Aufgabe 8

Mathematik für Architekten
Winter 2004/05
Mathematik-Prüfung Nr. 1
Die Aufgaben 1 und 2 wurden vor dem Prüfungstermin verteilt und gelöst und werden als
Einzelarbeit in die Prüfung mitgebracht und abgegeben.
Die Aufgaben 3 bis 8 werden am Donnerstag, 16. Dezember in Zweier- oder Dreiergruppen
gelöst und am Schluss abgegeben. Die Prüfung dauert von 14 bis 16 Uhr.
D
Aufgabe 3
Gegeben ist ein Parallelogramm ABCD
gemäss Figur. RA bezeichne die Drehung
um A um den Winkel  im Uhrzeigersinn
und analog seien RB, RC und RD definiert.
Man löse folgende Aufgaben.
a)


C


A
B
Man zeige, dass die Produkte RB oRA und RD oRC Punktspiegelungen sind.
b) Was für eine Transformation ist RD oRC oRB oRA ? Man gebe den Typ und die
bestimmenden Elemente an.
c) Was kann über das Parallelogramm ausgesagt werden, wenn RD oRC oRB oRA die Identität
E ist?
Aufgabe 4
Gegeben sind die Punkte A und D und die Gerade g.
Konstruieren Sie die kürzeste, aus Strecken bestehende Verbindung von A nach D, wenn
gefordert wird, dass auf der Geraden g eine Strecke der gegebenen Länge s zurückgelegt
werden muss.
(Tipp: Verwenden Sie dabei das Spiegelbild A* von A an der Geraden g.)
A*
s
g
A
D
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Mathematik für Architekten
Winter 2004/05
Aufgabe 5
Ein Gepard läuft mit einer Geschwindigkeit von 40 m/s. Ein Jäger im Punkt J sieht den Gepard
im Punkt G in Richtung R rasen. Auf welchen Punkt Z der Gepardenbahn muss der Jäger
zielen, wenn er den Gepard mit seiner Kugel (Geschwindigkeit 200 m/s) erlegen will?
(Konstruktion auf diesem Blatt – Tipp: Apolloniuskreis)
G
R
J
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Winter 2004/05
Aufgabe 6
Der Architekt George Odom hat
1982 die nachstehende Figur
studiert.
Er behauptet, dass der Punkt S die
Strecke AB im goldenen Schnitt
teile.
Das Dreieck PQR ist gleichseitig;
A und S sind Seitenmittelpunkte.
Man beweise oder widerlege die
Behauptung von Odom.
Aufgabe 7
Die Figur zeigt ein Phyllotaxis-Muster. Die Kreislein markieren die Zentren der Schuppen
eines Tannzapfens. Diese wurden auf einen Kreiszylinder projiziert, und dieser Zylinder wurde
längs der Mantellinie durch die 0-Schuppe Mathematischer
aufgeschnitten und Kristall
in eine Ebene abgewickelt. Die
0-Schuppe erscheint zweimal, sowohl ganz links als auch ganz rechts am unteren Rand des
Musters. Alle anderen Schuppen kommen nur einmal vor.
a)
Nummerieren Sie sämtliche Schuppen nach demselben Schema, wie Sie das beim realen
Tannzapfen gemacht haben (auf diesem Blatt).
b) Bestimmen Sie näherungsweise den Divergenzwinkel dieses Musters.
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Aufgabe 8
Gegeben ist ein Quadrat ABCD. Wie in der Vorlesung beschreiben wir
Permutationen der Ecken mit Symbolen der Form
A

B
C
A
B
B C D
D C A
Im Beispiel wird der Ecke A die Ecke B, der Ecke B die Ecke D
zugeordnet und so weiter.
a)
D
Man ermittle alle Permutationen welche durch Symmetrien des Quadrates hervorgerufen
werden.
b) Wie viele Permutationen der vier Ecken gibt es und wie viele davon werden durch
Symmetrien des Quadrates erzeugt?
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