WS 2013/14 Diskrete Strukturen

WS 2013/14
Diskrete Strukturen
Prof. Dr. J. Esparza
Lehrstuhl für Grundlagen der
Softwarezuverlässigkeit und theoretische
Informatik
Fakultät für Informatik
Technische Universität München
http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws13/14
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Prädikatenlogik
– Die Korrekheit des Arguments
Wenn (alle X sind Y) und (Z ist ein X), dann (Z ist ein Y).
kann mit der Aussagenlogik nicht nachgewiesen werden.
– Intuitiver Grund: die Aussagenlogik formalisiert nur die
Begriffe „und“, „oder“, „nicht“, „wenn…dann“ aber nicht die
Begriffe „für alle“ oder „ist“. Die Korrekheit des Argumentes
hängt aber von den Letzten. Vergleiche:
• Wenn A und B dann C
• Wenn „alle A sind B“ und „C ist A“ dann „C ist B“
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– Prädikatenlogik: Aussagenlogik + „für alle“, „es gibt“ + „ist“
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Praktische Anwendungen der Prädikatenlogik
– Zur formalen Spezifikation komplexer Systeme.
– Zum automatischen Beweisen von Theoremen.
– Zur automatischen Verifikation von Programmen.
– Zur Spezifikation von Abfragen in Datenbanken.
– Und viele mehr.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Subjekte und Prädikate
– In dem Satz „Sokrates ist sterblich“ ist „Sokrates“ das Subjekt
(das Individuum, von dem etwas behauptet wird) und „sterblich“
das Prädikat (die Eigenschaft, die von dem Individuum behauptet
wird).
– In der Prädikatenlogik wird ein Prädikat als eine Abbildung (·)
von Individuen auf Aussagen, z.B.
( ) =“ ist-sterblich”
(wobei eine Variable ist, die mit Individuen instantiert wird).
– Aus logischer Sicht ist „Sokrates ist sterblich“ eine Abkürzung für
„das Individuum Sokrates hat die Eigenschaft, sterblich zu sein”.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Mehrstellige Prädikate
– Der Satz „Anna liebt Bernhard“ kann aus logischer
Sicht als Abkürzung für
„Anna hat die Eigenschaft, Bernhard-zu-lieben“
betrachten werden.
– Dann muss jedoch ein Prädikat für jedes Individuum
eingeführt werden: „Bernhard-zu-lieben“, „Cesarzu-lieben“, „Daniel-zu-lieben“, …
– Stattdessen wird „Anna liebt Bernhard“ als ein Satz
über das Paar (Anna, Bernhard) betrachtet. Das
Prädikat ist:
„das-erste-Individuum-liebt-das-zweite-Individuum“
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Mehrstellige Prädikate
– In der Prädikatenlogik wird das durch ein zweistelliges
Prädikat (·,·) modelliert.
– (·,·)bildet Paare von Individuen auf Aussagen ab, z.B.
( , ) = “ liebt ”(wobei , Variablen sind, die
mit den Individuen instantiert werden können).
– Prädikate höherer Arität sind auch möglich
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Funktionen
– In dem Satz „Die Mutter von Sokrates ist sterblich” ist
„Mutter von” eine Funktion, die jeden Mensch auf
seiner Mutter abbildet.
 In der Prädikatenlogik wird eine Funktion als eine
Abbildung (·)von Individuen auf Individuen , z.B.
( ) = „Mutter-von- ”
(wobei eine Variable ist, die mit den Individuen
instantiert werden kann).
– Funktionen können höhere Arität haben: z.B. im Satz
„Die Summe der Zahlen 3 und 5 ist 8” ist “Summe” eine
Funktion der Arität 2.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Prädikatenlogik
– Das Vokabular setzt sich aus folgenden Zeichenklassen
zusammen:
• (Individuen)variablen:
, , ,…
• Konstanten:
, , ,…
• Unäre Prädikatsymbole:
, , ,…
Binäre Prädikatsymbole:
, , , … usw.
• Unäre Funktionssymbole: , , ℎ , …
Binäre symbole:
, ,ℎ ,…
usw.
• Gleichheitssymbol:
=
• Logische Operatoren:
¬, ∧, ∨, →
• Quantoren:
∀ („für alle“), ∃ („es gibt“)
• Hilfssymbole:
(, )
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Prädikatenlogik
– Formationsregeln
Regel 0: jede Variable und jede Konstante ist ein Term.
