(Maschinenbau) (WS 13/14)

Ergänzungsübungen zur Physik für
Ingenieure (Maschinenbau) (WS 13/14)
Prof. W. Meyer
Übungsgruppenleiter: A. Berlin & J. Herick (NB 2/28)
– alle Angaben ohne Gewähr –
Ergänzung G (Lösung)
Lösungen zur Ergänzung G
Aufgabe 1) Alphazerfall
Der Alphazerfall ist ein Zweikörperzerfall, d.h. nach dem Zerfall hat man anstatt einem Urankern, zwei
leichtere Kerne die den Impuls weiter tragen.
Dabei ist nur die Bewegung in Bezug auf den Schwerpunkt des Systems von physikalischen Interesse.
Die Anfangsgeschwindigkeit des Urankerns wäre lediglich ein konstanter Wert, den man gleichsam bei
beiden auslaufenden Kerne hinzuaddieren müsste.
nachher
vorher
4
2
234
90
238
92
U
He
?
Schwerpunkt
Uran zerfällt über den Alphazerfall, also der Aussendung eines Alphateilchens, welches nur ein anderes
Wort für ein Heliumkern ist. Mit diesem Wissen ist bereits die Masse des Restkerns bekannt, denn:
m(238
92 U) = 238 u
m(42 He) = 4 u
→ Restkern
m(234
90 ?)
2 Protonen und 2 Neutronen
= 234 u
Die Ladungszahl des Restkerns reduziert sich um 2 und die Masssenzahl um 4. Ein Blick ins Periodensystem der Elemente zeigt uns, dass es Thorium sein muss.
Der Impuls des Urankerns ist bezüglich seines Schwerpunktes gleich Null und somit muss der Impuls
nach dem Zerfall bezüglich des Schwerpunktes der beiden Zerfallsprodukte auch Null sein.
p~vorher = p~nacher
⇒
!
p~U = p~He + p~T h = 0
Damit ist die Richtung der Impulse insofern klar, dass wir wissen, der Heliumkern und der Thoriumkern
bewegen sich exakt entgegengesetzt voneinander weg.
p~He = −~
pT h
Die Geschwindigkeit des Heliumkerns kennen wir und über die bekannten Massen erhalten wir die
Geschwindigkeit des Thoriumkerns.
mHe · vHe = −mT h · vT h
⇒
vT h = −
mHe
vHe = −2,5 · 105 m/ s
mT h
Antwort: Der Restkern (Thorium) fliegt mit einer Geschwindigkeit von 2,5 · 105 m/ s vom gemeinsamen Schwerpunkt fort. Das Minus im Ergebnis zeigt die Richtung bezüglich der Geschwindigkeit des
Heliumkerns an.
Aufgabe 2) Ballistisches Pendel
a) Es ist ein vollkommener zentraler inelastischer Stoß
b) Berechne zunächst die Geschwindigkeit v ′ des Systems ’Pendelmasse+Kugel’ kurz nach dem Stoß.
X
X
p~vorher =
p~nachher
mvKugel + M vM = (m + M )v ′
| {z }
| da die Pendelmasse zunächst in Ruhe ist
=0
⇒ v′ =
m
vKugel
m+M
Somit bekommt die Pendelmasse so etwas wie eine Startgeschwindigkeit mit der auch eine kinetische
Energie verbunden ist. Durch die Auslenkung des Pendels wird diese Bewegungsenergie dann in potentielle Energie umgewandelt. Die Messgröße ist der Winkel der Auslenkung und dieser ist mit einer
Höhenänderung der Pendelmasse verbunden, wie in der Abbildung skizziert. Nun müssen wir uns nur
noch überlegen, wie hoch das Pendel mit dieser kinetischen Energie kommen kann. Dazu benutzen wir
den Energieerhaltungssatz.
1
✘✘
✘✘
✘M
✘M
(m✘+
)v ′2 = ✘
(m✘+
)gh
✘
2
2
m
1
2
vKugel
= gh
2 m+M
| v ′ einsetzen
L
Gesucht ist die Geschwindigkeit der Gewehrkugel, also lösen
wir nach vKugel auf.
vKugel =
L−h
L
⇒
L-h
m+Mp
2gh
m
Die Höhe der Pendelmasse ist wie folgt mit dem Auslenkungswinkel verbunden:
cos α =
a
h = L − L cos α = L(1 − cos α)
h
m+M
Durch das einsetzen von h in die Gleichung für die Geschwindigkeit der Gewehrkugel erhalten wir die
fertige Formel.
m+Mp
vKugel =
2 g L(1 − cos α)
m
c) Mit den Beispielswerten aus Aufgabenteil c) erhält man die Geschwindigkeit der Gewehrkugel zu:
vKugel = 44,8 m/ s =
b 161 km/ h
Fazit: Diese Aufgabe ist ein gutes Beispiel dafür, wie man ein Problem in zwei Teilprobleme zerlegen
kann. Zuerst ist da der Stoß, inelastisch und somit ist die Energie bezüglich der Bewegung nicht
erhalten, jedoch der Impuls und anschließend benutzt man den Energieerhaltungssatz für die
maximale Auslenkung des Pendels. Die Energie, die das Pendel kurz nach dem Stoß bekommen hat,
bleibt dann erhalten und kann komplett in potentielle Energie umgewandelt werden.