Erweiterung der Kenntnisse über den Kreis

Erweiterung der Kenntnisse über den Kreis
Wiederholung
Während unserer vorherigen Studien haben wir viele wichtige Begriffe und Tatsachen über
den Kreis kennen gelernt. Jetzt werden diese zusammengefasst.
Definition: Der Kreis (Kreislinie) ist die Menge jener Punkte der Ebene, die von einem
gegebenen Punkt der Ebene den gleichen Abstand haben.
Definition: Die Tangente am Kreis ist eine Gerade in der Ebene des Kreises, die genau einen
gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat.
Satz: An jeden Punkt des Kreises kann genau eine Tangente gelegt werden, und die Tangente
steht senkrecht auf dem Berührungsradius.
Definition: Ist der Scheitelpunkt eines Winkels der Mittelpunkt eines gegebenen Kreises,
dann nennt man diesen Winkel den Mittelpunkts- oder Zentriwinkel dieses Kreises. (Auf der
Abbildung 1 ist α der zu dem Bogen AB gehörende Zentriwinkel.)
Satz: Sind in einem Kreis iα und iβ die Längen der zu den Zentriwinkeln α und β gehörenden
i

Bögen, dann   .
i 
Satz: Sind in einem Kreis Aα und Aβ die Flächeninhalte der zu den Zentriwinkeln α und β
A

gehörenden Kreissektoren, dann   .
A 
Die Länge des Kreisbogens, der zu den Zentriwinkel α (rad) im Kreis mit dem Radius r
gehört: i  r   .
Der Flächeninhalt des Kreissektors, der zu dem Zentriwinkel α (rad) im Kreis mit dem Radius
i r  r2

r gehört: A  
.
2
2
Satz von Thales: Verbindet man in einem Kreis die Endpunkte des Durchmessers mit einem
anderen Punkt des Kreises, so erhält man ein rechtwinkliges Dreiecks, dessen Hypotenuse der
Kreisdurchmesser ist.
Umkehrung zum Satz des Thales: Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen
Dreiecks ist der Halbierungspunkt der Hypotenuse.
Der Satz über Zentri- und Peripheriewinkel:
Definition: Ist der Scheitelpunkt eines Winkels ein Punkt einer gegebenen Kreislinie und sind
seine Schenkel zwei Sehnen am Kreis oder befinden sich auf einer Sehne und einer Tangente,
dann nennt man diesen Winkel den Peripherie- oder Umfangswinkel des Kreises.
Der Teil der Kreislinie, der im Winkelbereich ist, nennt man den zu dem gegebenen
Peripheriewinkel gehörenden Bogen. Auf der Abbildung 2 ist α der zu dem Bogen AB
gehörende Peripheriewinkel, auf der Abbildung 3 ist β der Sehnentangentenwinkel. Aus der
Definition folgt, dass der Peripheriewinkel immer kleiner als 180 °ist.
Man kann zu einer interessanten Erkenntnis kommen, wenn man sich an den Satz des Thales
erinnert. (Abbildung 4) Der zu dem Bogen AB (der in diesem Fall ein Halbkreis ist)
gehörende Zentriwinkel ist 180°, die zu diesem Bogen gehörenden Peripheriewinkel sind alle
90°, also gleich der Hälfte des Zentriwinkels.
Im Folgenden wird bewiesen, dass es allgemein gültig ist, also ist der nächste Satz wahr:
Satz: In einem gegebenen Kreis ist jeder zu einem gegebenen Bogen gehörende
Peripheriewinkel halb so groß wie der zu demselben Bogen gehörende Zentriwinkel.
Beweis
In einem gegeben Kreis gehören ein Zentriwinkel und unendlich viele Peripheriewinkel zu
einem gegebenen Bogen, deshalb muss man die gegenseitige Lage des Zentri- und des
Peripheriewinkel beim Beweis beachten. Entsprechend dieser Lagen wird man den Beweis in
mehreren Fällen führen.
(1) Der Kreismittelpunkt liegt auf dem einen Schenkel des Peripheriewinkels. (Abbildung 5)
Der Winkel AOB ist ein Außenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks COB, deshalb
(2) Der Kreismittelpunkt ist ein innerer Punkt des Winkelbereiches des Peripheriewinkels.
(Abbildung 6)
Zeichnen wir den Kreisdurchmesser durch C ein, sein anderer Endpunkt sei D. Die Lage der
Zentri- und Peripheriewinkel, die zu den Bögen AD und BD gehören, entspricht dem vorigen
Fall, deshalb
(3) Der Kreismittelpunkt liegt außerhalb des Winkelbereiches des Peripheriewinkels.
