Aussagenlogik - Universität Leipzig

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Grundkurs Semantik
Sitzung 2: Aussagenlogik
Andrew Murphy
andrew.murphy@uni-leizpig.de
Grundkurs Semantik – HU Berlin, Sommersemester 2015
http://www.uni-leipzig.de/∼murphy/semantik15
28. April 2015
Basiert auf Kapitel 3 von Krifkas Skript, Lehrmaterial von Andreas Haida (WS 11/12)
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
1
Zusammenfassung der letzten Sitzung
λ Was ist die Ausdrucksbedeutung, Äußerungsbedeutung und
kommunikativer Sinn des folgenden Ausdrucks?
(1)
Sarah sagt zu Paul am 28.04.2015 um 18.05:
Hast du Lust morgen ins Kino zu gehen?
λ Ausdrucksbedeutung = die wörtliche Bedeutung des Ausdrucks:
(2)
Der Sprecher möchte wissen, ob der Adressat am Folgetag ins
Kino gehen möchte.
λ Äußerungsbedeutung = die wörtliche Bedeutung zusammen mit dem
Äußerungskontext:
(3)
Sarah möchte wissen, ob Paul am 29.04.2015 ins Kino will.
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
2
Zusammenfassung der letzten Sitzung
λ Kommunikativer Sinn = die Intention des Sprechers (was er mit der
Aussage bezwecken will).
(4)
Sarah will mit Paul ins Kino gehen.
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
3
Zusammenfassung der letzten Sitzung
λ Was ist die Bedeutung von:
(5)
JAngela MerkelK = ?
λ JHundK = ?Die Menge der Hunde
λ JAngela Merkel lächeltK = ?Die Wahrheitsbedingungen von Angela
Merkel lächelt
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
4
Zusammenfassung der letzten Sitzung
λ Der folgende Satz ist wahr gdw. der Kreis sich in dem Quadrat befindet:
(6)
Der Kreis befindet sich in dem Quadrat.
λ d.h. dieser Satz enthält eine Proposition, die entweder wahr oder falsch
ist.
λ Für das linke Bild ist die Proposition wahr (1) und für das rechte ist die
Proposition falsch (0).
λ Dies zeigt uns u.a., dass wichtig ist, welche Situation wir betrachten,
wenn wir die Wahrheit der Proposition
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
5
Zusammenfassung der letzten Sitzung
JDer Kreis befindet sich in dem QuadratK =
λ Die Bedeutung des Satzes kann man auch als die Menge der
Situationen betrachten, in denen dieser Satz wahr ist.
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
6
Zusammenfassung der letzten Sitzung
λ Was sind die beiden Teile des Kompositionalitätsprinzips?
∀ Die einzelnen Bedeutung der Wörter in einem Ausdruck
∀ Die Art und Weise wie sie sich synktatisch zusammensetzen
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
7
Zusammenfassung der letzten Sitzung
λ Was ist eine Präsupposition?
(7)
Der König von Frankreich ist reich
>> Es gibt einen König von Frankreich
λ Wie kann man zeigen, dass es sich hier um eine Präsupposition
handelt?
(8)
a.
b.
c.
GK Semantik
Der König von Frankreich ist reich, und es gibt einen König
von Frankreich.
*bekräftigbar
Der König von Frankreich ist reich, aber es gibt keinen
König von Frankreich.
*aufhebbar
Es ist nicht der Fall, dass der König von Frankreich reich ist.
>> Es gibt einen König von Frankreich.
Negation
!
Aussagenlogik
28.04.15
8
Zusammenfassung der letzten Sitzung
λ Was ist eine (skalare) Implikatur?
(9)
Viele meiner Freunde gucken Staffel 5 von Game of Thrones.
+ > Nicht alle meiner Freunde gucken Staffel 5 von Game of
Thrones.
λ Wie kann man zeigen, dass es sich hier um eine Implikatur handelt?
(10)
a.
b.
c.
GK Semantik
Viele meiner Freunde gucken GoT, aber nicht alle.
!bekräftigbar
Viele meiner Freunde gucken GoT, eigentlich alle!
!aufhebbar
Es stimmt nicht, dass viele meiner Freunde GoT gucken.
+/ > Nicht alle meiner Freunde gucken GoT.
*Negation
Aussagenlogik
28.04.15
9
Aussagenlogik
λ Warum wollen wir uns mit der Logik befassen, wenn wir
Sprachwissenschaft betreiben?
λ Antwort: Weil sprachliche Ausdrücke logische Eigenschaften haben.
λ Diese logische Folgerung hat die abstrakte Form
(11)
(12)
a.
b.
c.
Nur wenn Julia die Wette verliert, wird sie sich den Kopf
rasieren.
Julia hat sich den Kopf rasiert.
