Klausur Statistik - Schmidt

Prof. Dr. Peter Schmidt
Volkswirtschaftslehre & Statistik
FB Wirtschaft
Wintersemester 2001 / 2002
http://www.fbw.hs-bremen.de/~pschmidt
Statistik
@
Nachklausur Grundstudium
Freitag, 7. Dezember 2001 (14.00 - 15.30 Uhr)
 Im Multiple-Choice-Teil (Aufg. 1) ergibt jede richtige Lösung (zu einer Aussage) 1,5 Punkte.
Es können hier also insgesamt 30 Punkte erzielt werden (es werden keine Bonus-Punkte vergeben).
 Die Lösungen von Fill-In-Aufgaben (Aufg. 2 bis 5) sind in die dafür vorgesehenen Felder (Freiräume)
einzutragen. Dies gilt für Skizzen, Grafiken und Texte analog.
Die Lösungen gelten nur dann, wenn der vollständige Lösungsweg erkennbar ist !
 Es ist NUR in der gehefteten Klausur zu arbeiten. Als Konzeptseiten können die Rückseiten der Blätter
benutzt werden. Die Blätter müssen geheftet bleiben.
 Es können insgesamt 90 Punkte erreicht werden. Die erreichbare Punktzahl der einzelnen Aufgaben ist
angegeben. Da auch die Bearbeitungszeit 90 Minuten beträgt, sind die Punktzahlen ein Anhalt für die sinnvolle
Bearbeitungszeit der Aufgaben. Bearbeiten Sie möglichst viele Aufgaben.
 Zulässige Hilfsmittel:
Bitte schreiben Sie nicht mit roten Stift.
- Formelsammlung ohne eigene Text-Anmerkungen (Formeln zugelassen),
- Taschenrechner ohne Textverarbeitungsfunktion.
 Überprüfen Sie zu Beginn die Klausur auf Vollständigkeit (5 Aufgaben auf 6 Seiten) und füllen
bitte vorab die unten stehenden Kästchen aus
(„Versuch“ = ich schreibe die Klausur zum ... Mal). 
Viel Erfolg !
Lösungshinweise !
Name:
Vorname:
1. Versuch:
2. Versuch:
Wenn zutreffend, unbedingt ankreuzen  3./4. Versuch:
MatrikelNr:
Bitte beantworten Sie die folgenden Fragen:
Alter:
Studiengang:
Semester:
Geschlecht:
Berufsausbildung (J/N):
Diese Angaben werden -natürlich- nicht zusammen mit Ihrem Namen/Matr.Nr. gespeichert, sondern dienen ausschließlich statistischer Auswertung!
Aufg.
Punkte:
Ab hier bitte nichts beschriften oder ankreuzen:
1. MC
(30)
2
(14)
Datum:
3
(18)
Note
4
(10)
5
(18)

(90)
Unterschrift
Achtung: Bitte keinen Leistungsnachweis-Bogen beilegen!
Die benotete Klausur ist Ihr Leistungsnachweis
Lösungshinweise
Aufgabe 1 Multiple Choice Bitte kreuzen Sie an - Erläuterungen sind nicht erforderlich.
Hinweis: Eine Multiple-Choice-Aussage ist nur „richtig“, wenn die Aussage immer gilt. Gibt es ein
einziges Gegenbeispiel, so ist sie „falsch“.
[je 1,5 Punkte  Gesamt 30 Punkte]
richtig
falsch
Welche Aussage ist richtig?
X
1.1
Die Anzahl von Reisig-Borsten bei den 20 Besen einer Stichprobe ist eine
Zufallsvariable.
X
1.2
Wenn  X bei einer Stichprobe von 100 Besen = 2 ist, dann kann die
Grundgesamtheit N(15,20) verteilt sein.
1.3
Wenn bei einer Regression a=1 und b=1 ist, dann kann R2 = 0 und r < 0 sein.
