Unterricht Mathematik Vorbereitungslehrgang VB

748918146
UNTERRICHT
ZUR VORBEREITUNG AUF DEN
UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN
REALSCHULREIFELEHRGANG
ODER
FACHSCHULREIFELEHRGANG
DER
BUNDESWEHRFACHSCHULE
M A T H E M A T I K
LEHREINHEIT 06
INHALT: Rechnen mit negativen Zahlen
1 / 24
Stand: 01.07.2006
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6. RECHNEN MIT NEGATIVEN ZAHLEN
3
6.1
Die Zahlengerade
4
6.2
Zahlen als Pfeile (Vektoren)
5
6.3
Addition
6
1. Fall: Die Addition von 2 Zahlen mit gleichen Vorzeichen
6
2. Fall: Die Addition von 2 Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen 8
Der Sonderfall „0“
10
Die Addition von mehr als 2 Zahlen
10
6.4
Subtraktion
11
6.5
Multiplikation
Die Multiplikation von mehr als 2 Zahlen
14
15
6.6
Potenzen
18
6.7
Division
19
Aufgaben zur Lehreinheit 06
20
Lösungen der Übungen und Aufgaben
21
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Stand: 01.07.2006
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6. Rechnen mit negativen Zahlen
Zeigt das Thermometer an einem
Wintertag 3° an und fällt im Laufe
der Nacht um 5°, so bezeichnet
man den neuen Thermometerstand
mit 2° unter Null oder „-2°“, gelesen „minus 2 Grad“.
+3
+2
+1
0
Steigt die Temperatur am folgenden
Tag um 4°, so werden 2° über Null
angezeigt, geschrieben „+2°“, gelesen „plus 2 Grad“.
0
-1
-2
-3
Diese Veränderungen kann man mathematisch so ausdrücken:
+3° - 5° = -2°,
das Ergebnis ist eine negative Zahl,
-2° + 4° = +2°,
das Ergebnis ist eine positive Zahl.
Die Zeichen „+“ bzw. „-“ haben dabei jeweils zwei Bedeutungen:
1. als Rechenzeichen für die Abnahme bzw. Zunahme der Temperatur
2. als Vorzeichen für Temperaturangaben wie -2°, +2°.
Dieser Bedeutungsunterschied kann zu Schwierigkeiten beim
Rechnen führen. Beachten Sie dazu besonders die Teilkapitel
6.3 und 6.4.
Beim Taschenrechner werden Rechen- und Vorzeichen deutlich
unterschieden. Für die Rechenzeichen werden die Tasten
+
und
-
„-“ die Taste
+/-
benutzt, dagegen benötigt man für das Vorzeichen
!
Die Berechnung der obigen Temperaturveränderungen geschieht
mit Hilfe des Taschenrechners so:
3
-
2
+/-
5
+4
=
,
das Ergebnis ist -2;
=
,
das Ergebnis ist 2.
Das Rechnen mit negativen Zahlen (LE 06) ist eine wichtige Voraussetzung für Umformungen mit Variablen (LE 07). Beides ist
wiederum von entscheidender Bedeutung für das Lösen von
Gleichungen und Ungleichungen (LE 09).
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Stand: 01.07.2006
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6.1 Die Zahlengerade
In LE 01/1.1 wurde der Zahlenstrahl behandelt. Man erhält eine
Zahlengerade, wenn man zusätzlich Zahlen wie -2, -3 usw. darstellen möchte.
-4
-3
-2
-1 -0,5 0
1
2
3
4
5
6
Die Zahlengerade enthält verschiedene Arten von Zahlen.
Rechts von der 0 liegen die positiven Zahlen, links von der 0 liegen die negativen
Zahlen.
Die Zahlen 0; 1; 2; 3.... heißen natürliche Zahlen (siehe LE 01/1.1).
Die Zahlen 1; 2; 3.... heißen positive ganze Zahlen.
Die Zahlen .... -3; -2; -1 heißen negative ganze Zahlen.
Die Zahlen .... -3; -2; -1; 0; 0; 1; 2; 3.... heißen ganze Zahlen.
Sie sind „nach beiden Seiten“ unbegrenzt.
Je zwei benachbarte ganze Zahlen haben auf der Zahlengeraden immer eine Einheit
als Abstand (siehe LE 01/1.1).
Zwischen den ganzen Zahlen befinden sich „Kommazahlen“ bzw. Brüche z.B.
- 2, 5
-
;
1
2
-3
;
1
4
;
3
4
;
2, 8
Das Zeichen „-“ ist ein fester Bestandteil einer negativen Zahl, es heißt Vorzeichen.
Zur Verdeutlichung und Unterscheidung können positive Zahlen mit dem Vorzeichen
„+“ gekennzeichnet werden, z.B.
