RM1: Rotierende Scheibe

Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 1
RM1: Rotierende Scheibe
Aufgabenstellung: Ein exzentrisch gelagerter Metallzylinder (Radius 20 cm, Höhe 10 cm, Dichte 7.5 kg/
dm3) rotiert reibungsfrei in der Horizontalebene, die
Achse (A) steht also vertikal. Die Winkelgeschwindigkeit beträgt 10 s-1.
a Wird bei dieser Rotation Impuls mit der Umgebung
ausgetauscht (x- und y-Impuls)?
b Wird Drehimpuls ausgetauscht?
c Wie gross ist der x- und y- Impuls des Körpers in der
skizzierten Situation?
d Wie gross ist der Drehimpuls?
100
300
ω
A
y
x
Lösungshinweis: Die Bewegung eines starren Körpers
ist durch die Impuls- und durch die Drehimpulsbilanz
bestimmt.
Lösung:
a Der Massenmittelpunkt bewegt sich auf einer Kreisbahn (normalbeschleunigt). Die zugehörige Impulsänderungsrate wird durch die Lagerkraft hervorgerufen.
b Bei dieser Bewegung wird kein Drehimpuls ausgetauscht; es wirkt kein Drehmoment auf die
Scheibe ein.
c px = 0, py = mvMMP= -mωs = -πr2hρωs = -94.2 NS
d L = Leigen + LBahn = Jω + mvMMPs = (0.5mr2+ms2)ω = mω(r2/2+s2) = 28.3 Nms
Schlüsselwörter: statische Unwucht, Eigendrehimpuls, Bahndrehimpuls
Quelle: Physik XI/MT 86.1
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 2
RM2: Gleitender Stab
Aufgabenstellung: Auf einen ruhenden Stab (Länge 2 m, Masse 2 kg) wirkt im Punkt X kurzzeitig die Kraft (Diagramm) ein. Wie bewegt sich der Stab nach dieser Einwirkung, wenn wir
annehmen, dass der Stab auf einer horizontalen Ebene reibungsfrei gleitet?
F
F(t) 100N
l/3
X
t
10-2s
Lösungshinweis: Mit dem Kraftstoss wird Impuls und Drehimpuls zugeführt.
Lösung:
Impulszufuhr: pzu = ∫ Fdt = 2.1Ns
Drehimpulszufuhr: Lzu = pzu
l
= 0.7Nms
6
Impulszufuhr = Änderung des Inhaltes = mvMMP
Drehimpulszufuhr = Änderung des Inhaltes = J ω
+L
+L
2+ p
1
=
=
= 1.05
ω=
m 2
J
ml
s
l
12
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Drehimpulsbilanz
Quelle: Physik XI/MT 86.2
vMMP =
+p
m
= 1.05
m
s
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Rotationsmechanik
Seite 3
RM3: Physisches Pendel
Aufgabenstellung: Das nebenstehend skizzierte Pendel besteht aus 3 mm dickem Messingblech (Schaft mit aufgeklebter Scheibe). Die Dichte von Messing beträgt 8900 kg/m3. Das
Pendel ist im Punkt A freidrehbar gelagert. Wie gross ist die
Geschwindigkeit des Punktes B in der Gleichsgewichtslage
des Pendels, wenn dieses vorher um 90° ausgelenkt und dann
losgelassen worden ist?
Lösung:
0
30
B
m1 = 0.3 ⋅1.26 ⋅ 0.003 ⋅ 8900kg = 10.09kg
m2 = π ⋅ 0.32 ⋅ 0.003 ⋅ 8900kg = 7.55kg
Energieerhaltung:
1
1
1
1
2
2
m1vMMP
m2 vMMP
J1ω 2 + J 2ω 2
,1 +
,2 +
2
2
2
2
1
g ( m1 +h1 + m2 +h2 ) = ( m1s12 + m2 s22 + J1 + J 2 ) ω 2
2
m
m
J1 = 1 l12 , J 2 = 2 r 2 , +h1 = s1 , +h2 = s2
12
2
m1 g ⋅+h 1 + m2 g +h2 =
2 g ( m1s1 + m2 s2 )
= 5.38s −1
m1 2 m2 2
2
2
m1s1 + m2 s2 + l1 +
r
12
2
{s1 = 0.27m , s2 0.54m , l1 = 1.26m , r = 0.3 m}
ω=
v = ωl 2 = 4.84
m
s
Schlüsselwörter: Energiebilanz
Quelle: Physik V/MT 87.3
{l2 = 0.9 m}
900
360
A
360
Lösungshinweis: Mit Hilfe der Energiebilanz kann die Winkelgeschwindigkeit berechnet werden.
300
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Rotationsmechanik
Seite 4
RM4: Rollende Kugel
Aufgabenstellung: Eine Kugel (Radius 5 cm, Dichte 7300 kg/m3) rollt auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel 30°) hinunter.
a Wie gross ist die Beschleunigung der Kugel?
b Wie gross ist die Haftreibungskraft zwischen Kugel und Unterlage?
c Nach einer totalen Rollstrecke von 3 m auf der schiefen Ebene rollt die Kugel horizontal weiter. Wie gross ist dann die Beschleunigung des Berührungspunktes
Lösungshinweis: Kugel freischneiden und Bilanzen (Grundgesetze) formulieren. Beschleunigung und Winkelbeschleunigung sind über die Rollbedingung kinematisch verknüpft.
Der Berührpunkt bewegt sich auf der Überlagerung einer Kreis- und einer geradlinigen Bewegung, er ist also normalbeschleunigt.
Lösung:
FN
FHR
x
FG
y
x:
FG sin β − FHR = ma
y:
FG cos β − FN = 0
R:
FHR r = J α
RB :
a
a=
mg sin β 5
m
= g sin β = 3.5 2
J
7
s
m+ 2
r
b
FHR =
J
2  4π

α =  r 2 ρ  a = 5.36N
r
5 3

c
m 2
J
vMMP + ω 2
2
2
10
m
vMMP =
g +h = 4.58
7
s
v
1
ω = MMP = 91.7
r
s
m
a = ω 2 r = 420 2
s
Energiebilanz: mgh =
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Energiebilanz, Rollbewegung
Quelle: Physik V/MT 87.2
a = αr
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Seite 5
RM5: Rollender Hohlzylinder
Aufgabenstellung: Ein Hohlzylinder (Masse 15 kg, Radius1 8 cm, Radius2 6.5 cm) wird auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel 25°) losgelassen.
a Wie gross ist die Beschleunigung des Massenmittelpunktes nach 3 s?
b Wie gross ist die Beschleunigung der momentanen Drehachse nach 3 s?
c Wie gross ist zu diesem Zeitpunkt die Haftreibungskraft zwischen Hohlzylinder und schiefen
Ebene?
Lösungshinweis: Hohlzylinder freischneiden, Grundgesetze, Rollbedingung
Lösung:
x
FG
FHR
+
y
FN
x:
FN − FG cos β = 0
y:
− FHR + FG sin β = ma
R:
FHR R = J α
RB:
a =αR
β
J=
m
2
(R
2
+ r2 )
a
FHR =
R:
J
J
α= 2a
R
R
J
a + mg sin β = ma
R2
g sin β
m
a=
= 2.27 2 := aMMP
2
2
s
1 R +r 
1+ 

2
2 R

−
x:
b mitbewegtes Bezugssystem:
a't
MMP
a'p
at' = α R
α=
ar' = ω 2 R = 473.4
m
s2
a
= 25.6 s −1
R
ω = α t = 76.9 s −1
Laborsystem:
aMMP
K K
K K
a = aMMP + at' + ar'
c
R : FHR =
J
m  R2 + r 2
a
=

2  R2
R2
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Rollbewegung
Quelle: Physik IV/MT 88.3

 a = 28.2 N

Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 6
RM6: Zylinder mit Seil
Aufgabenstellung: Auf zwei waagrechten Trägern liegt ein
Metallzylinder (Dichte 7.3 kg/m3, Radius 5 cm und Länge 50
cm). Um den Zylinder ist ein Seil geschlungen, an dessem Ende
eine konstante Kraft von 40 N vertikal nach unten wirkt. Der
Zylinder rollt ohne zu gleiten.
a Wie gross ist die Beschleunigung der Zylinderachse?
b Wie gross ist die Haftreibung?
F
Lösungshinweis: Metallzylinder freischneiden, Grundgesetze
und Rollbedingung formulieren.
Lösung:
FG
FN
FHR
F
x:
FHR = maMMP
y:
− FN + FG + F = 0
R:
Fr − FHR r = J α
RB :
aMMP = α r
a
aMMP =
2F
m
= 0.93 2
3m
s
b
FHR = maMMP =
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Rollbewegung
Quelle: Physik V/MT 88.1
2
F = 26.7 N
3
m = ρπ r 2l = 28.67 kg
J=
m 2
r
2
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Rotationsmechanik
Seite 7
RM7: Schwungrad
Aufgabenstellung: Ein praktisch reibungsfrei gelagerM
tes Schwungrad (Massenträgheitsmoment 9 kgm2) dreht
sich mit einer Winkelgeschwindigkeit von 15 rad/s in 30 Nm
negativer Drehrichtung. Zur Zeit t = 0 beginnt ein Dreh20 Nm
moment (Skizze) einzuwirken.
10 Nm
a Wie gross ist die Winkelgeschwindigkeit nach 6 s?
b Welche Beschleunigung erfährt ein Punkt, der 15 cm
von der Drehachse entfernt ist, zum Zeitpunkt 3 s?
1
2
3
Lösungshinweis: Beschleunigung berechnen und dann integrieren.
Lösung:
α=
M
J
a
+ω = Fläche unter α-t-Kurve
1
10
ω = −5 s −1
+ω = × 6s × s -2
2
3
b
1
10
+ω = × 3s × s −2 = 5 s −1
2
3
−1
ω = -10 s
m
s2
m
an = ω 2 r = 15 2
s
at = α r = 0.5
a = at2 + an2 = 15.008
m
s2
Schlüsselwörter: Rotationskinematik, Normal- und Tangentialbeschleunigung
Quelle: Physik V/MT 88.2
4
5
t
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Rotationsmechanik
Seite 8
RM8: Fadenspule
Aufgabenstellung: Eine Fadenspule (Massenträgheitsmoment 2.10-3 kgm2, Abrollradius 8 cm, Wickelradius 6 cm,
Masse 0.8 kg) wird eine schiefe Ebene (Neigungswinkel
25°) hinaufgezogen. Ihr Massenmittelpunkt bewegt sich mit
3 m/s und erfährt im Moment eine ebenfalls nach oben gerichtete Beschleunigung von 2 m/s2. Faden und schiefe Ebene sind exakt parallelausgerichtet.
a Wie gross ist die Fadenkraft?
b Wie gross ist die Haftreibungskraft?
Lösungshinweis: Fadenspule freischneiden, Grundgesetze
und kinematische Verknüpfung (Rollbedingung) formulieren.
Lösung:
x:
F + FHR − FG sin β = maMMP
− FN + FG cos β = 0
y:
Fr − FHR R = J α
R:
kin.Verknüpfung :
aMMP = α R
F + FHR − mg sin α = maMMP
a
J 

mg sin β +  m + 2  aMMP
R 

= 3.1667 N
F=
r
1+
R
b
FHR = F
r
J
− 2 aMMP = 1.75 N
R R
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Rollbewegung
Quelle: physik V/MT 88.3
β
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Rotationsmechanik
Seite 9
RM9: Leistung eines Drehmoments
Aufgabenstellung: An der Stirnseite einer drehbaren Welle greift ein zeitlich veränderliches
Drehmoment an (Skizze). Die Welle hat zum Zeitpunkt t = 0 eine (negative) Winkelgeschwindigkeit von -5 s-1. Infolge der verschiedenen Einwirkungen auf die Welle erfährt diese die unten
skizzierte Winkelbeschleunigung. Wieviel Energie tauscht die Welle über das Drehmoment in
den skizzierten 15 s aus?
α
Μ
25 Nm
2s-2
5s
10s
5s
15s
10s
15s
t
Lösungshinweis: Winkelgeschwindigkeits-Zeit-Diagramm skizzeren, Leistung des Drehmomentes berechnen und über die Zeit integrieren.
Lösung:
ω
Iw
100 W
50 W
1 s-1
-5 s-1
t
t
5s
-50 W
-100 W
∆W= 625 J
Schlüsselwörter: Leistung eines Drehmomentes
Quelle: Physik VI/MT 88.1
5s
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 10
RM10: Rotationsviskosimeter
Aufgabenstellung: Wir betrachten ein vereinfachtes Modell eines Rotationsviskosimeters.
Zwischen den Mantelflächen eines Vollzylinders (Länge 15cm, Radius 8 cm) und eines Hohlzylinders befindet sich eine 0.2 mm dicke Oelschicht (Viskosität 0.34 Pas). Die Stirnfläche ist
abgedichtet und ohne Reibung. Das Viskosimeters hat eine Enthalpiekapazität (Wärmekapazität) von 15 kJ/K.
a Mit welchem Drehmoment muss dauernd auf den Vollzylinder eingewirkt werden, damit
dieser mit einer Winkelgeschwindigkeit von 15 s-1 rotiert?
b Was passiert energetisch? Beschreiben Sie den Prozess mit Hilfe der verschiedenen Namen,
die man der Energie zuordnet.
c Um wieviel erwärmt sich das Viskosimeter innerhalb von zwanzig Minuten, d.h. um wieviel
steigt in dieser Zeit die Temperatur?
Lösungshinweis: Zur Lösung dieser Aufgabe müssen Sie die Definition der Viskosität kennen.
Lösung:
a
τ =η
dv
+v
≈η
dr
+r
M = Aτ r = 2π rlη
+v = ω r
ωr
+r
r = 2πηω r 3
l
= 12.3 Nm
+r
b Energie wird in Form von Arbeit zugeführt. Die Enthalpie des Viskosimeters nimmt zu.
c
W = M ω +t = 221 kJ
+ϑ =
+H W
= = 14.8°C
C
C
Schlüsselwörter: Viskosität, Arbeit eines Drehmomentes
Quelle: Physik VIII/MT 88.2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 11
RM11: Schwungrad II
Aufgabenstellung: Auf ein reibungsfrei gelagertes Schwungrad (Massenträgheitsmoment 80
kgm2) wirkt ein zeitabhängiges Drehmoment ein. Das Drehmoment wächst in 5 Sekunden linear von Null auf 120 Nm an, dann fällt es in drei Sekunden auf Null zurück.
a Welche Winkelgeschwindigkeit erreicht das Schwungrad in diesen acht Sekunden, wenn es
sich am Anfang mit 80 Umdrehungen pro Minute gegen Richtung des Momentes gedreht
hat?
b Um welchen Winkel hat sich das Schwungrad in diesen acht Sekunden gedreht?
c Welche Beschleunigung hat ein Punkt auf dem Rad, der sich 45 cm von der Drehachse entfernt befindet, vier Sekunden nach Beginn des Prozesses?
Lösungshinweis: Winkelbeschleunigungs-Zeit-Diagramm skizzieren und nochmals über die
Zeit integrieren (Fläche unter der ω-t-Kurve bestimmen).
Lösung:
α max =
M max
= 1.5 s -1
J
a
ω 0 = −8.378 s-1
1
2
ω 2 = ω 0 + α max t2 = −2.378 s-1
b
+ϕ = −45 rad
c
1
t = 4 s : α = 1.2 s -1 , ω = ω 0 + α t = −5.98 s -1
2
a = r α 2 + ω 4 = 16.088
Schlüsselwörter: Rotationskinematik, Punkt auf rotierendem Körper
Quelle: Physik V/MT 89.1
m
s2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 12
RM12: Ungleiches Gleichgewicht
Aufgabenstellung: Über eine starr fixierte, also nicht drehbare Rolle,
kann ein Seil reibungsfrei gleiten. An einem Ende des Seils hängt ein
Klotz (Masse 7 kg). Das andere Ende ist um einen homogenen Zylinder
(Masse 7 kg, Radius 5 cm) geschlungen und so befestigt, dass das Seil
nicht rutschen kann. Wie gross ist die Beschleunigung des Klotzes?
Lösungshinweis: Körper freischneiden, Grundgesetze und kinematische Verknüpfungen formulieren.
Lösung:
Fs
Fs
FG2
FG1
Klotz:
mg − FS = ma1
Zylinder:
FS − mg = maMMP
m 2
r
2
a −a
= a1 − rα oder α = 1 2 MMP
r
FS r = J α
kin.Verknüpfung:
a1 =
g
m
= 4.9 2
2
s
Schlüsselwörter: Newton-Euler
Quelle: Physik V/MT 89.4
a2 MMP
a1 = − a2 MMP
J=
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 13
RM13: Fadenspule II
Aufgabenstellung: Eine Fadenspule (Masse 15 kg, Aussenradius 12 cm, Wickelradius 10 cm, Massenträgheitsmomentr 0.09
kgm2) liegt auf einer horizontalen Ebene. Wie stark kann die Walze maximal in horizontaler Richtung beschleunigt werden, wenn
der Haftreibungskoeffizient zwischen Fadenspule und Unterlage
0.3 beträgt und der Faden genau vertikal gezogen wird?
Lösungshinweis: Körper freischneiden, Grundgesetze und kinematische Verknüpfungen formulieren.
Lösung:
FHR = maMMP
x:
y:
F
y
FN + F − FG = 0 → FN = FG − F
Fr − FHR R = J α
R:
FN
x
kin. Verkn.: α R = aMMP
FG
FHR
Grenzfalls:
F=
m
µM
( −aMMP + µM g )
aMMP = g
Schlüsselwörter: Newton-Euler
Quelle: Physik V/MT 89.5
FHR = µ M FN
1
1
J
R
+
+
mRr µ M r
= 1.949
m
s2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 14
RM14: Umlenkrolle mit Feder
Aufgabenstellung: An einem Seil, das an einem Ende an einer Feder
(Richtgrösse 1400 N/m) befestigt ist und über eine Rolle (Radius 20 cm,
Massenträgheitsmoment 0.08 kgm2) geführt wird, hängt ein Körper (Masse
9 kg). Dieser Klotz wird nun hinuntergezogen, bis die Feder gegenüber dem
ungespannten Zustand um 25 cm verlängert ist, und dann losgelassen. Welche Maximalgeschwindigkeit kann der Klotz erreichen? Wie stark ist dann
die Feder gedehnt? Wir nehmen an, dass das Seil auf der Rolle nicht rutschen kann und vernachlässigen jede weitere Reibung.
Lösungshinweis: Energiebilanz
Lösung:.
+WFeder =+WG ++Wkin ++Wrot
vmax bei GG: FG = FS = FF = D+ s0
+ s0 =
mg
= 0.063 m
D
1
1 2
1
2
D ( s 2 − s02 ) = mg ( s − s0 ) + mvmax
+ J ω max
2
2
2
kin. Verknüpfung: vmax = Rω max
J  2
1
1
D ( s 2 − s02 ) − mg ( s − s0 ) =  m + 2  vmax
2
2
R 
2
max
v
=
D ( s 2 − s02 ) − 2mg ( s − s0 )
Schlüsselwörter: Energiebilanz
Quelle: Physik VI/MT 89.1
m+
J
R2
vmax = 2.109
m
s
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 15
RM15: Kugel rollt vom Dach
Aufgabenstellung: Auf dem Scheitel eines zylinderförmigen Daches (Radius 4 m) steht eine
Kugel (Masse 4 kg, Radius 5 cm). Durch eine kleine Störung aus dem Gleichgewicht geworfen,
beginnt die Kugel ohne zu gleiten längs eines Umfanges hinunterzurollen. Wo befindet sich die
Kugel, wenn die Normalkraft nur noch halb so gross ist wie die Gewichtskraft? Geben Sie den
Höhenunterschied zwischen dem Scheitel und dem momentanen Berührungspunkt der Kugel
an.
Lösungshinweis: Die Impulsbilanz (Grundgesetz) in radialer Richtung stellt den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Winkel her, die Energiebilanz liefert die restliche Information.
Lösung:
FN
F
HR
r << R
FG
Grundgesetz radial:
2
vMMP
R
F
mg
FN = G =
2
2
1