1.4
Eine Lorenzkurve entspricht der Gleichverteilungsgraden, wenn alle
Untersuchungseinheiten gleiche Merkmalsausprägungen haben.
1.5
Wenn sich bei einem für 2 Güter berechnetem Preisindex der eine Preis
verdoppelt und der andere halbiert, nimmt der Index einen Wert von 100 an
1.6
Eine KQ-Regression basiert darauf, daß die Summe der quadrierten Residuen
minimiert wird.
1.7
Ein Preisindex ist ein gewogenes geometrisches Mittel aus Preissteigerungen.
1.8
Der Modalwert läßt sich für metrisch skalierte Merkmale bestimmen.
X
1.9
Das geometrische Mittel hat immer einen Wert über 1.
X
1.10 Wenn sich alle Preise erhöhen, ist LP immer gleich PP.
X
X
X
X
X
X
X
1.11 Die Grenzen eines Konfidenzintervalles sind Realisationen von Zufallsvariablen
X
X
1.12 Scheinkorrelationen weisen einen außergewöhnlich niedriges R2 auf
1.13 Die relative Häufigkeit unterscheidet sich von der prozentualen durch den
Faktor 100
X
X
1.14 Je größer der Anstieg der Regressionsgraden, desto größer ist der BravaisPearson-Korrelationskoeffizient
1.15 Gleitende Durchschnitte bereinigen u.a. saisonale Schwankungen
X
1.16 Wenn man eine Stichprobe mit n > 50 zieht, ist das Merkmal in der
Grundgesamtheit immer normalverteilt
X
1.17 Eine Verhältnisskala ist automatisch stetig (kann beliebig viele Werte
annehmen)
X
1.18 Ein Preisindex von 125 für 2000 zur Basis 1995 bedeutet, daß die
Preise im Durchschnitt um 5 % pro Jahr gestiegen sind.
X
1.19 Ein Histogramm kann bei gleichen Klassenbreiten verwendet
werden.
X
1.20 Das LKM mißt die Fläche unter der Gleichverteilungsgrade.
Statistik@Hogwarts - Schmidt - Wintersemester 2001/2002
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Seite 2
Lösungshinweise
Aufgabe 2 Im Fach „zauberhafte Zahlenwelten“ werden die Grundlagen der trimagischen
Statistik unterrichtet.
[Gesamt: 14 Punkte]
Aufgabe 2.1 Ordnen Sie die folgenden Merkmale unterschiedlichen Skalen und Merkmalstypen zu
[4 Punkte]
Einkommen der Eltern - Haarfarbe der Schüler - Alter der Lehrer - Anzahl der Stufen zum Schlafraum Geschlecht - Abstammung (Ausprägungen: Muggel oder Zauberer) - Schulfächer - Schulnoten - Anzahl der
Punkte in der Abschlußprüfung
Bei (möglicher) Einordnung in mehrere Zellen bitte Erläuterung bzw.
Beispiel.
Skala
nominal
ordinal
metrisch
Merkmalstyp
diskret
Haarfarbe, Geschlecht,
Abstammung (aus z.B.
Harrys Sicht),
Schulfächer
Abstammung (aus z.B.
Malfoy-Sicht), Schulnoten
Einkommen
Alter (in Tagen o.ä.)
stetig
Aufgabe 2.2
Alter (in Jahren)
Anzahl Stufen, Anzahl
Punkte
Erläutern Sie in Ihren eigenen Worten die unterschiedliche Skalierung der in einer Klausur erzielten Punkte und
der daraus ermittelten Schulnoten.
[2 Punkte]
Punkte beinhalten die volle Information über absolute und relative Höhe, Abstände, Verhältnisse -> Verhältnisskala.
Noten sind künstlich erzeugte Informationen, die nicht mehr die o.a. Informationen beinhalten, sondern nur noch die
Reihenfolge (Rang)
Aufgabe 2.3
Was folgert aus dieser Unterscheidung für statistische Auswertungen? Zwei Beispiele [2 Punkte]
Es dürfen nur statistische Maße für metrische Daten benutzt werden.