(Abbildung 7)
Auch jetzt wird der Durchmesser CD gezeichnet. Die Lage der Zentri- und Peripheriewinkel,
die zu den Bögen DA und DB gehören, entspricht wieder dem Fall (1), deshalb
so
In den ersten drei Fällen haben wir den Satz bewiesen für jeden Peripheriewinkel, dessen
beide Schenkel Sehnen am Kreis sind. Im nächsten Fall wird der Satz für
Sehnentangentenwinkel bewiesen.
(4) Es sei α der zum Bogen AB gehörende Sehnentangentenwinkel. (Abbildung 8)
a) Ist   90 , und ist OT im gleichschenkligen Dreieck AOB die Höhe zur Basis, dann sind
der Peripheriewinkel mit dem Scheitelpunkt A und der Winkel AOT Winkel mit aufeinander
senkrechten Schenkeln, deshalb ist AOB  2 .
b) Ist α ein rechter Winkel, dann ist die Behauptung eine direkte Folge der Tatsache, dass der
Berührungsradius senkrecht auf der Tangente steht.
c) Ist α ein stumpfer Winkel, dann sind die Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks AOB
gleich
  90 , so ist der zwischen den Schenkeln liegende Winkel
AOB  180  2  90 ,
woraus folgt, dass der zum Bogen AB gehörende Zentriwinkel gleich 2 ist.
Damit ist der Beweis zu Ende, da man den Satz über die Zentri- und Peripheriewinkel für
jeden Fall bewiesen hat.
Bemerkungen:
1. Der Satz des Thales ist ein Sonderfall des oben bewiesenen Satzes (der Zentriwinkel ist
gleich 180°), deshalb wurde auch der Satz des Thales mit dem Beweis dieses allgemeineren
Satzes bewiesen.
2. Unseren Satz kann man auch in einer allgemein gültigeren Form formulieren.
In Kreisen mit gleich großen Radien ist das Verhältnis der Zentri- und Peripheriewinkel, die
zu gleich langen Bögen gehören, 2:1.
Die entsprechenden Bögen kann man mit Hilfe von Kongruenzabbildungen ineinander
überführen, so dass man diesen Satz auf den Beweis des ursprünglichen Satzes zurückführen
kann.
Beispiel 1
Eine Kreislinie wird von drei ihrer Punkte in Bögen zerlegt, deren Verhältnis 3:4:5 ist.
Berechne die Größen der zu den Bögen gehörenden Zentri- und Peripheriewinkel!
Lösung
In einem gegebenen Kreis sind der Zentriwinkel und der zugehörige Bogen direkt
proportional zueinander, deshalb gilt für die entsprechenden Zentriwinkel  :  :   5 : 6 : 7 .
Daraus folgt, dass       360 :
Aufgrund des Satzes über Zentri- und Peripheriewinkel sind die entprechenden
Peripheriewinkel:
Man kann erkennen, dass auch die Größen der Peripheriewinkel direkt proportional zu den
entsprechenden Bogenlängen sind.
Beispiel 2
Nehmen wir ein Dreieck, und konstruieren seinen Umkreis, die aus einem seiner Eckpunkte
ausgehenden inneren Winkelhalbierende und die Mittelsenkrechte der gegenüberliegenden
Seite. Was kann man bemerken? Wir werden unsere Bemerkung begründen. (Nehmen wir an,
dass die Seitenlängen, die aus dem Eckpunkt der inneren Winkelhalbierenden ausgehen,
unterschiedlich lang sind.
Lösung
Wenn die Konstruktion genau genug ist, dann kann man sehen, dass die Winkelhalbierende
und die Mittelsenkrechte sich auf dem Umkreis schneiden. (Abbildung 9)
Aufgrund der Abbildung kann man die Annahme formulieren, dass der Schnittpunkt der
Mittelpunkt des Bogens AB ist.
Es wird gezeigt, dass sowohl die Winkelhalbierende als auch die Mittelsenkrechte mit dem
Halbierungspunkt H des Bogens AB zusammenfällt.
Da der Zentriwinkel und die zugehörige Bogenlänge direkt proportional zueinander sind, teilt
die Winkelhalbierende des Winkels ACB, die den Winkel auch in zwei gleiche Teile teilt, den
Bogen AB auch in zwei gleiche Teile. So halbiert der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
und des Bogens den Bogen.