2
vMMP
= gR  cos ϕ − 
2

1 2
1
Energiebilanz: mgh = mvMMP
+ Jω 2
2
2
Rollbedingung: vMMP = ω r
mg cos ϕ − FN = ma = m
2
=
vMMP
cos ϕ =
h = R (1 − cos ϕ )
10
gR (1 − cos ϕ )
7
27
ϕ = 37.4°
34
h = R (1 − cos ϕ ) = R
7
= 0.824 m
34
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Kreisbewegung, Energiebilanz
Quelle: Physik VI/MT 89.2
J=
2 2
mr
5
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 16
RM16: Umfallender Stab
Aufgabenstellung: Ein Stab (Querschnitt 20 mm2, Länge 2 m, Masse 120 g) wird genau senkrecht aufgestellt. Er fällt sofort auf eine Seite.
a Welche Geschwindigkeit hat die Stabspitze erreicht, wenn der Stab ohne zu rutschen einen
Winkel von 40° mit der Vertikalen einschliesst?
b Wie gross ist dann die Winkelbeschleunigung?
c Welche Beschleunigung erfährt dann der Massenmittelpunkt?
Lösungshinweis: Die Energiebilanz liefert die Endgeschwindigkeit, das Grundgesetz der Rotatormechanik die Winkelbeschleunigung.
Lösung:
a
+WG =+Wkin ++Wrot
mg
l
1 2
1
+ Jω 2
(1 − cos ϕ ) = mvMMP
2
2
2
J =m
v
l2
ω = MMP
l
12
2
l
g (1 − cos ϕ ) = ω 2
3
3g
ω=
(1 − cos ϕ ) = 3.443 s −2 = 1.855 s −1
l
m
v = ω l = 3.711
s
b
M = Jα
l
l2
mg sin ϕ = m α
2
3
l
g sin ϕ = α
3
3
α = sin ϕ g = 4.729 s-2
2l
c
K
K K
aMMP = an + at
2
l 

aMMP =  ω 2 ⋅  +  α
2 

3g
2
aMMP =
(1 − cos ϕ )
4
l

2
2
+ sin 2ϕ = 5.850
m
s2
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Rotatormechanik, Normal- und Tangentialbeschleunigung
Quelle: Physik VI/MT 89.5
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 17
RM17: Pendel im E-Feld
Aufgabenstellung: Zwischen zwei horizontalen, elektrisch geladenen Platten herrscht ein
homogenes, nach oben gerichtetes Feld der Stärke 5.105 N/C. In diesem Feld hängt ein Pendel
(Pendelmasse 0.25 g, Pendellänge 5 cm). Der Pendelkörper ist elektrisch geladen (1.7.10-9 C).
Nun wird das Pendel ein wenig ausgelenkt und dann losgelassen. Wie gross ist die
Schwingungsdauer desselben?
Lösungshinweis: Die Lösung baut auf dem physischen Pendel auf. Die Wirkung der Gravitationsfeldstärke ist durch eine kombinierte Feldkraft zu ersetzen.
Lösung:
Rotormechanik:
M = Jϕ
mit M = ( FE − FG ) sin ϕ l und J = ml 2
( QE − mg ) sin ϕl = ml 2ϕ
kleine Auslenkung: sin ϕ ≈ ϕ
mlϕ + ( mg − QE ) ϕ = 0
Differentialgleichung der harmonische Oszillators
ϕ + ω 2ϕ = 0
T = 2π
1
ω
= 2π
ml
= 0.555 s
mg − QE
Schlüsselwörter: Pendel, harmonischer Oszillator
Quelle: Physik XII/MT 87.1
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 18
RM18: Fadenspule III
Aufgabenstellung: Ein Vollzylinder (Masse 5 kg, Radius 5 cm) steht
20 N
mit vertikal ausgerichteter Achse auf einem horizontalen Tisch. Aus
dem Tisch strömt durch feine Düsen Luft heraus. Diese Luft bildet zwischen Zylindergrundfläche und Tischoberfläche ein Luftkissen, das die
Reibung minimalisiert. Auf den anfänglich ruhenden Körper wirke über
einen aufgewickelten Faden eine konstante Kraft von 20 N ein.
a Wie schnell bewegt sich die Zylinderachse des reibungsfrei gelagerten Körpers nach 5 s?
b Wie gross ist dann die Leistung der Seilkraft?
c Bestimmen Sie zu diesem Zeitpunkt Lage und Beschleunigung der momentanen Drehachse.
Lösungshinweis: Impuls- und Drehimpulsbilanz (Grundgesetze)
Lösung:
a
p = Ft = 100 Ns
p
m
vMMP = = 20
m
s
b
L = Mt = Frt = 5 Nms
L 2L
=
= 800 s −1
2
J mr
m
vSeil = vMMP + ω r = 60
s
P ( F ) = FSeil vSeil = 1.2 kW
ω=
c
0 = vMMP − ω s
s=
vMMP
ω
=
aMMP
α
G
K K K
a = a '+ arel = a 'n
a 'n =
ω 2r
2
=
F m
J
r
=
=
Fr J mr 2
= 1.6 ⋅104
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Beschleunigung
Quelle: Physik HS/Test 2.1
m
s2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 19
RM19: Walze und Gewicht
Aufgabenstellung: An einer homogenen Walze (Masse 4 kg, Radius 3
cm), die auf zwei horizontalen Schienen aufliegt, hängt ein zweiter Körper (Masse 2 kg).
a Bestimmen Sie die Mittelpunktsbeschleunigung der Walze kurz nach
dem Start.
b Wie gross ist die Kraft, mit der die Unterlage dann auf die Walze einwirkt?
4 kg
2 kg
Lösungshinweis: Beide Körper freischneiden, Grundgesetze (Impuls- und Drehimpulsbilanz)
für Walze und Klotz sowie Rollbedingung formulieren.
Lösung:
a
FHR = m1a1
Walze x :
y : FS + FG1 − FN = 0
R:
Klotz:
FS r − FHR r = J α
FG 2 − FS = m2 a2
m1r 2
m
m2 = 1 v1 = ω r a1 = α r h = ω r
2
2
g
a=
4
J=
a2 = α r
b
FHR = m1
g
= 9.91 N FN = FS + FG1 = − m2 a2 + FG 2 + FG1 = 53.96 N
4
2
FU = FN2 + FHR
= 54.84 N
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Rollbewegung
Quelle: Physik HS/Test 2.2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 20
6 kgm2
Aufgabenstellung: Zwischen zwei ausgewuchteten, reibungsfrei gelagerten Rotoren (Massenträgheitsmomente 2 kgm2 und 6 kgm2) ist eine
Drehfeder (Winkelrichtgrösse 15 Nm) eingespannt. Die beiden Körper
werden nun um den Winkel 2 rad gegeneinander verdreht und dann losgelassen.
a Berechnen Sie die beiden Maximalwinkelgeschwindigkeiten.
b Wie gross ist die Schwingungsdauer?
2 kgm2
RM20: Zwei Schwungräder mit Federn
Lösungshinweis: Skizzieren Sie für diesen Vorgang ein Flüssigkeitsbild und lösen Sie dann das
Problem mit Hilfe einer Energiebilanz. Zur Berechnung der Schwingungsdauer kann das Problem auf einen einfachen Schwingkreis (elektrische Analogie) reduziert werden.
Lösung:
a
WF = Wrot
Wrot =+ω + L
1 * 2 ω1 − ω2
Dϕ =
J1ω1
2
2
ω2 = −ω1
ω1 = 4.74s −1
ω2 = −1.58 s-1
J1
J2
b
J
= 1.99 s
D*
JJ
J= 1 2
J1 + J 2
T = 2π LC = 2π
Schlüsselwörter: harmonischer Oszillator, Flüssigkeitsbild, elektromechanische Analogie
Quelle: Physik HS/Test 2.3
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 21
RM21: Pendel
Aufgabenstellung: Ein Stab (Länge 1.2 m, Masse 3 kg)
75 cm
30 cm
und eine Scheibe (Masse 5 kg, Radius 15 cm) bilden ein
Pendel, das 30 cm vom einen Ende des Stabes entfernt aufgehängt ist.
a Wie gross ist die Schwingungsdauer, wenn man das Pen120 cm
del um zirka 5° auslenkt und loslässt?
b Welche maximale Geschwindigkeit erreicht der tieftliegendste Punkt des Pendels, wenn man
es um 90° auslenkt?
Lösungshinweis: Bei kleinen Auslenkungen schwingt das Pendel harmonisch, bei grosser Auslenkung kann wenigstens die Maximalgeschwindigkeit mit Hilfe der Energie berechnet werden.
Lösung:
a
sMMP =
1
( 3kg ⋅ 0.3m + 0.75 ⋅ 5kg ) = 0.5813 m
8kg
 l2
 r2
2
2
J ' = m1  + ( 0.3m )  + m2  + ( 0.75m )  = 3.5 kgm 2
 12

 2

T = 2π
J
= 1.74s
mgsM
b
+WG = Wrot'
1
J 'ω 2
2
2mgsM
= 5.106 s −1
ω=
J'
m
v = ω × 0.9m = 4.595
s
mgsM =
Schlüsselwörter: Pendel, Energiebilanz
Quelle: Physik HS/Test 2.4
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 22
RM22: Walze mit Gegengewicht
Aufgabenstellung: Eine Walze (Masse 6 kg, Radius 5 cm) werde durch ein frei hängendes Gegengewicht (Masse 4 kg) mittels eines Fadens, der um die Walze gewickelt und über ein Umlenkrolle (Massenträgheitsmoment 0.002 kgm2, Radius 5 cm) geführt ist, eine schiefe Ebene
(Neigungswinkel 30°) hinaufgezogen. Ausser der Lagerreibung in der Umlenkrolle (0.05 Nm)
ist keine weitere Energiedissipation zu berücksichtigen.
a Welche Geschwindigkeit hat das Gegengewicht nach 20 cm Fallstrecke erreicht?
b Wie gross ist dann die Beschleunigung des Körpers?
Lösungshinweis: Die Endgeschwindigkeit kann mittels einer Energiebilanz und die Beschleunigung mittels einer Leistungsbilanz gefunden werden. Obwohl die beiden Grössen hier einfach
zusammenhängen, sollten die beiden Bilanzen übungshalber getrennt formuliert werden.
Lösung: kinetische Verknüpfung (Walze wird mit 1, Umlenkrolle mit 2 und Gegengewicht mit
3 indiziert):
h3 = ϕ 2 r2 = s1 + ϕ1 r1 = 2 s1
v3 = ω 2 r2 = v1 + ω1 r1 = 2v1
v3 = ω 2 r2 = v1 + ω1 r1 = 2v1
h1 = s1 sin 30° =
s1 h3
=
2
4
a
1
m3 v32 + J 2ω 22 + m1v12 + J1ω12 ) + M ϕ + m1 gh1
(
2
v2 m v2 
h
h
J
1
m3 gh3 =  m3 v32 + 22 v32 + m1 3 + 1 3  + M 3 + m1 g 3
2
4
2 4
4
r2
r2
m3 gh3 =
v3 =

m 
M
2   m3 − 1  g −  h3
4 
r2 
m

= 1.155
J
3
s
m3 + 22 + m1
8
r2
b
m3 gv3 = m3 v3 v3 + J 2ω 2ω 2 + m1v1v1 + J1ω1ω1 + M ω 2 + m1 gh1
m3 gv3 = m3 v3 v3 +
v
J2
m
m
M
v v + 1 v3 v3 + 1 v3 v3 +
v32 + m1 g 3
2 3 3
4
4
4
r2
r2
m1
M
g−
4
r2
m
v3 =
= 3.34 2
J
3
s
m3 + 22 + m1
8
r2
m3 g −
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Leistungsbilanz
Quelle: Physik HS/Test 2.5
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 23
RM23: Fadenspule mir vertikaler Karft
Aufgabenstellung: Auf einen Zylinder (Masse 5 kg, Durchmesser 10 cm)
F
wirkt über eine Schnur eine Kraft ein, die in 2 Sekunden linear von Null auf
40 N anwächst. Die Kraftrichtung sei während der ganzen Einwirkzeit genau
vertikal.
5 kg
a Nach welcher Zeit beginnt die Walze durchzudrehen? Für die Haftreibung
kann ein Koeffizient von 0.3 angenommen werden.
b Wie schnell bewegt sich dann der Massenmittelpunkt? Wie gross ist dann die Winkelgeschwindigkeit?
Lösungshinweis: Körper freischneiden und Grundgesetze (Impuls- und Drehimpulsbilanz) formulieren. Im Grenzfall ist die Haftreibung maximal und die Rollbedingung gilt gerade noch.
Lösung:
a
FR = mvMMP
x:
y:
FG − FN − F = 0
Fr − FR r = J ω
R:
J=
Rollbedingung: vMMP = ω r
Grenzfall: FHR = µ M FN
Seilkraft: F = kt
FN =
N
s
2mg
= 33.8 N
2 + 3µ M
vMMP =
t=
k = 20
2µ M g
m
= 0.03 2
2 + 3µ M
s
mg 3µ M
= 0.761 s
k 2 + 3µ M
b
vMMP =
ω=
1
m
vMMP t = 0.772
2
s
vMMP
= 15.5 s -1
r
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Haftreibung
Quelle: Physik IV/HS M1.1
m 2
r
2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 24
RM24: Drehen eines Satelliten
Aufgabenstellung: Ein Satellit, der frei um die Erde fällt, bestehe aus
einem dünnen Stab (Länge 2 m, Masse 10 kg) und einer Scheibe
(Durchmesser 1 m, Masse 25 kg). Scheibe und Stab sind gegeneinander 10 kg
frei drehbar gelagert und können mit Hilfe eines Motors in gegenseitige
Rotation versetzt und über eine Bremsvorrichtung wieder gestoppt werden. Der Motor “erzeugt” ein konstantes Drehmoment von 0.2 Nm und
die Bremse wirkt mit 0.4 Nm. Der anfänglich nicht rotierende Stab
muss nun um 90° gedreht werden.
a Berechnen Sie die kürzest mögliche Drehzeit.
b Um wieviel hat sich dann die Scheibe gedreht?
c Welche maximale Leistung gibt der Motor bei diesem Vorgang ab?
25 kg
Lösungshinweis: Skizzieren Sie das Flüssigkeitsbild, überlegen Sie sodann die Fragestellung
im Winkelgeschwindigkeits-Zeit-Diagramm
Lösung:
a
ω 21 =
M1
= 0.06 s -2
J2
J2 =
1
m 2
l = 3 kgm 2
12
3
ω 22 = −2ω 21 = −12 s-2
2π 1
= ω 21tm2
6
2
2π
tm =
= 5.908 s
3ω 21
3
te = tm = 8.86 s
2
b
L1 + L2 = 0
ω1 = ω2
ϕ1 =
J2
J1
J1 =
m 2
r = 3.125 kgm 2
2
J2
ϕ2 = 1.676; 96°
J1
c

J 
+ω max = ω 21 1 + 2  tm = 0.733 s -1
J1 

P = M +ω max = 0.1465 W
Schlüsselwörter: Drehimpulsbilanz, Kinematik, Prozessleistung
Quelle: Physik IV/HS M1.2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 25
Aufgabenstellung: Eine Metallkugel (Masse 4 kg) ist an zwei Seilen an
einem rotierenden Stab aufgehängt.
a Wie manche Umdrehung pro Sekunde muss das System ausführen,
damit die Kraft vom oberen Seil auf die Kugel 60 N beträgt?
b Wie gross ist dann die untere Seilkraft?
Lösungshinweis: Kugel freischneiden, Grundgesetze formulieren,
Formel für Normalbeschleunigung einsetzen. Beantworten Sie zuerst
Frage b.
Lösung:
1.2
1.2
+ FS 1
= ma
2
1.5
1.6
0.9
y : FS 2
+ FS 1
− FG = 0
2
1.5
x : FS 2
a
a=
ω=
1 5
4
m

 FS 2 − FS 1  = 11.92 2
m3
5
s

a
= 3.15s −1
r
T=
2π
ω
= 1.99 s f =
b
FS 1 =
54
5
FS 2 − FG = 14.6 N
35
3
Schlüsselwörter: Newton, Kreisbewegung
Quelle: Physik IV/HS M1.3
ω
1
= 0.5
2π
s
2.5 m
RM25: Kreisender Körper
2m
4 kg
5
1.
m
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 26
RM26: Schwungrad III
Aufgabenstellung: Ein Schwungrad (Massenträgheitsmoment 120 kgm2), das mit 600 Umdrehungen pro Minute dreht, würde infolge der konstanten Lagerreibung nach zehn Minuten stillstehen.
a Wie stark muss man auf das Schwungrad einwirken, damit es nach einer Minute drei Mal
schneller dreht?
b Das äussere Drehmoment habe das folgende Zeitverhalten
M = M0·cos(2·π·t/T) M0 = 50 Nm T = 10 s
Wie schnell dreht sich das Schwungrad nach drei Sekunden, wenn die Anfangsdrehzahl eine
Umdrehung pro Sekunde beträgt?
Lösungshinweis: Aus dem Auslaufverhalten das Reibdrehmoment berechnen, danach das
Grundgesetz (Drehimpulsbilanz) formulieren
Lösung:
ω R =
ω
t1
= 0.105 s −2
M R = J α = 12.57 Nm
a
+ω = 125.7 s −1
α=
+ω
= 2.094 s -2
t2
M − M R = Jα
M = M R + J α = 264 Nm
b

