Computer Graphics

WS 2009/10
Diskrete Strukturen
Prof. Dr. J. Esparza
Lehrstuhl für Grundlagen der
Softwarezuverlässigkeit und theoretische
Informatik
Fakultät für Informatik
Technische Universität München
http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Kapitel II - Grundlagen
• Mathematische und notationelle Grundlagen
–
–
–
–
–
Mengen
Relationen und Abbildungen
Aussagen- und Prädikatenlogik
Beweismethoden
Wachstum von Funktionen
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 09/10
Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Prädikatenlogik
– Die Korrekheit des Arguments
Wenn (alle X sind Y) und (Z ist ein X), dann (Z ist ein Y).
kann mit der Aussagenlogik nicht nachgewiesen werden.
– Intuitiver Grund: die Aussagenlogik formalisiert nur die
Begriffe „und“, „oder“, „nicht“, „wenn…dann“ aber nicht die
Begriffe „für alle“ oder „ist“. Die Korrekheit des Argumentes
hängt aber von den Letzten. Vergleiche:
• Wenn A und B dann C
• Wenn „alle A sind B“ und „C ist A“ dann „C ist B“
– Prädikatenlogik: Aussagenlogik + „für alle“, „es gibt“ + „ist“
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Praktische Anwendungen der Prädikatenlogik
–
–
–
–
–
Zur formalen Spezifikation komplexer Systeme.
Zum automatischen Beweisen von Theoremen.
Zur automatischen Verifikation von Programmen.
Zur Spezifikation von Abfragen in Datenbanken.
Und viele mehr.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Subjekte und Prädikate
– In dem Satz “Sokrates ist sterblich” ist “Sokrates” das Subjekt
(das Individuum, von dem etwas behauptet wird) und
“sterblich” das Prädikat (die Eigenschaft, die von dem
Individuum behauptet wird).
– In der Prädikatenlogik wird ein Prädikat als eine Abbildung
P(·) modelliert.
– P(·) bildet Individuen auf Aussagen ab, z.B. P(x) = “x iststerblich” (wobei x eine Variable ist, die mit den Individuen
instantiert werden kann).
– Aus logischer Sicht: “Sokrates ist sterblich” ist eine
Abkürzung für “das Individuum Sokrates hat die Eigenschaft,
sterblich zu sein”.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Mehrstellige Prädikate
– Der Satz „Anna liebt Bernhard“ kann aus logischer Sicht als
Abkürzung für
„Anna hat die Eigenschaft, Bernhard-zu-lieben“
betrachten werden.
– Dann muss jedoch ein Prädikat für jedes Individuum
eingeführt werden: „Bernhard-zu-lieben“, „Cesar-zu-lieben“,
„Daniel-zu-lieben“, …
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Mehrstellige Prädikate
– Stattdessen wird „Anna liebt Bernhard“ als ein Satz über das
Paar (Anna, Bernhard) betrachtet. Das Prädikat ist:
„das-erste-Individuum-liebt-das-zweite-Individuum“
– In der Prädikatenlogik wird das durch ein zweistelliges
Prädikat P(·,·) modelliert.
– P(·, ·) bildet Paare von Individuen auf Aussagen ab, z.B. P(x,y)
= “x liebt y” (wobei x, y Variablen sind, die mit den
Individuen instantiert werden können).
– Prädikate höherer Arität sind auch möglich
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Prädikatenlogik
– Das Vokabular setzt sich aus folgenden Zeichenklassen
zusammen:
• (Individuen)variablen:
• Konstanten:
• Unäre Prädikatsymbole:
Binäre Prädikatsymbole:
…
x, y, z, …
a, b, c, …
P1, Q1, R1, …
P2, Q2, R2, …
• Gleichheitssymbol:
=
• Logische Operatoren:
• Quantoren:
• Hilfssymbole:
, , ,
8 („für alle“), 9 („es gibt“)
(, )
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Prädikatenlogik
– Formationsregeln
Regel 0: eine Zeichenkette Pn(u1, …, un) , wobei u1, …, un
Variablen oder Konstanten sind, ist eine Formel.
Regel 1: sind u und v Variablen oder Konstanten, dann ist
u=v eine Formel.
Regel 2: ist F eine Formel, dann ist auch F eine Formel.
Regel 3: sind F und G Formeln, dann sind (F G), (F G)
und (F G) ebenfalls Formeln.
Regel 4: ist x eine Variable und F eine Formel, dann sind
8x F und 9x F ebenfalls Formeln
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe: Formeln oder Nicht-Formeln?