∴ Julia hat die Wette verloren
a.
b.
c.
d.
e.
P = Julia verliert die Wette
Q = Julia rasiert sich den Kopf
P→Q
Q=1
∴P=1
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
10
Aussagenlogik
(13)
a.
b.
c.
(14)
a.
Heute abend bekommt man ein Bier umsonst, wenn man
Geburtstag hat.
Paul hat ein Bier umsonst bekommen.
∴ Paul hat heute Geburtstag.
P = x hat Geburtstag b. Q = x bekommet ein Bier umsonst
(i)
P(x) → Q(x)
(ii) Q(Paul) = 1
(iii) ∴ P(Paul) = 1
λ Das P ist immer in dem wenn-Satz. In diesem Beispiel steht der
wenn-Satz nach dem Q.
λ Achtung: was hier verwendet wird ist eigentlich Prädikatenlogik.
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
11
Aussagenlogik
λ Wir haben die ganze Zeit betont, dass Sätze Propositionen erhalten,
die entweder wahr oder falsch sind.
λ Im letzten Beispiel haben wir gesehen, dass wir von der Wahrheit eines
bestimmten Satzes auf die Wahrheit eines (scheinbar) unabhängigen
Satzes schließen können.
λ Da es logische Beziehungen zwischen Sätzen gibt (z.B. bei
Satzverknüpfung), dann müssen wir uns mit den Gesetzen der Logik
befassen.
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
12
Prinzipien der Logik
λ Das erste wichtige Prinzip der Logik ist das Gesetz vom Widerspruch:
Gesetz vom Widerspruch
Jeder Satz hat genau einen Wahrheitswert, d.h. ein Satz kann nicht
gleichzeitig wahr und falsch sein.
λ Problem für natürliche Sprache: Ambiguität:
(15)
Das Buch ist schwer.
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
13
Prinzipien der Logik
λ Das zweite Prinzip ist das Bivalenzprinzip oder Zweiwertigkeitsprinzip:
Bivalenzprinzip
Ein Aussagesatz muss einen Wahrheitswert haben, d.h. er muss entweder
wahr oder falsch sein.
λ Probleme:
(16)
Hans ist groß
λ Ohne zu wissen, ob Hans ein Kind oder ein Basketballspeiler ist, ist es
schwierig zu sagen, ob der Satz wahr oder falsch ist.
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
14
Prinzipien der Logik
λ Außerdem sind Propositionen problematisch, deren Präsuppositionen
nicht erfüllt sind:
(17)
Der König von Frankreich ist reich
λ Wir können zunächst nicht beurteilen, ob dieser Satz wahr oder falsch
ist, denn er verlangt, dass es einen König von Frankreich gibt.
λ Wir können also sagen, dass sein Wahrheitswert unbestimmt ist.
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
15
Logische Eigenschaften von Sätzen
λ Es gibt Sätze die aus rein logischen Gründen wahr oder falsch sind.
λ Logisch wahre Sätze (d.h. Sätze, die nie falsch sein können) heißen
Tautologien:
(18)
Tautologien:
a. Jedes Buch ist ein Buch
b. Ein Junggeselle ist ein unverheirater Mann
c. Zwei plus eins ist drei
λ Logisch falsche Sätze (d.h. Sätze, die nie wahr sein können) heißen
Kontradiktionen:
(19)
Kontradiktionen:
a. Kein Buch ist ein Buch
b. Ein Junggeselle ist verheiratet
c. Zwei plus eins ist vier
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
16
Logische Eigenschaften von Sätzen
λ Sätze, die entweder wahr oder falsch sein können abhängig von der
Auswertungssituation sind kontingente Sätze:
(20)
Kontingente Sätze
a. Die meisten Bücher sind Romane
b. Draußen regnet es.
c. Morgen ist Mittwoch
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
17
Logische Beziehungen zwischen Sätzen
λ Ein wichtiger Begriff der Logik ist die logische Folgerung (Implikation
oder Eng. entailment).
λ Wenn wir über zwei (logische) Sätze sprechen können wir die Symbole
Φ (’Phi’) und Ψ (’Psi’) benutzen. Der Einfachkeit halber nehme ich p
und q an.
λ Die logische Folgerung kann man wie folgt definieren:
Logische Folgerung
p ⇒ q gdw. gilt: Wenn p wahr ist, dann muss auch q wahr sein.
λ Hier ist p die Prämisse und q die Konklusion.
(21)
a.
b.
c.
GK Semantik
Heinz ist ein Junggeselle ⇒ Hanz ist unverheiratet
Es blitzt und donnert ⇒ es blitzt
Beijing liegt in China. China liegt in Asien ⇒ Beijing liegt in
Asien
Aussagenlogik
28.04.15
18
Logische Folgerung vs. Präsupposition
λ An diesem Punkt könnte man sich fragen, was der Unterschied
zwischen der logischen Folgerung und einer Präsupposition ist.