1 e
1
1
M 0 cos (ω 0 t ) − M R )dt =  M 0
sin (ω 0 te ) − M R te  = 0.316 s -1
(
∫
J 0
J
ω0

t
+ω =
2π
= 0.628 s -1
T
ω = ωα ++ω = 6.6 s -1
ω0 =
Schlüsselwörter: Drehimpulsbilanz, Reibdrehmoment
Quelle: Physik VI/HS M1.4
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 27
RM27: einfache Maschine
Aufgabenstellung: In der nebenstehend skizzierten Anordnung tritt nur am gekenntzeichneten Ort dissipative Reibung auf. Die Umlenkrolle hat einen Radius von 0.1 m.
Wie lange dauert es, bis sich der leichtere Klotz
aus der Ruhe heraus um 0.5 m gesenkt hat?
10 kg
m = 1kg
J = 0.01 kgm2
Gleitreibungskoeffizient 0.2
Lösungshinweis: Energiebilanz aufstellen, kinematische Verknüpfungen formulieren, einsetzen und auflösen.
8 kg
Lösung:
+WG 3 ++WG 2 = Wkin 3 + Wkin 2 + Wrot 2 + Wkin1 + W ( FR )
( m3 + m2 ) g +h =
1
J 2
2
2
2
 m3 v + m2 v + 2 v + m1 4v  + µ FG 2+h
2
r

2 g +h ( m3 + m2 − µ m1 )
m
= 0.99
J
s
m3 + m2 + 2 + m1 4
r
1
2h
h = vt t =
= 1.01 s
2
v
v=
Schlüsselwörter: Energiebilanz
Quelle: Physik IV/HS M1.5
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 28
RM28: Pendel II
Lösungshinweis: Energiebilanz aufstellen. Im zweiten Fall gibt es für die
Scheibe keine Rotationsenergie.
Lösung:
mst = 2.7 kg ms = 1.7 kg
J st = 0.225 kgm 2 J s = 0.034 kgm 2
sst = 0.3 m ss = 0.4 m sMMP = 0.339 m
J ' = J st + mst sst2 + J s + ms ss2 = 0.774 kgm 2
a
+WG =+Wrot'
1
J 'ω 2
2
2mgsMMP
= 6.15 s −1
ω=
J'
m
vB = ω sB = 4.92
s
mgsMMP =
b
ein Energiespeicher (Drehimpulsspeicher) weniger :
1
m
J '' = J '− J s = 0.74 kgm 2 ω = 6.29 , v = 5.03
s
s
Schlüsselwörter: Energiebilanz
Quelle: Physik IV/HS E1.2
200
200
A
200
x
B
1000
600
Aufgabenstellung: Das nebenstehend skizzierte Pendel besteht aus fünf
Millimeter dickem Aluminiumblech (Dichte 2700 kg/m3). Das Pendel ist
im Punkt A frei drehbar gelagert.
a Wie gross ist die Geschwindigkeit des Punktes B in der Gleichgewichtslage, wenn das Pendel vorher um 90° ausgelenkt und dann losgelassen worden ist?
b Die Scheibe selber sei frei drehbar und leicht exzentrisch montiert.
Deshalb kann sie die Drehbewegung nicht mitmachen. Welche Geschwindigkeit erreicht nun der Punkt B?
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 29
RM29: Schwungrad mit linearer Reibung
Aufgabenstellung: Ein Schwungrad (Massenträgheitsmoment 120 kgm2), das mit 600 Umdrehungen pro Minute dreht, wird hydraulisch gebremst. Die Bremstrommel weist eine lineare
Charakteristik auf, d.h. der Quotient aus der Differenz der Winkelgeschwindigkei und dem
Drehmoment ist konstant und beträgt 0.6 1/Nm·s.
a Wie lange dauert es, bis das Schwungrad nur noch halb so schnell dreht?
b Das Rad sei nun über die Bremstrommel mit einem zweiten (Massenträgheitsmoment 40
kgm2) verbunden, das anfänglich mit der entgegengesetzten Drehzahl (600 Umdrehungen
pro Minute) rotiert. Wieviel Zeit benötigt nun die Bremse, bis das grössere Rad stillsteht?
c Welche Leistung wird in diesem Moment in der Bremse dissipiert?
Lösungshinweis: Skizzieren Sie die elektromechanische Analogie.
Lösung:
a
t
−
u = u0 e τ ; τ = RC
−
t
ω = ω 0 e τ ; τ = RL J = 72 s
ω0
2
= ω0 e
−
t
τ
⇒ t = τ ln 2 = 50 s
b
J=
J1 J 2
= 30 kgm 2 ; τ = 18 s
J tot
+ω =+ω 0 e
−
t
τ
t = ln
+ω 0
τ = 19.8 s
+ω
c
( +ω )
P =+ω I L =
RL
2
= 2.92 kW
Schlüsselwörter: elektromechanische Analogie, Prozessleistung
Quelle: Physik IV/HS E1.3
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 30
RM30: Rotierende Kugel auf schiefer Ebene
Aufgabenstellung: Eine mit 10 Umdrehungen pro Sekunde rotierende Kugel (Masse 5 kg, Radius 10 cm) wird sanft auf eine schiefe Ebene (Neigung 20°) abgesetzt. Die Kugel rotiere genau
in Richtung des Gefälles. Für die Gleitreibung kann ein Koeffizient von 0.5 angenommen werden.
a Mit welcher Beschleunigung beginnt sich die Kugel längs der Ebene hinunterzubewegen?
b Wie gross ist dann die Winkelbeschleunigung?
c Wie lange dauert es, bis die Kugel rollt?
Lösungshinweis: Freischneiden, Grundgesetze (Impuls- und Drehimpulsbilanz) sowie Gleitreibungsgesetz formulieren. Die Kugel rollt, sobald die zugehörige kinematische Verknüpfung
erfüllt ist.
Lösung:
a
x:
FG sin α + FR = mvMMP
y:
FG cos α − FN = 0
− FR r = J ω
R:
FR = µ FN = µ mg cos α
J=
2 2
mr
5
vMMP = g ( sin α + µ cos α ) = 7.96
m
s2
b
− µ mg cos α r = J ω
2 µ g cos α
ω = −
= −115.2 s -2
5
r
c
Rollbedingung:
vMMP = vMMP t
t=
ω0 r
vMMP − ω r
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Rollen
Quelle: Physik IV/HS E1.4
vMMP = ω r
ω = ω0 + ω rt
= 0.323 s
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 31
RM31: einfache Machine II
Aufgabenstellung: In der nebenstehend skizzierten Anordnung tritt nur bei der Auflagefläche des grossen Klotzes dissipative Reibung
10 kg
auf. Die Umlenkrolle hat einen Radius von 0.1
m. Wie stark muss man am schwereren Klotz
horizontal nach links ziehen, damit der leichtere Gleitreibungskoeffizient 0.2
eine Beschleunigung von 7 m/s2 nach oben erhält
Lösungshinweis: Leistungbilanz für das Gesamtsystem aufstellen.
Lösung:
P ( F ) = Wkin ,tot + Wrot + WG
Fv1 = m1v1v1 + m2 v2 v2 + m3 v3 v3 + J ωω + m2 gv2 + m3 gv3
v2 = v3 =
v1
=v
2
v = ωr
J
vv + m2 gv + m3 gv
r2
J 
1
1
F =  4m1 + m2 + m3 + 2  v + ( m1 + m2 ) g = 219 N
2
2
r 
F 2v = 4m1vv + m2 vv + m3 vv +
Schlüsselwörter: Leistungsbilanz
Quelle: Physik IV/HS E1.5
m = 1kg
J = 0.01 kgm2
8 kg
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 32
RM32: Fadenspule IV
100 mm 50 mm
70 mm
Aufgabenstellung: Auf eine anfänglich ruhende Fadenspule (Masse 5
kg, Massenträgheitsmoment 0.02 kgm2), die aufrecht auf einem horizontalen Tisch steht und durch ein Luftkissen in der Schwebe gehalten
wird, wirkt eine konstante Kraft von 5 N ein. Der Wickelradius der
Schnur, über den die Kraft angreift, beträgt 5 cm.
a Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Spulenachse nach 4 Sekunden.
b Wie gross sind die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des
Punktes P nach vier Sekunden? Zur fraglichen Zeit befindet sich der
Punkt in der gezeichneten Lage.
P
Lösungshinweis: Freischneiden, Grundgesetze (Impuls- und Drehimpulsbilanz) formulieren,
aus Beschleunigung und Winkelbeschleunigung Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit
berechnen. Bezüglich des mitgeschleunigten System bewegt sich der Punkt P auf auf einem
Kreis.
Lösung:
F
m
=1 2
m
s
Fr
α=
= 12.5 s −2
J
aM =
a
vM = aM t = 4
m
s
b
vx' = −ω rp = −3.5
m
s
v = vM + v ' = 0.5
m
s
m
m
ax = aM + ax' = 0.125 2
2
s
s
m
m
a y' = ω 2 rp = 175 2
a = ax2 + a y2 = 175 2
s
s
ax' = −α rp = −0.875
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Kinematik
Quelle: Physik III/HS EM2.1
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 33
RM33: Zwei Rotoren
Aufgabenstellung: Zwei Rotoren sind über
eine Rutschkupplung, die einen maximalen
Drehimpulsstrom von 2 Nm durchlässt, verbunden. Von links her wirkt auf das grössere
Schwungrad (Trägheitsmoment 50 kgm2) ein
Drehmoment ein, das in zwei Sekunden von
50 kgm2
25 kgm2
Null auf 12 Nm anwächst und dann schlagartig wieder auf Null geht.
a Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeiten der beiden Körper zwei Sekunden nach dem
Start.
b Wie lange dauert es, bis beide Räder wieder die gleiche Drehzahl haben? Wie gross ist dann
die Winkelgeschwindigkeit?
Lösungshinweis: Skizzieren Sie das Flüssigkeitsbild, dann sollte alles klar sein.
Lösung:
a
1. Phase: +t = 1 s
+ L = 3 Nms
ω = 0.04 s-1
2. Phase: +t = 1 s
+ L1 = 9 Nms − 2 Nms + L2 = 2 Nms
+ω1 = 0.14 s -1
+ω 2 = 0.08 s -1
ω1 = 0.18 s-1
ω 2 = 0.12 s-1
b
ωe =
+ L 120 Nms
=
= 0.16 s -1
2
J tot 75 kgm
Laus = 1 Nms
+t =
Laus
= 0.5 s -1
Mk
Schlüsselwörter: Rotationsdynamik, Flüssigkeitsbild
Quelle: Physik III/HS EM2.2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 34
RM34: Hula Hoop
Aufgabenstellung: Ein dünner Holzring (Durchmesser ein Meter, Masse 200
g) wird mit einer Geschwindigkeit von 3 m/s und einer gegenläufigen Drehzahl von 80 Umdrehungen pro Minute aufrecht und knapp über dem Boden
fortgeworfen. Nach kurzer Zeit rollt er entweder in Bewegungsrichtung oder
in Drehrichtung davon.
Wie gross sind dann Winkel- und Mittelpunktsgeschwindigkeit?
3 m/s
80 U/min
Lösungshinweis: Skizzieren Sie ein Flüssigkeitsbild für den Impuls und eines für den Drehimpuls. Die beiden Ströme (Impuls- und Drehimpulsstrom) sowie der Endzustand sind geometrisch verknüpft.
Lösung:
x : − FR = mvMMP
R : − FR r = J ω
J = mr 2
Rollbedingung: ve = −ω e r
+ L J (ω − ω e ) L FR r
=
= =
= r ⇒ mr 2 (ω − ω e ) = mr ( v − ve )
+ p m ( v − ve )
p FR
rω − rω e = v + rω e
ωe =
rω − v
m
= 1.19 s -1 ve = rω e = −0.594
2r
s
Schlüsselwörter: Flüssigkeitsbild
Quelle: physik III/HS EM2.3
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 35
RM35: Modell Motorrad
Aufgabenstellung: An den Enden eines dünnen Stabes (Masse 20 kg,
Länge 2 m) befinden sich die beiden Achsen von zwei Rädern (Massen
5 kg und 12 kg, Massenträgheitsmomente 0.5 kgm2 und 2 kgm2). Das
12 kg
ganze System sei auf einer horizontal Glatteisfläche reibungsfrei gela- 5 kg
gert. Anfänglich ruht der Stab und beide Räder drehen sich mit zwei
Umdrehungen pro Sekunde gegeneinander?
a Wie schnell dreht sich der Stab, wenn die Räder infolge der Lagerreibung ihren Endzustand
erreicht haben?
b Wie gross müssen die Reibdrehmomente sein, damit der Ausgleichsvorgang zehn Sekunden
dauert?
c Wieviel Energie wird dabei dissipiert?
Lösungshinweis: Das Modell besteht aus drei Speichern. Die beiden Räder speichern nur den
Eigendrehimpuls, der dritte Speicher enthält den Eigendrehimpuls des Stabes und den Bahndrehimpuls von allen drei Körpern bezüglich des Gesamtmassenmittelpunktes. Skizzieren Sie das
Flüssigkeitsbild.
Lösung:
a
J = 22.34 kgm 2 J tot = 24.84 kgm 2
L = J1ω1 + J 2ω 2 = 18.85 Nms
ω1 = −4π s −1
ωe =
ω 2 = +4π s −1
L
= 0.76 s -1
J tot
b
+ L1 = 6.66 Nms
M 1 = 0.666 Nm
+ L2 = 23.62 Nms
M 2 = 2.36 Nm
c
Wdiss = Wrot1 + Wrot 2 − Wrot ,tot = 39.48 J + 157.9 J − 7.16 J = 190.2 J
Schlüsselwörter: Bahndrehimpuls, Flüssigkeitsbild
Quelle: Physik III/HS EM2.4
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 36
RM36: Skilift
Aufgabenstellung: Eine Skiliftanlage hat eine Länge von 500 Meter und eine mittlere Hangneigung von 20%. Das Drahtseil wiegt drei Kilogramm pro Meter und wird von 100 Führungsrollen (Durchmesser 25 cm, Masse 20 kg) gehalten. An beiden Enden der Anlage ist das Seil
über eine grosse Scheibe geführt (Masse 500 kg, Radius ein Meter, Massenträgheitsmoment
150 kg·m2). Der Lift sei voll besetz, d.h. 20 Personen à 80 kg hängen in den Bügeln. Wie gross
muss das Drehmoment auf die Antriebsscheibe sein, wenn der Lift ein Beschleunigung von 2
m/s2 erhalten soll. Die Lagerreibung betrage in den Führungsrollen 0.02 Nm und in den beiden
Scheiben je 10 Nm. Für die Gleitreibung der Grenzfläche Ski-Schnee darf pro Skifahrer 50 N
eingesetzt werden
Lösungshinweis: Stellen Sie die Leistungbilanz für das ganze System auf. Setzen Sie dann die
kinematischen Verknüpfungen so ein, dass Sie nach der gesuchten Grösse auflösen können.
Lösung:
P ( M A ) = Wkin + Wrot + WG + Pdiss
M ω = ( ms + n2 m ) vv + n1 J F ωF ω F + 2 J ωω + n2 mgh + n1M F ωF + 2 M Rω + n2 FR v
v = ω R = ωF r
h = v sin (11.3° )
mF 2
r
2
n
nM
2M R
J


M = R ( ms + n2 m ) v + 12 J F v + 2 v + n2 mg sin (11.3° ) + 1 F +
+ n2 FR  = 15 '914 Nm
r
R
r
R


JF =
Schlüsselwörter: Leistungsbilanz
Quelle: Physik III/HS EM2.5
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 37
RM37: Zwei Rotoren II
Aufgabenstellung: Zwei Rotoren sind über
eine Rutschkupplung, die einen maximalen
Drehimpulsstrom von 60 Nm durchlässt, verbunden. Von links her wirkt auf das grössere
Schwungrad (Trägheitsmoment 50 kgm2) ein
konstantes Drehmoment von 60 Nm ein. Von
50 kgm2
25 kgm2
rechts her wirkt ein zweites, dem ersten entgegenwirkendes Drehmoment ein, das in vier
Sekunden linear von 30 Nm auf 90 Nm anwächst?
Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeiten der beiden Körper vier Sekunden nach dem Start.
Lösungshinweis: Skizzieren Sie das Flüssigkeitsbild.
Lösung: Nach zwei Sekunden hat der Drehimpulsstrom in der Rutschkupplung die kritische
Grenze von 60 Nm erreicht. Bis zu diesem Zeitpunkt sind dem System netto 30 Nms Drehimpuls zugeflossen, was eine Winkelgeschwindigkeit von 0.4 s-1 ergibt. Danach fliesst aus dem
rechten Schwungrad netto 30 Nms ab, das linke wird nur noch durchflossen und behält seinen
Inhalt bei. Im Endzustand dreht sich das linke Rad mit 0.4 s-1 und das rechte mit -0.8 s-1.
Schlüsselwörter: Flüssigkeitsbild
Quelle: Physik IV/HS EM2.2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 38
RM38: Schwungrad IV
Aufgabenstellung: Auf ein Schwungrad (Massenträgheitsmoment 240 kgm2), das sich dreihundert Mal pro Minute dreht, wirkt ein veränderliches Drehmoment ein.
M = M0 + at + bt2 mit M0 = 50 Nm a = 10 Nm/s b = 1.5 Nm/s2
a Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich das Rad nach diesen zehn Sekunden? Die Lagerreibung ist zu vernachlässigen.
b Wie schnell dreht sich das Rad, wenn die Lagerreibung konstant 20 Nm beträgt?
c Mit welcher Rate wird im zweiten Fall zwei Sekunden nach Beginn des Vorganges Energie
dissipiert?
Lösungshinweis: Formulieren Sie die Drehimpulsbilanz und integrieren Sie über die Zeit.
Lösung:
a
M = L → ∫ Mdt = L2 − L1
a 2 b 3
t 2 − t3
2
3
= ( 7540 + 500 + 500 − 500 ) Nms = 8040 Nms
L2 = L1 + ∫ Mdt = J ω1 + M 0 t2 +
ω2 =
L2
= 33.5 s -1
J
b
Labgeführt = 200 Nms → L2 = 7840 Nms → ω 2 = 32.7 s -1
c
a
b 