P1(x)
x
8x (x Æ P1(x))
8x 9y (x=y Ç : Q1(y))
x = P1(x)
8x P1(x) = Q1(x)
9x 8x (P1(x) Æ Q2(x,b))
9x
(8x P1(a) Æ Q1(a))
9 P1 8x P1(x)
P1(x, y)
((P1(x) Æ Q2(a, y)) ) x=y)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Prädikatenlogik
– Die Stelligkeit der Prädikatsymbolen lassen wir oft weg. Wir
nehmen an, dass alle Vorkommisse eines Prädikatsymbols
dieselbe Stelligkeit haben.
Beispiel: 8x 8y (P(x,y) ) P(y,x))
Achtung: 8x (P(x) Æ : P(x,x)) ist keine Formel!
– Manchmal lassen wir Klammern weg, oder fügen welche
hinzu. Dabei nehmen wir an, dass Quantoren stärker als
Konjunktion, Disjunktion und Implikation binden:
8x P(x) Æ Q(y) ist die Formel ((8x P(x)) Æ Q(y)) und nicht
8x (P(x) Æ Q(y))
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Prädikatenlogik
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– Der Gültigkeitsbereich eines Vorkommens einer Variablen x in
einer Formel F ist die kleinste Unterformel von F der Gestalt 8x G
oder 9x G, welche das Vorkommen enthält. Wenn es diese
Unterformel nicht gibt, dann ist der Gültigkeitsbereich die Formel
F selbst.
– Im ersten Fall heisst das Vorkommen gebunden, sonst ist das
Vorkommen frei. Eine Formel ohne freie Vorkommnisse von
Variablen heisst geschlossen.
Beispiele:
x P(x) Q(x)
Erstes Vorkommen von x ist gebunden, zweites frei.
x (P(x) ) y (P(y) Q(x,y) ) )
Die Formel ist geschlossen.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Prädikatenlogik
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– Später werden wir definieren, wann zwei Formel äquivalent
sind.
– Es wird folgendes gelten: Jede Formel ist äquivalent zu einer
bereinigten Formel, in der
– keine Variable sowohl gebunden wie auch frei
vorkommt, und
– Hinter allen vorkommenden Quantoren verschiedene
variablen stehen.
– Meistens werden Formel in bereignigten Form dargestellt. In
diesem Fall kann man von freien und gebundenen Variablen
einer Formel sprechen.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe
Nicht-Formel
Formel
8x P(a)
8x9y (P(x,y) Ç Q(x,y))
8x Q(x,x) ) 9x Q(x,y)
8x P(x) Ç 8x Q(x,x)
8x (P(x) Æ 8y P(x))
P(x) ) 9x Q(x, P(x))
8x9x P(x,x)
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Gesch. Formel
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Semantik der Prädikatenlogik: Intuition
– Die Semantik einer Formel ist die Funktion, die jede
mögliche „Welt“, die zur Formel „passt“, dem Wahrheitswert
der Formel (0 oder 1) in dieser „Welt“ zuordnet.
– Eine Welt, die zu F = 8x P(a, x) passt, und in der F wahr ist
(meiner Meinung nach …).
• Die Individuen der Welt sind alle lebenden Schauspielerinnen.
• a ist Nicole Kidman
• P(y, x) bedeutet „y ist mindestens so schön wie x“
– Eine Welt, die zu F = 8x P(a, x) passt, und in der F falsch ist
(diesmal mit Sicherheit).
• Die Individuen der Welt sind die natürlichen Zahlen.
• a ist die 7
• P(y, x) bedeutet „y ist ein vielfaches von x“
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Semantik der Prädikatenlogik: Intuition
– Eine Welt, die zu F = 8x P(a, x) nicht passt.
• Die Individuen der Welt sind alle lebenden Schauspielerinnen.
• P(y, x) bedeutet „y ist mindestens so schön wie x“
– … und noch eine.
• a ist die 0
• P(y, x) bedeutet „y · x“
– Die Frage nach dem Wahrheitswert einer Formel in einer
Welt, die zur Formel nicht passt, ist sinnlos.
– Eine „passende Welt“ für 8x P(y, x) muss der freien Variable
y ein Individuum zuordnen.
(Das Individuum, auf das y „zeigt“.)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Das Fachwort für „Welt“ ist Struktur.
– Eine Struktur S besteht aus zwei Teilen:
• Eine Menge US, genannt Universum
(Wertebereich, Individuenbereich, Grundmenge, Domäne, …)
„Die Menge aller Individuen der Welt“.