Regel 1: sind , … , Terme, dann ist ( , … , ) ebenfalls
ein Term.
Regel 2: sind , … , Terme, dann ist ( , … , ) eine
Formel.
Regel 3: sind und Terme, dann ist = eine Formel.
Regel 4: ist eine Formel, dann ist auch ¬ eine Formel.
Regel 5: sind und Formeln, dann sind ( ∧ ), ( ∨ )
und ( → )ebenfalls Formeln.
Regel 6: ist x eine Variable und eine Formel, dann sind
∀ und ∃ ebenfalls Formeln
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Prädikatenlogik
– Formationsregeln
Regel 0: jede Variable und jede Konstante ist ein Term.
Regel 1: sind , … , Terme, dann ist ( , … , ) ebenfalls
ein Term.
Regel 2: sind , … , Terme, dann ist ( , … , ) eine
Formel.
Regel 3: sind und Terme, dann ist = eine Formel.
Regel 4: ist eine Formel, dann ist auch ¬ eine Formel.
Regel 5: sind und Formeln, dann sind ( ∧ ), ( ∨ )
und ( → )ebenfalls Formeln.
Regel 6: ist x eine Variable und eine Formel, dann sind
∀ und ∃ ebenfalls Formeln
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Prädikatenlogik
– Formationsregeln
Regel 0: jede Variable und jede Konstante ist ein Term.
Regel 1: sind , … , Terme, dann ist ( , … , ) ebenfalls
ein Term.
Regel 2: sind , … , Terme, dann ist ( , … , ) eine
Formel.
Regel 3: sind und Terme, dann ist = eine Formel.
Regel 4: ist eine Formel, dann ist auch ¬ eine Formel.
Regel 5: sind und Formeln, dann sind ( ∧ ), ( ∨ )
und ( → )ebenfalls Formeln.
Regel 6: ist x eine Variable und eine Formel, dann sind
∀ und ∃ ebenfalls Formeln
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Prädikatenlogik
– Formationsregeln
Regel 0: jede Variable und jede Konstante ist ein Term.
Regel 1: sind
, … , Terme, dann ist
( ,…, )
ebenfalls ein Term.
Regel 2: sind , … , Terme, dann ist ( , … , ) eine
Formel.
Regel 3: sind und Terme, dann ist = eine Formel.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Prädikatenlogik
– Formationsregeln
Regel 4: ist eine Formel, dann ist auch ¬ eine Formel.
Regel 5: sind und Formeln, dann sind
( ∧ ), ( ∨ )und ( → )ebenfalls Formeln.
Regel 6: ist x eine Variable und eine Formel, dann sind
∀ und ∃ ebenfalls Formeln
13
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe: Formeln oder Nicht-Formeln?
( )
∀ ( ( ) ∧
=
∀ ∃ ( =
( ))
( )
∀ ∃ ∀ (
(∀ ∧
∧
1(
∨ ¬
=
( , ))
∃ ( )
))
∀
(
1(
))
)
∃ 1( )
( , )
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∧
,
∨ ( )=
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Prädikatenlogik
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– Die Stelligkeit der Prädikat- und Funktionssymbolen
lassen wir oft weg. Wir nehmen an, dass alle
Vorkommisse eines Symbols dieselbe Stelligkeit haben.
Beispiel: ∀ ∀ (
, → ( , ))
Achtung: ∀ (
∧ ( , ))ist keine Formel!
– Manchmal lassen wir Klammern weg, oder fügen
welche hinzu. Dabei nehmen wir an, dass Quantoren
stärker als Konjunktion, Disjunktion und Implikation
binden:
∀ ∧ ( )ist die Formel ∀ ∧ ( )und
nicht ∀ (
∧ ( ))
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Prädikatenlogik
– Der Gültigkeitsbereich eines Vorkommens einer
Variablen in einer Formel ist die kleinste
Unterformel von der Gestalt ∀ oder ∃ ,
welche das Vorkommen enthält.
Wenn es diese Unterformel nicht gibt, dann ist der
Gültigkeitsbereich die Formel selbst.
– Im ersten Fall heisst das Vorkommen gebunden,
sonst ist das Vorkommen frei.