Alle Punkte der Mittelsenkrechte AB sind von A und B gleichweit entfernt, so ist ihr
Schnittpunkt mit dem Bogen AB der Halbierungspunkt des Bogens.
Damit ist unsere Annahme bewiesen.
Aufgaben
1. Wie groß ist der Peripheriewinkel eines Kreises, dessen Zentriwinkel ……….. ist?
2. Wie groß ist der Zentriwinkel eines Winkels, zu dem ein Peripheriewinkel von………..
gehört?
3. Die Summe von einem Peripheriewinkel und einem Zentriwinkel, die zu demselben Bogen
gehören, ist ……………… Berechne die Größen des Zentri- und Peripheriewinkels in den
verschiedenen Fällen!
4. Wie groß ist der Peripheriewinkel, dessen zugehöriger Bogen …………………. des
Kreisumfangs sind?
5. Die Ecken eines Winkels teilen den Umkreis in drei Bögen, deren Längenverhältnis
…………. Berechne die Größen der Innenwinkel des Dreiecks in den verschiedenen Fällen!
6. Berechne in einem Kreis mit dem Radius 10 cm den Abstand zwischen dem
Kreismittelpunkt und der Sehne, der zu einem Zentriwinkel von 120° gehört.
7. In einem Kreis mit dem Radius 10 cm schließen die Sehne AB und der Durchmesser AC
einen Winkel von 30° ein. Berechne die Länge der Strecke BC!
8. Wie groß ist der Peripheriewinkel, dessen einer Schenkel ein Durchmesser des Kreises ist
und dessen anderer Schenkel eine Sehne ist, die genauso lang ist wie der Kreisradius?
3. Der Satz über die Peripheriewinkel; Sehwinkelkreisbogen
In der letzten Lektion wurde bewiesen, dass in einem gegebenen Kreis der zu einem
gegebenen Bogen gehörende Zentriwinkel doppelt so groß ist wie der zu demselben Bogen
gehörende Peripheriewinkel. Zu einem gegebenen Bogen gehört ein einziger Zentriwinkel
und unendlich viele Peripheriewinkel, deshalb ist der folgende Satz eine direkte Folge des
Satzes über Zentri- und Peripheriewinkel:
Der Satz über Peripheriewinkel: In einem gegebenen Kreis sind die zu demselben Bogen
gehörenden Peripheriewinkel alle gleich groß. (Abbildung 10)
Natürlich kann man auch diesen Satz wie den Satz über Zentri- und Peripheriewinkel
allgemeiner formulieren:
Satz: In Kreisen mit gleich großen Radien sind die zu gleich langen Bögen gehörenden
Peripheriewinkel alle gleich groß.
Den Satz über Peripheriewinkel kann man auch mit der Einführung des Begriffes Sehwinkel
formulieren. Nehmen wir in der Ebene eine Strecke AB und einen Punkt P. Es sei APB   .
Man kann sagen, dass die Strecke AB von P aus unter dem Winkel α zu sehen ist. (Abbildung
11)
Der Satz über Peripheriewinkel mit Hilfe des Begriffes Sehwinkel:
Satz: In einem gegebenen Kreis sieht man die Sehne AB von den inneren Punkten des Bogens
AB unter dem gleichen Winkel. (Abbildung 12)
Diese Formulierung ist natürlich so zu verstehen, dass man nur einen der Bögen beachtet. Die
Behauptung ist für beide Bögen wahr, aber die entsprechenden Sehwinkel sind im
Allgemeinen nicht gleich. Im Sonderfall, wenn die betrachtete Sehne der Kreisdurchmesser
ist, dann sind die Sehwinkel auf den beiden Bögen gleich groß, nämlich 90°. So kann man
den Satz des Thales mit dem Sehwinkel folgendermaßen formulieren:
Satz: In einem Kreis sieht man den Durchmesser AB von den Punkten der Kreislinie aus, die
von A und B unterschiedlich sind, unter einem rechten Winkel.
Da die Umkehrung zum Satz des Thales auch wahr ist, liegen alle Punkte der Ebene, von
denen aus die Strecke AB unter einem rechten Winkel zu sehen ist, auf dem Kreis mit dem
Durchmesser AB. Das heißt, dass es keinen Punkt außerhalb der Punkte des Kreises mit dem
Durchmesser AB gibt, von denen aus die Strecke AB unter einem rechten Winkel zu sehen
ist.