M 0 − M R ) t3 + t32 − t33 
(

L
2
3 
= 31.73 s -1
ω3 = 3 = ω1 + 
J
J
Pdiss = M Rω3 = 634.7 W
Schlüsselwörter: Drehimpulsbilanz
Quelle: Physik IV/HS EM2.1
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 39
RM39: Fadenspule V
300
200
Aufgabenstellung: Auf die nebenstehend skizzierte, ruhende Fadenspule
(Masse 4 kg, Massenträgheitsmoment 0.1 kgm2, Abrollradius 30 cm, Wikkelradius 20 cm) wirkt eine Kraft ein, die in vier Sekunden linear von Null
auf 20 N anwächst. Die maximal mögliche Haftreibung beträgt 10 N. Sobald
die Spule rutscht, nimmt die Gleitreibung auch den Wert von 10 N an.
a Wann beginnt die Spule zu gleiten?
b Wie schnell bewegt sich die Körperachse nach diesen vier Sekunden?
Lösungshinweis: Freischneiden, Grundgesetze (Impuls- und Drehimpulsbilanz) formulieren,
Grenzfall berechnen, rollen und rutschen getrennt berechnen (Fallunterscheidung).
Lösung:
a
x : FS − FR = ma
y : FG − FN = 0
R : FR R − FS r = J α
Rollbedingung: α R = a
J
+ R2
FS = m
FR
J
+ rR
m
FS ,kritisch = 13.5 N
t=
FS ,kritisch
Fmax
t0 =
13.5
s
5
b
Impulszufuhr: 40 Ns
Impulsabfuhr: 5N ⋅ 2.7s + 10N ⋅ 1.3s = 26.5 Ns
p = 13.5 Ns
p
m
v = = 3.38
m
s
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Impulsbilanz, rollen
Quelle: Physik IV/HS EM2.3
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 40
RM40: Bowling
Aufgabenstellung: Eine Bowling-Kugel (Masse 3 kg, Radius 12 cm) erhalte die Anfangsgeschwindigkeit 3 m/s in Bahnrichtung und eine Vorwärtswinkelgeschwindigkeit von 75 s-1. Für
die Gleitreibungszahl können Sie 0.3 annehmen.
a Wie schnell bewegt sich die Kugel, in dem Moment, in dem sie rollt?
b Wie lange dauert der Gleitvorgang?
Lösungshinweis: Skizzieren Sie ein Flüssigkeitsbild für den Impuls und eines für den Drehimpuls. Die beiden Ströme (Impuls- und Drehimpulsstrom) sowie der Endzustand sind geometrisch verknüpft.
Lösung:
a
+L
+p
=
(ω 0 − ωe ) J rFR
=
( ve − v0 ) m FR
Rollbedingung: ve = ω e r
2
5
m
ve = ω 0 r + v0 = 4.71
7
7
s
b
t=
Schlüsselwörter: Flüssigkeitsbild
Quelle: Physik IV/HS EM2.4
+p
= 0.58 s
FR
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 41
RM41: Komplexes Pendel
Aufgabenstellung: Ein Pendel, das aus zwei exzentrisch angeordneten
Scheiben (Massen 12 kg und 4 kg, Radien 100 mm und 40 mm, Exzentrizität
60
60 mm) besteht und in der Symmetrieachse der kleinen Scheibe frei drehbar
aufgehängt ist, werde um 90° ausgelenkt und dann losgelassen.
a Mit welcher Geschwindigkeit geht der unterste Punkt des Pendels durch
die Gleichgewichtslage?
2 kg
b Am Umfang der kleinen Scheibe werde ein Faden aufgewickelt, an dem
ein kleiner Klotz (Masse 2 kg) und eine Feder (Richtgrösse 10 N/cm) be- 1000 N/m
festigt ist. Wie ist nun die oben gestellte Frage zu beantworten, wenn die
Feder in der Ausgangsposition gerade entspannt ist?
Lösungshinweis: Energiebilanz
Lösung:
a
+WG = Wrot'
mgs =
1
J 'ω 2
2
s1 = 45 mm
 r2
 m r2
J ' = J1 + s12 m1 + J 2 = m1  1 + s12  + 2 2 = 1.064 ⋅10−1 kgm 2
2
 2

2mgs
= 11.5 s -1
J
ω=
v = ω × 0.16m = 1.844
m
s
b
+WG = Wrot' + WF + Wkin ++WGK
mgs =
1
1
1
J ' ω 2 + mk vk2 + Dh 2 + mk gh
2
2
2
ω=
2mgs − Dh − 2mk gh
= 8.39 s -1
2
J '+ mk r
v = 1.34
2
m
s
Schlüsselwörter: Energiebilanz
Quelle: Physik IV/HS EM2.5
h=
π
2
40mm = 6.28 ⋅10−2 m
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 42
RM42: Schwungräder mit Rutschkuppelung
Aufgabenstellung: Zwei identische Schwungräder (Massenträgheitsmoment 20 kgm2) sind auf einer gemeinsamen,
vertikal stehenden Achse frei drehbar gelagert. Von oben her
wirkt auf die anfänglich ruhenden Räder ein zeitabhängiges
Drehmoment ein, das in zehn Sekunden linear von Null auf
40 Nm anwächst. Die beiden Räder haften aneinander, bis
der Drehimpulsstrom die Stärke von 16 Nm überschreitet.
Nachher bleibt das entsprechende Reibdrehmoment konstant. Die zweite Reibschicht, die sich zwischen der Unterlage und dem unteren Schwungrad befindet, verhält sich
analog. Nur ist der Maximalwert auf 8 Nm begrenzt.
Mit welchen Winkelgeschwindigkeiten drehen sich die beiden Räder nach diesen zehn Sekunden?
M(t)
20kgm2
Mmax= 16 Nm
20kgm2
Mmax= 8 Nm
Lösungshinweis: Skizzieren Sie den Vorgang im Flüssigkeitsbild.
Lösung:
1.Phase: ( 0 − 2 s )
I L 8 Nm
+L
0
2.Phase:
8 Nm
8 Nm
0
(2 − 6 s)
I L 8 Nm → 24 Nm
+L
8 Nm → 16 Nm
16 Nms
8 Nm
16 Nms
3.Phase: ( 6 − 10 s )
IL
24 Nm → 40 Nm
+L
64 Nms
32 Nms
L
80 Nms
48 Nms
ω
Schlüsselwörter: Flüssigkeitsbild
Quelle: Physik III/HS M3.1
8 Nm
16 Nm
4s
−1
2.4 s −1
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 43
RM43: Jo-Jo
Aufgabenstellung: Auf ein grosses Jo-Jo (Masse 500 g, Massenträgheitsmoment 0.01 kgm2, Wickelradius 5 cm) wirkt über die vertikal
ausgerichtete Schnur eine Kraft ein, die in 0.4 Sekunden linear von
Null auf 20 N anwächst. Anfänglich bewegt sich der Körper mit einer
Geschwindigkeit von 2 m/s nach unten, ohne sich zu drehen.
a Wie gross ist die Geschwindigkeit der Jo-Jo-Achse nach diesen 0.4
s?
b Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich dann ein Punkt auf dem
vertikalen Seilstück?
F(t)
0.5 kg
0.01 kgm2
5 cm
2 m/s
Lösungshinweis: Freischneiden, Grundgesetze (Impuls- und Drehimpulsbilanz) und kinematische Verknüpfung formulieren.
Lösung:
a
FG − F = maM
aM = g −
F = kt
k = 50
N
s
k
t
m
te
vM = v0 ++v = v0 + ∫ aM dt = v0 + gte −
0
m
k 2
te = −2.08
2m
s
b
Fr kr
= t
J
J
kr 2
t = 20 s −1
ω=
2J
α=
vF = vM − ω r = −3.08
Schlüsselwörter: Newton-Euler
Quelle: Physik III/HS M3.2
m
s
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 44
RM44: Rotierende Walze
Aufgabenstellung: Eine Walze (Masse 5 kg, Radius 5 cm), die mit einer Drehzahl von 600 Umdrehungen pro Minute auf eine horizontale Unterlage abgesetzt wird, soll nach zwei Sekunden
rollen ohne zu rutschen.
Wie gross muss der zugehörige Gleitreibungskoeffizient sein?
Lösungshinweis: Skizzieren Sie ein Flüssigkeitsbild für den Impuls und eines für den Drehimpuls. Die beiden Ströme (Impuls- und Drehimpulsstrom) sowie der Endzustand sind geometrisch verknüpft.
Lösung:
Mt = (ω 0 − ω e ) J
M = FR r
J=
FR t = ve m
ve = ω e r = ω 0 r −
2F t
FR r 2 t
= ω0 r − R
J
m
mω 0 r
= 2.62 N
3t
F
F
µ = R = R = 0.05
FN mg
FR =
Schlüsselwörter: Flüssigkeitsbild
Quelle: Physik III/HS M3.3
m
2r 2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 45
RM45: einfache Maschine III
Aufgabenstellung: In der nebenstehend skizzierten AnJ = 0.4 kgm2
ordnung ist die Feder (Richtgrösse 2000 N/m) gegenüber
dem unbelasteten Zustand um 10 cm verlängert und die
r = 0.2 m
m
beiden Quader sind noch in Ruhe.
/
N
15 kg
00
a Wie schnell bewegt sich der grössere Quader in dem
20
0.2
5 kg
Augenblick, in dem die Feder entspannt ist?
30 °
b Wie gross ist dann dessen Beschleunigung?
Körpereigenschaften, Gleitreibungskoeffizient und Neigungswinkel sind der Skizze zu entnehmen. Im Lager der Seilumlenkrolle (Radius 0.2 m) tritt
keine Reibung auf.
Lösungshinweis: Energiebilanz und Leistungsbilanz aufstellen.
Lösung:
a
1 2
1
1
1
J 
Ds + m1 g s sin α − m2 gs − m1 µ g cos α s = ( m1 + m2 ) v 2 + J ω 2 =  m1 + m2 + 2  v 2
2
2
2
2
r 
10 J + 7.385 J − 4.9 J − 2.549 J
m
v = 0.812
s
b
J 

m1 g sin α v − gm2 v − m1 µ g cos α v =  m1 + m2 + 2  vv
r 

m sin α v − m2 − m1 µ cos α
m
m
= −3.27 ⋅ 10−3 2 = −3 ⋅ 10−3 2
v = g 1
J
s
s
m1 + m2 + 2
r
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Leistungsbilanz
Quelle: Physik III/HS M3.4
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 46
RM46: Schwenkbewegung
Aufgabenstellung: Ein Hohlzylinder (Masse 20 kg, Innenradius 5 cm, Aussenradius 8 cm)
dreht sich reibungsfrei gelagert mit 1200 Umdrehungen pro Minute um eine feste Achse. Sobald
die Achse geschwenkt wird, wirkt auf den Hohlzylinder ein Drehmoment ein.
a Wie gross ist dieses Drehmoment, wenn die Achse in fünf Sekunden eine volle Schwenkbewegung von 360° ausführt?
b Wie gross ist die Leistung dieses Drehmomentes? Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösungshinweis: Bei der Schwenkbewegung verhält sich das Drehmoment zum Drehimpuls
wie die resultierende Kraft zum Impuls bei der Kreisbewegung.
Lösung:
a
m 2 2
r1 + r2 ) = 0.089 kgm 2
(
2
2π 2π n π 2 Jn
M = ωs L =
J
=
= 14.05 Nm
T
60 15 T
J=
b
K
K
M ⊥ ω → keine Leistung
Schlüsselwörter: Schwenkbewegung
Quelle: Physik III/HS M3.5
Wrot = konst
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 47
RM47: Getriebe
Aufgabenstellung: Auf das eine Zahnrad (Zähnezahl 36, Massenträgheitsmoment 0.2 kgm2)
eines Getriebes wirkt bei einer Drehzahl von 240 U/min ein Drehmoment von 15 Nm ein. Die
Lagerreibung sei so klein, dass wir sie vernachlässigen können.
a Wie gross ist das Drehmoment, das auf das zweite Rad (Zähnezahl 24, Massenträgheitsmoment 0.1 kgm2) einwirken muss?
b Die z-Achse zeige in Richtung der Antriebswelle. Wie fliesst der Drehimpuls durch das Getriebe hindurch? Geben Sie eine kurze Beschreibung ab und nennen Sie alle Stromstärken.
c Wie gross ist das mittlere Drehmoment, das auf die Antriebswelle einwirken muss, damit das
Getriebe bei unbelasteter Abtriebswelle in 0.5 s von 0 auf 240 U/min hochgefahren wird.
Lösungshinweis: Die Leistungsbilanz liefert bei a) und c) das gesuchte Drehmoment. Aus dieser Bilanz folgt auch, dass das Abtriebsmoment gegen die zugehörige Winkelgeschwindigkeit
gerichtet sein muss.
Lösung:
a
M 1ω1 = M 2ω 2 = M 2
ω1
Z
= M1 1
Z2
ω2
M 2 = 10 Nm
b
Zufluss: I L1 = 15 Nm I L 2 = 10 Nm über die Wellen
Abfluss: I LL = 25 Nm über die beiden Lager
(zwischen den Lagern fliesst ein Impulsstrom quer, der
Quellen oder Senken für den z -Drehimpuls bildet)
c
M 1ω1 = J1ω1ω1 + J 2ω2ω 2

Z12 
M 1 =  J1 + J 2 2  ω1
Z2 

2π n
rad
ω1 =
= 50.3 2
60+t
s
M 1 = 21.4 Nm
Schlüsselwörter: Leistungsbilanz
Quelle: Physik V/HS M3.2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 48
RM48: kleine Maschine IV
Aufgabenstellung: In der nebenstehend skizzierten Anordnung ist die Feder (Richtgrösse 2000 N/m) gegenüber dem
unbelasteten Zustand um 10 cm verlängert und die beiden
Quader sind noch in Ruhe. Die Reibung im Lager der Umlenkrolle ist zu vernachlässigen.
a Wie schnell bewegt sich der grössere Quader in dem
Augenblick, in dem die Feder entspannt ist?
b Wie gross ist dann dessen Beschleunigung?
Die Daten sind der Skizze zu entnehmen.
10 kg
Gleitungskoeffizient 0.2
Lösungshinweis: Energiebilanz und Leistungsbilanz aufstellen.
Lösung:
a
+WF = W ( FR ) + Wkin1 + Wkin 2 + Wrot ++WG 2
1 2
1
J 
Ds = m1 g µ s +  m1 + m2 + 2  v 2 + m2 gs
2
2
R 
v=
Ds 2 + 2 ( µ m1 + m2 ) gs
m
= 0.74
J
s
m1 + m2 2
R
b
J 

0 = µ m1 gv +  m1 + m2 2  vv + m2 gv
R 

µ m1 + m2
m
= −1.78 2
v = − g
J
s
m1 + m2 2
R
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Leistungsbilanz
Quelle: Physik V/HS M3.3
J = 0.4 kgm2
Radius 0.2 m
2000 N/m
2 kg
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 49
RM49: Federpendel
Aufgabenstellung: Ein dünner Stab (Länge 1.6 m, Masse 5 kg) hängt frei
drehbar an einer horizontal ausgerichteten Achse. Die Achse durchstösst
den Stab 40 cm über dessen Mitte.
a Wie gross ist die Frequenz dieses Stabpendels?
b Nun soll die Frequenz verdoppelt werden. Dazu befestigt man am Stab
zwei identische Federn, die 40 cm vom untern Ende entfernt horizontal
angreifen. Welche Richtgrösse muss jede der beiden Federn aufweisen?
Lösungshinweis: Um die Frequenz zu verdoppeln muss die Winkelrichtgrösse vervierfacht werden.
Lösung:
a
f =
1
2π
D*
J
f =
1
2π
12 g
= 0.516 Hz
7l
l
4
2
m
ml
7
=
J = J Stab l 2 + ms 2 = l 2 +
ml 2
12
16
48
D* ≈ mgs = mg
b
f 2 = 2 f1 ⇒ D2* = 4 D1* ⇒ DF* + mg
DF* =
l
l
= 4mg
4
4
3
mgl
4
l
FF = 2 D+s = 2 D ϕ = Dlϕ
2
2
l
Dl
M F = FF =
ϕ
2
2
M
Dl 2
DF* = F =
2
ϕ
Dl 2 3
3mg
N
= mgl ⇒ D =
= 46
2
4
2l
m
Schlüsselwörter: physisches Pendel, Federpendel, Winkelrichtgrösse
Quelle:VI/HS M3.1
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 50
RM50: Zwei Rotoren III
Aufgabenstellung: Zwei Rotoren sind auf einer gemeinsamen Achse gelagert. Von links her
wirkt auf den ersten Rotor während fünf Sekunden ein konstantes Drehmoment von 120 Nm
ein. Der erste Rotor hat ein Massenträgheitsmoment von 60 kgm2 und der zweite 90 kgm2. Zwischen den beiden Rotoren ist eine Rutschkupplung eingefügt, welche maximal 50 Nm zu “übertragen” vermag. Wie gross sind die Winkelgeschwindigkeiten der beide Rotoren nach fünf Sekunden? Wie lange dauert es dann noch, bis sie mit gleicher Drehzahl rotieren? Wie schnell
drehen sie sich schlussendlich?
Lösungshinweis: Skizzieren Sie das Flüssigkeitsbild für dieses Modell.
Lösung:
starreVerbindung
α=
M1
= 0.8 s −2
J tot
M 2 = J 2α = 71 Nm > 50 Nm ⇒ Kupplung rutscht
System 1
M 1 − M 2 = J1α
α1 =
M1 − M 2
= 1.167 s −2
J1
ω1 = α1 +t = 5.833 s −1
Ausgleich
M
α1 = − 2 = 0.83333 s −1
J2
ω = ω1 + α1 +t = ω 2 + α 2 +t
ω = ω 2 + α 2 +t = 4s −1
ω − ω2
+t = 1
= 2.2 s
α1 − α 2
Schlüsselwörter: Flüssigkeitsbild
Quelle: Physik V/MT 90.1 d
System 2
M 2 = J 2α
α2 =
M2
= 0.556 s −2
J2
ω 2 = α 2 +t = 2.778 s −1
α2 =
M2
= 0.556 s −2
J2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 51
RM51: Fadenspule VI
Aufgabenstellung: Eine Fadenspule (r1 = 15 cm, r2 = 9 cm, Masse 9 kg,
Massenträgheitsmoment 0.05 kgm2) wird mit einem Faden (Fadenkraft
80 N) auf einer schiefen Ebene hinaufgezogen ohne zu gleiten. Wie
gross ist die Beschleunigung der Spulenachse? Wie gross ist die Haftreibungskraft?
10˚
30˚
Lösungshinweis: Freischneiden, Grundgesetze (Impuls- und Drehimpulslanz) sowie kinematische Verknüpfung formulieren.
Lösung:
x:
− FG sin γ + FHR + F cos β = ma
y:
FG cos γ + F sin β − FN = 0
R:
kin. Verkn.:
Fr2 − FHR r1 = J α
a = α r1
FHR = F
r2 J
− a
r1 r12
r
 
