Freischnitt (Anschiebphase) dx dE dt

Lösung Aufgabe 3.4s
a) Mit dem Energiesatz für ein geschlossenes System gilt für
die betrachtete Strecke
0
0
0
0
m
n
∑
∑
*
*
7
E2 −E1 = ∆U +Ekin,2 − E kin,1 −
∆E pot =
Qi,12 +
Wi,12
i=1
i=1
Freischnitt (Anschiebphase)
FP
dt
Für die kinetische Energie nehmen wir an, dass wir das Fahrzeug als Massenpunkt betrachten können:
Ekin,2
G dE
Rh
dx
Rv
Nh
Nv
! 1
= m v22
2
Auf das Fahrzeug wirken in Bewegungsrichtung die Kraft der schiebenden Person, Luftwiderstand, Reibung an den Rädern. Luftwiderstand wollen wir vernachlässigen, die Reibung an den schlupffrei abrollenden
Rädern leistet keine Arbeit, wie auch die Normalkräfte keine Arbeit leisten. Da sich die Geschwindigkeit und
die Kraft auf dem Weg ändern formulieren wir die differentielle Änderung der kinetischen Energie
m v dv = FP (v) dx = FP (v) v dt = FP,max (1 −
v
vP,max
)
Tr.d.Var.
v dt
⇒
FP,max
dv
dt =
m
1 − v/vP,max
Unbestimmte Integration liefert:
( (
)
FP,max
v )
t = −vP,max ln 1 −
+C
m
vP,max
Die Konstante ergibt sich aus der Anfangsbedingung v(t = 0) = 0 zu: C = 0.
Entlogaritmieren liefert die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit:
(
v(t)
= 1 − exp −
vP,max
(
FP,max )
t)
t = 1 − exp −
vP,max m
τ
vP,max m
definiert eine charakteristische Zeit für den Prozess des Anschiebens. Der
FP,max
Zahlenwert ergibt sich zu:
4 m/s 800 kg
=8s
τ=
400 N
Mit der Definition der Geschwindigkeit
ds
v=
dt
lassen sich Dauer des Anschiebens t2 und Wegstrecke s2 verknüpfen:
Der Ausdruck τ =
(
ds = v(t) dt = vP,max
(
)
t)
1 − exp −
dt
τ
Integration liefert:
∫
s(t) =
(
(
vP,max 1 − exp −
)
(
)
(
t)
t
t)
dt = vP,max τ
+ exp −
+ C′
τ
τ
τ
Mit der Anfangsbedingung s(t = 0) = s1 = 0 folgt für die Integrationskonstante C ′ = −vP,max τ , so dass
!
(
s(t) = vP,max τ
)
(
t
t)
− 1 + exp −
τ
τ
1
(
Damit wird
( t )
t2
2
− 1 + exp −
s2 = vP,max τ
τ
τ
)
Dies ist eine implizite Gleichung für t2 . Wir lösen durch Reihenentwicklung näherungsweise. Bei Abbruch
der Exponentialreihe beim quadratischen Glied erhalten wir
√
t2 ≈
2 s2 τ
vP,max
und mit der Geschwindigkeit v2 (s2 ) die kinetische Energie
(
Ekin,2
1
2
= m vP,max
1 − exp
2
√
(
−
))2
2 s2
vP,max τ
b) Mit dem Energiesatz für ein geschlossenes System gilt für die betrachtete Strecke s2 → s3
E3 − E2 = U3 − U2 + Ekin,3 − Ekin,2 + Epot,3 − Epot,2 =
m
∑
Qi,12 +
i=1
n
∑
Wi,23
i=1
Die Änderung der kinetischen Energie ist:
Ekin,3 − Ekin,2 =
1
m (v32 − v22 )
2
Wir betrachten die Kräfte und ihre Arbeitsleistung:
- Die Arbeit der Gewichtskraft auf der Gefällestrecke. Diesen Beitrag haben wir aber bereits als negative
Arbeit der Gewichtskraft in der Änderung der potentiellen Energie
G
Epot,3 − Epot,2 = −W23
erfasst!
- Die Reibkräfte an den Rädern bei schlupffreiem Rollen leisten keine Arbeit.
- Die Normalkräfte an den Rädern leisten keine Arbeit.
- FP = 0 nach Aufgabenstellung.
Der Energiesatz liefert also wenn wir alle mit der Umgebung ausgetauschten Wärmen zu Q̇ (t3 − t2 ) zusammenfassen:
1
m (v32 − v22 ) = −(Epot,3 − Epot,2 ) − (U3 − U2 ) + Q23 (t3 − t2 ) (∗)
2
Wir diskutieren die Terme der rechten Seite:
- (Epot,3 − Epot,2 ) < 0: Die Abnahme der potentiellen Energie führt zu einer Zunahme der kinetischen
Energie
- (U3 − U2 ) > 0: Eine Zunahme der inneren Energie des Systems geht ebenfalls auf Kosten der Zunahme
an kinetischer Energie. Die Zunahme der inneren Energie können wir mit der Wärmeentwicklung durch
die Reibleistung im Antriebsstrang und im Motor. Die Zunahme der inneren Energie können wir mit
der Wärmeentwicklung durch die Reibleistung im Antriebsstrang und im Motor.