3
+1; +2; +3;  ; +2,8
4
Achtung!
Von zwei auf der Zahlengerade liegenden Zahlen ist die links liegende
immer die kleinere Zahl, d.h. z.B.:
+2 < +5, -2 < 0, -7 < -4
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6.2 Zahlen als Pfeile (Vektoren)
„Oho! Was wird denn das?“
„Es soll ein Versuch sein, das Rechnen mit negativen Zahlen zu
erklären!“ Jede Zahl hat als Punkt einen festen Platz auf der Zahlengeraden. Sie hat damit einen bestimmten Abstand von der Null. So
ist z.B. die Zahl +3 auf der abgebildeten Zahlengeraden 3 cm
(3 Längeneinheiten) von Null entfernt. Eine Zahl kann somit auch
durch die Länge einer Strecke veranschaulicht werden. Nun ist aber
die Zahl -3 ebenfalls 3 cm von Null entfernt. Beide Zahlen haben
bezüglich der Null die gleiche Streckenlänge. Man sagt, sie haben
den gleichen Betrag 3.
|
|
|
|
|
|
|
-3
-2
-1
0
1
2
3
3 Längeneinheiten
3 Längeneinheiten
Unter dem Betrag einer Zahl versteht man allgemein die Länge der
Strecke (in Längeneinheiten) von Null bis zu dieser Zahl.
Um Zahlen wie -3 und +3 geometrisch unterscheiden zu können
(gleicher Betrag!), gibt man zusätzlich eine Richtung an. Man erhält
einen Pfeil (Vektor). Die Richtung des Pfeils wird durch das Vorzeichen
bestimmt. Ein „+“ bedeutet Pfeil nach rechts, „-“ bedeutet Pfeil nach
links. Zur besonderen Kennzeichnung eines Pfeils wird die Zahl einschließlich des Vorzeichens in eine Klammer gesetzt (siehe Abbildung).
|
|
|
|
|
|
|
-3
-2
-1
0
1
2
3
(-3)
(+3)
Zwei Zahlen mit gleichem Betrag aber entgegen gesetzter Richtung
heißen Gegenzahlen. So ist z.B. -3 Gegenzahl von +3 (und umgekehrt).
Mit Hilfe von Pfeilen und des Begriffs „Gegenzahl“ werden in 6.3 Rechen- und
Vorzeichenregeln bei der Addition von negativen Zahlen veranschaulicht.
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6.3 Addition
In 6.2 wurde geklärt, dass man eine Zahl auch als Pfeil darstellen kann.
Der Pfeilanfang liegt in Null, die Pfeilspitze liegt auf der Zahl. Ein derartiger Pfeil lässt
sich auf der Zahlengeraden verschieben (siehe Abbildung), wodurch sich die
Addition erklären lässt.
(-2)
(-2)
|
|
|
|
|
|
|
|
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
(+2)
|
|
4
5
(+2)
|
6
(+2)
Man kann bei der Addition zwei Fälle unterscheiden:
1. Fall: Es werden 2 Zahlen mit gleichen Vorzeichen addiert.
2. Fall: Es werden 2 Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen addiert.
1. Fall: Die Addition von 2 Zahlen mit gleichen Vorzeichen:
Beispiel:
Zur Zahl +3 soll die Zahl +2 addiert werden. In der Abbildung wird
dies mit Hilfe von Pfeilen dargestellt. An die Pfeilspitze des Pfeils (+3)
wird der Pfeilanfang des Pfeils (+2) angelegt (siehe Abbildung). Beide
Pfeile zusammen entsprechen dem Pfeil (+5).
(+3)
(+2)
|
|
|
|
|
|
|
0
1
2
3
4
5
6
(+5)
Man kann dies so schreiben: (+3) + (+2) = (+5), kurz 3 + 2 = 5
Regel für die Addition von Pfeilen:
Der Anfang des 2. Pfeils wird an die Spitze des 1. Pfeils gelegt (Pfeilanfang an
Pfeilspitze); der Ergebnispfeil geht vom Anfang des 1. Pfeils bis zur Spitze des 2.
Pfeils.
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Diese Regel lässt sich auf die Addition von negativen Zahlen übertragen.
Beispiel:
(-3)
(-2)
|
|
|
|
|
|
|
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
(-5)
Mit Hilfe der Abbildung ist zu erkennen: (-2) + (-3) = (-5)
kurz: -2 + (-3) = -5
(In der Kurzschreibweise lässt man die zweite Klammer stehen, weil nie zwei
Zeichen direkt hintereinander stellen sollten.)
Sie sehen:
Eine Addition von Zahlen mit gleichen Vorzeichen bedeutet, dass die
entsprechenden Pfeile die gleiche Richtung haben. Der Ergebnispfeil
weist ebenfalls in diese Richtung. Er ist so lang wie beide Pfeile
zusammen.