– Eine Formel ohne freie Vorkommnisse von
Variablen heisst geschlossen.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Prädikatenlogik
 Beispiele:
∃ ∧ ( )
Erstes Vorkommen von x ist gebunden, zweites frei.
∀ (
∧ ∃ (
∨ ( , )))
Die Formel ist geschlossen.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Prädikatenlogik
– Später werden wir definieren, wann zwei Formel
äquivalent sind.
– Es wird folgendes gelten: Jede Formel ist äquivalent
zu einer bereinigten Formel, in der
– keine Variable sowohl gebunden wie auch frei
vorkommt, und
– hinter allen vorkommenden Quantoren verschiedene
variablen stehen.
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– Meistens werden Formel in bereignigten Form
dargestellt. In diesem Fall kann man von freien und
gebundenen Variablen einer Formel sprechen.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe
Nicht- Formel
Formel
∀ ( )
∀ ∃ ( ( , ) ∨ ( , ))
∀ ,
→∃ ( , )
∀ ( )∨∀ ( , )
∀ (
∧ ∀ ( ))
→ ∃ ( , ( ))
∀ ∃ ( , ( ))
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Bereig. Formel
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Semantik der Prädikatenlogik: Intuition
– Die Semantik einer Formel ist die Funktion, die jede
mögliche „Welt“, die zur Formel „passt“, dem
Wahrheitswert der Formel (0 oder 1) in dieser „Welt“
zuordnet.
– Eine Welt, die zu = ∀ ( , )passt, und in der
wahr ist (meiner Meinung nach …).
• Die Individuen der Welt sind alle lebenden Schauspielerinnen.
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•
ist Emma Stone
•
( , )bedeutet „ ist mindestens so attraktiv wie “
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Semantik der Prädikatenlogik: Intuition
– Eine Welt, die zu = ∀ ( , ) passt, und in der
falsch ist (diesmal mit Sicherheit).
• Die Individuen der Welt sind die natürlichen Zahlen.
•
ist die 7
•
( , )bedeutet „ ist ein vielfaches von “
21
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Semantik der Prädikatenlogik: Intuition
– Eine Welt, die zu
= ∀ ( , )nicht passt.
• Die Individuen der Welt sind alle lebenden Schauspielerinnen.
• ( , )bedeutet „y ist mindestens so attraktiv wie “
– … und noch eine.
• Die Individuen der Welt sind die natürlichen Zahlen.
• ist die 0
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– Die Frage nach dem Wahrheitswert einer Formel in
einer Welt, die zur Formel nicht passt, ist sinnlos.
– Eine „passende Welt“ für ∀ ( , )muss der freien
Variable ein Individuum zuordnen.
(Das Individuum, auf das „zeigt“.)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Das Fachwort für „Welt“ ist Struktur.
– Eine Struktur besteht aus zwei Teilen:
• Eine nichtleere Menge , genannt Universum
(Wertebereich, Individuenbereich, Grundmenge,
Domäne, …)
„Die Menge aller Individuen der Welt“.
• Eine Interpretation .
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Die Interpretation ist eine partielle Funktion, die
• eine Variable einem Element von ,
• eine Konstante einem Element von ,
• ein -stelliges Prädikatsymbol einer Menge
⊆
, und
• ein -stelliges Funktionsymbol eine Funktion
:
→
zuordnet.
24
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Intuition:
ist das Individuum, auf dem die Variable „zeigt“
ist das Individuum mit dem Namen „ “
ist die Menge der Tupel von Individuen mit der
Eigenschaft
ist die Funktion mit dem Namen
– Beachte: PS kann extensional beschrieben werden,
wir zählen die Tupel von PS auf. Ähnlich für .
– Das Universum kann jedoch unendlich sein!
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Eine Struktur = ( , )passt zu einer Formel falls
die Interpretation für alle in vorkommenden
Prädikatsymbole, Konstanten, und freien Variablen
definiert ist.