J 
x: − mg sin γ + F  2 + cos β  =  m + 2  a
r1 
 r1
 
m
a = 7.042 2
s
FHR = 32.35 N
Schlüsselwörter: Newton-Euler
Quelle: Physik V/MT 90.2 d
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 52
RM52: kleine Maschine V
Aufgabenstellung: In der untenstehenden Anordnung hat der aufgehängte Klotz eine Beschleunigung nach unten von 1.5 m/s2 und eine Geschwindigkeit von 0.8 m/s. Die Spule (grosser Radius 25 cm, kleiner Radius 12 cm) rollt ohne zu gleiten. Wie gross ist die Beschleunigung
eines Punktes auf dem Wickelradius (kleiner Radius) in P? Wie gross ist sie auf dem Abrollradius (grosser Radius) in T?
P
x
x
T
Lösungshinweis: Im mitbeschleunigten System bewegen sich alle Punkte auf Kreisbahnen.
Lösung:
+ s =+h
R
R+r
v MMP = v
R
m
= 0.54
R+r
s
vMMP
= 2.162 s −1
R
m
R
a
= 1.0135 2 α = MMP = 4.054 s −2
aMMP = a
R+r
s
R
ω=
mitbewegtes System:
m
m
an = ω 2 r = 0.5609 2 ; 1.1686 2 nach oben
s
s
m
m
at = α r = 0.4865 2 ; 1.0135 2 nach links
s
s
m
Relativbeschleunigung: aMMP = 1.0135 2
s
m
2
2
+ avert
= 0.7696 2 bei P
a = ahor
s
m
= 1.1686 2 bei T
s
Schlüsselwörter: Kinematik
Quelle: Physik V/MT 90.3.d
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 53
RM53: Pendel mit Federn
Aufgabenstellung: Ein Stab (Masse 7.5 kg, Länge 2 m) ist 20 cm vom
einen Ende entfernt frei drehbar aufgehängt. Zudem wird er durch zwei
horizontal liegende Federn in der senkrechten Lage festgehalten. Die
eine Feder (Richtgrösse 120 N/m) ist 25 cm vom untern Ende entfernt
fixiert und die andere (Richtgrösse 250 N/m) ist genau in der Mitte des
Stabes befestigt. Wie gross ist die Schwingungsdauer bei kleiner Auslenkung?
Lösungshinweis: Lenken Sie das Pendel um einen kleinen Winkel aus und bestimmen Sie das
rücktreibendes Drehmoment. Die Winkelrichtgrösse ist gleich dem Quotienten aus Drehmoment und Winkel.
Lösung:
J'=
 l2

ml 2
+ ms12 = m  + s12  = 7.3 kgm 2
12
 12

M = − mgs1 sin ϕ + M Fr + M Fl
M Fl = − Dl +sl s2 ≈ − Dl s22ϕ
M Fr = − Dr s12ϕ
D* = mgs1 + Dl s22 + Dr s12 = 507.16 Nm
T=
2π
ω
= 2π
Schlüsselwörter: physisches Pendel
Quelle: Physik XI/MT 90.1
J'
= 0.754 s
D*
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 54
RM54: Atwood
Aufgabenstellung: Ueber eine reibungsfrei gelagerte Rolle (Radius 25 cm, Massenträgheitsmoment 0.04 kgm2) ist ein Seil mit vernachlässigbarer Masse geführt. Am linken Ende hängt
ein Körper der Masse 7 kg, am rechten ein zweiter mit 3 kg Masse. Beide Körper sind anfänglich in Ruhe und auf gleicher Höhe. Wie schnell dreht sich der Rolle, wenn die beiden Körpermittelpunkte 1.5 m auseinander liegen?
Lösungshinweis: Energiebilanz
Lösung:
+WG =+WBew
1
2
1
1
J ω 2 = ( m1 + m2 ) R 2 + J  ω 2
2
2
v = ωR
( m1 − m2 ) gs = ( m1 + m2 ) v 2 +
s = 0.75m
1
 2 ( m1 − m2 ) gs  2
−1
ω=
 = 9.41s
2
 ( m1 + m2 ) R + J 
Schlüsselwörter: Energiebilanz
Quelle: Physik VI/MT 90.3 d
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 55
RM55: Mathematisches Pendel
Aufgabenstellung: Ein mathematisches Pendel (der Pendelkörper hat keine Ausdehnung und die Schnur ist masselos) der Länge 210 cm und der Masse 0.2 kg wird um 90°
ausgelenkt und losgelassen. In einem senkrechten Abstand
von 140 cm unterhalb des Aufhängepunktes ist ein Nagel so
eingeschlagen, dass der untere Teil des Pendels auf dem
zweiten Teil der Bahn um den Nagel schwingt.
a Wie schnell bewegt sich der Pendelkörper, wenn die
Schnur wieder horizontal ist?
b Wie gross ist dort die Fadenkraft?
c Wie gross ist dort die Beschleunigung des Körpers?
Lösungshinweis: Die Geschwindigkeit ist dank der Energieerhaltung direkt von der jeweiligen
Höhe abhängig. Auf einer Kreisbahn ist die Normalbeschleunigung proportional zur kinetischen Energie (die resultierende Normalkraft ist gleich zwei mal der kinetischen Energie dividiert durch den Kreisradius).
Lösung:
a
+WG =
1 2 2
m
mv v = g +h v = 2 g +h = 5.24
2
s
b
FF = m
v 2 2mg +h
=
= 7.85 N
r
r
c
a=
FRe s
m
= an2 + g 2 = 40.45 2
m
s
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Normalbeschleunigung
Quelle: Physik VI/MT 90.4 d
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 56
RM56: Zwei Rotoren IV
Aufgabenstellung: Zwei Rotoren sind auf einer gemeinsamen Achse gelagert. Von links her
wirkt auf den ersten Rotor während fünf Sekunden ein konstantes Drehmoment von 150 Nm
ein. Der erste Rotor hat ein Massenträgheitsmoment von 60 kgm2 und der zweite 90 kgm2. Zwischen den beiden Rotoren ist eine Rutschkupplung eingefügt, welche maximal 50 Nm zu “übertragen” vermag.
a Wieviel Energie wurde dem Gesamtsystem zugeführt?
b Wieviel Energie geht in diesen fünf Sekunden in der Rutschkupplung “verloren”?
Lösungshinweis: Skizzieren Sie das Flüssigkeitsbild und beantworten Sie die Fragen aus diesem Bild heraus (die unten aufgeführte Lösung ist älter als das Flüssigkeitsbild).
Lösung:
a
α2 =
M 2 max
= 0.556 s −2
J2
α1 =
M 1 − M 2max
= 1.667 s −2
J1
ω2 = α 2t = 2.78 s −1
ω1 = α1t = 8.3333 s −1
1
W ( M ) = ω1Mt = 3.125 kJ
2
b
1
J1ω12 = 2.08 kJ
2
1
1
2
Wrot 2 = J 2ω 22 = J 2ω 22 (α 2t ) = 0.347 kJ
2
2
+W = W ( M ) − Wrot1 − Wrot 2 = 695 J
Wrot1 =
Schlüsselwörter: Flüssigkeitsbild, Drehimpulsbilanz, Energiebilanz
Quelle: Physik VI/MT 90.5 d
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 57
RM57: Zwei Rotoren V
Aufgabenstellung: Zwei Rotoren sind auf einer gemeinsamen Achse gelagert. Von links her
wirkt auf den ersten Rotor während fünf Sekunden ein zeitabhängiges Drehmoment (M = kt2
mit k = 8 kgm2/s4) ein. Der erste Rotor hat ein Massenträgheitsmoment von 60 kgm2 und der
zweite 90 kgm2. Zwischen den beiden Rotoren ist eine Rutschkupplung eingefügt, welche maximal 50 Nm zu “übertragen” vermag.
a Wie gross sind die Winkelgeschwindigkeite der beide Rotoren nach fünf Sekunden?
b Wieviel Energie wird bis zum Rutschen zugeführt?
Lösungshinweis: Skizzieren Sie das Flüssigkeitsbild und beantworten Sie die Fragen aus diesem Bild heraus (die unten aufgeführte Lösung ist älter als das Flüssigkeitsbild).
Lösung:
a
Grenzwinkelgeschwindigkeit:
I L max = 50 Nm
t1
L = ∫ kt 2 =
0
150
1
= 83 Nm
90
3
kt13
= 89.65 Nms
3
I L max = kt12
ω1 =
t1 = 3.227 s
L
= 0.5977 s −1
J tot
Endgeschwindigkeit:
+ Llinks
kt 3
= 1
3
t2
− 50Nm ( t2 − t1 ) = 155 Nms
ωlinks = ω1 +
t1
+ Lrechts = 50Nm ( t2 − t1 ) = 86.65Nms
+ Llinks
= 3.182 s −1
J links
ωrechts = ω1 +
+ Lrechts
= 1.583s −1
J rechts
b
P ( M ) = Mω
W = ∫ P ( M ) dt = ∫ M ω dt =
1
( J1 + J 2 ) ω12 = 26.8 J
2
Schlüsselwörter: Flüssigkeitsbild, Drehimpulsbilanz, Energiebilanz
Quelle: Physik X/MT 90.1 d
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 58
RM58: Rotierende Hantel
Aufgabenstellung: Auf einem horizontalen, dünnen Stab (Länge
40 cm) sind zwei Metallscheiben (Radius 10 cm, Masse 0.4 kg)
aufgesteckt. Die ganze Anordnung sei um eine vertikale Achse
frei drehbar gelagert und habe ohne Scheiben ein Massenträgheitsmoment von 0.01 kgm2.
a Wieviel Drehimpuls ist in diesem Apparat gespeichert, wenn
sich der Stab pro Sekunde 5 mal dreht und wenn beide Scheiben 12 cm vom jeweiligen Stabende entfernt befestigt sind?
b Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich der Stab, wenn
die Scheiben ganz hinaus gerutscht sind?
Lösungshinweis: Die beiden Scheiben speicher Eigen- und Bahndrehimpuls. Ensprechend
müssen die zugehörigen Massenträgheitsmomente ergänzt werden (Satz von Steiner).
Lösung:
a
L = J ω = 0.538 Nms
 r2

=
+
2
J J0
m  + s 2  = 1.712 ⋅10−2 kgm 2
 4

−1
ω = 2π f = 31.42 s
b
ω=
L
= 12.23s −1
J
J = 4.4 ⋅10 −2 kgm 2
Schlüsselwörter: Satz von Steiner, Bahndrehimpuls
Quelle: Physik X/MT 90.2 d
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 59
RM59: Federpendel auf schiefer Ebene
Aufgabenstellung: Ein Klotz (Masse 3 kg) liege auf einer schiefen Ebene (Winkel 25°, Gleitreibungskoeffizient 0.4) und sei an einer Feder (600 N/m) befestigt.
Der Körper werde nach unten ausgelenkt, bis die Feder um 6 cm gedehnt ist.
a Wie lange dauert es, bis der Klotz den höchsten Punkt der Ebene ereicht hat?
b Legen Sie die x-Koordinate längs der schiefen Ebene und bestimmen Sie die x-Impulsstromstärken bezüglich des Systems 0.2 Sekunden nach dem Loslassen?
c Welche Leistung setzt der Impulsstrom dann über der Feder um?
Lösungshinweis: Das Federpendel verhält sich wie ein harmonischer Oszillator. Wählen Sie
dazu den Koordinatenursprung in der Gleichgweichtslage. Infolge der Gleitreibungskraft verschiebt sich die „Gleichgewichtslage“ je nach Bewegungsrichtung.
Lösung:
x:
FF − FG sin α − FR = a
y:
FN − FG cos α = 0
x = 0 FF ( x ) − FG sin α − FR = 0
− Dx = mx
x:
a
ω=
D
m
T
m
=π
= 0.222 s
D
2
b
Federdehnung am GG-Punkt:
Auslenkung:
s ( 0.2 ) = 2.045 cm
mg sin α − µ mg cos α
= 3.85 cm
D
s ( t ) = − s0 cos ωt s0 = 2.15 cm
+l =
+laktuell =+l − s ( 0.2 ) = 1.805cm
FF = I p , Feder = Ds ( 0.2 s ) + D+l = 10.83 N
c
s = s0ω sin ωt = 0.0937
m
s
P = I p , Feder s = 1.014 W
Schlüsselwörter: harmonischer Oszillator, Prozessleistung
Quelle: Physik X/MT 90.3 d
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 60
RM60: Lochscheibe auf schiefer Ebene
Aufgabenstellung: Der nebenstehend skizzierte Zylinder (Radius
25 cm, Masse 50 kg, Durchmesser der Bohrungen 10 cm, Abstand
der Bohrungen 20 cm) rollt auf einem vertikalen Seil ab. Wie schnell
rotiert er, wenn sich der Massenmittelpunkt um 50 cm abgesenkt
hat?
Lösungshinweis: Zur Berechnung des Massenträgheitsmomentes
dürfen die Löcher mit negativer Masse eingesetzt werden. Der Bewegungszustand nach der gegebenen Fallstrecke kann mit Hilfe der
Energiebilanz gerechnet werden.
Lösung:
r2
= 2.38 kg m 0 = m '+ 4m = 59.52 kg
R 2 − 4r 2
1
m