(22)
Der König von Frankreich ist reich
a. >> Es gibt einen König von Frankreich
b. ⇒ Es gibt einen König von Frankreich
λ Hier ist die sowohl die Präsupposition und die logische Folgerung,
dass es einen König von Frankreich gibt.
(23)
Der König von Frankreich ist nicht reich
a. >> Es gibt einen König von Frankreich
b. ⇏ Es gibt einen König von Frankreich
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
19
Logische Folgerung vs. Präsupposition
(24)
Der König von Frankreich ist nicht reich
a. >> Es gibt einen König von Frankreich
b. ⇏ Es gibt einen König von Frankreich
λ Wenn wir den Satz negieren, dann gilt die logische Folgerung nicht
mehr:
(25)
Der König von Frankreich ist nicht reich, weil Frankreich keinen
König hat!
λ Es ist also möglich, dass der König von Frankreich nicht reich ist und,
dass es trotzdem keinen König gibt.
λ In dieser Hinsicht sind sie wie Implikaturen (nicht vorhanden unter
Negation).
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
20
Logische Beziehungen zwischen Sätzen
λ Zwei Sätze sind logisch äquivalent, wenn sie gegenseitig aus einander
logisch folgen:
Logische Äquivalenz
p ⇔ q gdw. gilt: p ⇒ q und q ⇒ q.
λ p ist genau dann wahr, wenn q wahr ist.
(26)
a.
b.
c.
GK Semantik
Heinz ist Junggeselle ⇔ Heinz ist ein Mann und Heinz ist
nicht verheiratet
Maria verkauft Hans ein Auto ⇔ Hans kauft ein Auto von
Maria
Petra ist die Mutter von Hans ⇔ Hans ist der Sohn von
Petra
Aussagenlogik
28.04.15
21
Logische Beziehungen zwischen Sätzen
λ Zwei Sätze sind konträr, wenn sie nicht zusammen wahr sein können:
(27)
a.
b.
Die Suppe ist heiß / Die Suppe ist kalt
Heute ist Dienstag / Morgen ist Freitag
λ Zwei Sätze sind kontradiktorisch, wenn sie nicht zusammen wahr oder
falsch sein können:
(28)
a.
b.
Die Suppe ist heiß / Die Suppe ist nicht heiß
Heute ist Montag, Dienstag oder Mittwoch / Heute ist
Donnerstag, Freitag, Samstag oder Sonntag
λ Sätze, die nicht in einer solche Beziehung zueinander stehen, sind
(zueinander) kontingent.
(29)
Die Suppe ist nicht heiß / Die Suppe ist nicht kalt
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
22
Die Sprache der Aussagenlogik
λ Es gibt mehrere Operation in der Aussagenlogik, die wir verwenden
können, um Beziehungen zwischen Aussagesätzen (z.B. p und q)
auszudrücken.
λ Im folgenden schauen wir uns einige an.
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
23
Die Konjunktion (p ∧ q)
λ Die aussagenlogische Konjunktion wird durch ∧ ausgedrückt.
λ Die Konjunktion von p und q ist dann p ∧ q.
λ Die Konjunktion von p und q ist nur dann wahr, wenn sowohl p und q
wahr sind.
λ Dies kann man in einer sog. Wahrheitswert-Tafel ausdrücken:
(30)
Konjunktion:
p q [p ∧ q]
0 0
0
0 1
0
0
1 0
1 1
1
λ Diese entspricht der natürsprachlichen Konjunktion und.
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
24
Die Konjunktion (p ∧ q)
λ Beachten Sie aber, dass bei natürlichsprachlichen Ausdrücken das sog.
Ikonizitätsprinzip gilt:
Ikonizitätsprinzip
Berichte über mehrere (zeitlich abgrenzbare) Ereignisse in der Reihenfolge,
in der sie passiert sind.
(31)
a.
b.
Hans hat seine Freundin gesehen und die Wohnung
verlassen. ≠
Hans hat die Wohnung verlassen und seine Freundin
gesehen.
λ So einen Unterschied ist nicht Teil der (einfachen) aussagenlogischen
Konjunktion.
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
25
Die Negation (¬p)
λ Die aussagenlogische Negation wird durch ¬ ausgedrückt.
λ Die Negation von p ist dann ¬p.
λ Die Negation von p ist nur dann wahr, wenn p falsch ist:
(32)
Negation:
p ¬p
0
1
0
1
λ Die aussagenlogische Negation ¬p entspricht ungefähr die
Umschreibung ‘Es ist nicht der Fall, dass p’.
