Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre

Grundlagen der Physik 2
Schwingungen und Wärmelehre
10. 05. 2007
Othmar Marti
[email protected]
Institut für Experimentelle Physik
Universität Ulm
(c) Ulm University – p. 1/1
Heute:
Übungsblatt 5
Ergänzung zum Skript
(c) Ulm University – p. 2/1
Umwandlung von kinetischer Energie
in Wärme
Kollision im Schwerpunktssystem
Ekin, r =
=
=
=
1
1
2
m1 (v1 − vs ) + m2 (v2 − vs )2
2
2
2
2
1
m2 (v1 − v2 )
1
m1 (v2 − v1 )
m1
+ m2
2
m1 + m2
2
m1 + m2
2
(m1 + m2 )m1 m2
v1 − v2
2
m1 + m2
m1 m2
(v1 − v2 )2
2(m1 + m2 )
Maximal kann Ekin, r in Wärme umgewandelt werden.
(c) Ulm University – p. 3/1
Was ist Wärme?
Wärmeenergie ist kinetische Energie von
Atomen oder Molekülen oder anderen
Teilchen.
1
2
hEit =
mi v t
2
(c) Ulm University – p. 4/1
Temperatur
Die mittlere kinetische Energie pro Teilchen wird durch die Temperatur T beschrieben.
Tin 0 C = Tin K − 273.15
Bemerkung: Grad Celsius in englisch heisst „degree
centigrade“.
(c) Ulm University – p. 5/1
Nullter Hauptsatz
Ist ein System A im thermischen Gleichgewicht mit einem System B und ist dieses System B im thermischen Gleichgewicht mit dem System C, so ist auch das
System A im Gleichgewicht mit dem System C. Alle drei Systeme haben die gleiche Temperatur T .
(c) Ulm University – p. 6/1
Wahrscheinlichkeitsdichte
Wahrscheinlichtkeitsdichte und Anzahl Teilchen in
einem Energieintervall.
(c) Ulm University – p. 7/1
Gleichverteilung
pvorher = f (E1 ) · f (E2 ) d2 E
pnachher = f (E1′ ) · f (E2′ ) d2 E
Die beiden Wahrscheinlichkeiten pvorher und pnachher
beschreiben, wie wahrscheinlich es ist, zwei Teilchen in den
jeweiligen Zuständen zu finden.
Physikalische Systeme bewegen sich immer in die Richtung grösserer Wahrscheinlichkeit.
(c) Ulm University – p. 8/1
Gleichverteilung
Ein thermodynamisches System, das heisst eine Anzahl
(Ensemble) von Teilchen ist dann im Gleichgewicht, wenn
Stösse von den ungestrichenen Energieintervallen in die
gestrichenen gleich wahrscheinlich sind, wie Stösse aus den
gestrichenen Energieintervallen in die ungestrichenen. Dies
wird als Gleichung wie folgt ausgedrückt:
f (E1 ) · f (E2 ) d2 E = f (E1′ ) · f (E2′ ) d2 E
Da unser Argument unabhängig sein muss von der Breite des
betrachteten Energieintervalls, kann man auch schreiben
f (E1 ) · f (E2 ) = f (E1′ ) · f (E2′ )
(c) Ulm University – p. 9/1
Gleichverteilung
Wenn die Energien E1 und E2 gegeben sind, können die
Energien E1′ und E2′ nicht mehr ganz frei gewählt werden. Die
Energieerhaltung bei einem ideal elastischen Stoss fordert:
E1 + E2 = E1′ + E2′
f (E1 ) · f (E2 ) = f (E1 + E2 )
ln (f (E1 ) · f (E2 )) = ln (f (E1 )) + ln (f (E2 )) = ln (f (E1 + E2 ))
ln (f (E)) ist eine lineare Funktion!
(c) Ulm University – p. 10/1
Boltzmannverteilung
Boltzmannverteilung
1 −E
e kT
f (E) =
kT
Boltzmannkonstante k = 1,381 ·
−23 J
10 K
Mittlere kinetische Energie
Etranslation
1 2 3
= m v = kT
2
2
(c) Ulm University – p. 11/1
Celsius und Kelvin
Kelvin
0K
273.15 K
Clesius
−273.15 0 C
0 0C
273.16 K
0.01 0 C
373.15 K
100 0 C
Bemerkungen
absoluter Nullpunkt
Schmelztemperatur Eis unter Normaldruck
Tripelpunkt Wasser: Definiert die Kelvin-Skala
Siedepunkt des Wassers
unter Normaldruck
Tabelle 1: Vergleich der Kelvin mit der CelsiusSkala
(c) Ulm University – p. 12/1
Thermometer
Üblicherweise wird die temperaturabhängige Länge eines
Objektes zur Temperaturmessung ausgewertet.
ℓ = ℓ0 (1 + αT )
Hier ist α der Ausdehnungskoeffizient des Materials. Typische
Ausdehnungskoeffizienten liegen im Intervall
−6
10
1
−5 1
< α < 10
K
K
(c) Ulm University – p. 13/1
Anzahl Freiheitsgrade
Anzahl Atome
1
2
3 und mehr in einer Linie
3 und mehr sonst
Freiheitsgrade
3
5
5
6
Tabelle 2: Anzahl Freiheitsgrade
(c) Ulm University – p. 14/1
Äquipartitionsgesetz
EFreiheitsgrad
EMolekül
1
=
kT
2
f
=
kT
2
wobei f die Anzahl der Freiheitsgrade ist.
(c) Ulm University – p. 15/1
Wärmekapazität
Wir haben gesehen, dass die Energie pro Molekül
EMolekül
f
= kT
2
ist. Um die Temperatur also um ∆T zu erhöhen, brauchen wir
die Energie
f
∆EMolekül = k∆T
2
Ein Gasvolumen mit der Masse M aus Molekülen der Masse
m beinhaltet dann
M
n=
m
Moleküle.
(c) Ulm University – p. 16/1
Wärmekapazität
Die zur Temperaturerhöhung notwendige Energie ist also
Mf
∆E =
k∆T = C∆T
m2
Die Grösse C ist die Wärmekapazität des Körpers
Mf
k
CV =
2m
Der index V besagt, dass dabei das Volumen des Körpers
konstant gehalten wird. Dies ist wichtig, da sonst die
Druckarbeit in der Energiebilanz mit berücksichtigt werden
müsste. Die Einheit der Wärmekapazität ist
J
[CV ] =
K
(c) Ulm University – p. 17/1