2
- (U3 − U2 ) < 0: Eine Abnahme der inneren Energie des Systems führt zu einer Zunahme an kinetischer
Energie. Dies ist der Fall laufenden Motors. Bei einem Elektromotor zum Beispiel wird die chemische
Energie der Batterie für den Antrieb des Fahrzeugs eingesetzt.
- +Q23 : Zugeführte Wärme Q23 > 0 können wir nicht ohne besondere technische Hilfsmittel (Kraftwerk)
in kinetische Energie umwandeln. Darüber sagt die Energiebilanz oder der Erste Hauptsatz nichts aus!
Erst mit dem Zweiten Hauptsatz werden wir ein Hilfsmittel haben, darüber quantitative Aussagen
zu machen. Abgeführte Wärme Q23 < 0 geht dagegen auf Kosten der inneren Energie, da damit ein
Abkühlen des Fahrzeugs einhergeht.
Bringen wir die Reibleistung ẆR ins Spiel, so folgt daraus eine Zunahme an innerer Energie, die sich
durch Temperaturerhöhung bemerkbar macht. Diese Temperaturerhöhung kann zur Wärmeabgabe
an die Umgebung Anlass sein, wenn die wärmeren Teile des Fahrzuegs nicht gegen die Umgebung
wärmeisoliert sind. Wir können für die Reibleistung die Bilanz
U3 − U2 = ẆR,23 (t3 − t2 ) + Q23
mit Q23 < 0
aufstellen, in der zum Ausdruck kommt, dass die Reibleistung sowohl für die Erhöhung der inneren
Energie als auch für die abgegebene Wärme verantwortlich gemacht werden kann.
Wir dürfen also statt (*) auch
1
m (v32 − v22 ) = −(Epot,3 − Epot,2 ) − ẆR (t3 − t2 )
2
schreiben. Die mit der Reibleistung einhergehenden Verluste gehen auf Kosten der Zunahme der kinetischen
Energie.
Damit wird
√
v3 =
v22 + 2
−(Epot,3 − Epot,2 ) − ẆR (t3 − t2 )
=
m
√
v22 − 2 g (y3 − y2 ) −
2 ẆR (t3 − t2 )
m
(∗∗)
Wir sehen uns also wieder der Aufgabe gegenüber, die Zeit zu bestimmen, wann der Ort 3 erreicht wird.
Bei reibungsfreier Bewegung erhalten wir sofort die Lösung, da die Geschwindigkeit nur von der Position
abhängt. Ist Reibleistung im Spiel hängt das Ergebnis dagegen auch von der verbrauchten Zeit und damit
auch vom Weg ab, der von dem Fahrzeug zurückgelegt wird!
Wir müssen also eine Annahme über die Form der Rampe treffen. Wir approximieren diese als lineare
Funktion
y(s) = y(s2 ) +
y3 − y2
(s − s2 ) = y(s2 ) + tan α (s − s2 ) mit
s3 − s2
tan α =
y3 − y2
, α<0
s3 − s2
wobei α der Winkel der Rampe ist. Über die Geschwindigkeitskomponente in y-Richtung sind Höhe y und
Zeit t miteinander verknüpft
dy = vy dt = v sin α dt = v √
tan α
dt
1 + tan2 α
mit α < 0
Die Gleichung (**) gilt für alle Zeiten des Intervalls
v 2 (t) = v22 − 2 g (y(t) − y2 ) −
2 ẆR (t − t2 )
m
3
für t2 ≤ t ≤ t3 .
Differentiation nach der Zeit ergibt
v
dy ẆR
ẆR
dv
= −g
−
= −g v sin α −
dt
dt
m
m
bzw.
