TECHNISCHE UNIVERSITÄT DRESDEN

TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DRESDEN
Algebra 1 für Informationssystemtechniker
Wintersemester 2008/2009
Institut für Algebra
4. Übungsblatt für die Übungen vom 26.11. bis 03.12.2008
Teilbarkeit, Modulrechnung, square & multiply
Ü19. Die 10-stellige internationale Standardbuchnummer (ISBN) (x 1 , x2 , . . . , x10 ) wurde am
1. Januar 2007 durch die 13-stellige ISBN abgelöst. Bei beiden Buchnummern ist die
letzte Ziffer eine Prüfziffer. Für ISBN-10 gilt:
x10 =
9
X
i · xi
(mod 11).
i=1
(Anstatt 10 wurde dabei die Prüfziffer X notiert.)
Die Prüfziffer der neuen ISBN berechnet man wie folgt:
x13 = 10 − (x1 + x3 + · · · + x11 ) − 3 · (x2 + x4 + · · · + x12 )
(mod 10)
Zur Umwandlung von ISBN-10 in ISBN-13 wird bei Büchern, die in Deutschland erschienen sind, 978 vorangestellt und die Prüfziffer neu berechnet.
(a) Berechne die Prüfziffern für 3-923 923-35-? nach alter und neuer Bauart!
(b) Welche Möglichkeiten für x und y gibt es, wenn man folgende Informationen hat:
ISBN-10:
3xy4800848
ISBN-13: 978-3xy4800848
Hinweis: Probiere dazu, alle möglichen Zahlenpaare (x, y) in die entsprechenden Gleichungen
einzusetzen.
(c) Ein häufiger Fehler beim Einlesen von ISBN ist das Vertauschen aufeinanderfolgender Ziffern. Bei der ISBN-10 war dieser Fehler anhand der Prüfziffer immer erkennbar.
Vertausche die Werte von x und y jeder Lösung aus Aufgabe (b) und berechne die
Prüfziffer der ISBN-13 erneut.
Zeige, dass die ISBN-13 diesen Fehler ebenfalls immer aufdeckt oder gib alle Ziffernpaare an, deren Vertauschung nicht bemerkt wird.
Ü20. Beweise, dass die folgenden aus der Vorlesung bekannten Rechenregeln für alle positiven
Moduln n ∈ N \ {0, 1} und alle ganzen Zahlen a, b, c, d ∈ Z gelten.
(3) Sei a ≡ b (mod n) und c ≡ d (mod n). Dann gilt ac ≡ bd (mod n).
(4) Sei ac ≡ bc (mod n) und c 6≡ 0 (mod n). Dann gilt a ≡ b (mod
n
ggT(n,c) ).
Ü21. Berechne die untenstehenden Potenzen mit dem Algorithmus square & multiply. Benutze,
falls möglich, den Satz von Fermat.
(i)
(iv)
5167 mod 7,
2443 mod 11,
(ii)
(v)
315 mod 17,
15289 mod 13,
(iii)
(vi)
3725 mod 19,
245 mod 100.
H22. Eine natürliche Zahl n ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (in Dezimaldarstellung) durch 3 teilbar ist. Beweise diese Aussage.
Finde ähnliche Teilbarkeitsregeln für die Division durch 9 und durch 11.
Hinweis: Eine Zahl mit der Ziffernfolge . . . a2 a1 a0 kann als . . . + 102 · a2 + 101 · a1 + 100 · a0
geschrieben werden. Betrachte diese Darstellung modulo 3, 9 bzw. 11.
H23. Auf einer Insel leben 13 rote, 15 grüne und 17 blaue Chamäleons. Treffen sich zwei
verschiedenfarbige Chamäleons, ändern sie beide ihre Farbe in die dritte Farbe. Begegnen
sich gleichfarbige Chamäleons, ändern sie ihre Farbe nicht. Ist es durch eine bestimmte
Folge von Begegnungen möglich, dass alle Chamäleons die gleiche Farbe annehmen?
A24. Hausaufgabe, bitte vor Beginn der n ächsten Übung unter Angabe von Name
und Übungsgruppe abgeben.
Anna und Bert schicken sich jeden Abend verschlüsselte Nachrichten über einen offenen
Kanal. Um eine Nachricht zu verschlüsseln, kodiert Bert die Zeichen A,B,. . . ,Z,ß, Ä,Ö,Ü,?
durch die Zahlen 0, 1, . . . , 30. Dann verschlüsselt er jeden kodierten Buchstaben m mit
der Vorschrift c := me (mod n). Anna kann die Nachricht durch m := c d (mod n) entschlüsseln, dabei gilt e · d ≡ 1 (mod p − 1). Beide haben sich vor der Verschlüsselung auf
die Parameter p = 31 und e = 13 geeinigt.
(a) Welches ist der Entschlüsselungsparameter von Anna, d = 7, d = 9 oder d = 11?
(b) Heute hat Bert die Nachricht Ä M D A R Q Y C an Anna geschickt. Wie lautet die
Nachricht im Klartext?