• Beispiel:
sind.
passt zu ∀ ( , , )wenn
,
, und
definiert
– Die Semantik einer Formel ist eine Funktion [ ], die
jede Struktur , die zu passt, („jeder Welt“) einem
Wahrheitswert [ ]( ) zuordnet.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Beispiel: einige passende Strukturen für die Formel
∀ (
→ ∃ ( , ))
– Struktur S = ( , )
•
•
•
1
=ℕ
= { ∈ ℕ ∣ istgerade}
= { ,
∈ℕ ×ℕ ∣ +
– Struktur
•
•
•
=(
= 5}
, )
= {0, 1, 2}
2 = {0}
= ,
∈ 0, 1, 2 × 0, 1, 2
27
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≤
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Beispiel: einige passende Strukturen für die Formel
∀ (
→ ∃ ( , ))
– Struktur = ( , )
•
•
•
= die Menge M der Personen in diesem Hörsaal
= die Menge der Männer in diesem Hörsaal
,
∈ × ∣ istmindestenssoschlauwie }
3 = {
– Struktur S = (
•
•
•
, )
= { , }
= { }
= {( , ), ( , ), ( , )}
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Beispiel: einige passende Strukturen für die Formel
∀ (
→ ∃ ( , ))
– Struktur = ( , )
•
•
•
=ℕ
5 = ∅
5 = ∅
5
– Struktur
6
=(
, )
= die Menge der Fußballer, die am nächsten Sonntag
mindestens ein Tor in der 1. Bundesliga schießen werden
• 6 = { ∈ 6 ∣ spielt für Borussia Dortmund}
•
={ ,
∈
×
∣ 1und 2schießen am nächsten
Sonntag genau soviele Tore}
•
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Die Funktion [ ] ist folgendermaßen definiert in
Abhängigkeit von :
(1) Semantik der Formeln (
Sei = ( 1, … ,
1
=
0
falls
falls
,…,
).
,…,
,…,
∈
∉
(2) Semantik der Formeln =
=
1
=
0
):
falls
falls
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=
≠
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Die Funktion [ ] ist folgendermaßen definiert in
Abhängigkeit von :
(3) Semantik der Booleschen Operatoren: wie für die
Aussagenlogik. Z.B. sei = ( → )für Formeln
und :
1 falls
=
0 falls
= 0oder
= 1und
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=1
=0
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Die Funktion [ ] ist folgendermaßen definiert in
Abhängigkeit von :
(4) Semantik der Quantoren.
Sei ≔ die Struktur, die identisch mit ist, bis
auf die Tatsache, dass in ≔ die Variable auf
das Individuum „zeigt“, i.e., ≔ = d.
( kann nicht definiert sein oder auf ein anderes
Individuum „zeigen“.)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Die Funktion [ ] ist folgendermaßen definiert in
Abhängigkeit von :
(4.1) Semantik des Existenzquantors.
= ∃ für eine Formel .
1 fallsesein ∈ gibtmit:
=
0 fallsfüralle ∈ gilt:
Sei = ∃ ( ),
= { , },
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≔ =1
= 0
= { }
Wir haben [ ]( ) = 1, denn [ ( )](
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≔
≔
)=1
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Die Funktion [ ] ist folgendermaßen definiert in
Abhängigkeit von :
(4.2) Semantik des Allquantors.
= ∀ für eine Formel .
1 fallsfüralle ∈ gilt:
=
0 fallsesein ∈ gibtmit:
≔
= 1
≔ =0
Sei = ∀ ( ),
= { , },
={ }
Wir haben [ ]( ) = 0, denn [ ( )]( ≔ ) = 0
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Geschachtelte Quantoren
– Formel : ∀ ∃ ( , )
Struktur :
=ℕ
– Frage: ist
={ ,
∈ℕ ×ℕ ∣ <
(“ ( , ) bedeutet < ”)
wahr in ?
35
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}
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Geschachtelte Quantoren
– Formel : ∀ ∃ ( , )
Struktur :
=ℕ
={ ,
∈ℕ ×ℕ ∣ < }
(“ ( , ) bedeutet < ”)
– Frage: ist wahr in ?
– Ja. Intuitiv bedeutet in : “für jede Zahl gibt es
eine größere Zahl .”
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Geschachtelte Quantoren
– Formel : ∀ ∃ ( , )
Struktur :
=ℕ
={ ,
∈ℕ ×ℕ ∣ < }
(“ ( , ) bedeutet < ”)
– Frage: ist wahr in ?