• Eine Interpretation IS.
– Die Interpretation IS ist eine partielle Funktion, die
• eine Variable x einem Element xS von U,
• eine Konstante a einem Element aS von U, und
• ein k-stelliges Prädikatsymbol P einer Menge PS µ Uk
zuordnet.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Intuition:
xS ist das Individuum, auf dem die Variable x „zeigt“
aS ist das Individuum mit dem Namen „a“
PS ist die Menge der Tupel von Individuen mit der
Eigenschaft P
– Beachte: PS kann extensional beschrieben werden, wir
zählen die Tupel von PS auf.
– Das Universum kann unendlich sein!
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Eine Struktur S = (US , IS) passt zu einer Formel F falls die
Interpretation IS für alle in F vorkommenden
Prädikatsymbole, Konstanten, und freien Variablen definiert
ist.
• Beispiel: S passt zur Formel 8x P(x,a,y) wenn aS, yS, und PS
definiert sind.
– Die Semantik einer Formel F ist eine Funktion [F], die jede
Struktur S, die zu F passt, („jeder Welt“) einem
Wahrheitswert [F](S) zuordnet.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Beispiel: einige passende Strukturen für die Formel
8x (P(x) ) 9y Q(x, y))
– Struktur S1 = (U1, I1)
• U1 = N0
• P1 = { n 2 N0 j n ist gerade }
• Q1 = { (n, m) 2 N0 £ N0 j n+m = 5 }
– Struktur S2 = (U2, I2)
• U2 = { 0, 1, 2 }
• P2 = {0}
• Q2 = { (n, m) 2 {0, 1, 2} £ {0, 1 ,2} j n · m }
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Beispiel: einige passende Strukturen für die Formel
8x (P(x) ) 9y Q(x, y))
– Struktur S3 = (U3, I3)
• U3 = die Menge M der Personen in diesem Hörsaal
• P3 = die Menge der Männer in diesem Hörsaal
• Q3 = { (n, m) 2 M £ Mj n ist mindestens so schlau wie m}
– Struktur S4 = (U4, I4)
• U4 = { a, b }
• P4 = { a }
• Q4 = { (a, b), (b, a), (b, b) }
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Beispiel: einige passende Strukturen für die Formel
8x (P(x) ) 9y Q(x, y))
– Struktur S5 = (U5, I5)
• U5 = ;
• P5 = ;
• Q5 = ;
– Struktur S6 = (U6, I6)
• U6 = die Menge der Fußballer, die am nächsten Sonntag mindestens
ein Tor in der 1. Bundesliga schießen werden
• P6 = { f 2 U6 j f spielt für Werder Bremen}
• Q6 = { (f1, f2) 2 U6 £ U6 j f1 und f2 schießen am nächsten Sonntag
genau soviele Tore}
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in
Abhängigkeit von F:
(1) Semantik der Formeln P(u1, …, un):
F = P(u1, …, un).
[F ](S) =
½
1
0
falls (u1S ; : : : ; unS ) 2 PS
falls (u1S ; : : : ; unS ) 2
= PS )
(2) Semantik der Booleschen Operatoren: wie für die
Aussagenlogik. Z.B. wenn F = (G ) H) für Formeln F und G:
[F ](S) =
½
1
0
falls [G](S) = 0 oder [H](S) = 1
falls [G](S) = 1 und [H](S) = 0
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in
Abhängigkeit von F:
(3) Semantik der Quantoren.
Sei Sx:=d die Struktur, die identisch mit S ist, bis auf die
Tatsache, dass in Sx:=d die Variable x auf das Individuum d
„zeigt“, i.e., Sx:=d(x) = d.
(xS kann nicht definiert sein oder auf ein anderes
Individuum „zeigen“.)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in
Abhängigkeit von F:
(3.1) Semantik des Existenzquantors.
F = 9x G für eine Formel G.
[F ](S) =
½
1
0
falls es ein d 2 US gibt mit: [G](Sx:=d) = 1
falls fÄ
ur alle d 2 US gilt: [G](Sx:=d) = 0
Beispiel: Sei F = 9x P(x), US={a,b}, PS = {a}
Wir haben [F](S)=1, denn [P(x)](Sx:=a)=1
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Prädikatenlogik
– Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in
Abhängigkeit von F:
(3.2) Semantik des Allquantors.
F = 8x G für eine Formel G.