Demzufolge kann man den Satz des Thales und dessen Umkehrung zusammengefasst
formulieren:
Satz: Die Menge jener Punkte der Ebene, von denen aus die Strecke AB unter einem rechten
Winkel zu sehen ist, ist ein Kreis mit dem Durchmesser AB bis auf die Punkte A und B.
Natürlich taucht die Frage auf, was die Menge jener Punkte der Ebene ist, von denen aus eine
gegebene Strecke AB unter einem konvexen Winkel α zu sehen ist.
Beispiel 1
Gegeben sind die Strecke AB und ein Winkel α (α<180°). Konstruiere einen Kreis, dessen
Sehne die Strecke ist, und die Strecke von den Punkten des Bogens AB aus unter dem Winkel
α zu sehen ist.
Lösung
Aufgrund des Satzes über Zentri- und Peripheriewinkel ist das Ziel einen Kreis zu
konstruieren, deren Sehne AB ist und der Zentriwinkel zu dieser Sehne 2α ist. Die inneren
Punkte des Bogens AB dieses Kreises entsprechen den Bedingungen der Aufgabe. Der
Mittelpunkt des gesuchten Kreises liegt einerseits auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB
andererseits auf der Senkrechten, die in A auf dem tangentialen Schenkel des
Sehnentangentenwinkels mit dem Scheitelpunkt A errichtet wurde. (??????????)
(Abbildung 13)
Konstruktionsbeschreibung:
1. In einem der Endpunkte auf der Strecke AB nimmt man den Winkel α auf (in A). ???????
2. Man errichtet die Senkrechte in A auf dem Schenkel …..
3. Man konstruiert die Mittelsenkrechte zur Strecke AB ………
4. …………… ist der Mittelpunkt des gesuchten Kreises.
Da man den Sehnentangentenwinkel α mit dem Scheitelpunkt A auf die beiden Seiten der
Gerade AB aufnehmen kann, erhält man zwei entsprechende Kreisbögen, die symmetrisch zu
der Geraden AB sind. (Abbildung 14) Die erhaltenen offenen Kreisbögen sind die
Sehwinkelkreisbögen der Strecke AB mit dem Winkel α.
Nach der Lösung des ersten Beispiels muss untersucht werden, ob es weitere Punkte der
Ebene außerhalb der Sehwinkelkreisbögen gibt, von denen aus die Strecke AB unter dem
Winkel α zu sehen ist. Auf der Abbildung 15 kann man sehen, dass man von den Punkten
außerhalb des Kreisbogens aus unter einem größeren und von den Punkten innerhalb des
Kreisbogens aus unter einem kleineren Winkel zu sehen ist als α.
Als Folge des Satzes der Peripheriewinkel wurde der folgende Satz bewiesen:
Satz: Die Menge jener Punkte der Ebene, von denen aus eine gegebene Strecke AB unter
einem gegebenen Winkel α (0°<α<180°) zu sehen ist, besteht aus zwei Kreisbögen, die
symmetrisch zu der Geraden AB sind.
Auf der Abbildung ist die Form der Sehwinkelkreisbögen abhängig von α zu sehen.
Beispiel 2
Konstruiere ein Dreieck, wenn eine seiner Seite, der dieser Seite gegenüber liegende Winkel
und die zur Seite gehörende Höhe gegeben sind!
Lösung
Gegeben sind: die Seite BC  a , der Winkel α und ha. (Abbildung 17)
Die Seite BC sieht man von A aus unter dem Winkel α, deshalb liegt A auf einem der
Sehwinkelkreisbögen der Strecke BC mit dem Winkel α.
A ist von der Geraden AB um ha entfernt, deshalb liegt A auf einer der beiden Geraden, die zu
AB um ha entfernt parallel verlaufen.
Die der dritten Ecke des Dreiecks entsprechenden Punkte erhält man also als Schnittpunkte
der konstruierbaren Kreisbögen und der konstruierbaren Geraden, die parallel zu AB um h a
entfernt parallel verlaufen. (Abbildung 18)
Es ergeben sich 4, 2 oder 0 Lösungen abhängig davon, wie viele gemeinsame Punkte die
Parallelen und die Kreisbögen haben.
Das erhaltene Dreieck ist aber eindeutig bestimmt – abgesehen von der Kongruenz.
Aufgaben
1. Nimm eine Strecke und konstruiere die Menge jener Punkte der Ebene, von denen aus die
Strecke unter einem Winkel von ………………. zu sehen ist.