1. Rechenregel für die Addition
Zwei Zahlen mit gleichen Vorzeichen werden addiert, indem man ihre Beträge
(„Längen“) addiert und das Vorzeichen beibehält.
Beispiel:
(-7) + (-5) = - 12
Mit Hilfe des Taschenrechners:
Übung 1:
Berechnen Sie:
a) (+6) + (+3)
d) -12 + (-7)
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b) (-8) + (-12)
e) -8 + (-18)
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(-)
7 +
(-) 5
c) (-3,5) + (-2,6)
f) -12 + (-12)
= , das Ergebnis ist -12.
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2. Fall: Die Addition von 2 Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen:
Beispiel: Wie lautet das Ergebnis, wenn man zur Zahl +3 die Zahl -5 addiert?
Nach der Regel „Pfeilanfang an Pfeilspitze“ gilt:
An die Pfeilspitze des Pfeils (+3) wird der Pfeilanfang des Pfeils (-5) angelegt (siehe
Abbildung). Der Ergebnispfeil geht vom Anfang des 1. Pfeils bis zur Spitze des 2.
Pfeils. In diesem Fall ist dies der Pfeil (-2).
(+3)
(-5)
|
|
|
|
|
|
|
|
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
(-2)
Das bedeutet:
(+3) + (-5) = (-2)
Diese Addition entspricht der Subtraktion 3 – 5 = -2 (vergleichen
Sie mit dem „Temperaturbeispiel“ am Anfang dieser Lehreinheit:
3° - 5° = -2°). Die negative Zahl -5 zu addieren ist also das Gleiche wie 5 zu
subtrahieren!
Beispiel:
Zur Zahl +5 soll nun die Zahl –3 addiert werden.
(+5)
(-3)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
(+2)
Man erhält (+5) + (-3) = (+2), dies entspricht der Subtraktion 5 – 3 = 2
Ein Vergleich der beiden Beispiele zeigt, dass die Richtung des Ergebnispfeils und
damit das Vorzeichen des Ergebnisses durch den längeren der beiden zu
addierenden Pfeile bestimmt wird.
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Bevor diese Erkenntnisse als Rechenregel formuliert werden, beachten
sie bitte noch Folgendes:
Die Reihenfolge spielt bei der Addition keine Rolle!
So gilt z.B.
2 + 3 = 5,
ebenso wie 3 + 2 = 5 ist,
entsprechend gilt (+3) + (-5) = (-2),
ebenso wie (-5) + (+3) = (-2)
und
(+5) + (-3) = (+2),
ebenso wie (-3) + (+5) = (+2).
(Prüfen Sie das mit Hilfe von Pfeilen nach!)
Für die Addition gilt das Vertauschungsgesetz!
(+3) + (-5) = (-5) + (+3),
(+5) + (-3) = (-3) + (+5).
2. Rechenregel für die Addition
Zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen werden addiert, indem
man ihre Beträge („Längen“) subtrahiert, wobei vor dem Ergebnis
das Vorzeichen derjenigen Zahl steht, die den größeren Betrag hat.
Das hört sich ziemlich kompliziert an - ist aber richtig. Entscheidend
ist, dass sie die folgenden Beispiele verstehen und die Übung 2
möglichst fehlerfrei erledigen.
Beispiele:
a) positive Zahl + negative Zahl:
(+7) + (-5) = 7 – 5 = + 2 = 2
(+3) + (-9) = 3 – 9 = - 6
b) negative Zahl + positive Zahl:
Es gibt 2 Möglichkeiten:
1) Man kann die Zahlen vertauschen und rechnen wie in a)
(-8) + (+12) = (+12) + (-8) = 12 – 8 = + 4 = 4
(-6) + (+5) = (+5) + (-6) = 5 – 6
=-1
2) Man kann direkt rechnen
(-8) + (+12) = -8 + 12
= +4 = 4 (vgl. –8° + 12° = +4°)
(-6) + (+5) = -6 + 5
= -1
Übung 2:
Berechnen Sie:
a) (+15) + (-8)
d) (-18) + (+10)
g) -8 + 6
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b) (+32) + (-36)
c) (-14) + (+16)
e) (-6) + (+6) f) (-8) + 0
h) 5 + (-7)
i) -12 + 13
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Der Sonderfall „0“:
In den Übungen e) und f) spielt die 0 eine Rolle. Man kann
folgende Regeln erkennen:
1. Die Addition von Gegenzahlen ergibt stets 0.
2. Der Wert einer Zahl ändert sich nicht, wenn 0 addiert wird
(das ist auch gut so!).