 Wir zeigen [∀ ∃ ( , )]( ) = 1nach der Definition:
•
•
•
•
Es reicht zu zeigen: [∃ ( , )]( ≔ ) = 1für
Wir müssen also ein finden mit [ ( , )]( ≔ ,
D.h., wir müssen ein finden mit < .
Wir nehmen z.B. = + 1. Fertig.
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= 0,1,2, …
≔ ) = 1.
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Geschachtelte Quantoren
– Formel : ∃ ∀ ( , )
Struktur :
=ℕ
– Frage: ist
={ ,
∈ℕ ×ℕ ∣ <
(“ ( , ) bedeutet < ”)
wahr in ?
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}
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Geschachtelte Quantoren
– Formel : ∃ ∀ ( , )
Struktur :
=ℕ
={ ,
∈ℕ ×ℕ ∣ < }
(“ ( , ) bedeutet < ”)
– Frage: ist wahr in ?
– Nein. Intuitiv sagt in : “es gibt eine Zahl, die
größer ist als alle andere (sogar größer als sich
selbst!).”
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe.
Sei die Interpretation von ( , ) “ verlässt sich auf .” Welche
Formel gehört zu welchem Satz?
1.   ( , ) a. “Es gibt einen, der sich auf alle verlässt.”
2.   ( , ) b. “Jeder kann sich auf jemanden verlassen.”
3.   ( , ) c. “Auf jeden verlässt sich irgend jemand.”
4.   ( , ) d. “Es gibt einen, auf den sich alle verlassen.”
5.   ( , ) e. “Jeder verlässt sich auf alle”
40
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Prädikatenlogik in der Mathematik
41
Mathematiker mischen oft Notationen aus der Logik,
der Arithmetik und de Mengenlehre. Z.B. schreiben sie
∀ ∈ ℝ: ∃ ∈ ℝ: ⋅ = 1
 ∈ ℝ ist ein enstelliges Prädikat. Wir schreiben z.B.
( )
 ⋅ ist ein zweistelliges Funktionsymbol. Wir
schreiben z.B.
( , )
 ∃ ∈ ℝ: ist eine Abkürzung für ∃ (
∧ )
 ∀ ∈ ℝ: ist eine Abkürzung für ∀ (
→ )
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit, …
 Eine Formel F ist allgemeingültig wenn für jede Struktur , die zu
passt, gilt: [ ]( ) = 1.
 Eine Formel ist ein Widerspruch wenn für jede Struktur , die
zu passt, gilt: [ ]( ) = 0.
 Eine Formel ist erfüllbar wenn es eine Struktur gibt, die zu
passt, und [ ]( ) = 1erfüllt.
 Zwei Formeln und sind logisch äquivalent (symbolisch:
≡ ) genau dann, wenn für jede Struktur , die zu und zu
passt, gilt: [ ]( ) = [ ]( )
 folgt aus (symbolisch: ⊨ ) genau dann, wenn → gültig ist.
42t
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
•
-Tautologien, -Widersprüche, …
 Sei eine Menge von Strukturen. Eine Formel ist -gültig,
wenn für alle Strukturen ∈ gilt : [ ]( ) = 1.
 Sei
eine Konstante und sei
ℎ ein einstelliges
Funktionssymbol.
 Sei N die Menge aller Strukturen = ( , )mit
•
=ℕ
•
•
=0
ℎ
=
+ 1
• ( kann für andere Konstanten und Prädikatensymbolen
beliebig definiert sein)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit, …
 ∃ =
ℎ(
)ist nicht gültig, aber N-gültig.
 Das Induktionsprinzip ist die Formel:
(
∧∀ → (
ℎ
→∀ ( )
 In allen Strukturen aus N „sagt“ diese Formel:
Wenn 0 die Eigenschaft hat, und
für alle Zahlen gilt: wenn die Eigenschaft
auch + 1 die Eigenschaft ,
dann haben alle Zahlen die Eigenschaft
hat, dann hat
 Das Induktionsprinzip ist nicht gültig, aber N-gültig.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln für Quantoren
– De Morgan’s:
¬∀ ≡ ∃ ¬
¬¬∃ ≡ ∀ ¬
– Kommutativität:
∀ ∀ ≡∀ ∀ ∃ ∃ ≡∃ ∃ – Distributivität:
∀ ∧
≡ ∀ ∧∀ ∃ ∨
≡∃ ∨∃ – Falls in nicht
∃ ∧
≡∃ ∧
frei vorkommt:
∃ ∨
≡∃ ∨ ∀ ∧
≡∀ ∧ ∀ ∨
≡∀ ∨
45
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Das Kalkül enthält alle Regeln des Kalküls für die
Aussagenlogik plus vier Regeln für die Einführung und
Beseitigung von Quantoren.