2. Die Winkel eines Dreiecks betragen ……………………… .
Welchen Winkel schließen die Seitengeraden mit den Tangenten ein, die am Umkreis in den
Ecken des Dreiecks liegen? Berechne die Winkel des Dreiecks, das die Tangenten bilden!
3. Lege in einen Kreis eine Sehne, deren Länge gleich dem Radius ist. Unter welchem Winkel
sieht man diese Sehne von den Punkten der Kreislinie aus?
4. An einem Kreis schließen die Tangenten??????, die von einem Punkt ausgehen, einen
Winkel von 76° ein. Unter welchem Winkel sieht man die Sehne, deren Endpunkte die
Berührungspunkte sind?
5. Nimm eine Gerade, zwei Punkte außerhalb der Geraden und einen konvexen Winkel.
Konstruiere Punkte der Geraden, von denen aus die von den gegebenen Punkten bestimmte
Strecke unter dem Winkel α zu sehen ist.
6. Konstruiere Punkte innerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks, von denen aus man die beiden
Katheten unter dem Winkel von 120° sieht. Unter welchem Winkel kann man die Hypotenuse
von diesem Punkt aus sehen?
7. Konstruiere ein Dreieck, wenn eine Seitenlänge, die Länge der zu dieser Seite gehörenden
Seitenhalbierenden und der dieser Seite gegenüber liegende Winkel gegeben sind!
8. Auf der Abbildung kann man den Zuschauerraum eines Theaters von oben sehen. An der
längeren Seite des Zuschauerraums befinden sich Logen. Gesucht ist die Loge (der Punkt der
längeren Seite des Zuschauerraums), von dem aus die Bühne unter dem größten Winkel zu
sehen ist.
Rätsel
Gegeben sind ein Kreis mit dem Radius von 4 cm ohne Kreismittelpunkt und ein
gleichschenklig-rechtwinkliges Geodreieck, dessen Kathete 20 cm lang ist. Suche den
Kreismittelpunkt mit Hilfe des gegebenen Geodreiecks und des Bleistiftes! (Außer
Geodreieck und Bleistift darf man nichts verwenden.)
Der Satz über Sehnenvierecke
Früher haben wir gesehen, dass jedes Dreieck einen Umkreis besitzt. Bei Vielecken ist es
nicht der Fall. Zum Beispiel hat ein konkaves Viereck auch keinen Kreis, der durch alle
Ecken geht. Unter den konvexen Vielecken gibt es auch solche – wie zum Beispiel die
Rhomben, die keine Quadrate sind –, die über keinen Umkreis verfügen. (Abbildung 19)
Im Weiteren werden Vielecke untersucht, die einen Umkreis haben.
Definition: Die Vielecke, die über einen Umkreis verfügen, werden Sehnenvierecke genannt.
Mit dieser Definition ist die folgende äquivalent:
Die Vierecke, deren Seiten Sehnen an einem Kreis sind, werden Sehnenvierecke genannt.
Nehmen wir ein Sehnenviereck und zeichnen wir seinen Umkreis (Abbildung 20)
Untersuchen wir zwei gegenüber liegende Winkel α und γ des Sehnenvierecks ABCD. α ist
ein Peripheriewinkel zum Bogen BD, der die Ecke C enthält. γ ist ein Peripheriewinkel zum
Bogen BD, der die Ecke A enthält. Aufgrund des Satzes über Zentri- und Peripheriewinkel
sind die entsprechenden Zentriwinkel 2α und 2γ. Die Summe von diesen ist aber der
Vollwinkel, das heißt
woraus folgt, dass
Da die Innenwinkelsumme des Vierecks 360° ist, beträgt die Summe der beiden anderen
Winkel auch 180°.
Der Satz über Sehnenvierecke: In einem Sehnenviereck beträgt die Summe zweier gegenüber
liegender Winkel 180°.
Man kann beweisen, dass die Umkehrung zum Satz auch wahr ist, also
Satz: Ist in einem Viereck die Summe zweier gegenüber liegender Winkel 180°, dann ist es
ein Sehnenviereck.
Damit ein Viereck Sehnenviereck ist, ist es eine notwendige und hinreichende Bedingung,
dass die Summe zweier gegenüber liegender Winkel im Viereck 180° beträgt.
Der Satz und seine Umkehrung zusammengefasst:
Ein Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn die Summe zweier gegenüber liegender
Winkel im Viereck 180° beträgt.
Beispiel 1
Beweise: Ein Trapez verfügt über eine Symmetrieachse, die durch keine Ecke geht, genau
dann, wenn es ein Sehnenviereck ist.
