warm up blatt 1 lsg2012

Humboldt - Universität Berlin
Warm Up (Brückenkurs)
Matthias Rehder
WS 12/13
Aufgabenblatt Nr. 01 (von insgesamt 5)
Abgabe am 05. 10. 2012
Lösungen zu den Übungsaufgaben:
Aufgabe Nr. 1: [Elementare Mengenlehre]
! "# $
/
% & '()*
$ !0 '()*# %
2
3
!"
+ '()*, %
% 1 '()*
# '()*+ %
% -.
+.
$ -.
/ und 2
Zuerst formen wir obige Mengen äquivalent um, damit wir leichter eine Vorstellung von
erhalten. Stillschweigend nehmen wir hier reellwertige Variablen
an, wie es den üblichen
mathematischen Konventionen entspricht.
/
4!"# & 5 +. 5 , -
!6 !07 5 # 1 5 +.
2
8". 5 + -7
//Hinweis: 8". 9 ". 5 !".
Topologisch betrachtet sind obige Mengen alle keine Gebiete (nicht einmal sternenförmig), da sie
weder zusammenhängend, noch offen bzw. abgeschlossen sind. Demnach liegt auch nach dem Satz von
Heine Borel keine Kompaktheit vor.
Lösung:
(a) Für die Mengendifferenz :/ gilt dann:
:/
;
!0 #7 5 41 & 5 , -
<=( > /.
(b) Für die zweifache Mengendifferenz / :
/:
/: 4!"# !" 5 !" " 5 " & 5 +.
:2
5 2 gilt:
(c) Für die Vereinigung
4!"# & 5 4+ -7
52
(d) Für den Schnitt / @ 2 gilt: / @ 2
(e) Für 2:
2:
(f) Für
@/
! "# $
".A
@ / gilt:
:2
@2 5
:2 gilt:
B
CDEFGHI
JK L HMNDI
:2
5
:2
@ 25
:2
% !"# '()*
!" '()*+ %
5
:2
%&?,%
$ -.
!". 5 + -7
4!"# !07 5 # 1 5 +. 5
$#?1$
!6 !"# 5 ".
% & '()*+ $
2 : 4!"# !07 5 # 1 5 +.
@2 5
@2 5
O
:2. gilt:
!0%
:2
@
$ -.
% -..
".
Nachtrag:
Wir haben die üblichen Intervalldefinitionen verwendet, wie wir sie Beispielsweise in der Analysis 1
Vorlesung von B. Fieder (WS 08/09) thematisiert haben:
4P Q7 9
P$
$ Q. (abgeschlossene Intervall, mit Maximum, Minimum, Supremum und Infimum)
P Q7 9
P%
$ Q. (halboffenes Intervall, ohne Minimum, mit Maximum, Supremum und Infimum)
4P Q 9
PQ 9
P$
P%
% Q. (halboffenes Intervall, ohne Maximum, mit Minimum, Supremum und Infimum)
% Q. (offenes Intervall, ohne Minimum und Maximum, mit Supremum und Infimum)
Kurze Übersicht:
@/
Schnittmenge
R
S/
Komplement
5/
Vereinigungsmange
Beispiele: [Distributivgesetzte für Mengen]
:/
Mengendifferenz
Aufgabe Nr. 2: [Kartesisches Produkt]
Das kartesische Produkt bildet zwei Mengen auf eine neue ab.
Definition:
Das kartesische Produkt T / zweier Mengen und / ist die Menge aller geordneten Paare P Q mit
P ; und Q ; /: T / 9 P Q P ; Q ; /..
Das kartesische Produkt T /, gesprochen „ kreuz /“, selbst ist definitionsgemäß eine Menge.
Während es innerhalb der Paare sehr wohl auf die Reihenfolge ankommt, ist die Reihenfolge, in der die
Paare aufgeführt werden, wieder belanglos.
Lösung:
U 4" V7 T 4" 7 S W3 (sternenförmige Menge)
4" V7 T 4" 7
"
""
1
2
V" .
V
X
3
2
1
Y
3
# ". T # ". T # ".
1
X
1
1
Aufgabe Nr. 3: [Logik]
Drei Logiker werden im fernen Weißnichtwo von Kanibalen gefangen genommen. Bevor sie jedoch in
den Topf geworfen werden, haben sie die Möglichkeit bei folgendem Ritual ihr Leben zu retten:
Jedem der drei wird ein Hut auf den Kopf gestülpt, und sie werden so gesetzt, dass sie zwar die Hüte der
anderen beiden, jedoch nicht ihren eigenen Hut sehen können. Der Oberboss geruht ihnen mitzuteilen,
dass es insgesamt fünf verschiedene Hüte gibt: zwei schwarze und drei weiße. Wer die Farbe seines
Hutes erraten kann, hat sein Leben gerettet. Jeder Logiker sieht zwei weiße Hüte. Mit welchem
Gedankengang ist es ihnen möglich, auf die Farbe ihres Hutes zu schließen und ihr Leben zu retten?
