichen durch das Ventil pro Sekunde? - Siedetemperatur von flüssigem Stickstoff bei Normaldruck: - Spezifische Verdampfungswärme von Stickstoff: Seite 23/27 TS = HV = 77.0 K 198.38 kJ/kg L F mN R p0 - Dichte von flüssigem Stickstoff bei 77K: - Dichte von gasförmigem Stickstoff bei 77K: - Molmasse von gasförmigem Stickstoff: - Gaskonstante: - Normaldruck: = = = = = 808.61 kg/m3 4.61 kg/m3 28.01 g/mol 8.31 J/molK 1.01 105 Pa Ventil Kupfer Al2O3 Innenzylinder mit Probe Heizwiderstand 100K Kupfer Stickstoff 77K (l) Seite 24/27 Mantelfläche des Aussenzylinders Lösung Der Kryostat 3 a) Welche Temperatur herrscht in der Zwischenfläche zwischen dem Kupfer und dem Aluminiumoxid? (Q / t)Cu = (Q /t)A (Q / t)Cu = Cu A (T – 77K) / d Cu (Q / t)A = A A (100K – T) / dA Cu A (T – 77K) / d Cu = A A (100K – T) / dA T = 77.3K (½P) (½P) (½P) (½P) (3P) b) Wie viel Wärmeenergie wird insgesamt von den zwei Flächen pro Sekunde aus dem Zylinder geleitet? Obere Fläche: (Q / t)o = Cu (R2 – r2) (T – 77K) / dCu (1P) 2 Untere Fläche: (Q / t)u = Cu R (T – 77K) / dCu (1P) (wobei R = 0.05 m und r = 0.01 m) Insgesamt: (Q /t)total = (vQ / vt)o + (Q / t)u = 302W (3P) (Loch vergessen: -1P) c) Wie viel flüssiger Stickstoff verdampft pro Sekunde? Gib die Masse in SI-Grundeinheiten an. m / t = (Q / t)total / HV (1P) m / t = 0.0015kg/s (m = 0.0015kg) (2P) d) Mit welcher Geschwindigkeit sinkt der Spiegel des flüssigen Stickstoffs im Behälter? (V / t) = (m / t) / L (1P) (V / t) = 1.89 10-6 m3/s ( = 1.89 cm3/s) (1P) Da der Zylinderradius RA = 15cm beträgt, nimmt der Spiegel mit der folgenden Geschwindigkeit ab: s / t = (V / t) / A = (V / t) / ( RA2) (1P) (mit A ist die Kreisfläche des Zylinders gemeint) s / t = 2.67 10-5m/s ( = 26.7µm/s) (4P) e) Wie viele Mol Gas entweichen durch das Ventil pro Sekunde? Pro Sekunde verdampfen im Behälter folgende Anzahl Stickstoffmoleküle: n / t = (m / t) / mN = 0.0544mol/s (1P) Nach dem allgemeinen Gasgesetz gilt: pV=nRT Durch die Abnahme des Flüssigkeitsspiegels werden einige Gasmoleküle benötigt (n’ / t), um den Druck im Behälter konstant zu halten. (n’ / vt) = p0 (V/t) / (R TS) (1P) (vn’ / vt) = 2.99 10-4 mol/s (½P) Der Überschuss wird durch das Ventil rausgelassen. (n / t) –( n’ / t) = 0.0541mol/s (4P) (Die fettgedruckten Punktzahlen werden für vollständig richtig gelöste Aufgaben vergeben, der Rest ist ein Vorschlag für Teilpunkte innerhalb einer nicht vollständig gelösten Aufgabe.) Seite 25/27 Magnetismus 4 In einem lotrechten, homogenen Magnetfeld mit B = 0.50 T sind zwei ideal leitende Schienen mit dem Neigungswinkel = 30° und dem Abstand d = 10 cm aufgestellt. Auf ihnen kann ein Leiter L der Masse m reibungsfrei gleiten. Der Leiter hat den Ohmschen Widerstand R = 0.30 . Der Widerstand der Schienen wird vernachlässigt. Der Leiter bleibt stets parallel zu CD (siehe Skizze). (a) (b) (c) (d) [3 P] Wenn man an den Punkten C und D eine Spannungsquelle mit 0.30V anschliesst, bleibt der Leiter in Ruhe. Berechne die Masse des Leiters. [4 P] Die Spannungsquelle wird nun entfernt, und an den Punkten C und D wird ein ideales Voltmeter angeschlossen. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Leiter auf den Schienen losgelassen. Gib zuerst allgemein die Spannung U(t) an, die das Voltmeter nach t Sekunden anzeigt. Berechne numerisch die Spannung, die es nach 0.30 s anzeigt. [5 P] Nun wird das Spannungsmessgerät entfernt und der Stromkreis durch einen Widerstand von 0.20 zwischen C und D geschlossen. Der Leiter wird dann von P nach Q (Abstand PQ = 20 cm) mit konstanter Beschleunigung 2.5 m/s2 bewegt. Wie gross ist die Stromstärke im Stromkreis, wenn der Stab Q erreicht? [4 P] Nun legt man das Schienenpaar horizontal, der Widerstand zwischen C und D bleibt. Der Leiter sei zum Zeitpunkt t = 0 in Ruhe. Welche äussere Kraft F(t) muss zum Zeitpunkt t auf den Leiter wirken, damit er mit 2.5 m/s2 beschleunigt? Seite 26/27 Lösung Magnetismus Punkteverteilung a) 1 für F(B-Feld) mit cos 1 für Hangabtriebskraft 1 für Masse b) 1 für PHI-Punkt = (Änderung A) mal B 1 für A mit cos 1 für U allgemein 1 für U(0.3s) c) 1 für die Zeit bis Q 1 für I = U/R 1 für U 1 für R = 0.5 Ohm 1 für I Endergebnis d) 1 für F = ma 1 für F = BId und I = Uind/R 1 für Uind = dA/dt B und dA/dt= v t = a t d 1 für F = 0.0125t+0.022 Seite 27/27 Aufgabe 4