Bsp. Mittelwert: nur Median oder Modus, kein arithmetisches Mittel
Bsp. Streuungsmaße: nur SW oder DAA (auf Basis des ZW), aber keine Varianz / StAbw
Aufgabe 2.4
Für das Anmischen eines Zaubertrankes brauchen die Schüler unterschiedlich lange. Teilen Sie die folgenden
Minuten-Angaben in 5 gleichgroße Klassen ein, ermitteln Sie absolute und prozentuale Häufigkeiten und
zeichnen Sie ein Histogramm
[6 Punkte]
3; 3; 6,5; 7,5; 9; 10; 10; 12; 15; 25; 25; 25; 30; 32; 32; 35
Klassierte Aufbereitung:
Klasse
Obergrenze
1
7
2
14
3
21
4
28
5
35
relat. Häufigkeit fi
prozent. Hfk fi %
3
0,1875
18,75%
0,42857
5
0,3125
31,25%
0,71429
1
0,0625
6,25%
0,14286
3
0,1875
18,75%
0,42857
4
0,25
25,00%
0,57143
16
1
100,00%
Summen:
0,80000
0,71429
Histogramm
0,70000
0,57143
0,60000
0,50000
Dichte = ni/ xi
absolute Anzahl ni
0,42857
0,42857
0,40000
0,30000
0,20000
0,14286
0,10000
0,00000
1
2
3
4
5
Anmerk ung: Die Klassen sind gleich breit, so daß ein Histogramm nich unbedingt nötig war.
Aber da es nun einmal gefragt war, müssen die Flächen aneinander stoßen
Die Ermittlung der Dichte ändern nichts am Bild (gegenüber der Darstellung von ni),
gehört aber grundsätzlich zum Histogramm.
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Lösungshinweise
Aufgabe 3 Für 8 Jahre liegen Werte für die Werbeausgaben X von Hogwarts in Goldsickeln
für Zeitungsanzeigen und die jeweilige Schüler-Anmeldezahlen Y vor.
[Gesamt: 18 Punkte]
Aufgabe 3.1 Beschreiben Sie den Zusammenhang mit einer linearen KQ-Regressionsanalyse.
[5 Punkte]
Aufgabe 3: X: Werbeausgaben; Y: Anmeldungen
Ermittlung R^2
(Yi^ - y_q) 2 (Yi - y_q) 2
1, 5
1
0,5
0
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
12
22
19
33
16
18
22
Yi
92
128
122
170
105
115
125
xi2
144
484
361
1089
256
324
484
xi * Yi
1104
2816
2318
5610
1680
2070
2750
Yi^
89,9
127,5
116,2
169,0
104,9
112,5
127,5
8
18
103
324
1854
160
960
3466
20202
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
3.1) REGRESSION:
n=
Mittelwerte:
x_q =
20,0
y_q =
120,00
a=
b=
1, 2
784,0
56,76
64,0
14,19
4,0
2398,05
2500,0
=
227,03
225,0
0,98176
56,76
25,0
56,76
25,0
112,5
56,76
289,0
960
3774
3916
8
=
Wurzel R2
2
R =
0,964
3.2) Erwartete Werte:
xi
Yi^
Hilfsrechungen:
44,66
3,77
r
908,14
0
40
95040 / 2128
8016 / 2128
44,7
195,3
180
Streudiagramm (Punktwolke)
160
140
120
100
80
60
y = 3,7669x + 44,662
R2 = 0,9639
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Schätzfunktion: y^ = 44,66 + 3,77 x
Aufgabe 3.2 Welche Anmeldezahlen sind zu erwarten, wenn keine Werbung getätigt würde?
Welche bei Einsatz von 40 Goldsickeln?
[2 Punkte]
s.o.: x = 0 => y^=44,7 (=a)
x = 40 => y^ = 195,3
Aufgabe 3.3 Prof. Lupin bezweifelt die Gültigkeit dieser Aussagen und bezeichnet sie als „faulen
Zauber“. Ermitteln Sie die Güte der Regression. Können Sie Lupins Zweifel zerstreuen? [4 Punkte]
s.o. R2 = 0,964.