Ein möglicher Lösungsweg aus der Perspektive eines Logikers:
Meine zwei Mitgefangenen-Partner sind Mathematiker, d.h. sie denken also ähnlich wie ich.
Also Ich sehe zwei weiße Hüte. Es existieren drei weiße und zwei schwarze Hüte.
Angenommen ich hätte einen schwarzen Hut. Dann würde jeder meiner Partner einen Weißen und einen
Schwarzen Hut sehen. Dann würden sie aber wissen, dass sie keinen Schwarzen Hut hätten, denn hätten
sie einen, dann würde der Andere zwei schwarze Hüte sehen, er würde daher wissen, dass er einen
weißen Hut haben müsste und sofort seinen Hut nennen. (logisch, oder ? )
Nun würden also meine beiden Partner wissen, dass sie demnach weiße Hüte haben müssten.
Dann würden sie das ebenfalls sagen. Weil sie das aber nicht tun, können sie nicht genau wissen,
welchen Hut sie tragen. Nun kann ich somit folglich keinen schwarzen Hut haben und mein Hut muss
weiß sein. Demnach kann man nach einem kurzen Zeitabschnitt feststellen, dass alle aufgesetzten Hüte
also weiß sind. Damit würde ich als Mathematiker wohl frei kommen, wenn mich nicht unbedingt ein
anderer Mathematiker durch „Nicht – Logik“ auf den Irrweg treiben würde.
Schlusswort: Auszug aus meinem Skriptum zur Klausurvorbereitung in Lineare Algebra 1:
Die Sprache der Mathematik
Wenn man eine neue Sprache lernen will, benötigt man ein gewisses Grundvokabular, um sich
einigermaßen zurechtzufinden und seine Kenntnisse auf dieser Basis weiter auszubauen. In einer
Fremdsprache, wie zum Beispiel Lateinisch, sind dies viele hundert, ja eher mehrere tausend Vokabeln.
In der Mathematik und ihrem Teilgebiet der linearen Algebra kommt man für den Anfang schon mit
sehr viel weniger Vokabeln aus. Es ist dabei aber wichtig, dass diese Vokabeln dann auch wirklich
sitzen und in passender Anwendung mit Sicherheit verwendet werden können.
Es ist hierbei schon viel gewonnen, wenn man lernt, gewohnte Begriffe exakt zu verwenden und präzise
Formulierungen lesen und verstehen kann. Auf den ersten Blick mag dies trivial klingen, jedoch bereitet
dies vielen Studenten am Anfang oft Schwierigkeiten. Eine saubere Handhabung der Sprache führt über
Abstraktion zur Aussagenlogik, und diese wiederum ist die Grundlage der gesamten Digitaltechnik und
damit der Grundstein unserer heutigen Informationsgesellschafft.
Sicherlich ist präzises Formulieren alleine zu wenig, denn man muss auch wissen, worüber man
überhaupt sprechen soll. Viele Begriffsbildungen in der Mathematik beruhen auf Mengen und
Abbildungen, und diese werden wir in dieser Einführung gebührenden Raum widmen.
Sehr bekannte Mengen sind solche von Zahlen. Sicher spielen Zahlen in der Mathematik eine wichtige
Rolle, die Bedeutung des bloßen Zahlenrechnens wird von Außenstehenden jedoch meist überschätzt.
Es ist demnach auch weniger das konkrete Rechnen, das uns hier bei der Betrachtung der Zahlen
interessiert. Vielmehr sind es die inneren Strukturen und allgemeinen Eigenschaften, die sie haben – der
Beginn eines Analyseprozesses, welcher uns im Laufe dieser Klausurvorbereitungsübersicht bis zu den
Determinanten und darüber hinausführen wird.
3.1 Übersicht wichtiger Mengen
Z Menge der natürliche Zahlen ohne die Null
Z[ 9 Z 5 #. Menge der natürliche Zahlen mit Null
\ Menge der ganzen Zahlen
\]
\
^
Z Menge der positiven ganzen Zahlen
Menge der negativen ganzen Zahlen
a
_ 9 ` c P Q ; \d Menge der rationalen Zahlen
_
]
b
Menge der positiven rationalen Zahlen
_^ Menge der negativen rationalen Zahlen
W Menge der reellen Zahlen
e Menger der Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …)
f Menge der Fibonacci Zahlen (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …)
g Menge der abundanten Zahlen* (12, 18, 20, 24, 30, 36, …)
h i Wj Menge der komplexen Zahlen
(*) Eine Zahl ist genau dann abundant, wenn die Summe all ihrer Faktoren größer als die Zahl selbst ist.