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
26
Die Negation (¬p)
λ Bei der aussagenlogischen Negation ist die Klammersetzug wichtig.
λ Die folgende Aussage ist ambig:
(33)
¬p ∧ q
λ Dies kann sowohl die Negation von nur p als auch die Negation der
ganzen Konjunktion ¬[p ∧ q] bedeuten.
p
0
0
1
1
¬p
1
1
0
0
q
0
1
0
1
p
0
0
1
1
[¬p ∧ q]
0
1
0
0
q
0
1
0
1
[p ∧ q]
0
0
0
1
¬[p ∧ q]
1
1
1
0
λ Es gibt auch solche Ambiguitäten in natürlicher Sprache (siehe Repp
(2009) für Gapping im Englischen).
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
27
Die Disjunktion (p ∨ q)
λ Bei der (aussagenlogischen) Disjunktion (∨) ist die Disjunktion von p
und p wahr gdw. p = 1 oder q = 1.
(34)
Disjunktion:
p q [p ∨ q]
0 0
0
1
0 1
1 0
1
1 1
1
λ Es gibt auch eine strengere Auffassung der Disjunktion (die exklusive
Disjunktion) (manchmal: ∨e ), wo eine Disjunktion nur wahr ist, wenn
eins der beiden Disjunkte wahr aber nicht beide.
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
28
Die (materiale) Implikation (p → q)
λ Die (materiale) Implikation oder Konditional ([p → q]) ist nur falsch,
gdw. das Antezedens p wahr ist und das Konsequens falsch.
λ Dies wird als ‘wenn p, dann q’ gelesen.
(35)
Konditional:
p q [p → q]
0 0
1
0 1
1
1 0
0
1 1
1
λ Wenn das Antezedens (p) falsch ist, dann kann das Konsequens q
trotzdem wahr sein.
λ Es kann natürlich auch falsch sein.
(36)
Wenn es regnet, werde ich Millionär.
λ In dem Fall, wo es nicht regnet, könnte ich trotzdem Millionär werden.
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
29
Die (materiale) Äquivalenz (p ↔ q)
λ Die (materiale) Äquivalenz oder Bikonditional ([p ↔ q]) ist nur wahr,
wenn beide Sätze den gleichen Wahrheitswert haben.
(37)
Bikonditional:
p q [p ↔ q]
0 0
1
0 1
0
0
1 0
1 1
1
λ Interessant hier ist, dass das Bikonditional wahr ist, wenn beide
Aussagen falsch sind.
λ Stellen wir uns vor, ich gehe eine Wette ein:
(38)
Nur Wenn Messi spielt, gewinnt Barcelona.
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
30
Die (materiale) Äquivalenz (p ↔ q)
(39)
Bikonditional:
p q [p ↔ q]
0 0
1
0
0 1
1 0
0
1
1 1
(40)
Nur Wenn Messi spielt, gewinnt Barcelona.
λ Ich verliere, wenn (40) = 0.
λ Ich verliere die Wette nur, wenn Messi spielt (p = 1) und Barcelona
verliert (q = 0) oder
λ wenn Messi nicht spielt (p = 0) und Barcelona trotzdem gewinnt (q = 1).
λ Wenn Messi nicht spielt und Barcelona nicht gewinnt (p = 0, q = 0),
habe ich nicht verloren (die Wette ist ungültig).
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
31
Die Bedeutung komplexer Ausdrücke
λ Es ist möglich, die Bedeutung komplexer Ausdrücke wie (41) zu
berechnen:
(41)
p
0
0
1
1
[¬p ∧ q] → q
q
0
1
0
1
¬p
1
1
0
0
[¬p ∧ q]
0
1
0
0
[¬p ∧ q] → q
1
1
1
1
λ Also ist dieser Satz eine Tautologie (er ist immer wahr).
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
32
Kontradiktionen
λ Wir wollen jetzt Wahrheitswert-tafeln verwenden, um zu zeigen, dass
ein Satz eine Kontradiktion ist.
(42)
p
0
1
Wenn Hans kommt, dann und nur dann kommt er nicht.
¬p
1
0
GK Semantik
[p ↔ ¬p]
0
0
Aussagenlogik
28.04.15
33
Kleine Hausaufgabe
λ Handet es sich bei den folgenden Aussagen um eine Kontradiktion,
Tautologie oder einen kontingenten Satz? Beweisen Sie das mit einer
Wahrheitswert-tafel!
(43)
a.
b.
GK Semantik
[ p ∨ ¬[p ∧ q]]
Hans raucht und Hans raucht nicht
Aussagenlogik
28.04.15
34
Literatur
Krifka, Manfred (2015): Satzsemantik. Vorlesungsskript, Humboldt-Universität zu Berlin.
GK Semantik
Aussagenlogik
28.04.15
35
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