– Sei eine Formel und eine Konstante. Mit [ / ]
bezeichnen wir die Formel, die man erhält, in dem alle
FREIEN Vorkommnisse von in durch ersetzt werden
– Beispiele:
=∀ , 1[ / ] = ∀ ( , )
∧ ∀ ( ) 2[ / ] = ∧∀ ( )
2 =
3 = ∀ 3[ / ] = ∀ ( )
45
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Allquantoreinführung.
Für jede Sequenz , Variable , Formel und
für jede Konstante , die weder in noch in
vorkommt:
├ [ / ]
├∀ – Intuition: um ∀ zu zeigen, zeige, dass [ / ] für
ein beliebiges gilt.
47
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Allquantorbeseitigung.
Für jede Sequenz , Variable , Formel
für jede Konstante :
und
├∀ ├ [ / ]
– Intuition: wenn ∀ gilt, dann gilt auch
ein beliebiges .
48
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[ / ] für
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Existenzquantorbeseitigung.
Für jede Sequenz , Variable , Formel und
für jede Konstante , die weder in noch in noch in
vorkommt :
├∃ 49
, [ / ]├
├
– Intuition: Wir wählen einen frischen Namen für “das
, für das gilt”, und zeigen, dass aus [ / ] folgt.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Existenzquantoreinführung.
Für jede Sequenz , Variable , Formel
für jede Konstante :
und
├ [ / ]
├∃ – Intuition: um ∃ zu beweisen, finde einen , für
den [ / ] gilt.
50
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Kapitel II – Grundlagen; Beweise
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Beispiel:
Zeige, dass aus den zwei Annahmen
• “Jemand in dieser Vorlesung weiss nicht, wer
Harry Potter ist“
• “Alle in dieser Vorlesung haben die Prüfung
bestanden“
folgendes folgt:
• “Es gibt jemanden, der die Prüfung bestanden
hat und nicht weiss, wer Harry Potter ist“.
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Kapitel II – Grundlagen; Beweise
• Inferenzregeln für Quantoren
– Sei S = (
, ) die Struktur mit
= alle Menschen,
= Studenten dieser Vorlesung,
= Menschen, die Harry Potter kennen,
= Menschen, die die Prüfung bestanden haben.
– In dieser Struktur sind die Annahmen :
(a) ∃ (
∧ ¬ ( ))und (b) ∀ (
– Die Konklusion ist ∃ (
∧ ¬ ( ))
– Wir zeigen: ⊢ ∃ (
∧ ¬ ( ))
52
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→ ( ))
Kapitel II – Grundlagen; Beweise
• Inferenzregeln für Quantoren
Schritt
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
A, V(a) Æ : H(a)
A, V(a) Æ : H(a)
A, V(a) Æ : H(a)
A, V(a) Æ : H(a)
A, V(a) Æ : H(a)
A, V(a) Æ : H(a)
A, V(a) Æ : H(a)
A, V(a) Æ : H(a)
A
A
Bewiesen durch
` V(a) Æ : H(a)
` V(a)
` ∀x (V(x) \→ P(x))
` V(a) → P(a)
` P(a)
` H(a)
` P(a)  H(a)
` ∃x (P(x)  H(x))
` x (V(x)  H(x))
` x (P(x)  H(x))
53
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An.
Kon.Bes.
An. (b)
All.Bes.
Imp.Bes
Kon.Bes.
Kon.Ein.
Exi.Ein.
An. (a)
Exi.Ein.
1
3
2,4
1
5,6
8,9
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Aussagen werden durch eine Formel und eine
Basisstruktur formalisiert.
– Die Struktur legt die Bedeutung der Prädikate fest, die
man für allgemein bekannt hält.
– Die Namen der Prädikate werden so gewählt, dass sie
ihre Bedeutung in der Basisstruktur suggerieren. Oft
wird dann die Basisstruktur nicht explizit angegeben.