[F ](S) =
½
1
0
falls fÄ
ur alle d 2 US gilt: [G](Sx:=d) = 1
falls es ein d 2 US gibt mit: [G](Sx:=d) = 0
Beispiel: Sei F = 8x P(x), US={a,b}, P_S = {a}
Wir haben [F](S)=0, denn [P(x)](Sx:=b)=0
Achtung: Wenn US = ;, dann [8x G](S) = 1
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Geschachtelte Quantoren
– Formel F:
Struktur S:
8x 9y P(x,y)
US = N0
PS = {(n,m) 2 N0 £ N0 j n < m}
(“P(x,y) bedeutet x < y”)
– Frage: ist F wahr in S?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Geschachtelte Quantoren
– Formel F:
Struktur S:
8x 9y P(x,y)
US = N0
PS = {(n,m) 2 N0 £ N0 j n < m}
(“P(x,y) bedeutet x < y”)
– Frage: ist F wahr in S?
– Ja. Intuitiv bedeutet F in S: “für jede Zahl x gibt es eine
größere Zahl y.”
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Geschachtelte Quantoren
– Formel F:
Struktur S:
8x 9y P(x,y)
US = N0
PS = {(n,m) 2 N0 £ N0 j n < m}
(“P(x,y) bedeutet x < y”)
Wir zeigen [8x 9y P(x,y)](S) = 1 nach der Definition:
• Es reicht zu zeigen: [9y P(x,y)](Sx:=d) = 1 für d=0,1,2, …
• Wir müssen also ein e finden mit [P(x,y)](Sx:=d,y:=e) = 1.
• D.h., wir müssen ein e finden mit d < e.
• Wir nehmen z.B. e = d+1. Fertig.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Geschachtelte Quantoren
– Formel G:
Struktur S:
9y 8x P(x,y)
US = N0
PS = { (n,m) 2 N0 £ N0 j n < m }
(“P(x,y) bedeutet x < y”)
– Frage: ist G wahr in S?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Geschachtelte Quantoren
– Formel G:
Struktur S:
9y 8x P(x,y)
US = N0
PS = { (n,m) 2 N0 £ N0 j n < m }
(“P(x,y) bedeutet x < y”)
– Frage: ist G wahr in S?
– Nein. Intuitiv sagt G in S: “es gibt eine Zahl, die größer ist als
alle andere (sogar größer als sich selbst!).”
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe.
Sei die Interpretation von R(x,y) “x verlässt sich auf y.” Welche
Formel gehört zu welchem Satz?
1.
x y R(x,y) a. “Es gibt einen, der sich auf alle verlässt.”
2.
y x R(x,y) b. “Jeder kann sich auf jemanden verlassen.”
3.
x y R(x,y) c. “Auf jeden verlässt sich irgend jemand.”
4.
y x R(x,y) d. “Es gibt einen, auf den sich alle verlassen.”
5.
x y R(x,y) e. “Jeder verlässt sich auf alle”
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit, …
33t
Eine Formel F ist allgemeingültig wenn für jede Struktur S,
die zu F passt, gilt: [F](S)=1.
Eine Formel F ist ein Widerspruch wenn für jede Struktur S,
die zu F passt, gilt: [F](S)=0.
Eine Formel F ist erfüllbar wenn es eine Struktur S gibt, die
zu F passt, und [F](S)=1 erfüllt.
Zwei Formeln F und G sind logisch äquivalent (symbolisch:
F ´ G) genau dann, wenn für jede Struktur S, die zu F und zu
G passt, gilt: [F](S) = [G](S)
F folgt aus G (symbolisch: F ² G) genau dann, wenn F ) G
gültig ist.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• S-Tautologien, S-Widersprüche, …
Sei S eine Menge von Strukturen. Eine Formel ist S-gültig,
wenn für alle Strukturen S 2S gilt: [F](S) = 1.
Sei null eine Konstante und sei Nach ein zweistelliges
Prädikatensymbol.
Sei N die Menge aller Strukturen S = (US, IS) mit
• US = N0
• nullS = 0
• NachS = { (n, n+1) j n 2 N0}
(IS kann für andere Konstanten und Prädikatensymbolen
beliebig definiert sein)
34t
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit, …
: 9x Nach(x,null) ist nicht gültig, aber N-gültig.
Das Induktionsprinzip ist die Formel:
(P(null) Æ 8y8z (P(y) Æ Nach(y,z) ) P(z)) ) 8x P(x)
In allen Strukturen aus N „sagt“ diese Formel:
Wenn 0 die Eigenschaft P hat, und
für alle Zahlen n gilt: wenn n die Eigenschaft P hat, dann
hat auch n+1 die Eigenschaft P,
dann haben alle Zahlen die Eigenschaft P
(in verschiedenen Strukturen aus N kann P verschiedene
Bedeutungen haben!.
