Einführung in die Logik

Institut für
Theoretische Informatik
ITI
Dr. Jürgen Koslowski
Einführung in die Logik
Aufgabenblatt 1, 2016-04-18
Übungsaufgabe 6
Eine weitere Logelei zum Warmwerden, vor einer Woche in einer Gruppe aus dem Gedächnis
nicht korrekt wiedergegeben:
Sie sollen in die Zaubererschule von Hogwards aufgenommen werden. Doch neuerdings gibt es
neben dem berühmten “Sorting Hat” noch eine Aufnahmeprüfung. Dazu zeigt Professor Snape
Ihnen und zwei weiteren Kandidaten fünf spitze Zaubererhüte, drei rote und zwei schwarze, und
sagt: Ich werde jetzt jedem von Ihnen einen der Hüte durch Magie so aufsetzen, dass Sie Ihren
”
eigenen Hut nicht sehen können. Die übrigen Hüte lasse ich verschwinden. Danach müssen Sie
herausfinden was für einen Hut Sie selbst tragen.“ Gesagt, getan, die fünf Hüte verschwinden
plötzlich und Sie sehen auf den Köpfen ihrer Mitbewerber je einen der roten Hüte erscheinen.
Für einige Minuten lang herrscht betretenes Schweigen. Plötzlich haben Sie die Erleuchtung
und sagen: Ich trage einen roten Hut!“ Der Zauberer lobt Sie für die richtige Antwort und
”
sagt: Nun erweisen Sie sich aber auch als würdig und erklären uns, wie Sie darauf gekommen
”
sind!“
Also wie haben Sie es gemacht?
Lösungsvorschlag:
Wesentlich ist hier der Zeit-Aspekt, der in der Aussage Für einige Minuten lang herrscht
”
betretenes Schweigen.“ steckt.
Jeder Teilnehmer, der zwei schwarze Hüte sieht, kann sofort sagen, sein Hut sei rot. Da dies
nicht passiert, sind keine zwei schwarze Hüte zu sehen.
Falls Sie, genannt A, einen schwarzen Hut tragen, müssen die anderen beiden Protagonisten,
B und C, je einen roten Hut tragen, und somit je einen roten und einen schwarzen Hut sehen.
Aus der Tatsache, dass weder B noch C sofort seinen eigenen Hut als rot bezeichnet, können B
und C schließen, dass sie selbst keinen schwarzen Hut tragen, sollten also nach einer gewissen
Bedenkzeit ihre jeweiligen Hüte als rot bezeichnen.
Da auch dies nicht geschieht, bleibt nur die Möglichkeit übrig, dass Sie, A, auch einen roten
Hut tragen.
Übungsaufgabe 7
Warum gibt es keine unendlichen Formeln? Diese Frage kam am Ende der 2. Vorlesung auf.
Daher müssen wir formalisieren, was es bedeutet, Wörter über einem Alphabet zu bilden.
Definition Unter einem Alphabet verstehen wir eine abzählbare Menge.
In der Theorie formaler Sprachen beschränkt man sich meist auf endliche Mengen, aber hier geht
das nicht, denn das Alphabet der Aussagenlogik ist gegeben durch A := ATM ∪ {¬, ∧, ∨, ( , ) }.
Als Vereinigung einer abzählbar unendlichen mit einer endlichen Menge, ist es wieder abzählbar
unendlich.
Definition Die Menge X ∗ aller Wörter über einem Alphabet X ist die (disjunkte) Vereinigung
aller cartesischen Produkte X n , n ∈ IN = {0, 1, 2 . . . }, wobei X n die Menge aller n-Tupel (=
Wörter der Länge n) aus Elementen der Menge X bezeichnet:
X
X ∗ :=
Xn
n∈IN
Insbesondere haben alle Wörter über X endliche Länge, allerdings sind die erlaubten Längen
unbeschränkt.
Um auch abzählbar unendliche Tupel, oder Streams, betrachten zu können, ist die Menge X IN
aller Abbildungen von IN nach X hinzuzufügen.
(a) Geben Sie, ausgehend von F0 = ATM ∪ {⊥} eine iterative Beschreibung von FRM , die
zeigt, dass FRM ⊆ A∗ gilt (folglich sind alle Formeln endlich).
(b) Wieviele Wörter der Länge 0 gibt es, und warum?
Lösungsvorschlag:
(a) Behauptung: Mit der Definition
Fn+1 := Fn ∪ { F : F = (¬G) oder F = (G ∧ H) oder F = (G ∨ H) mit G, H ∈ Fn }
erhalten wir
FRM =
[
Fn
n∈IN
Die Inklusion ⊇ ist nach Definition von FRM klar.
Für die umgekherte Inklusion ⊆ betrachte den Syntaxbaum von F ∈ FRM . Seine Tiefe
t(F ) gibt an, in welchem Iterationsschritt F erreicht wird: F ∈ Ft(F ) .
X; diese kann man
(b) Für jede Menge U bezeichnet X U die Menge aller Abbildungen U
auch als U -Tuple bezeichnen. Speziell realisieren wir die Zahl n ∈ IN als die Menge ihrer
Vorgänger in IN , d.h.
n = {0, 1, . . . , n − 1}
Ein n-Tuple in X ist somit eine Abbildung von {0, 1, . . . , n − 1} nach X. Das funktioniert
auch für n = 0: in obiger Sichtweise stimmt die Zahl 0 mit der leeren Menge ∅ überein, da
0 keine Vorgänger in IN hat. Ein 0-Tuple über X ist somit eine Funktion ∅
X. Von
dieser Sorte gibt es nur genau eine, die leere Inklusionsabbildung nach X.
Aufgabe 8 [12 PUNKTE]
Definieren Sie die formale Semantik einer erweiterten Aussagenlogik, bei der Atome neben
den Wahrheitswerten 1 ( wahr“) und 0 ( falsch“) auch den Wahrheitswert 0.5 ( vielleicht“)
”
”
”
annehmen können.
Aufgabe 9 [12 PUNKTE]
Fortsetzung von Aufgabe 5: Übersetzen Sie die drei Aussagen Donalds in aussagenlogische
Formeln, speziell solche in FRM . Legen Sie dazu passende Variablen für atomare Aussagen
fest. Überprüfen Sie ihr damaliges Ergebnis nunmehr formal.
Aufgabe 10 [8 PUNKTE]
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?
(a) Wenn 1 + 1 = 2 gilt, dann gibt es ein viereckiges Dreieck.
(b) Wenn es ein viereckiges Dreieck gibt, dann gilt 1 + 1 = 2.
(c) Wenn es ein viereckiges Dreieck gibt, dann gilt 1 + 1 = 3.
(d) Ein Dreieck hat drei oder vier Ecken.
Abgabe bis Montag, 2016-04-25, im Kasten neben IZ 343