– Wir betrachten folgendes Beispiel:
„Für jede Zahl gibt es eine größere Primzahl“
(es gibt unendlich viele Primzalen)
54
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Wenn die Prädikate „Primzahl“ und „größer“ bekannt
sind, dann wird die Aussage formalisiert durch:
Formel: ∀ ∃ (
∧ ( , ))
Basisstruktur:
= ℕ,
= { ∈ ℕ| istPrimzahl}
= { ,
∈ ℕ×ℕ∣ > }
– Und wenn die Bedeutung von „Primzahl“ nicht allgemein
bekannt ist?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Wenn die Prädikate „Primzahl“ und „größer“ bekannt
sind, dann wird die Aussage formalisiert durch:
Formel: ∀ ∃ (
∧ ( , ))
Basisstruktur:
= ℕ,
= { ∈ ℕ| istPrimzahl}
= { ,
∈ ℕ×ℕ∣ > }
– Und wenn die Bedeutung von „Primzahl“ nicht allgemein
bekannt ist?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Wenn die Bedeutung von „teilt“ bekannt ist, dann kann das
Prädikat Primzahl durch eine Formel definiert werden:
∀ (
↔ ∀ (
,
→( =
∨
=
))
– Die Basisstruktur fixiert nun die Bedeutung des Prädikaten
, und der Konstante
.
= { ,
∈ ℕ| }
= 1
– Und wenn die Bedeutung von „Teilt“ nicht allgemein bekannt
ist?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Wenn die Bedeutung von „teilt“ bekannt ist, dann kann das
Prädikat Primzahl durch eine Formel definiert werden:
∀ (
↔ ∀ (
,
→( =
∨
=
))
– Die Basisstruktur fixiert nun die Bedeutung des Prädikaten
, und der Konstante
.
= { ,
∈ ℕ| }
= 1
– Und wenn die Bedeutung von „Teilt“ nicht allgemein bekannt
ist?
58
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Wenn die Bedeutung von „Produkt“ bekannt ist, dann
wird „teilt“ durch folgende Formel definiert:
∀ ∀ (
, →∃ =
( , ))
– Die Basisstruktur fixiert die Bedeutung von
und
.
,
= ⋅
= 1
– Und wenn die Bedeutung von „Produkt“ nicht allgemein
bekannt ist?
59
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Wenn die Bedeutung von „Produkt“ bekannt ist, dann
wird „teilt“ durch folgende Formel definiert:
∀ ∀ (
, →∃ =
( , ))
– Die Basisstruktur fixiert die Bedeutung von
und
.
,
= ⋅
= 1
– Und wenn die Bedeutung von „Produkt“ nicht allgemein
bekannt ist?
60
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Wenn die Bedeutung von „Summe“ und „Nachfolger“
bekannt ist, dann kann das Produkt so definiert werden:
⋅1=
⋅
ℎ( ) =
⋅
+
– Diese Definition kann mit der folgenden Formeln
formalisiert werden:
∀ ∀ ∀ ∀ ( =
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=
,
ℎ
↔ (
∧
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=
,
∧ =
,
))
∨
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Die Basistruktur fixiert nun die Bedeutung von
ℎ, und
.
s
,
ℎ
= +
=
+1
= 1
– Und wenn die Definition von Summe nicht
allgemein bekannt ist?
62
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,
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Die Basistruktur fixiert nun die Bedeutung von
ℎ, und
.
s
,
ℎ
= +
=
+1
= 1
– Und wenn die Definition von „Summe“ nicht
allgemein bekannt ist?
63
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,
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Die „Summe“ kann mit Hilfe von „Vorgänger“ und
„Nachfolger“ so definiert werden:
+1=
ℎ
+
ℎ
=
ℎ
+
Diese Definition wird durch die folgende Formeln formalisiert:
∀ ∀ ∀ ( =
( =
ℎ
∧ =
,
↔ ( =
ℎ
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∧
,
))
=
ℎ
) ∨
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Zusammenfassung Prädikatenlogik
– Erweiterung der Aussagenlogik
• Individuenvariablen und Konstanten
• Prädikate (mehrstellig)
• Quantoren
– Semantik mit Hilfe von Strukturen
– Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit, Äquivalenz
– Äquivalenzregeln
– Formalisierung von Aussagen
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