Das Induktionsprinzip ist nicht gültig, aber N-gültig.
35t
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln für Quantoren
– De Morgan’s:
– Kommutativität:
– Distributivität:
– Falls x in G nicht
frei vorkommt:
: 8x F ´
: 9x F ´
8x8y F ´
9x9y F ´
8x (F Æ G) ´
9x (F Ç G) ´
9x (F Æ G) ´
8x (F Ç G) ´
36t
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9x : F
8x : F
8y8x F
9y9x F
8x F Æ 8x G
9x F Ç 9x G
9x F Æ G
8x F Ç G
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Das Kalkül enthält alle Regeln des Kalküls für die
Aussagenlogik plus vier Regeln für die Einführung und
Beseitigung von Quantoren.
– Sei F eine Formel und sei a eine Konstante. Mit F[x/a]
bezeichnen wir die Formel, die man erhält, in dem alle
FREIEN Vorkommnisse von x in F durch a ersetzt werden
– Beispiele: F1 = 8y Q(x, y)
F1[x/a] = 8y Q(a, y)
F2 = P(x) Æ 8x Q(x) F2[x/a] = P(a) Æ 8x Q(x)
F3 = 8x P(x)
F3[x/a] = 8x P(x)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Allquantorbeseitigung.
Für jede Sequenz A, Variable x, Formel F und
für jede Konstante a:
A ` 8x F
__________
A ` F[x/a]
– Intuition: wenn 8x F gilt, dann gilt auch F[x/a] für ein
beliebiges a.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Allquantoreinführung.
Für jede Sequenz A, Variable x, Formel F und
für jede Konstante a, die weder in A noch in F vorkommt:
A ` F[x/a]
__________
A ` 8x F
– Intuition: um 8x F zu zeigen, zeige, dass F[x/a] für ein
beliebiges a gilt.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Existenzquantorbeseitigung.
Für jede Sequenz A, Variable x, Formel F und
für jede Konstante a, die weder in A noch in F noch in G
vorkommt :
A ` 9x F
A, F[x/a] ` G
_______________________
A`G
– Intuition: wir wissen, dass 9x F aus den Annahmen folgt, und
wollen G zeigen. Wir wählen einen frischen Namen a für “das x,
für das F gilt”, und zeigen, dass G aus F[x/a] folgt.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Existenzquantoreinführung.
Für jede Sequenz A, Variable x, Formel F und
für jede Konstante a:
A ` F[x/a]
__________
A ` 9x F
– Intuition: um 9x F zu beweisen, finde einen a, für den F[x/a]
gilt.
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Kapitel II – Grundlagen; Beweise
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Beispiel:
Zeige, dass aus den zwei Annahmen
“Ein Student in dieser Vorlesung hat das Buch von
Steger nicht gelesen“
“Jeder in dieser Vorlesung hat die Prüfung bestanden“
folgendes folgt:
“Es gibt jemanden, der die Prüfung bestanden hat und
das Buch von Steger nicht gelesen hat“.
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Kapitel II – Grundlagen; Beweise
• Inferenzregeln für Quantoren
– Sei S=(US, IS) die Struktur mit
US = alle Menschen,
VS = Studenten dieser Vorlesung,
BS = Menschen, die das Buch gelesen haben,
PS = Menschen, die die Prüfung bestanden haben.
– In dieser Struktur sind die Annahmen A :
(a) x (V(x)
B(x)) und (b) x (V(x) P(x))
– Die Konklusion ist x (P(x)
B(x))
– Wir zeigen: A ` x (P(x)
B(x))
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Kapitel II – Grundlagen; Beweise
• Inferenzregeln für Quantoren
Schritt
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
A, V(a) Æ : B(a)
A, V(a) Æ : B(a)
A, V(a) Æ : B(a)
A, V(a) Æ : B(a)
A, V(a) Æ : B(a)
A, V(a) Æ : B(a)
A, V(a) Æ : B(a)
A, V(a) Æ : B(a)
A
A
Bewiesen durch
` V(a) Æ : B(a)
` V(a)
` 8x (V(x) ) P(x))
` V(a) ) P(a)
` P(a)
` B(a)
` P(a)
B(a)
` 9x (P(x)
B(x))
` x (V(x)
B(x))
` x (P(x)
B(x))
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An.