J = m0 R 2 − 4  r 2 + ms 2  = 1.753 kgm 2
2
2

m
1
v = k 2 g +h = 2.507
k=
= 0.6406
J
s
1+
m ' R2
ω = v / R = 10.03s −1
m = m'
Schlüsselwörter: Massenträgheitsmoment, Energiebilanz
Quelle: Physik VI/MT 90.2 b
20cm
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 61
RM61: Rotierender Zylinder
Aufgabenstellung: Ein rotierender Zylinder (Masse 30 kg, Radius 15 cm, Drehzahl 450 Umdrehungen pro Minute) wird sanft auf eine horizontale Unterlage abgesetzt. Der Zylinder wird
sich infolge der Reibung wegbewegen. Um welchen Betrag ändert sich die Bewegungsenergie
bis der Zylinder rollt?
Lösungshinweis: Skizzieren Sie zwei Flüssigkeitsbilder (Impuls- und Drehimpulsbilanz). Die
beiden Ströme und der Endzustand sind je über den Radius miteinander verknüpft.
Lösung:
FR = maMMP
FR r = J α
at = (ω0 − α t ) r
Rollbedingung:
t=
ω0 rm
3FR
ve = at =
ωe =
ω0
3
FR ω rm ω0
m
=
r = 2.356
m 3FR
3
s
= 15.7 s −1
1
1
1
J ω02 − J ωe2 − mve2
2
2
2
W
11 1 1
1
+WBew =  − −  mr 2ω02 = mr 2ω0 = Bew,0 249.8 J
2  2 18 9 
6
3
Alternativlösung mit Hilfe des Flüssigkeitsbildes
+WBew = W ( FR ) =
Schlüsselwörter: Flüssigkeitsbild, dissipierte Energie
Quelle: Physik VI/MT 90.5 b
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 62
RM62: Zwei Rotoren VI
Aufgabenstellung: Zwei Rotoren sind auf einer gemeinsamen Achse gelagert. Von links her
wirkt auf den ersten Rotor ein Drehmoment ein, das in fünf Sekunden linear von 0 auf 150 Nm
anschwillt. Der erste Rotor hat ein Massenträgheitsmo-ment von 60 kgm2 und der zweite 90
kgm2. Zwischen den beiden Rotoren ist eine Rutschkupplung eingefügt, die maximal 50 Nm zu
“übertragen” vermag. Welche Winkelgeschwindigkeiten erreichen die beiden Rotoren nach den
ersten fünf Sekunden?
Lösungshinweis: Skizzieren Sie das Flüssigkeitsbild und beantworten Sie die Fragen aus diesem Bild heraus (die unten aufgeführte Lösung ist älter als das Flüssigkeitsbild).
Lösung:
Grenzfall:
α2 =
M2
= 0.556s −2
J2
M 1 = ( J1 + J 2 ) α 2 = 83.33 Nm
t=
M1
ttot = 2.78s
M max
1
2
ω = α 2 = 7.716 ⋅10−1 s −1
System 1
M − M2
= 0.556s −2 bis 1.6667s -2
α1 = 1
J1
+ω1 = α1 +t = 2.47 s −1
ω1 = ω ++ω1 = 5.833s −1
Schlüsselwörter: Flüssigkeitsbild
Quelle: Physik V/MT 90.1 b
System 2
M
α 2 = 2 = 0.556s −2
J2
+ω2 = α 2 +t
ω2 = ω ++ω1 = 2.006s −1
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 63
RM63: Rotierender Zylinder II
Aufgabenstellung: Ein rotierender Zylinder (Masse 50 kg, Radius 15 cm, Drehzahl 450 Umdrehungen pro Minute) wird sanft auf eine horizontale Unterlage abgesetzt. Der Zylinder wird
sich infolge der Reibung wegbewegen. Welche Geschwindigkeit kann die Zylinderachse erreichen?
Lösungshinweis: Skizzieren Sie zwei Flüssigkeitsbilder (Impuls- und Drehimpulsbilanz). Die
beiden Ströme und der Endzustand sind je über den Radius miteinander verknüpft.
Lösung:
konstante aber unbekannte Reibkraft
FR = ma
FR r = J α =
Rollbedingung:
t=
m 2
rα
2
r (ω − α t ) = at
ωr
ωr
ω rm
=
=
a + α r FR + 2 FR 3FR
m
m
F ω rm ω r
m
v = at = R
=
= 2.356
3
s
m 3FR
Schlüsselwörter: Flüssigkeitsbild§
Quelle: Physik V/MT90.4 b
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 64
RM64: Zwei Zylinder auf Glatteis
Aufgabenstellung: Zwei Zylinder (Radien 3 cm und 5 cm)
gleicher Höhe (6 cm) aus Stahl (Dichte 7300 kg/m3) kreisen
zusammengebunden auf einer idealglatten, horizontalen Ebene. Die Körpermitten liegen 16 cm auseinander. Das ganze
Gebilde drehe sich in einer Minute 150 mal und führe keine
Translation aus.
a Wie gross sind die Radien der beiden Kreise, die von den Zylinderachsen beschrieben
werden?
b Wieviel Impuls und wieviel Drehimpuls ist im Gesamtsystem gespeichert?
c Zwischen welchen Werten variiert der x-Impulsinhalt des grösseren Zylinders?
d Wie gross ist die maximale x-Impulsstromstärke?
Lösungshinweis: Beide Zylinder speichern Eigendrehimpus und bezüglich des Gesamtmassenmittelpunktes Bahndrehimpuls.
Lösung:
m1 = 1.238 kg J1 = 5.57 ⋅10−4 kgm 2
m2 = 3.44 kg J 2 = 4.3 ⋅10−3 kgm 2
a
R1m1 = R2 m2
R1 =
R1 + R2 = 16 cm
0.16m
= 0.1176 m R2 = 0.04234 m
m
1+ 1
m2
b
K
ptot = 0 L = J ω = 0.4432 Nms
J = J1 + R12 m1 + J 2 + R22 m2 = 2.816 ⋅10 −2 kgm 2
ω = 2π
n
= 15.7 s −1
60
c
vx 0 = ω R2 = 0.665
m
px 0 = m2 vx 0 = 2.288Ns
s
− px 0 ≤ px ≤ px 0
d
I px 0 = Fschnur = m2ω 2 R2 = m1ω 2 R1 = 35.9N
Schlüsselwörter: Drehimpuls, Impulsstrom
Quelle: Physik V/MT 91.2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 65
RM65: Fadenspule VII
Aufgabenstellung: Ein Fadenspule (Masse 15 kg, Aussenradius 12
cm, Wickelradius 10 cm, Massenträgheitsmoment 0.09 kgm2) liegt auf
einer horizontalen Ebene.
a Wie stark wird der Mittelpunkt der Walze beschleunigt, wenn an der
Schnur mit 70% der Gewichtskraft gezogen wird und der
Gleitreibungskoeffizient für die Grenzschicht Fadenspule-Unterlage
0.3 beträgt?
b Wie gross ist dann die Winkelbeschleunigung der Fadenspule?
Lösungshinweis: Freischneiden, Grundgesetze (Impuls- und Drehimpulsbilanz) formulieren,
prügen ob der Zylinder rollt oder rutscht.
Lösung:
a
FR = maMMP
x:
y:
R:
FG − FN − F = 0
FR1 − FR R2 = J α
Vermutung: die Rolle rutscht, also keine kinematische Verknüpfung
FR = µ FN = µ ( FG − F ) = µ 0.3FG = 13.24 N
aMMP =
FR
m
= 0.883 2
m
s
b
1
( FR1 − FR R2 ) = 96.8s −1
J
m
m
Kontrolle: α R2 = 11.6 2 > 0.883 2
s
s
α=
Schlüsselwörter: Newton-Euler
Quelle: Physik V/MT 91.3
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 66
RM66: Stab auf Walze
Aufgabenstellung: Wir betrachten zwei Maschinenteile in
Aktion. Die Walzenachse (Radius 9 cm) bewege sich mit einer
konstanten Geschwindigkeit von 0.4 m/s nach rechts, drehe sich
mit einer Winkelgeschwindigkeit von 12 m/s im Uhrzeigersinn
und habe eine gleichgesinnte Winkelbeschleunigung von 5 s-2.
Die Walze schiebt dabei ohne zu rutschen einen Stab horizontal
nach rechts.
a Wie gross sind Geschwindigkeit und Beschleunigung des Stabes?
b Wie gross ist die momentane Beschleunigung der materiellen Berührmantellinie des
Zylinders?
Lösungshinweis: Im mitbewegten System laufen alle Punkte des Zylinders auf Kreisbahnen.
Lösung:
a
vst = vw + ω R = 1.48
m
m
ast = α R = 0.45 2
s
s
b
a = at2 + an2 = α 2 R 2 + ω 4 R 2 = R α 2 + ω 4 = 12.97
Schlüsselwörter: Kinematik
Quelle: Physik V/MT 91.4
m
≈ an
s2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 67
RM67: Rotierende Büchse
Aufgabenstellung: Ein Blechbüchse (Radius 10 cm, Höhe 15 cm) aus 2 mm Eisenblech
(Dichte 7300 kg/m3) rotiere an Ort auf einer Luftschicht (keine Reibung) mit einer halben
Umdrehung pro Sekunde. Dann lässt man einen gleichsinnig rotierenden Stahlzylinder (Radius
25 mm, Höhe 5 cm, Dichte 7500 kg/m3, Winkelgeschwindigkeit 15 s-1) aufrecht stehend
hineinfallen. Wie gross ist die Winkelgeschwindigkeit der Büchse mit Stahlzylinder, wenn der
Zylinder schlussendlich aufrecht stehend am Büchsenrand anliegend mitrotiert?
Lösungshinweis: Der Drehimpuls verteilt sich von der Büchse und dem Zylinder auf das
Gesamtsystem, das um den gemeinsamen Massenmittelpunkt rotiert (Eigendrehimpuls und
Bahndrehimpuls).
Lösung:
mHülle = 2π rhd ρ = 1.376 kg J H = mH r 2 = 1.376 ⋅10−2 kgm 2
mBoden = π r 2 d ρ = 0.459 kg J B =
1
mB r 2 = 2.29 ⋅10−3 kgm 2
2
kgm 2
LBü = J Büω = 5.043 ⋅10
s
−2
1
mZ r 2 = 2.3 ⋅10 −4 kgm 2
2
kgm 2
Ltot = 5.388 ⋅10 −2
s
mZyl = π r 2 h ρ = 0.736 kg J zyl =
LZ = J Z ω = 3.45 ⋅10 −3
kgm 2
s
s1 + s2 = 7.5 cm
s1 =
( s1 + s2 ) mZ
mtot
= 2.15 cm s2 = 5.35 cm
J = J Bü + m s + J zyl
2
Bü 1
ω=
Ltot
= 2.8s −1
J
Schlüsselwörter: Drehimpulsbilanz
Quelle: Physik VI/MT 91.1
kgm 2
+ m s = 1.923 ⋅10
s
2
Z 2
−2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 68
RM68: Zylinder treibt Zylinder
Aufgabenstellung: Zwei Rotoren sind auf je einer horizontalen Achse frei drehbar gelagert.
Der erste (Radius 25 cm, Masse 800 kg, Massenträgheitsmoment 25 kgm2) drehe mit 15 Umdrehungen pro Sekunde und der zweite (Radius 15 cm, Masse 300 kg, Massenträgheitsmoment
3.375 kgm2) sei in Ruhe. Nun werden die beiden Zylinder längs einer Mantellinie mit 150 N
aneinandergedrückt. Der Gleitreibungskoeffizient für die Grenzschicht betrage 0.4.
a Berechnen Sie die Kräfte, die während der Gleitphase vom Lager her auf die Rotoren einwirken.
b Wie gross sind die Winkelgeschwindigkeiten am Schluss der Gleitphase?
c Wieviel Drehimpuls ist abgeflossen? Wie konnte er abfliessen?
Lösungshinweis: Beide Zylinder freischneiden, Grundgesetze (Drehimpuls- und Impulsbilanz) formulieren. Zur Berechnung des Endzustandes können zwei Flüssigkeitsbilder gezeichnet werden. Der von einem Lager zum andern querfliessende Impulsstrom bildet Quellen oder
Senken (Koordinatensystem) für den Drehimpuls. Die beiden Drehimpulsänderungsraten
weisen also das gleiche Vorzeichen auf und ihr Verhältnis ist gleich wie das Verhältnis der Radien.
Lösung:
a
FL1 =
( m1 g − FR )
FL 2 =
( m2 g − FR )
m1 = 800 kg
2
2
+ FN2 = 7789.4 N
+ FN2 = 3006.7 N
m 2 = 300 kg
J1 = 25 kgm 2 J 2 = 3.375 kgm 2
b
FR r1
2F
= R = 0.6s −1
1
m1r12 m1r1
2
v0 − α1r1t = α 2 r2t
α1 =
t=
2
3
α 2 = 2 s −2
v0
= 42.84s
α1r1 + α 2 r2
ω0 = 2π f = 94.25s −1
ω1 = ω0 − α1t = 68.55s −1
ω2 = α 2t = 114.24s −1
c
∆L = Lnachher -Lvorher = J1ω1-J2ω2-J1ω0 = -1028 Nms über den querfliessenden Impulsstrom
(Komponente der Lagerkräfte) weggeflossen.
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Flüssigkeitsbild, Hebelgesetz, Drehimpulsquellen
Quelle: Physik VI/MT 91.2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 69
RM69:Atwood mit Klotz und Zylinder
Aufgabenstellung: Um einen Zylinder (Masse 8 kg, Radius 5 cm) sei so ein Seil geschlungen,
dass es nicht rutschen kann. Das andere Ende des Seils ist an einem Klotz (Masse 6 kg)
befestigt, der auf einer horizontalen Ebene zu gleiten (Gleitreibungskoeffizient 0.3) vermag.
Die Seilumlenkführung sei reibungsfrei.
a Mit welcher Beschleunigung wird der Körper weggezogen?
b Wie gross ist die Winkel- und Mittelpunktsbeschleunigung des Zylinders?
Lösungshinweis: Freischneiden, Grundgesetze und kinematische Verknüpfung formulieren.
Lösung:
FS − FR = mk a
Klotz:
FN − FG = 0
FR = µ FN
FG − FS = mz aMMP
Zylinder:
FS r = J α
Verknüpfung:
aMMP = α + α r FS = FS
a
a=g
mz − 3µ mk
m
= 0.981 2
s
mz − 3mk
b
α = 117.72s −2
Schlüsselwörter: Newton-Euler
Quelle: Physik VI/MT 91.4
aMMP = 6.867
m
s2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 70
RM70: Rotierende Hohlzylinder
Aufgabenstellung: Ein Hohlzylinder (Innenradius 5 cm, Aussenradius 8 cm, Masse 11 kg),
der mit einer Winkelgeschwindigkeit von 45 pro Sekunde rotiere, werde längs seiner Mantellinie auf den Boden gesetzt.
a Mit welcher Geschwindigkeit wird sich sein Massenmittelpunkt schlussendlich bewegen?
b Wie lange dauert es, bis er seine Endgeschwindigkeit erreicht hat, wenn der Gleitreibungskoeffizient 0.2 beträgt?
c Wie gross ist seine Winkelgeschwindigkeit am Schluss des Prozesses?
Lösungshinweis: Skizzieren Sie das Flüssigkeitsbild und beantworten Sie die Fragen aus
diesem Bild heraus (die unten aufgeführte Lösung ist älter als das Flüssigkeitsbild).
Lösung:
J=
m 2 2
( r1 + r2 ) = 0.04895 kgm2
2
FR = maMMP = µ mg
FR rA = J α
aMMP = µ g = 1.962
α=
µ gmrA
J
ve = ωe rA
Rollbedingung:
m
s2
= 35.27 s −2
aMMP t = (ω0 − α t ) rA
a
ve = aMMP t = 1.477
m
s
b
t=
ω 0 rA
= 0.753s
aMMP + α rA
c
ωe =
ve
= 18.46s −1
rA
Schlüsselwörter: Flüssigkeitsbild, Drehimpulsbilanz, Impulsbilanz
Quelle: Physik VI/MT 91.5
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 71
RM71: Wickelrolle
Aufgabenstellung: Von einer Wickelrolle (Massenträgheitsmoment 8
kgm2, Radius 20 cm) wird mit einer konstanten Kraft von 600 N Papier
über eine Umlenkwalze (Massenträgheitsmoment 3 kgm2, Radius 35
cm) gezogen. In den Lagern wirkt ein Reibdrehmoment von 11 Nm auf
die Umlenkwalze und eines von 6 Nm auf die Wickelrolle.
Mit welchen Winkelgeschwindigkeiten drehen sich die beiden Rollen,
wenn 1.5 m Papier abgewickelt worden sind? Weitere Reibungseffekte
sind zu vernachlässigen.
Lösungshinweis: Energiebilanz
Lösung:
Wrot1 + Wrot 2 = W ( F ) + W ( M 1 ) + W ( M 2 )
s
s
1
1
J1ω12 + J 2ω22 = Fs − M 1 − M 2 ;
r1
r2
2
2
ω1 = 2
Quelle: Physik VII/MT 91.1
s
s
− M2
r1
r2
= 7.665s −1 ω2 = 13.414s −1
2
r
J1 + J 2 12
r2
Fs − M 1
Schlüsselwörter: Energiebilanz
ω1r1 = ω2 r2
F
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 72
RM72: kleine Maschine VI
Aufgabenstellung: Ein Quader (Masse 19 kg) ist über ein Seil
mit einem zweiten (Masse 24 kg) verbunden, der auf einer
24 kg
schiefen Ebene (Neigungswinkel 25°) aufliegt. Das Seil laufe
rutschfest über eine Rolle (Massenträgheitsmoment 0.4 kgm2,
19 kg
Radius 25 cm).
a Wie schnell dreht die Rolle, wenn sich der hängende Klotz um einen Meter abgesenkt hat?
b Wie lautet die Antwort auf die Frage a), wenn sowohl zwischen Quader und schiefen Ebene
(Gleitreibungskoeffizient 0.3) als auch im Rollenlager (Reibdrehmoment 2 Nm) Reibung
auftritt?
Lösungshinweis: Energiebilanz
Lösung:
a
+WG1 + Wkin1 + Wrot + Wkin 2 ++WG 2 = 0
1
1
1
− m1 gs + m1v 2 + J ω 2 + m2 v 2 + m2 g sin α ⋅ s = 0
2
2
2
v = ωr
1
( J + m1r 2 + m2 r 2 ) ω 2 = ( m1 − m2 sin α ) gs = 86.889 J
2
ω = 7.5s −1
b
+Wtot = W ( FR ) + W ( M )
1
s
J + m1r 2 + m2 r 2 ) ω 2 = 86.889J − µ g cos α s − M = 14.874 J
(
r
2
−1
ω = 3.1s
Schlüsselwörter: Energiebilanz
Quelle: Physik VII/MT 91.3
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 73
RM73: Pirouette
Aufgabenstellung: Die Pirouette stellt ein physikalisch interessantes
Problem dar. Wir machen dazu ein einfaches Modell: an einem
aufrecht stehenden, reibungsfrei drehbaren Zylinder (Masse 50 kg,
Radius 18 cm) sei ein Stab mit vernachlässigbarer Masse horizontal
angebracht. Auf diesem Stab können zwei Kugeln (Masse je 4 kg,
Radius 7 cm) verschoben werden. Anfänglich seien sie symmetrisch
zum Zylinder im gegenseitigen Abstand von 1.8 m befestigt. Dann
werden sie so nahe wie möglich gegen die Drehachse verschoben.
a Wie schnell dreht sich der Zylinder nach diesem Prozess, wenn er
vorher pro Umdrehung 1.2 s gebraucht hat?
b Um wieviel hat sich die Bewegungsenergie des Systems geändert?
c Wie lautet die Antwort auf die Frage a), wenn das Einziehen der Kugeln 0.5 s gedauert hat
und wenn vom Lager her ein Reibdrehmoment von 0.2 Nm einwirkt.
Lösungshinweis: Skizzieren Sie ein Flüssigkeitsbild für diesen Prozess.
Lösung:
m 2
r = 0.81 kgm 2 J K = 7.84 ⋅10−3 kgm 2
2
= J z + 2 ( J K + mk s 2 ) = 7.3057 kgm 2 ( s = 0.9 m )
Jz =
J vor
J nach = 1.3257 kgm 2
( s = 0.18m + 0.07m = 0.25 m )
a
Lv = Ln
J vω v = J nω n Tn = 0.218s
ωv =
2π
= 5.236s −1
T
ωn = ωv
Jv
= 28.855s −1
Jn
b
+W =
1
J nω n2 − J vω v2 ) = 451.75 J
(
2
c
Lv − M +t = Ln ⇒ ω n =
ω v J v − M +t
Jn
Schlüsselwörter: Drehimpulsbilanz, Rotationsenergie
Quelle: Physik VII/MT 91.5
= 28.779 s −1
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 74
RM74: Riementrieb
Aufgabenstellung: Ein Flachriemen (20 mm breit, 1.8 mm dick, Dichte 1.2 kg/Liter) laufe mit
30 m/s um zwei gleich grosse, horizontal drehende Riemenscheiben (Durchmesser 250 mm).
Durch den gespannten Riemen werden die beiden Lager mit je 800 N belastet. Der Riementrieb übertrage eine Leistung von 5.5 kW.
a Wie gross wäre die Zugspannung im stark belasteten Riementeil, wenn der Riemen masselos wäre.
b Wie gross ist sie effektiv?
Lösungshinweis: Die Riemen transportieren den Impuls leitungsartig und konvektiv. Die beiden konvektiven Ströme sind gleich gross und gleich gerichtet. Die Differenz der beiden leitungsartigen Ströme (Riemenkräfte) ergeben das Drehmoment. Die Grösse des Drehmoments
kann über die Leistung berechnet werden.
Lösung:
a
Fs1r − Fs 2 r = M
Fs1 + Fs 2 = FL
M=
P
ω
= 22.917 Nm
ω=
v
= 240 s −1
r
M FL
+
= 491.7 N
2r 2
F
N
τ = s1 = 13.66
bd
mm 2
Fs1 =
b
I p ,conv = 2 ρ bdv 2 = 77.76 N
Fs1 + Fs 2 − I p ,conv = FL
Fs1 + Fs 2 = 877.8 N
M
+ 438.9 N
2r
F
N
τ = s1 = 14.74
bd
mm 2
Fs1 =
Schlüsselwörter: konvektiver Impulsstrom, Leistung eines Drehmomentes
Quelle: Physik X/MT 91.3
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 75
RM75: Kiste auf Karussell
Aufgabenstellung: Eine Kiste (Masse 7 kg) steht vier Meter von der Drehachse entfernt auf einem Karussell. Das
nebenstehend skizzierte Drehzahl-Zeit-Diagramm zeigt die
Bewegung des Karussells.
a Wie gross ist die Haftreibungskraft auf die Kiste nach
zehn und nach einundzwanzig Sekunden?
b Um welchen Winkel hat sich die Kiste in den 25 Sekunden gedreht?
Umdrehungen pro Minute
2
Zeit
5s
Lösungshinweis: Die Kiste bewegt sich auf einer Kreisbahn mit unterschiedlicher Schnelligkeit. Aus dem Diagramm können Normal- und Tangentialbeschleunigung
berechnet werden. Für die Beschleunigung ist nur die Haftreibungskraft verantwortlich.
Lösung:
a
t = 10 s : ω = 0.1047 s −1
α = 2.094 ⋅10−2 s −1
a = r ω 4 + α 2 = 9.456 ⋅10−2
m
s2
FHR = ma = 0.662 N
t = 21s : ω = 0.419s −1
α =0
a = 0.702s −1
FNR = 4.913 N
b
( −15 + 10 + 20 )
U
U
1 U
s = 15
s=
min = 90° = 1.57 rad
min
min
4 min
Schlüsselwörter: Kreisbewegung
Quelle: Physik V/MT 92.1
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 76
RM76: Zwei Rotoren VII
Aufgabenstellung: Zwei Rotoren sind auf einer gemeinsamen Achse gelagert. Von links her
wirkt auf den ersten Rotor während fünf Sekunden ein konstantes Drehmoment von 150 Nm
ein. Der erste Rotor hat ein Massenträgheitsmoment von 45 kgm2 und der zweite 90 kgm2.
Zwischen den beiden Rotoren ist eine Rutschkupplung eingefügt, welche maximal 50 Nm zu
“übertragen” vermag.
a Wie gross sind die Winkelgeschwindigkeiten der beide Rotoren nach fünf Sekunden?
b Wie lange dauert es dann noch, bis sie mit gleicher Drehzahl rotieren?
c Mit welcher Winkelgeschwindigkeit drehen sie sich schlussendlich?
Lösungshinweis: Die Lösung kann direkt dem Flüssigkeitsbild entnommen werden.
Lösung:
a
ω1 =
L1
L
= 11.11s −1 ω1 = 2 = 2.778s −1
J1
J2
b
ω=
M +t
= 5.556s −1
J tot
c
+t =
Schlüsselwörter: Flüssigkeitsbild
Quelle: Physik V/MT 92.2
+ L1
50Nm
=
+ L2
50Nm
= 5s
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 77
RM77: Rotierender Hohlzylinder
Aufgabenstellung: Wieviel Drehimpuls speichert der nebenstehend
skizzierte, auf Glatteis stehende Hohlzylinder (Masse 5 kg), wenn
er mit 25 Umdrehungen pro Minute rotiert?
Lösungshinweis: Die Bohrung kann als negative Masse interpreDurchmesser 70 mm
tiert werden. Bezüglich des Gesamtschwerpunktes „speichern“
Lochdurchmesser 50 mm
Vollzylinder und Bohrung Eigen- und Bahndrehimpuls. Entsprechend dieser Überlegung ist das Massenträgheitsmoment zu bilden.
Lösung:
702
kg = 10.208 kg
702 − 502
502
mLoch = 5 2
= 5.208 kg
70 − 502
− mLoch
s=
× 10mm = −01.416 mm
5kg
mvoll = 5
(
J = J voll + mvoll s 2 − J Loch + mLoch ( − s + 0.01m )
2
)
 R2