Das ist ein recht hoher Wert und sollte Lupin überzeugen.
Aufgabe 3.4 Was bedeutet das in Aufgabe 3.3 ermittelte Maß in Worten?
[2 Punkte]
Über 96% der Schwankungen der y-Werte werden durch die Regression erklärt.
Aufgabe 3.5 Ermitteln Sie den Korrelationskoeffizienten nach Bravais/Pearson.
[1 Punkt]
Bei linearer Einfachregression gilt: r = Wurzel ( R2 )  r = 0,982
Aufgabe 3.6 Zeichnen Sie den Zusammenhang. In der Zeichnung sollen die Ursprungswerte, die
geschätzten und die in Aufgabe 3.2 ermittelten Werte deutlich erkennbar sein.
[4 Punkte]
Siehe Abbildung oben
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Lösungshinweise
Aufgabe 4 Die Schülerinnen und Schüler beschweren sich bei der Schulleitung, daß die
Einkäufe in Hogsmead immer teurer werden. Der Ökonomielehrer, Prof. Keynes untersucht
das Einkaufsverhalten der zauberhaften Kids in zwei aufeinanderfolgenden Jahren (J1, J2)
und stellt folgende Zahlen fest (Preise in Knuts (Kn)):
[10 Punkte]
Produkt
ME
Tinte
ml
10
11
Kn 5,80
Kn 5,70
Federn
Stk.
5
4
Kn 2,40
Kn 2,20
Schokofrösche
Stk.
18
30
Kn 2,20
Kn 1,80
Flaschen
3
5
Kn 0,90
Kn 1,00
Butterbier
Menge J1 Menge J2 Preis J1
Preis J2
Aufgabe 4.1 Berechnen Sie den Preisindex nach Laspeyres für J1 zur Basis J2.
[4 Punkte]
s.u. LP=92,1
der Preisindex ist kleiner 100, die Preise sind also durchschnittlich gesunken.
Aufgabe 4.2 Errechnen Sie die absolute und prozentuale Änderung der Ausgaben, die der
Zaubernachwuchs für seine Lebenshaltung getätigt hat
[3 Punkte]
Preisindex
Produkt
ME
Tinte
ml
Stk.
Federn
Schokofrösche
Stk.
Butterbier
Flaschen
Symbole:
Verbrauch
Menge J1
Menge J2
10
11
5
4
18
30
3
5
q0
q1
Preise
Preis J1
Preis J2
Kn 5,80
Kn 5,70
Kn 2,40
Kn 2,20
Kn 2,20
Kn 1,80
Kn 0,90
Kn 1,00
p0
p1
Ausgaben
p*q J1
p*q J2
Kn 58,00
Kn 62,70
Kn 12,00
Kn 8,80
Kn 39,60
Kn 54,00
Kn 2,70
Kn 5,00
Kn 112,30
Kn 130,50
Ausgabenentwicklung:
Ermittlung der PREIS-Indices:
Laspeyres:

Index: LP
p1 * q0
p0 * q0
57
11
32,4
3
103,4
0,9207
58
12
39,6
2,7
112,3
Steigerungen
+16,2%
(10)
92,1
Aufgabe 4.3 Was werden Keynes und Dumbledore den Beschwerdeführern antworten?