dt =
mit
α<0
(
)
1
ẆR
t=
v+
ln − g sin α v − ẆR /m + C ′′
−g sin α
−g m sin α
v dv
,
ẆR
−g v sin α −
m
′′
C erhält man wieder aus der Anfangsbedingung, hier t = t2 ⇔ v = v2
Es ergibt sich:
(
v − Ẇ /(−m g sin α) 1
ẆR
R
t − t2 =
v − v2 +
ln −g sin α
−g m sin α
v2 − ẆR /(−m g sin α)
)
mit α < 0
Für die Geschwindigkeit erhält man schließlich für t2 ≤ t ≤ t3
(
v 2 (t) = v22 − 2 g (y(t) − y2 ) −
v − Ẇ /(−m g sin α) 2 ẆR
ẆR
R
v − v2 +
ln −m g sin α
−g m sin α
v2 − ẆR /(−m g sin α)
)
Und damit für t = t3 die implizite Gleichung für die kinetische Energie:
√
√
Ekin,3
(
Ekin,3 −
√
ẆR
2/m ẆR √
= Ekin,2 − m g (y3 − y2 ) −
Ekin,3 − Ekin,2 + √
ln √
−g sin α
− 2 m g sin α
Ekin,2 −
√ ẆR
− 2 m g sin α
√ ẆR
− 2 m g sin α
)
Für kleine Reibleistung linearisieren wir diesen Ausdruck
√
Ekin,3
)
(
√
2/m ẆR √
≈ Ekin,2 − m g (y3 − y2 ) −
Ekin,3 − Ekin,2
−g sin α
Falls keine Reibung auftritt ist der Zuwachs an kinetischer Energie durch die Abnahme ann potentielle
Energie gegeben:
ẆR ≡0
Ekin,3 = Ekin,2 − m g (y3 − y2 )
c) Statt der Reibleistung steht auf diesem Wegabschnitt eine Netto-Antriebsleistung des Motors an den
Hinterrädern zur Verfügung, die zur Erhöhung der kinetischen Energie führt:
1
m (v 2 − v32 ) = −(Epot − Epot,3 ) + ẆA (t − t3 ) = −m g (y − y3 ) + ẆA (t − t3 ) für t3 ≤ t ≤ t4 . (∗ ∗ ∗)
2
oder
ẆA (t − t3 )
m
Und damit für t = t4 die implizite Gleichung für die kinetische Energie:
v 2 = v32 − 2 (y − y3 ) + 2
√
√
Ekin,4
(
Ekin,4 +
√
2/m ẆA √
ẆA
= Ekin,3 − m g (y4 − y3 ) +
Ekin,4 − Ekin,3 − √
ln √
−g sin α
− 2 m g sin α
Ekin,3 +
√ ẆA
− 2 m g sin α
√ ẆA
− 2 m g sin α
)
Die Gesamtleistung des Motors setzt sich aus der Antriebsleistung an den Hinterrädern und der Reibleistung
des Antriebsstranges zusammen:
ẆM,ges = ẆA + ẆR
4
d) Bei blockierenden Hinterrädern leisten die dort angreifenden Reibkräfte eine Bremsarbeit WB = −RB (x5 − x4 ). Die
an der Systemgrenze Gummi-Straße auftretende Reibwärme
soll an die Umgebung verloren gehen. Die Reibkräfte an den
mitrollenden Vorderrädern leisten nach wie vor keine Arbeit.
Wir erhalten:
1
2
m (v52
−
WB
v42 )
= −(Epot,5 − Epot,4 ) + WB = −RB (x5 − x4 )
Freischnitt (Bremsphase)
G
RB
Nh
dE
dt
Rv
dx
Nv
= −RB (x5 − x4 )
Die minimale Reibkraft, die nötig ist ergibt sich mit der Forderung v5 = 0 zu
RB,min =
m/2 v42 − m g (y5 − y4 )
.
(x5 − x4 )
Im Falle ansteigenden Geländes ist durch den Beitrag der potentiellen Energie eine kleinere Reibkraft nötig
als im ebenen Gelände oder auf einer Gefällestrecke.
Auf ebener Strecke y5 = y4 ergibt sich speziell:
RB,min =
m v42
2 (x5 − x4 )
bzw.
x5 − x4 =
m v42
2 RB,min
Die notwendige Haftreibung bzw. der Bremsweg steigen quadratisch mit der Geschwindigkeit.
Bei modernen Fahrzeugen wird durch ABS das vollständige Blockieren der Räder verhindert. Im idealisierten Fall tritt kein Schlupf zwischen Fahrbahn und Reifen auf, so dass die Reibkraft wieder keine Arbeit leistet.
Blockierender Räder:
Die kinetische Energie wird in Wärme an der Kontaktstelle zwischen Rädern und Fahrbahn umgewandelt.
Ideal rollende Rädern:
Die kinetische Energie wird wieder vollständig in Wärme umgewandelt, diesmal jedoch innerhalb des Systems, durch Reibung in den Bremsen.
Der Betrag an mechanischer Energie, der in Wärme Q45 umgewandelt wird, ist unabhängig von Ort der
Wämeentstehung in beiden Fällen equivalent zu RB (x5 − x4 ). Da bei ABS die Wärme schon im Inneren des
Bilanzsystems erzeugt wird, ist klar, dass die Reibkraft am Radumfang keine Arbeit leistet.
Im realen Fall tritt auch immer Reibwärme durch Schlupf mit der Fahrbahn auf. Die Summe der Reibleistungen ist dann durch Q45 immer noch festgelegt, die Aufteilung in die beiden Anteile hängt in komplizierter
Weise von vielen Details, wie der Deformierbarkeit der Reifen, der Gummimischung, der Fahrbahneschaffenheit usw. ab.
5