 r2
2
= mvoll 
+ s 2  − mLoch  + ( − s + 0.01m )  = 3.5635 ⋅10−3 kgm 2
 2

 2

2π 5 −1
ω=
s = 2.618s −1
60
L = J ω = 9.3292 ⋅10 −3 Nms
Schlüsselwörter: Massenträgheitsmoment
Quelle: Physik V/MT 92.3
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 78
RM78: Rollreibung
Aufgabenstellung: Ein Zylinder (Durchmesser 10 cm, Masse 12 kg) rollt auf einer
horizontalen Ebene ab. Sein Impulsinhalt nimmt in fünf Sekunden von 36 Ns auf 35 Ns ab.
a Wie gross ist die Haftreibungskraft?
b Wie gross ist seine Winkelbeschleunigung?
c Um welchen Betrag nimmt sein Eigendrehimpuls ab?
d Kann das Phänomen Rollreibung auf die “Rollreibungskraft” reduziert werden?
Lösungshinweis: Schneiden Sie den Zylinder frei und zeichnen Sie alle Kräfte. In vielen Formelnbüchern wird eine Rollreibungskraft postuliert. Wer so etwas macht, soll die Mechanik
nochmals überdenken.
Lösung:
a
FHR =
+p
= 0.2 N
+t
b
aMMP =
FHR
a
m
= 1.667 ⋅10−2 2 α = MMP = 0.333s −2
m
s
r
c
+L =
m +v
r
+L
= J α +t = r 2 MMP = + p = 2.5 ⋅ 10−2 Nms
+t
2
r
2
d FHR führt Drehimpuls zu, da M(FHR) im Uhrzeigersinn wirkt. Um die Abnahme des Drehimpulses zu erklären, muss ein zusätzliches Drehmoment von 1.5 .10-2 Nm im Gegenuhrzeigersinn wirken. Dieses Drehmoment ist auch für die Energiedissipation verantwortlich
[P(M)<0; P(FHR)=0)].
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Reibung beim Rollen
Quelle: Physik V/MT 92.4
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 79
RM79: Klotz und Fadenspule
Aufgabenstellung: Um einen Zylinder (Masse 8 kg, Radius 5
cm) ist ein Seil so geschlungen, dass es nicht rutschen kann. Das
andere Ende des Seils ist an einem Klotz (Masse 5 kg) befestigt,
der auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel 45°) liegt
(Gleitreibungskoeffizient 0.3). Die Seilumlenkführung sei rei- F
bungsfrei.
a Wie gross muss die Kraft F sein, damit die Symmetrieachse des Zylinders immer auf gleicher Höhe bleibt?
b Wie gross ist dann die Seilkraft auf den Zylinder?
Lösungshinweis: Beide Systeme freischneiden, Grundgesetze (Impuls- und Drehimpulsbilanz) und kinematische Verknüpfung formulieren.
Lösung:
a
FN − FG cos β = 0
y:
F + FG sin β − FS − FR = mk ak
x:
FR = µ FN = µ mk g cos β
FS − FG = maR = 0
Rolle:
FS r = J α
ak = α r
kin. Verkn.
2
2
FS r
mgr
=
= 2g
mr 2
J
2
F = g ( mk ( 2 + µ cos β − sin β ) + mz ) = 152.3 N
ak =
b
K
K
FRe s = maR = 0
FS = FG = 78.48 N
Schlüsselwörter: Newton-Euler
Quelle: Physik V/MT 92.5
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 80
RM80: Rutschende Kugel
Aufgabenstellung: Eine Kugel (Radius 25 cm, Masse 500 kg) wird auf eine steil abfallende
Rampe (Steigung 130%) abgesetzt.
a Wie gross sind die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes und die Winkelgeschwindigkeit nach 0.5 s, wenn der Gleitreibungskoeffizient 0.2 beträgt?
b Wie gross ist dann die Leistung der Gleitreibungskraft?
c Wie gross ist dann die Änderungsrate der Bewegungsenergie (kinetische und Rotationsenergie zusammengenommen)?
Lösungshinweis: Freischneiden, Grundgesetze (Impuls- und Drehimpulsbilanz formulieren.
Die Änderungsrate der Bewegungsenergie ergibt sich aus der Leistungsbilanz.
Lösung:
a
FG sin β − FR = maMMP
x:
− FG cos β − FN = 0
y:
FR R = J α
R:
FR = µ FN
Reibung:
J=
2
mR 2
5
β = 52.43°
aMMP = g sin β − µ g cos β = 6.58
α=
m
m
⇒ vMMP = 3.29
2
s
s
5 µg
cos β = 11.96s −2 ⇒ ω = 5.98s −1
2 R
b
K
K K
P ( FR ) = FR v Angriffsfläche = − FR ( vMMP − ω R ) = −1.074 kW
c
K
K
P ( FR ) + P ( FG ) = W
K
P ( FG ) = mgvMMP sin β = 12.79 kW
W = 11.72 kW
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Leistungsbilanz
Quelle: Physik VI/MT 92.1
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 81
RM81: Zylinder gegen Zylinder
Aufgabenstellung: Ein vertikal stehender, reibungsfrei gelagerter Zylinder (Masse 50 kg, Radius 15 cm) drehe mit 300 U/min. Wenn man
einen zweiten, ebenfalls vertikal drehbaren Zylinder (Radius 30 cm,
Masse 200 kg) parallel gegen den ersten drückt, werden beide in ihrer
Bewegung so lange beeinflusst, bis sie aufeinander abrollen.
a Wieviel Energie geht in der Angleichphase verloren, wenn der zweite Körper anfänglich in
Ruhe gewesen ist?
b Um wieviel hat sich der Gesamtdrehimpuls der beiden Körper bei diesem Prozess geändert?
Lösungshinweis: Beide Zylinder freischneiden, Grundgesetze (Drehimpuls- und Impulsbilanz) formulieren. Zur Berechnung des Endzustandes können zwei Flüssigkeitsbilder gezeichnet werden. Der von einem Lager zum andern querfliessende Impulsstrom bildet Quellen oder
Senken (Koordinatensystem) für den Drehimpuls. Die beiden Drehimpulsänderungsraten weisen also das gleiche Vorzeichen auf und ihr Verhältnis ist gleich wie das Verhältnis der Radien.
Lösung:
Abrollbedingung: ω1 R1 = −ω2 R2
(ω0 ++ω1 ) R1 = −ω2 R2
+ω1
ω2
=
α1 M 1 J 2 R1 m2 R22 m2 R2
=
=
=
α 2 M 2 J1 R2 m1 R12 m1 R1
+ω1 = ω2
m2 R2
m1 R1
 m2 
+ 1 R2
 m1 
1
R
m1
ω2 = −ω0 1
= −ω0
10
R2 m2 + m1
ω0 R1 = −+ω1 R1 − ω2 R2 = −ω2 
+ω1 = −ω0
4
1
⇒ ω1 = ω0
5
5
a
+Wkin =
1
1
1
1 J
24 
J1ω12 + J 2ω 22 − J1ω 02 =  2 − J1  ω 02 = −222 J
2
2
2
2  100 25 
b
J 
 4
+ L = J1ω1 + J 2ω 2 − J1ω 0 =  − J1 − 2  ω 0 = −42.42 Nms
10 
 5
Schlüsselwörter: Drehimpulsbilanz, Energiebilanz
Quelle: Physik VI/MT 92.2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 82
RM82: Jo-Jo
Aufgabenstellung: Ein Jo-Jo (Masse 200 g, Wickelradius 2 cm, Massenträgheitsmoment
0.001 kgm2) rotiere im Moment mit einer Umdrehung pro Sekunde und sein Massenmittelpunkt bewege sich exakt in vertikaler Richtung mit einer Beschleunigung von 2 m/s2 (nach
oben gerichtet) und einer Geschwindigkeit von 30 cm/s (nach unten gerichtet).
a Wie gross ist die Winkelbeschleunigung?
b Welche Leistung hat die Schnurkraft?
Lösungshinweis: Freischneiden, Grundgesetze sowie kinematische Verknüpfung formulieren.
Die Leistung einer Kraft ist gleich dem Skalarprodukt aus Kraft und Geschwindigkeit der Angriffsfläche.
Lösung:
a
F − FG = maMMP
FR = J α
F = m ( g + aMMP ) = 2.362 N
α=
FR
= 47.24s −2
J
b
vs = vMMP + ω R = −0.174
m
s
P ( Fs ) = −0.412 W
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Kinematik, Leistung einer Kraft
Quelle: Physik VI/MT 92.3
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 83
RM83: Rotierende Kugel
Aufgabenstellung: Eine rotierende Kugel (Radius 15 cm, Masse 10 kg), die sich mit 600 Umdrehungen po Minute dreht, wird auf den Boden abgesetzt. Nach einiger Zeit rollt sie ohne zu
rutschen.
a Wieviel Drehimpuls hat sie an die Erde abgegeben?
b Wieviel Impuls hat sie mit der Erde ausgetauscht?
c Wieviel Energie ist “verlorengegangen”?
Lösungshinweis: Skizzieren Sie für den Impuls und den Drehimpuls je ein Flüssigkeitsbild.
Die zugehörigen Ströme (Kraft und Drehmoment) sowie der Endzustand sind geometrisch miteinander verknüpft.
Lösung:
Stromkopplung:
Rollbedingung:
+ p mvMMP
FR
=
=
FR R + L
J +ω
vMMP = (ω0 ++ω ) R
2
mR 2
ω0 = 62.8s −1
5
5
+ω = − ω0 = −44.88s −1
7
2
2
m
vMMP = − R +ω = Rω0 = 2.69
5
7
s
J=
a
+ L = J +ω =
m 2
R +ω = −4.04 Nms
2
b
p = mvMMP = 26.9 Ns
c
+W =
1 2
1
1
1  4
2 4 2 2 2 2
mv MMP + J ω 2 − J ω02 = m  R 2 +
R − R  ω0 = −126.9 J
2
2
2
2  49
5 49
5 
Schlüsselwörter: Flüssigkeitsbild, Drehimpulsbilanz, Impulsbilanz, Energiebilanz
Quelle: Physik VI/MT 92.5
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 84
Lösungshinweis: Den Stab in der gewünschten Position freischneiden und
Grundgesetz in radialer Richtung formulieren. Die Geschwindigkeit kann
mit Hilfe der Energie berechnet werden.
Lösung:
FG + FL = ma = mω 2 s
FL = mω 2 s − mg
Energiesatz:
FG
FL
FL = mω 2
1
1
D+s 2 = mg +h − J 'ω 2
2
2
2
ml
l
J'= J +
= 3.5kg +h = = 2s = 1m
g
3
2
D+s 2 − mgl
3
ω2 =
= 43.2s −2
2
ml
g
 3 D+s 2

l
− mg = 2 
− mg  = 41.3N
6
4 l

Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Energiebilanz
Quelle: Physik VII/MT 92.4
2m
Aufgabenstellung: Ein dünner Metallstab (Länge 3 m, Masse 3.5 kg) ist frei
drehbar einen Meter vom oberen Ende entfernt aufgehängt. Mit seinem unteren Ende drückt er eine nicht am Stab befestigte Spiralfeder (Richtgrösse
22 kN/m) um 10 cm zusammen. Der Stab wird losgelassen und die Feder
kann sich entspannen. Wie gross ist die Lagerkraft, wenn der Stab durch die
labile (obere) Gleichgewichtslage hindurchgeht?
1m
RM84: Stabpendel mit Feder
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 85
RM85: Platte auf Walze
Aufgabenstellung: Eine Stahlplatte (Masse 50 kg) wird mit
einer Horizontalgeschwindigkeit von 2 m/s auf zwei parallele,
ruhende Walzen (Masse je 30 kg, Radius 20 cm) abgesetzt.
Nach kurzer Zeit drehen sich die reibungsfrei gelagerten
Walzen so, dass die Platte nicht mehr rutscht.
a Wie schnell bewegt sich die Platte dann?
b Wieviel Energie wurde beim Abbremsen der Platte dissipiert?
c Wieviel Impuls ist über die Lager an die Erde abgeflossen?
Lösungshinweis: Freischneiden, Grundgesetze formulieren und bis zur Rollbedingung
hochrechnen oder mit Hilfe von drei Flüssigkeitsbildern argumentieren.
Lösung:
− FR = m p a p ⇒ a p = −
FR
FR
FL
R
mp
FR
FR
FL
FR mz 2
F
=
Rα ⇒ α= R
2
2
mz R
Rollbedingung: v p = ω R
FR
v p 0 + a pt = α tR
t=
v p0
α R − ap
=
a
v p = ω R = α tR =
FR
mz R
vp0
 1
1 
FR 
+
 m m 
p 
 z
R=
v p0
 mz 
 1 +

 mp 
= 1.25
b
+W =
1
1
1
m p v 2p + J ω 2 2 − m p v02 = −37.5 J
2
2
2
c
p = m p +v p = 37.5 Ns
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Impulsbilanz, Energiebilanz
Quelle: Physik VII/MT 92.5
FR
mp
m
s
vp0
 1
1 
FR 
+
 m m 
p 
 z
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 86
RM86: Rotationsviskosimeter
150 mm
Lösung: Diese Aufgabe setzt Kenntnisse über die Definition der
Viskosität voraus.
a
P = I L +ω = I L 2π f = 12.56 W
b
Mantel:
M M = 2π Rhτ R mit τ = η
= 2π R 3 h
ηω
da
Stirnseite: dM B = 2π rdrτ r mit τ = η
R
M B = ∫ 2π r r dr
0
ηω r
du
=
π
2
Nur Mantelfläche: η = 80 mPa
Quelle: Physik VIII/MT 92.5
ωr
+v
=η
du
du
R4
 4h R 
M tot = π 2 f η R3  + 
 d a du 
M
= 75.3 mPa
η=


h
R
4
π 2 fR 3  + 
 d a du 
Schlüsselwörter: Viskosität
+v
ωR
=η
da
da
ηω r
du
150 mm
Aufgabenstellung: Ein Rotationsviskosimeter enthalte im
Mantel (zwischen Kolben und Bohrung) einen 0.1 mm dicken
Ölfilm. Auf der Stirnseite ist der Ölfilm 0.2 mm dick.
a Welche Leistung wird im Gerät mechanische freigesetzt,
wenn bei einer Kolbendrehzahl von 60 U/min ein Drehimpulsstrom der Stärke 2 Nm durch die Antriebswelle fliesst?
b Wie gross ist die Viskosität des Öls?
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 87
RM87: Pendelnde Scheibe
Aufgabenstellung: Eine in A aufgehängte Scheibe (Durchmesser 60
cm) mit einem Loch (Durchmesser 20 cm) schwingt mit kleiner
Auslenkung hin und her. Der gelochte Körper habe eine Masse von 30
kg.
Berechnen Sie die Schwingungsdauer.
10 cm
A
Lösungshinweis: Ein Loch kann als Körper mit negativer Masse angesehen werden.
Lösung:
T = 2π
J
mgs
π
mz = m
π
4
0.6m 2
9
= m = 33.75 kg
8
( 0.6m2 − 0.2m2 )
4
m 0.2 − mL 0.1
s= z
m = 0.2125 m
30kg
 R2

 r2

J = m
+ 0.2m 2  − mL  + 0.1m 2  = 2.812 kgm 2
 2

2

T = 2π
Schlüsselwörter: Pendel
Quelle: Physik X/MT 92.5
J
= 1.332s
mgs
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 88
RM88: Zwei Kugeln als Pendel
Aufgabenstellung: Eine Eisenkugel (Durchmesser 20 cm) ist um
eine Achse, die durch den Kugelmittelpunkt geht, frei drehbar gelaFe, 20 cm
gert. An der Oberfläche der Eisenkugel hat man eine zweite Kugel
Durchmesser
aus Aluminium (Durchmesser 30 cm) befestigt.
a Wie gross ist die Schwingungsdauer dieses Pendels bei kleiner
Al, 30 cm
Auslenkung?
Durchmesser
b Welche maximale Geschwindigkeit erreicht der Mittelpunkt der
Alu-Kugel, wenn man das Pendel um zwei Radianten auslenkt?
c Welche Geschwindigkeit würde dieser Punkt erreichen, wenn das Pendel harmonisch und
mit gleicher Frequenz wie bei kleiner Auslenkung schwingen würde?
Lösungshinweis: Bei kleiner Auslenkung schwingt ein Pendel harmonisch. Die Energieerhaltung gilt immer.
Lösung:
4π 2
4π 3
r1 ρ1 = 32.92 kg m2 =
r1 ρ 2 = 38.17 kg
3
3
m2 ( r1 + r2 )
m1 =
s=
mtot = 71.09 kg
m1 + m2
J = J1 + J 2 + m2 ( r1 + r2 ) =
2
2
2
m1r12 + m2 r22 ) + m2 ( r1 + r2 ) = 2.861 kgm 2
(
5
a
T = 2π
J
= 1.098s
mgs
b
Energiebilanz: +WG ++Wtot' = 0
2mgs (1 − cos ϕ ) =
ω=
1
Jω 2
2
2mgs (1 − cos ϕ )
1
= 9.63
s
J
v = ω ( r1 + r2 ) = 2.4
c
ϕ = ϕ 0 sin ω 0 t
ϕ = ω 0 cos ω 0 t → ω = ϕ
Schlüsselwörter: Pendel, Energiebilanz
Quelle: Physik X/MT 93.1
2mgs
1
m
= 11.44 v = 2.86
s
J
s
m
s
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 89
RM89: Zwei Rotoren VIII
Aufgabenstellung: Ein Schwungrad sei über eine verdrehbare
Welle mit einem zweiten verbunden. Verdreht man den einen Rotor
um einen Radianten gegen den andern, so fliesst ein Drehimpuls100kgm2
40kgm2
strom von 200 Nm durch die Welle.
a Mit welcher Frequenz schwingt der rechte Rotor, wenn man ihn
loslässt und den andern festhält?
b Welche maximale Winkelgeschwindigkeit erreicht der linke Rotor, wenn man beide gleichzeitig loslässt?
c Mit welcher Frequenz schwingt er dann?
Lösungshinweis: Die Anordnung entspricht einem Stromkreis mit zwei geerdeten Kapazitäten, die über eine Induktivität miteinander verbunden sind. Als Alternative kann man die
Federwirkung der Welle aufteilen.
Lösung:
a
f =
1
1
=
T 2π
D*
= 0.225 Hz
J
D* =
IL
ϕ
= 200 Nm
b
1 * 2 1
1
D ϕ = J1ω12 + J 2ω22
2
2
2
Energieerhaltung:
Drehimpulserhaltung: J 2ω2 + J1ω1 = 0
ω1 = ϕ
Drehimpulserhaltung (Flüssigkeitsbild):
ω1 J 2
=
ω 2 J1
ω2 = −
J1
ω1
J2
D*
1
= 1.89
2
s