Kon.Bes.
An. (b)
All.Bes.
Imp.Bes
Kon.Bes.
Kon.Ein.
Exi.Ein.
An. (a)
Exi.Ein.
1
3
2,4
1
5,6
8,9
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Aussagen werden durch eine Formel und eine Basisstruktur
formalisiert.
– Die Struktur legt die Bedeutung der Prädikate fest, die man
für allgemein bekannt hält.
– Die Namen der Prädikate werden so gewählt, dass sie ihre
Bedeutung in der Basisstruktur suggerieren. Oft wird dann
die Basisstruktur nicht explizit angegeben.
– Wir betrachten folgendes Beispiel:
„Für jede Zahl gibt es eine größere Primzahl“
(es gibt unendlich viele Primzalen)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Wenn die Prädikate „Primzahl“ und „größer“ bekannt sind,
dann wird die Aussage formalisiert durch:
Formel: 8x 9y (Primzahl(y) Æ Größer(y, x))
Basisstruktur: US = N,
PrimzahlS = { n 2 N0 | n ist Primzahl}
Größers = { (n, m) 2 N0 £ N0 j n > m}
– Und wenn die Bedeutung von „Primzahl“ nicht allgemein
bekannt ist?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Wenn die Bedeutung von „teilt“ bekannt ist, dann kann das
Prädikat Primzahl durch eine Formel definiert werden:
8x (Primzahl(x) , 8y (Teilt(y, x) ) (y=x Ç y=eins))
– Die Basisstruktur fixiert nun die Bedeutung des Prädikaten
Teilt, und der Konstante eins.
TeiltS = { (n, m) 2 N0 | n teilt m}
einsS = 1
– Und wenn die Bedeutung von „Teilt“ nicht allgemein bekannt
ist?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Wenn die Bedeutung von „Produkt“ bekannt ist, dann wird
„teilt“ durch folgende Formel definiert:
8x 8y (Teilt(x,y) , 9z Produkt (x,z,y))
– Die Basisstruktur fixiert die Bedeutung von Produkt und eins.
ProduktS = { (n, m, l) 2 N0 £ N0 £ N0 j n ¢ m = l }
einsS = 1
– Und wenn die Bedeutung von „Produkt“ nicht allgemein
bekannt ist?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Wenn die Bedeutung von „Summe“ und „Vorgänger“
bekannt ist, dann kann das Produkt so definiert werden:
x¢y =
½
0
falls y = 0
x ¢ vor(y) + x falls y 6= 0
– Diese Definition kann mit der folgenden Formeln
formalisiert werden:
8x 8y8z ( Produkt (x,y,z) ,
( (y=null Æ z=null) Ç
:(y=null) Æ Vorgänger(y,u) Æ Produkt(x,u,v) Æ Summe(v,x,z) ) )
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Die Basistruktur fixiert nun die Bedeutung von Summe,
Vorgänger, eins und null.
SummeS = { (n, m, l) 2 N0 £ N0 £ N0 j n+m = l }
VorgängerS = { (n, n-1) j n ¸ 1}
nullS = 0
einsS = 1
– … aber „eins“ brauchen wir eigentlich nicht mehr:
Vorgänger(eins,null)
– Und wenn die Definition von Summe nicht allgemein
bekannt ist?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– Die „Summe“ kann mit Hilfe von „Vorgänger“ und
„Nachfolger“ so definiert werden:
x+y =
½
x
falls y = 0
nach(x) + vor(y) falls y 6= 0
– Diese Definition wird durch die folgende Formeln
formalisiert:
8x 8y8z ( Summe (x,y,z) ,
( (y=null Æ z=x) Ç
:(y=null) Æ Nachfolger(x,u) Æ Vorgänger(y,v) Æ Summe(u,v,z) ) )
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formalisierung von Aussagen
– „Vorgänger“ kann mit Hilfe von „Nachfolger“ formalisiert
werden (oder andersum)
8x 8y (Vorgänger(x,y) , Nachfolger(y,x))
– Die Basisstruktur fixiert nur die Bedeutung von Nachfolger
und null.
NachfolgerS = { (n, n+1) j n 2 N0}
nullS = 0
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Zusammenfassung Prädikatenlogik
– Erweiterung der Aussagenlogik
• Individuenvariablen und Konstanten
• Prädikate (mehrstellig)
• Quantoren
– Semantik mit Hilfe von Strukturen
– Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit, Äquivalenz
– Formalisierung von Aussagen
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