Beispiel:
(+8) + (-8) = 0,
0 + (-12) = -12
Die Addition von mehr als 2 Zahlen:
Beispiel:
(+15) + (+11) + (-5) = ?
Man kann 2 beliebige Zahlen addieren und anschließend zu diesem
Ergebnis die fehlende Zahl. Dabei sollte man „möglichst früh“ die
Klammern „auflösen“.
(+15)+(+11)+(-5)
= 15+11 - 5
=
=
26
21
-5
oder (+15)+(+11)+(-5)
= 15 + (11-5)
oder (+15)+(+11)+(-5)
= 15 – 5 + 11
= 15 + 6
=
21
= 10 + 11
=
21
Übung 3:
Berechnen Sie:
a) (+6) + (+13) + (-3)
c) (-8) + (+14) + (-20)
e) 12 + 18 + (-8)
b) (+22) + (-8) + (-9)
d) (-4) + (-3) + (-2) + (-1)
f) 14 + (-9) + 9
Übungen zu 6.3
1. Berechnen Sie mit Hilfe von Pfeilen an der Zahlengeraden:
a) (+ 4) + (-3)
b) (-6) + (+2) c) (-3) + (-1)
2. Berechnen Sie:
a) (-14) + (-3) + (+18)
c) (-8) + (+5) + (-12)
e) (+3,8) + (-1,7) + (-0,9)
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Stand: 01.07.2006
b) (+12) + (+13) + (-18) + (-2)
d) (-16) + (+4) + (+26) + (-18)
f) (-5,6) + (+6,1) + (-0,1)
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6.4 Subtraktion
In der Abbildung ist die Addition (+2) + (+3) = (+5) dargestellt.
Nimmt man von dem Pfeil (+5) den (Pfeil (+3) wieder weg, so
entspricht dies der Subtraktion (+5) – (+3), der Ergebnispfeil ist
(+2). Den gleichen Ergebnispfeil erhält man bei der Addition
(+5) + (-3) = (+2).
(+3)
(+2)
(+5)
|
|
|
|
|
|
|
0
1
2
3
4
5
6
Subtraktion
von (+3)
(+5)
(+2)
(+3)
Addition
von (-3)
(+5)
(+2)
(-3)
+3 und -3 sind Gegenzahlen. Man kann folgende vorteilhafte
Rechenregel formulieren.
Rechenregel für die Subtraktion:
Die Subtraktion einer Zahl ist das gleiche wie die Addition der
Gegenzahl.
Anders ausgedrückt: Man kann eine Zahl subtrahieren, indem
man ihre Gegenzahl addiert.
Beispiel:
a) (+3) – (+5) = (+3) + (-5) = 3 – 5
b) (+3) – (-5) = (+3) + (+5) = 3 + 5
c) (-3) – (+5) = (-3) + (-5) = -3 – 5
d) (-3) – (-5) = (-3) + (+5) = -3 + 5
=-2
= +8 = 8
=-8
= +2 = 2
Möglicherweise sind sie jetzt doch sehr verblüfft und schauen
besonders ungläubig auf die Beispiele b) und d). „So viele
Minuszeichen, das Ergebnis ist trotzdem positiv?“. Man könnte
versuchen, alle diese Möglichkeiten mit viel Aufwand an
der Zahlengeraden zu erklären, doch selbst dann würden wohl
noch einige Zweifel bleiben.
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Stand: 01.07.2006
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Vielleicht hilft Ihnen das folgende Beispiel:
Hat man auf der Bank ein Konto im Soll, so ist dies sicherlich etwas
Negatives. Nimmt dieses Soll ab, dann ist dies sicherlich ein positiver
Vorgang ( 500 € Soll – 300 € Soll = 200 € Soll)
entspricht (-500 €) – (-300 €) = -500 € + 300 € = -200 €.
Für das praktische Rechnen ist es nicht unbedingt erforderlich, dass man
die Subtraktion einer Zahl in die Addition der Gegenzahl umwandelt.
Beachten Sie vielmehr folgende Gesetzmäßigkeit:
(+5) + (+3) = 5 + 3 = 8
(-5) + (+3) = -5 + 3
(+5) + (-3) = 5 – 3 = 2
(-5) + (-3)
= -5 – 3
(+5) - (+3) = 5 – 3 = 2
(-5) – (+3) = -5 – 3
(+5) - (-3) = 5 + 3 = 8
(-5) – (-3)
= -5 + 3
= -2
= -8
= -8
= -2
D.h. steht direkt vor einer Zahl ein Rechenzeichen und ein Vorzeichen,
dann erhält man bei gleichen Zeichen immer „+“, bei verschiedenen
Zeichen immer „-“.