J1 
 J1 + 
J2 

c
ϕi = ϕ0iω0 sin ω0t →
ϕ
J 2 ω1
D*
=
= 01 = 2*
J1 ω2
ϕ02 D1
Serieschaltung: D* =
Alternativlösung :
Schlüsselwörter:
Quelle: Physik X/MT 93.2
D1* =
J1 *
D2
J2
D2* = 2.5 D1*
D2* D1*
5
= D1* → D1* = 280 Nm
*
*
D2 + D1 7
f =
1
2π
D1*
= 0.4211s −1
J1
f =
1
2π
D*
= 0.4211s −1
J
J=
J1 J 2
J1 + J 2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 90
RM90: Fadenspule VIII
Aufgabenstellung: In der untenstehend skizzierten Anordnung bewegt sich das Fadenende E
im Moment mit einer Geschwindigkeit von 30 cm/s und einer Beschleunigung von 50 cm/s2
nach rechts.
a Wie gross ist Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes der Spule, falls diese ohne zu
rutschen abrollt?
b Wie gross ist die Geschwindigkeit von P?
c Welche Beschleunigung weist P auf?
Spulenradius 20 cm
Wickelradius 10 cm
P
E
Lösungshinweis: Im Bezugssystem der Spulenachse bewegt sich P auf einem Kreis.
Lösung:
a
vMMP = Rω
r
m

ω = 3s − 1
vSeil = vMMP − rω = vMMP  1 −  = 0.6
s
 R
b
m
K
K
K K
vP = vMMP + ω × R → v p = 2 ⋅ vMMP = 0.849
s
c
K
K
K
aP = aMMP + arel
aMMP = 2aSeil
K
K K
arel = an + at
2
2
vMMP
4vSeil
m
an = ω R =
=
= 1.8 2
R
R
s
m
at = α R = aMMP = 2aSeil = 1 2
s
2
2
2


4vSeil
m
K
2
aP =  2aSeil −
 + 4aSeil = 1.281 2
s
R 

Schlüsselwörter: Kinematik
Quelle: Physik VII/MT 93.1
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 91
RM91: Schwungrad V
Aufgabenstellung: Auf ein Schwungrad (Massenträgheitsmoment 120 kgm2) wirkt ein zeitabhängiges Drehmoment ein (Skizze).
a Wie gross ist dessen Winkelgeschwindigkeit nach sieben Sekunden, wenn sich das
Schwungrad anfänglich mit drei Umdrehungen pro Sekunde gedreht hat?
b Wie gross ist die Änderungsrate der Rotationsenergie
zwei Sekunden nach dem Start?
y
500 Nm
2s
4s
7s
Lösungshinweis: Skizzieren Sie ein Flüssigkeitsbild und arbeiten Sie mit der Impulsbilanz sowie der zugeordneten Energie.
Lösung:
ω0 =
2π
1
= 2π f = 18.85
T
s
a
Lzu Fläche im M - t - Diagramm = 2 ' 250 Nms
Lzu
18.75s −1
J
ω2 = ω0 ++ω = 37.6s −1
+ω =
b
L
Wrot = P ( M ) = M ω1 = 11.51 kW ω1 = ω 0 + zu1 = 23.02 s −1
J
Schlüsselwörter: Drehimpulsbilanz. Flüssigkeitsbild, Rotationsenergie
Quelle: Physik VII/MT 93.2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 92
RM92: Zwei Rotoren IX
Aufgabenstellung: Zwischen zwei Schwungrädern (Massenträgheitsmomente 40 kgm2 und
25 kgm2), die reibungsfrei auf einer gemeinsamen Achse gelagert sind, ist eine Drehfeder
eingespannt. Falls man das eine Schwungrad festhält und das andere um 180° dreht, fliesst ein
Drehimpulsstrom von 150 Nm durch die ganze Anordnung hindurch.
a Wieviel Energie ist bei einer gegenseitigen Verdrehung von 360° in der Feder gespeichert?
b Mit welcher maximalen Winkelgeschwindigkeit dreht sich das schwerere Rad, wenn beide
Körper nach einer Verdrehung von 270° losgelassen werden.
40 kgm2
25 kgm2
Lösungshinweis: Drehimpuls- und Energiebilanz.
Lösung:
I L = D* +ϕ
D* = 47.75 Nm
a
WF =
1 *
2
D ( +ϕ1 ) = 942.5 J
2
b
1
1

J1ω12 + J 2ω 22 
1
J12  2 J1 
J1  2
2
2
WF =  J1 +  ω1 = 1 +  ω1
2
J2 
2  J2 

Drehimpulserhaltung: J1ω1 + J 2ω 2
Energieerhaltung: WF =
1 *
2
D ( +ϕ1 ) = 530 J
2
2WF
= 3.19 s −1
ω1 =

J 
J1  1 + 1 
 J2 
WF =
Schlüsselwörter: Drehimpulsbilanz, Energiebilanz
Quelle: Physik VII/MT 93.3
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 93
RM93: Walze auf beweglichem Brett
Aufgabenstellung: Eine Walze (Masse 8 kg, Radius 3 cm) liegt auf einem horizontal ausgerichteten Brett. Der Haftreibungskoeffizient für die Grenzschicht Walze-Brett betrage 0.3.
a Mit welcher maximalen Beschleunigung darf das Brett horizontal weggezogen werden,
ohne dass der Zylinder zu rutschen anfängt?
b Wie gross ist dann die Winkelbeschleunigung der Walze?
Lösungshinweis: Freischneiden, Grundgesetze (Impuls- und Drehimpulsbilanz) und kinematische Verknüpfung formulieren.
Lösung:
x:
FHR = maMMP
y:
FN − FG = 0
R:
FHR r = J α
FHR µ H FN
=
= µH g
m
m
F r2 µ F
rα = HR = H N = 2 µ H g
m
J
2
m
2µ g
a = 3µ H g = 8.83 2
α = H = 196 s −2
s
r
aMMP =
Schlüsselwörter: Newton-Euler
Quelle: Physik VII/MT 93.4
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 94
RM94: Walze auf beweglichem Brett II
Aufgabenstellung: Eine Walze (Masse 8 kg, Radius 3 cm) liegt auf einem horizontal ausgerichteten Brett. Das Brett wird nun mit einer Beschleunigung von 20 m·s-2 weggezogen. Diese
Beschleunigung ist so gross, dass die Walze nicht mehr schlupffrei abrollen kann. Der
Gleitreibungskoeffizient der Grenzschicht Walze-Brett betrage 0.3.
a Wie gross ist nun die Beschleunigung der Walzenachse?
b Welche Leistung wird zwei Sekunden nach dem Start in der Grenzschicht dissipiert, wenn
beim Start beide Körper in Ruhe gewesen sind und dieBrettbeschleunigung konstant geblieben ist?
Lösungshinweis: Freischneiden, Grundgesetze (Impuls- und Drehimpulsbilanz) und Gleitreibungsgesetz formulieren.
Lösung:
x:
FR = maMMP
y:
FN − FG = 0
R:
FR r = J α
FR = µ FN
a
aMMP = µ g = 2.94
m
s2
b
P = I Px +vx
I Px = µ FN = µ mg = 23.54 N
vBrett = at = 40ms -1
vAuflage = (α + α r ) t = 3µ gt = 17.7ms -1
P = 526 W
Schlüsselwörter: Newton-Euler, Prozessleistung
Quelle: Physik VII/MT 93.5
Aufgaben
Rotationsmechanik
RM95: Hantel als Pendel
Aufgabenstellung: An den Enden eines Stabes (Länge 1 m, Masse 5
kg) ist je eine Kugel (Radius 4 cm, Masse 2 kg) befestigt. Diese Hantel
sei 20 cm vom MMP entfernt frei drehbar gelagert aufgehängt, so dass
sie als Pendel frei schwingen kann.
a Wie gross ist die Schwingungsdauer bei kleiner Auslenkung?
b Wie die Schwingungsdauer grösser oder kleiner, wenn das Pendel im
Vakuum um 90° ausgelenkt wird? Begründen Sie ihre Antwort.
c Wie gross kann dabei die maximale Winkelgeschwindigkeit weden?
d Wie gross wäre die Winkelgeschwindigkeit bei gleicher Auslenkung
und harmoniscer Schwingung?
Lösungshinweis: Bei kleiner Auslenkung schwingt das Pendel harmonisch. Die Energieerhaltung gilt auch bei grosser Auslenkung.
Lösung:
mS 2
2
l + mS s12 + 2 mk r 2 + mk s22 + mk s32
12
5
2
l

4

= mS  + s12  + mk  r 2 + s22 + s32  = 1.946 kgm 2
5

 12

J'=
a
2π
J'
= 2.086 s
ω
D*
M ' = mgs1 sin ϕ ≈ mgs1ϕ ⇒ D* = mgs1 = 17.66 Nm
T=
= 2π
b
M ' = mgs1 sin ϕ < mgs1ϕ → T wird grösser
c
Energieerhaltung:
1
J 'ϕ 2
2
2mgs1
ϕ =
= 4.26 s −1
J'
mgs1 =
d
ϕ ( t ) = ϕ0 sin ωt ⇒ ϕ ( t ) = ϕ0ω cos ωt
ϕ0ω =
π
2
D* π
=
2
J
Schlüsselwörter: Pendel, Energieerhaltung
Quelle: X/MT 90.1 b
2mgs1
= 4.732 s −1
J'
Seite 95
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 96
TM96: Atwood spezial
Aufgabenstellung: Zwei Körper sind über ein aufgewickeltes Seil an einer Rolle festgebunden. Folgende Daten sind bekannt:
X
Massenträgheitsmoment der Rolle
7 kgm2
Masse der Körper
je 45 kg
Z
Lagerdurchmesser
10 cm
kleiner Rollenradius
40 cm
2
1
grosser Rollenradius
80 cm
Reibdrehmoment im Lager
20 Nm
a Das System wird aus der Ruhe sich selber überlassen. Diskutieren Sie die Energieströme bezüglich dem Gesamtsystem Klotz 1 - Rolle - Klotz 2.
b Berechnen Sie mit Hilfe der Energie die Endgeschwindigkeit von Körper eins nach einer
Fallstrecke von 80 cm.
c Die Rolle sei festgehalten. Diskutieren Sie den z-Impulsstrom bezüglich Klotz 1 und Klotz 2.
d Was ändert sich, wenn die Arretiertung gelöst wird? Nur qualitativ lösen.
Lösung:
a Die Energie fliesst vom Gravitationsfeld an den Klotz 1. Ein Teil bleibt als Bewegungsenergie in Klotz 1. Der Rest fliesst über das Seil weg. Die Energie verteilt sich auf Rolle und
Klotz 2 (Bewegung), Lager (Dissipation), sowie Gravitationsfeld (Arbeit von FG2).
W(FG1) Bewegungs- W(FG2) Grav.
Grav.
energie 2
energie
energie 1
Reibarbeit
b
+WG1 = m1 gs1 = 353.16 J +WG 2 = m2 gs1
kin.Verknüpfung: v2 =
WBew
r2
v
v1 ; ω = 1
r1
r1
r2
s
= -176.58 WR = -M ϕ = -M 1 = -20 J
r1
r2
v1 = 2.16
m
s
1
1
1 2 1
r22 J  2
2
2
= m1v1 + m2 v2 + ω =  m1 + m2 2 + 2  v1 = 33.6 kg ⋅ v 2
r1 r1 
2
2
2
2
c Impuls strömt bei 1 und 2 über das Gravitationsfeld in den Klotz und über das Seil wieder
weg..
I P1 = 441.41 N, I P 2 = 441.41 N
d Körper 1: Inhalt nimmt zu => Impulsstrom im Seil wird kleiner
Körper 2: Inhalt nimmt nicht ab => Impulsstrom im Seil wird grösser
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Impulsströme
Quelle: Physik IX/MT 87.1
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 97
TM97: Schwungrad VI
Aufgabenstellung: Ein reibungsfrei gelagertes
M
Schwungrad (Massenträgheitsmoment 7.5 kgm2)
dreht mit 180 U/min in positiver Richtung. Zur
Zeit t = 0 beginnt ein Drehmoment (Skizze) ein10 Nm
zuwirken.
a Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit des
Rades nach 7 s.
b Wieviele Umdrehungen hat das Rad in dieser
Zeit gemacht?
-25 Nm
c Wie gross ist die Geschwindigkeit eines Punktes, der 30 cm von der Drehachse entfernt ist, nach 5 s?
1s
Lösungshinweis: Drehimpulsbilanz
Lösung:
ωo = 3s −1 2π = 18.85 s −1
a
ω2 = ωo ++ω2 +ω : Fläche unter der α-t-Kurve
M (t )
1
2
= −3 s −2 + s −3t
J
3
3
−1
+ω = −7 s
ω2 = 11.85 s −1
α (t ) =
b
ω -t-Diagramm skizzieren
+ϕ → 88.4 → 14 Umdrehungen
c
ω1 = ω o ++ω = 10.5 s −1
v = ω1 r = 3.15
Schlüsselwörter: Rotationskinematik
Quelle: Physik IV/MT 88.1
m
s
5s
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 98
TM98: Kegeln
Aufgabenstellung: Eine Kugel (Masse 4 kg, Radius 10 cm) wird so fortgeschoben, dass sie
weder hüpft noch rotiert. Ihre Geschwindigkeit beträgt im Moment des Abstosses 5 m/s. Für
den Gleitreibungskoeffizienten zwischen Kugel und Kegelbahn setzen wir 0.15.
a Nach welcher Zeit rollt die Kugel?
b Welche Geschwindigkeit hat ihr MMP dann?
Lösungshinweis: Freischneiden, Grundgesetze (Impuls- und Drehimpulsbilanz) sowie Gleitreibungsgesetz formulieren, bis zur Rollbedingung hochrechnen. Alternativ können zwei Flüssigkeitsbilder gezeichnet werden. Die beiden Ströme und die zugehörigen Potenziale (Geschwindigkeiten) sind über den Radius miteinander verknüpft.
Lösung:
FN
x
FG +
x:
y:
y
- FR = ma
FG - FN = 0
M = Jα
2
M = FR r J = mr 2 FR = µ FN = µ mg
5
M 5µ g
=
a = -µ g α =
J
2r
R:
FR
ω 0= 0
Anfangszustand: v = v0
Endzustand:
v = ωr
a
Translation:
v = v0 + at = v0 − µ gt
Rotation:
ω = αt =
Endzustand:
M
5µ g
t=
t
J
2r
2v
5
v0 − µ gt = µ gt
t = 0 = 0.97s
2
7µ g
b
v = v0 − µ g
2v0
5
m
= v0 = 3.57
7µ g 7
s
Schlüsselwörter: Newton-Euler. Flüssigkeitsbild
Quelle: Physik IV/MT 88.2
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 99
TM99: Stabpendel mit Feder II
Aufgabenstellung: Ein dünner Metallstab (Länge 2.5 m, Masse 3.5 kg )
ist frei drehbar 90 cm vom oberen Ende entfernt aufgehängt. Mit seinem
unteren Ende drückt er eine nicht am Stab befestigte Spiralfeder (Richtgrösse 22 kN/m) um 7 cm zusammen. Der Stab wird losgelassen und die
Feder kann sich entspannen. Welche Geschwindigkeiten haben die beiden
Enden des Stabes, wenn dieser durch die labile (obere) Gleichgewichtslage
hindurchgeht?
Lösungshinweis: Energiebilanz
Lösung:
+U Feder + WG ,1 + Wkin,1 + Wrot ,1 = WG ,2 + Wkin ,2 + Wrot ,2
setze WG ,1 = 0
Wkin ,1 = Wrot ,1 = 0
da ω1 = 0
1
1 2
1
D+ s 2 = mgh + mvMMP
+ Jω 2
2
2
2
ml 2
mit vMMP = ω s und J =
und h = 2 s
12
1
1
1
D+ s 2 = 2mgs + ms 2ω 2 + ml 2ω 2
2
2
24
ω=
D+ s 2 − 4mgs
= 5.15 s −1
2
ml
ms 2 +
12
Schlüsselwörter: Energiebilanz
Quelle: Physik VI/MT 88.3
Aufgaben
Rotationsmechanik
Seite 100
TM100: Energieströme
Aufgabenstellung: Ein Klotz mit einer Masse von 15 kg liegt
α
auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel 35°). Vom Klotz
führt ein Seil parallel zur Ebene auf eine Seilrolle (Wickelradius
ω
15 cm, Massenträgheitsmoment 0.1 kgm2, Masse 7 kg). Die
v
Rolle ist über ein Getriebe mit einem Elektromotor verbunden.
Die Rolle hat im Moment eine Winkelgeschwindigkeit von 15
rad/s und eine Winkelbeschleunigung von 3 rad/s2. Der Reia
bungskoeffizient für die Grenzschicht Klotz-Unterlage beträgt
0.2.
a Zeichnen Sie alle Kräfte und Drehmomente ein, die auf die
Rolle einwirken. Machen Sie dasselbe für das System Klotz.
Geben Sie die Beträge dieser physikalischen Grössen an.
b Zeichnen Sie das Energiestromdiagramm und berechnen Sie die einzelnen Energieströme.
Lösungshinweis: Die Leistungen der Kräfte und Drehmomente können als Energieströme
bezüglich des jeweiligen Systems interpretiert werden.
Lösung:
a
G
Rolle: ΣF = 0
FG = 68.67 N
M − FS r = J α
Klotz
y : FN = FG cos α
x : FS − FR − FG sin α = ma
kin. Ver : a = α r
FS = 115.26 N
Rolle:
FG = 147.2 N
FN = 120.5 N
FR = 24.11 N
FL = FG2 + Fs2 − 2 Fs FG cos (125° ) = 164.56 N
M = J α + FS r = 17.59 Nm
b
1
= 263.9 W
s
m
= ± 259.3 W
P( FS ) = ± 11.26 N×2.25
s
P( FG ) = - 190 W Abfluss ans Gravitationsfeld
P( M ) = 17.59 Nm×15
P( FR ) = - 54.2 W Dissipation in der Grenzschicht
Schlüsselwörter: Leistung, Energieströme
Quelle: Physik VII/MT 88.3