(= Interpretieren Sie die in 4.1 und 4.2 ermittelten Befunde)
[3 Punkte]
Das Preisniveau in Hogsmead ist nicht gestiegen, sondern gefallen. Die Kids geben nur mehr aus,
weil sie sich mehr Süßkram kaufen. Die Professoren werden Ihnen nahe legen, erst nach zu denken
und sich dann laut zu beschweren. Eventuell steht im nächsten Jahr ein vertiefter Mathe oder
Statistik-Schein auf dem Programm ;-)
Statistik@Hogwarts - Schmidt - Wintersemester 2001/2002
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Lösungshinweise
Aufgabe 5 Im Unterricht Zaubertränke bei Prof. Snape gibt es zwei Gruppen von Schülern: 22 Schüler aus
Gryffindor (Gruppe G) und 26 Schüler aus Hufflpuff (Gruppe H). Der durchschnittliche Punktabzug für
Schwatzen während des Unterrichts beträgt bei G 10,1 Punkte und bei H 9,6 Punkte jeweils mit einer
Standardabweichung von 2 Punkten.
[Gesamt: 18 Punkte]
Aufgabe 5.1 Snape geht davon aus, daß er beide Gruppen gleich behandelt. Testen Sie diese Aussage mit
einem Konfidenzniveau von 95 %.
[7 Punkte]
Test auf Mittelwertdifferenz: (8.3.5 Zweistichprobentest)
Informationen
ni
Mittelwerte
Standardabweichungen
Stichprobe 1 (G)
n1 = 22
x 1 = 10,1
s1 = 2
Stichprobe 2 (M)
n2 = 26
x 2 = 9,6
s2 = 2
1) Hypothese: Ho: x 1 - x 2 = 0  x 1 = x 2
2)  = 0,05 lt. Aufgabenstellung
3) bei Mittelwertdifferenz keine Fallunterscheidung (auch keine Ermittlung von  x oder  p̂ )
5) t 
4) tc = 2,013
6) |tx| > |tc| ?
7)
x1  x2
s12 s 22

n1 n2
= 0,86
Nein  H0 nicht verwerfen !
Die Mittelwerte unterscheiden sich nicht signifikant //
Snape behandelt die Gruppen ähnlich.
Aufgabe 5.2 Prof. McGonagall geht davon aus, daß sie in diesem Schuljahr im Durchschnitt 10 Pluspunkte
pro Schüler vergeben hat. In einer Stichprobe von 49 Schülern ergibt sich ein Mittelwert von 9,55 bei einer
Standardabweichung von 1,4. Prüfen Sie mit einem Hypothesentest, ob McGonagalls Annahme richtig ist.
Die Irrtumswahrscheinlichkeit sei 5 %, jede Abweichung sei unerwünscht, die Population normalverteilt. [7 Punkte]
Beobachtungen
Mittelwert
Standardabweichung
Verteilung
Grundgesamtheit
k.A.
Behauptung: 0= 10
k.A.
normalverteilt
Stichprobe
49
Informationen
1) Hypothesen:
x = 9,55
Ho:  = o = 10 und H1:   o  zweiseitig kritischer Bereich
2)  = 5 % lt. Aufgabenstellung
3)  unbekannt, n > 30  3. Fall
4) F(zc) = 1-   zc = 1,96
5) zx = -2,25
oder
  x = 0,2
6) |zx|< |zc|  H0 verwerfen
7)
1,4
cu = 9,608 ; co = 10,392
x < co  H0 verwerfen
Aussage kann nicht aufrechterhalten werden, der Mittelwert dürfte unter 10 Punkten liegen.
Aufgabe 5.3 Skizzieren Sie die Testentscheidung aus 5.2 zeichnerisch
[4 Punkte]
Zeichnen Sie für den Test des Mittelwertes für die Hypothese H0: die Dichtefunktion f(x); die Mittelwerte µ0 und x ; die
Ober- und Untergrenzen des kritischen Bereiches; die Ablehungs- und Nichtablehnungsbereiche; Die Flächen von  und
(1 - ); stellen Sie dabei die Abszisse in zwei Varianten dar: eine Achse für den Stichprobenmittelwert x und eine Achse
für die standardisierte Variable z.
(vgl. Skizzen in Statistik-Büchern oder Materialsammlung)
Achtung, die Abszisse ist ein x -Achse (keine x-Achse). Entsprechend war die
Ordinate mit f( x ) (und f(z)) zu kennzeichnen!
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