Übungen zu 6.3 und 6.4
1. Berechnen Sie wie oben:
a) (+8) + (-6)
b) (-4) + (+7) c) (-9) + (-3)
2. Berechnen Sie:
a) (+7) – (+3)
d) (+9) – (-5)
g) (-1) – (+8)
j) (-1) – (-1)
m) (+18) – (-15)
b) (+7) – (+9)
e) (+8) – (-12)
h) (-9) – (+6)
k) (-9) – (-7)
n) (-7) – (+9)
3. Berechnen Sie:
a) 14 – 6
b) -9 + 8
e) -12 + 12
f) -15 – 25
i) 6,4 – 2,3
j) -3,8 + 5,2
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Stand: 01.07.2006
c) -3 – 4
g) -7 – 0
k) -7,6 + 3,6
c) (+8) – (+8)
f) (+6) – (-6)
i) (-1) – (+1)
l) (-3) – (-8)
o) 0 - (-5)
d) 17 – 19
h) -10 – 10
l) -1,5 – 2,6
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4. Vorsicht Fehlerquelle!
50 – 16 – 6 = ?
richtig ist:
50 – 16 – 6
= 34
= 28
falsch ist:
50 – 16 - 6
≠ 50 - 10
-6
Man muss von links nach rechts rechnen, man kann also nicht wie bei
der Addition die Reihenfolge beliebig wählen.
(50 + 16 + 6 = 66 + 6 = 72 oder 50 + 16 + 6 = 50 + 22 = 72).
a) 42 – 18 – 8
d) -14 + 17 – 8
b) 15 – 9 + 7
e) -3 – 4 – 5
Beispiele:
3 7 6 7 6  7 1
1
   


4 8 8 8
8
8
8
3 2  9 10  9  10  19
19
  
 


5 3 15 15
15
15
15
5.
a)
4
7
−
5 10
d) -
g) -2
1 5
+
2 6
1
+4, 5
2
13 / 24
b)
c) 1
3
1
-2
4
4
1 1
+
3 2
f) -
3
5
−
8 12
1
1
-2
4
8
i) -
4 2
−
3 3
4
9
−
5 10
e) -
h) -3
Stand: 01.07.2006
c) 20 + 11 – 3
f) -10 – 12 + 25
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6.5 Multiplikation
Erinnern Sie sich an die Vorrangregel „Punktrechnung vor Strichrechnung“ in LE
01/1.3?
Was soll dieser Hinweis an dieser Stelle?
Mit Hilfe dieser Vorrangregel und einem kleinen „Trick“ sollen die
Rechenregeln der Multiplikation mit negativen Zahlen erklärt werden.
Man kann zwar auch hierbei das Modell „Darstellung an der Zahlengeraden“ benutzen, das ist z.B. für 2 ∙ (-3) auch leicht möglich
(siehe Abbildung: 2 ∙ (-3) = (-3) + (-3) = (-6)).
zweimal
(-3)
(-3)
|
|
|
|
|
-6
-5
-4
-3
-2
|
-1
|
0
(-6)
Problematisch wird dagegen eine Erklärung z.B. für (-4) ∙ (-3) !
Beachten Sie:
20 + (+4) ∙ (+3)
20 + (+4) ∙ (-3)
20 – (+4) ∙ (+3)
20 – (+4) ∙ (-3)
= 20 + (+12) = 20 + 12
= 20 + (-12) = 20 – 12
= 20 – (+12) = 20 – 12
= 20 – (-12) = 20 + 12
= 32
= 8
= 8
= 32
da + (+4) = (+4) und – (+4) = (-4) ist, erhält man:
(+4) ∙ (+3) = +12
d.h. + ∙ + = +
(+4) ∙ (-3) = -12
d.h. + ∙ - = (-4) ∙ (+3) = -12
d.h. - ∙ + = (-4) ∙ (-3) = +12
d.h. - ∙ - = +
Rechenregel für die Multiplikation:
Plus mal
Plus mal
Minus mal
Minus mal
14 / 24
Plus
Minus
Plus
Minus
Stand: 01.07.2006
ergibt
ergibt
ergibt
ergibt
Plus.
Minus.
Minus.
Plus.
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Übung 1:
Berechnen Sie:
a) (+9) ∙ (-3)
d) (+6) ∙ (+7)
g) (-5) ∙ (5)
j) -3 ∙ (-2)
m) (+4) ∙ (-2,5)
p) (-1,5) ∙ (-2,5)
b) (-4) ∙ (+7)
e) (-6) ∙ (-7)
h) (-6) ∙ 0
k) 6 ∙ (-4)
n) (-0,5) ∙ (1,5)
c) (+8) ∙ (-9)
f) (+12) ∙ (-1)
i) -6 ∙ (+5)
l) +1 ∙ (-1)
o) – 0,1 ∙ 45
Die Multiplikation von mehr als 2 Zahlen
Beispiel:
(+5) ∙ (-3) ∙ (-2) = ?