Lösung
Nehmen wir an, dass das Trapez eine Symmetrieachse hat, die durch keine Ecke geht.
Aufgrund der Symmetrie sind die Basiswinkel, die je an einer Basis liegen, gleich, also …….
und ………. (Abbildung 21)
deshalb
Nach dem Kehrsatz der Sehnenvierecke ergibt sich die eine Hälfte der Behauptung.
Um die andere Richtung zu beweisen, nehmen wir an, dass das Trapez Sehnenviereck ist. In
diesem Fall ist
Andererseits ist es auch wahr, dass die Summe der Winkel auf einem Schenkel 180°beträgt,
also
Nach dem Vergleich der entsprechenden Winkel erhalten wir, dass……….., woraus folgt,
dass das Trapez achsensymmetrisch ist an der gemeinsamen Mittelsenkrechten der Basen.
So wurde beantwortet, warum man in der Grundschule die Trapeze, die über eine durch keine
Ecke gehende Symmetrieachse verfügen, Sehnentrapeze nennt.
Beispiel 2
Man soll zeigen, dass, wenn man den Höhenschnittpunkt eines Dreiecks auf die Seiten
spiegelt, die Bildpunkte auf dem Umkreis des Dreiecks liegen. ?????
Lösung
Die Behauptung wird für spitzwinklige Dreiecke bewiesen. (Abbildung 22) Analog kann man
den Beweis für rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke führen.
Es reicht, die Spiegelung nur an einer Seitengeraden zu untersuchen, für die anderen gelten
ähnliche Überlegungen.
Es sei M der Höhenschnittpunkt und Fa, Fb und Fc die entsprechenden Höhenfußpunkte im
Dreieck ABC und M’ das Spiegelbild von M auf der Geraden BC. Das Viereck AFcMFb ist
Sehnenviereck, da zwei seiner gegenüber liegenden Winkel rechte Winkel sind, so
Die Winkel FcMFb und CMB sind Scheitelwinkel, deshalb
Wegen der Spiegelung
Das heißt, dass im Viereck ABM’C die Summe zweier gegenüber liegender Winkel 180°
beträgt, deshalb ist es ein Sehnenviereck aufgrund des Kehrsatzes der Sehnenvierecke. Da A,
B und C einen einzigen Kreis, den Umkreis des Dreiecks bestimmen, liegt M’ auf diesem
Kreis.
Aufgaben
Welche Behauptungen sind richtig und welche falsch?
Ist ein Viereck Sehnenviereck, dann ist es konvex.
Es gibt Deltoide, die Sehnenvierecke sind.
Alle Rhomben sind Sehnenvierecke.
Es gibt Parallelogramme, die Sehnenvierecke sind.
Hat ein Viereck zwei rechte Winkel, dann ist es ein Sehnenviereck.
Sind in einem Viereck zwei gegenüber liegende Winkel rechte Winkel, dann ist das Viereck
ein Sehnenviereck.
Es gibt achsensymmetrische Sehnenvierecke, die keine Trapeze sind.
Berechne die fehlenden Winkel eines Sehnenvierecks, wenn zwei benachbarte Winkel……….
sind.
In einem spitzwinkligen Dreieck sollen Lote von einem beliebigen inneren Punkt auf die
Seiten gefällt werden. Die drei erhaltenen Strecken zerlegen das Dreieck in drei Vierecke.
Was kann man über diese Vierecke sagen? Die Behauptung soll begründet werden.
Beweise: Ein Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn einer seiner Außenwinkel
gleich dem gegenüber liegenden Innenwinkel ist.
Man nehme ein Dreieck ABC mit seinem Umkreis. Man soll eine Parallele zur an den Kreis
in Punkt A gelegten Tangente zeichnen. Die Schnittpunkte dieser Parallelen mit den
Dreiecksseiten AB und BC sind D und E. Es soll gezeigt werden, dass das Viereck BCED
Sehnenviereck ist.
Über wie viele spitze Winkel kann ein Sehnenviereck verfügen?
Man soll beweisen, wenn man den Höhenschnittpunkt eines Dreiecks an einer der Seiten
spiegelt, so liegt der Bildpunkt auf dem Umkreis des Dreiecks.
Beweis: Bilden die inneren Winkelhalbierenden eines konvexen Vierecks ein Viereck, dann
ist dieses von den Winkelhalbierenden bestimmte Viereck ein Sehnenviereck.