5 Exkurse zur Einführung von Rechengesetzen

Rechengesetze: 5 Exkurse
1. Negative Zahlen
Der Zahlenstrahl kann auch nach links unendlich weit verlängert werden:
... -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
Die Zahlen links von der Null heißen negative Zahlen. Ihr kennt sie von den Temperaturen im
Winter.
Man kann dann so rechnen: 5 – 3 = 5 + (-3) = 2
Auf diese Weise kann jede Subtraktion als Addition geschrieben werden, so dass das
Kommutativ- und das Assoziativgesetz angewandt werden können.
Ein Beispiel:
54 – (38 – 29) + (17 – 8) – 29
=
54 – 9 + 9 – 29
=
54 (– 9 + 9) – 29
=
54 – 29
=
25
Problem: Hier wurde das Assoziativgesetz angewandt, obwohl es bei der Subtraktion gar nicht gilt.
Das Beispiel ist dennoch korrekt:
54 – (38 – 29) + (17 – 8) – 29
=
54 – 9 + 9 – 29
=
54 + (-9) + 9 + (-29); nun ist die Anwendung des Assoziativgesetzes erlaubt
=
54 + [(-9) + 9] + (-29)
=
54 + (-29)
=
54 – 29
=
25
Man schreibt das später nicht mehr so ausführlich hin. Die gefühlt richtige Umformung erweist sich
ja auch als richtig. Punkt 2. zeigt jedoch, dass nicht jede gefühlt richtige Umformung tatsächlich
korrekt ist:
2. Ein Beispiel zu Quadratzahlen: "Gefühlt richtig" ist nicht immer mathematisch richtig
Quadratzahlen:
22 = 2  2 = 4
32 = 3  3 = 9
42 = 4  4 = 16
u. s. w.
Man würde denken, dass folgende Umformung richtig ist:
(3 + 2)2 = 32 + 22
Eine Überprüfung ergibt: (3 + 2)2 = 52 = 25; jedoch sind 32 + 22 = 9 + 4 = 13.
Es zeigt sich also, dass die Umformung mathematisch falsch war.
3. Historisches zu Beweisen
In der Mathematik muss jedes Rechengesetz bewiesen werden. Solche Beweise werden wir auch
durchführen. Es gibt aber auch Axiome. Ein Axiom ist eine mathematische Wahrheit, die gilt, ohne
dass man sie beweisen kann. Dass die Addition kommutativ und assoziativ ist, können wir als
Axiom ansehen.
Euklid lebte im antiken Griechenland. Er war der erste, der das mathematische Wissen seiner Zeit
in einem Buch niederschrieb. Das Buch heißt "Die Elemente". Euklid hat die Axiome formuliert und
die in seinem Buch beschriebenen mathematischen Gesetze bewiesen.
Euklids erstes Axiom heißt: Zwei Dinge, die dem Gleichen gleich sind, sind einander gleich.
Beispiel: 5  4 = 20 und 11 + 9 = 20; folglich gilt 5  4 = 11 + 9.
4. Platzhalter in der Mathematik
Ein kleiner Buchstabe steht in der Mathematik als Platzhalter für eine beliebige Zahl.
Das Kommutativgesetz a + b = b + a gilt für alle beliebigen Zahlen a und b.
Was wir in der 5. Klasse noch als 3 + ? = 7 schreiben, wird später 3 + x = 7 geschrieben, und die
Frage ist dann: Welche Zahl kann für x eingesetzt werden, so dass es stimmt?
Eine systematische Betrachtung dazu folgt ab der 7. Klasse.
5. Distributivgesetz
Bereits in der 5. Klasse wird ein Rechengesetz eingeführt, dessen Gültigkeit nicht so offensichtlich
ist wie die Gültigkeit von a + b = b + a oder (a + b) + c = a + (b + c). Das Gesetz heißt
Distributivgesetz und kommt im Thema 4 beim Multiplizieren. Es lautet:
a  (b + c) = a  b + a  c.
Beipiel: 6  (4 + 3) = 6  4 + 6  3
6  7 = 24 + 18
42 = 42
In diesem Beispiel stimmt es also, und es wird sich herausstellen, dass es für alle a, b und c gilt.
Auch das Distributivgesetz ist ein Axiom. Man erkennt seine Gültigkeit, wenn man die Summe von
Rechteckflächen betrachtet. Dazu kommen wir im weiteren Verlauf der 5. Klasse.
Ein weiterer Exkurs aufgrund einer Frage aus der 5 c: Summen aus "Äpfeln" und "Birnen"
Die Frage zum Thema "Platzhalter in der Mathematik": Was ist eigentlich x + x ?
Nun, zwei Dinge der gleichen Art können mit 2  zusammengefasst werden,
drei Dinge der gleichen Art können mit 3  zusammengefasst werden, u. s. w.
Man schreibt also für x + x: 2  x
;den Mal-Punkt kann man auch weglassen: x + x = 2 x
für y + y + y: 3  y
;den Mal-Punkt kann man auch weglassen: y + y + y = 3 y
für x2 + x2: 2  x2
;den Mal-Punkt kann man auch weglassen: x2 + x2 = 2 x2
u. s. w.
Gleichartige Dinge können auf diese Weise Weise zusammengefasst werden, also "Äpfel" mit
"Äpfeln" oder "Birnen" mit "Birnen".
Dagegen können x + y oder x2 + y2 nicht weiter zusammengefasst werden. Umgangssprachlich:
"Äpfel" und "Birnen" kann man nicht zusammenfassen.