(+5) ∙ (-3) ∙ (-2)
oder (+5) ∙ (-3) ∙ (-2)
= - 15 ∙ (-2)
=
30
= (+5) ∙
=
30
oder (+5) ∙ (-3) ∙ (-2)
= (+5) ∙ (-2) ∙ (-3)
(+6)
=
=
-10 ∙
(-3)
30
Wie bei der Addition kann man auch bei der Multiplikation mehrerer Zahlen
in beliebiger Reihenfolge rechnen, dabei gilt auch das Vertauschungsgesetz.
Beispiel:
(-4) ∙ (+3) ∙ (-2) ∙ (-1) ∙ (+8) = ?
Beachten Sie: Das Produkt von jeweils zwei negativen Zahlen ist positiv.
Hat ein Produkt eine gerade Anzahl von negativen Faktoren,
dann ist das Ergebnis positiv, hat es eine ungerade Anzahl
von negativen Faktoren, dann ist es negativ.
Man zählt also die Minuszeichen und erhält so das Vorzeichen
für das Ergebnis. Man muss dann lediglich die Beträge
multiplizieren.
=
=
15 / 24
Stand: 01.07.2006
(-4) ∙ (+3) ∙ (-2) ∙ (-1) ∙ (+8)
-4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 8
-192
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Übung 2:
Berechnen Sie:
a) (+6) ∙ (-2) ∙ (-5)
c) 8 ∙ (-4) ∙ 3
e) -6 ∙ 5 ∙ 4
g) (-5) ∙ (-2) ∙ (+3) ∙ (-1)
b) (-5) ∙ (+8) ∙ (+2)
d) (-2) ∙ 10 ∙ (-1)
f) (-6) ∙ (-5) ∙ (-4)
h) (-2) ∙ (-3) ∙ (-4) ∙ (-5)
Übungen zu 6.5
1. Berechnen Sie:
a) (+12) ∙ (-5)
c) (+5) ∙ (-20) ∙ (-1)
e) (-2,5) ∙ (-10) ∙ (-2)
b) (-6) ∙ (-11)
d) (+1,25) ∙ (-4)
f) (-5) ∙ (-6) ∙ 0
Beispiel:
(-
2
3
) ∙ (+
3
8
)= -
2
3
(-
5
6
) ∙ (-
12
25
)=+
(-
3
8
) ∙ (+
5
4
) ∙ (-
∙
5
6
16
15
3
8
=12
25
∙
∙
1
1
=
3
8
)=+
1
1
∙
1
4
2
5
∙
5
4
1
4
=-
∙
=
16
15
2
5
=
1
2
Das Malzeichen zwischen den Klammern muss nicht geschrieben werden.
(siehe Aufgabe 2. a) – f) unten)
Mit Hilfe des Taschenrechners:
(-)
3
8 •
:
5
:
4
•
(-)
) +/-
16
:
Das Ergebnis ist 0,5.
2.
a)
+3
4
+8
15
c)
−3
10
−5
9
e)
−1
2
−2
3
16 / 24
Stand: 01.07.2006
−3
4
b)
+5
7
d)
−6
7
f) +8
−14
25
−21
−1
8
15 =
748918146
Beispiel:
=
=
=
(+3) ∙ (+2)
(+6)
6
-21
+ (+4) ∙ (-3)
+
(-12)
12
- (-5) ∙ (-3)
- (+15)
15
3. a) (-4) ∙ (-2) – (+3) ∙ (+2) + (+4) ∙ (-1)
b) (+5) ∙ (-1) + (-5) ∙ (-1) – (+5) ∙ (-1)
c) (-11) ∙ (-8) – (+3) ∙ (-4) + (-5) ∙ (-3)
d) (-13) ∙ (-2) + (-11) ∙ (+3) – (+12) ∙ (-4)
Beispiel:
=
=
=
4.
16 – 6 ∙ (-3) – 14
16 – (-18) – 14
16 + 18 – 14
20
a) 40 – 5 ∙ (-4) + 3
c) 72 – 6 ∙ 5 ∙ (-2)
17 / 24
Stand: 01.07.2006
b) – 20 + 6 ∙ (-3)
d) – 3 ∙ (-7) + 7
748918146
6.6 Potenzen
Potenzen wurden bereits in LE 03/3.1 behandelt.
Bei der Potenzschreibweise handelt es sich um eine Kurzschreibweise
der Multiplikation,
z.B.: 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8.
Entsprechend ergibt (-2)3 ebenfalls einen Sinn.
(-2)3 = (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) = - 8
(-2)4 = (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) = 16.
Beachten Sie die verschiedenen Vorzeichen in den Ergebnissen!
Man kann sagen:
Bei negativer Basis ist
a) der Potenzwert negativ, wenn die Hochzahl ungerade ist,
b) der Potenzwert positiv, wenn die Hochzahl gerade ist.
Übungen zu 6.6
1. Berechnen Sie:
a) (-3)2 b) (-4)3
c) (-2)5
d) (-2)6
Hinweis: Versuchen Sie auch eine Berechnung mit Hilfe des Taschenrechners.
Zu d) lautet die Tastenfolge:
(-)
2
^
6
=
,
es erscheint normalerweise die Zahl 64.
Manche Taschenrechner zeigen hierbei eventuell
„Error“ an, diese „können nicht mit negativer Basis
rechnen“. In diesem Fall muss man mit positiver
Basis rechnen und dann mit Hilfe der obigen Regel
entscheiden, ob das Ergebnis positiv oder negativ
sein muss.
2. Vorsicht:
Während (-2)4 = + 16 ist,
ist
- 24 = -2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = -16 !
Zur Verdeutlichung kann man schreiben: -24 = -(2)4.
Im Taschenrechner:
=
2 ^
4
ergibt -16.
Berechnen Sie:
a) -32
b) (-3)2
18 / 24
Stand: 01.07.2006
c) 10 + (-32)
d) 10 + (-3)2
748918146
6.7 Division
Da die Division die Umkehrung der Multiplikation ist, ergibt sich:
Aus
aus
aus
aus
(+3) ∙
(+3) ∙
(-3) ∙
(-3) ∙
(+2)
(-2)
(+2)
(-2)
=
=
=
=
(+6)
(-6)
(-6)
(+6)
folgt
folgt
folgt
folgt
(+6) : (+2)
(-6) : (-2)
(-6) : (+2)
(+6) : (-2)
=
=
=
=
(+3),
(+3),
(-3),
(-3).
Die Regeln der Multiplikation lassen sich mit diesen Ergebnissen zusammenfassen zu der Rechenregel für die Multiplikation und Division:
Zwei Zahlen mit gleichen Vorzeichen haben stets einen
positiven, zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen haben einen
negativen Produkt- bzw. Quotientwert.
Übungen zu 6.7
1. Berechnen Sie:
a) (+35) : (-7)
b) (-84) : (-14)
d) (-119) : (-17)
e) (-133) : (+19)
g) (+64) : (-8)
h) (+68) : (+4)
j) (-85) : (+17) + (-42) : (-14) – (+84) : (+12)
k) (-72) : (+12) – (+91) : (-13) – (-64) : (-4)
l) (-99) : (-11) + (+56) : (-4) – (-170) : (+10)
c) (+72) : (+9)
f) (+125) : (-25)
i) (-144) : (+18)
2. Achtung:
−4
4
4
= −2 ;
= −2 ; - = −2
2
−2
2
Enthält ein Bruch ein Minuszeichen, dann spielt es keine Rolle, ob es im Zähler, im
Nenner oder vor dem Bruchstrich steht.
Dagegen gilt:
−4
= +2
−2
Berechnen Sie:
a)
−12
3
b)
24
−2
=
−2
3
∙
b)
12
−5
∙
−24
−8
c)
Beispiel:
−2
3
9
−14
∙
:
−3
8
9
−14
∙
8
−3
=-
2
3
∙
3
8
∙
−4
3
9
14
∙
8
3
=-
3.
a)
6
11
∙
−22
3
19 / 24
Stand: 01.07.2006
−6
24
c)
∙ (-2) ∙
8
−5
8
7
= -1
1
7
748918146
AUFGABEN ZUR LEHREINHEIT 06
1. Berechnen Sie:
a) 12 – (-5)
c) -5 – 15
b) 16 + (-8) – (+7)
d) -8 – (+18) + (-10)
2. Berechnen Sie:
a) 12 ∙ (-2)
b) – 12 ∙ 2
d) -6 ∙ (-2) ∙ 3
e) 8 ∙ (-0,5) ∙ 2
c) – 5 ∙ (-8)
f) – 10 ∙ (-8) ∙ (-1)
3. Berechnen Sie:
a) 8 : (-4)
b) (-12) : (-2)
d) -9 ∙ 6 : 3
e) 18 : (-9) ∙ 2
c) – 25 : 5
f) 15 : (-5) : (-3)
4. Berechnen Sie:
a) 12 ∙ (8 - 5)
b) (-12) ∙ (11 – 5)
d) (5 + 8) ∙ (-2) – (6 + 4) ∙ (-3)
f) (21 + 14) : (-7) – (11 + 4) : (-3)
5. Berechnen Sie:
a) -52
b) (-1)10
4
e) 2 ∙ (-3)
f) 2 ∙ (-34)
20 / 24
Stand: 01.07.2006
c) (20 – 9) ∙ (-4)
e) (5 – 15) : (+5) – (12 + 16) : (+4)
c) -117
d) (-3)4
3
g) 16 - 2 h) 16 – (-2)3
748918146
LÖSUNGEN DER ÜBUNGEN UND AUFGABEN
Übungen
6.3, Übung 1:
a) 9
d) -19
b) -20
e) -26
c) -6,1
f) -24
6.3, Übung 2:
a) 7
e) 0
b) -4
f) -8
c) 2
g) -2
6.3, Übung 3:
a) 16
d) -10
b) 5
e) 22
c) -14
f) 14
Übungen zu 6.3:
1. a) (+1)
2. a) 1
d) -4
b) (-4)
b) 5
e) 1,2
d) -8
h) -2
i) 1
c) (-4)
c) -15
f) 0,4
Übungen zu 6.3 und 6.4: 1. a) (+8) + (-6) = 8 - 6 = 2
b) (-4) + (+7) = - 4 + 7 = 3
c) (-9) + (-3) = - 9 - 3 = -12
2. a) 4
e) 20
i) -2
m) 33
b) – 2
f) 12
j) 0
n) -16
c) 0
g) -9
k) -2
o) 5
d) 14
h) -15
l) 5
3. a) 8
e) 0
i) 4,1
b) -1
f) -40
j) 1,4
c) -7
g) -7
k) -4
d) -2
h) -20
l) -4,1
4. a) 16
d) -5
b) 13
e) -12
c) 28
f) 3
5.
a)
1
10
b) -
g) 2
6.5, Übung 1:
6.5, Übung 2:
21 / 24
1
10
1
1
d)
2
3
3
h) -5
8
c) -
a) -27 b) -28 c) -72
e) 42
f) -12
i) -30
j) 6
m) -10 n) -0,75
a) 60
e) -120
Stand: 01.07.2006
b) -80 c) -96
f) -120 g) -30
d) 42
g) -25
k) -24
o) -4,5
d) 20
h) 120
e)
1
6
i) - 2
h) 0
l) -1
p) 3,75
f) -
19
24
748918146
Übungen zu 6.5.:
1. a) -60
d) -5
b) 66
e) -50
2
1
2
b) 
c)
5
6
5
3. a) -2
b) 5
4. a) 63
b) -38
2. a)
Übungen zu 6.6: 1. a) 9
2. a) -9
b) -64
b) 9
c) 100
f) 0
d) 18
1
f) -1
4
d) 41
d) 28
e) 
c) 115
c) 132
c) -32
c) 1
d) 64
d) 19
Übungen zu 6.7: 1.a) -5 b) 6
c) 8
d) 7
e) -7 f) -5 g) -8
h) 17
i) -8 j) -9
k) -15
l) 12
2.a) – 4
3.a) -4
b)
b) -12
3
5
c) -1
c) 3
3
5
Aufgaben
c) –20
Aufgabe 1:
a) 17
b) 1
Aufgabe 2:
a) -24
e) -8
b) -24
f) -80
Aufgabe 3:
a) -2
e) -4
b) 6
f) 1
c) -5
d) -18
Aufgabe 4:
a) 36
e) -9
b) -72
f) 0
c) -44
d) 4
Aufgabe 5:
a) -25
e) 162
b) 1
f) -162
22 / 24
Stand: 01.07.2006
d) -36
c) 40
c) -1 d) 81
g) 8 h) 24
d) 36
748918146
UNTERRICHT DER BUNDESWEHRFACHSCHULE
Dienstgrad, Name,
Vorname
Einheit
Standort
DZE:
Privatanschrift
Datum
Email
1. Berechnen Sie:
a) 14 – (-2) b) -3 + (-2)
d) 13 ∙ (-2) e) - 6 ∙ (-2) ∙ 5
g)
1   3


2  4 
h)
5
2
1
6
3
2. Berechnen Sie:
a) 3 – 2 ∙ (-3) + 4
c) (8 – 18) : (-2) ∙ (-4)
e) - 4 ∙ (9 – 12) – 6
3. Berechnen Sie:
a) -62
b) 12 - 62
d) -24 + 3 ∙ 23
e) 15 – (-1)8
23 / 24
Stand: 01.07.2006
c) -8 – 9 – 2 + 21
f) - 12 ∙ 0 ∙ (-1)
1   2
i) 3 : 

2  5 
b) - 4 + (-6) ∙ (-5) – 3
d) 15 : (-3) + (-16) : (-4)
f) - 8 : 4 ∙ (-2) – (-3 – 5)
c) (-2)4 : (-8)
f) 24 ∙ (-2)3 : 100
748918146
DstGrd
24 / 24
Name
Stand: 01.07.2006
Vorname
Blatt: