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Die Miller‘schen Indizes
31.01.2001
Die Miller’schen Indizes dienen der quantitativen
Angabe von kristallographischen Ebenen und
Richtungen. Sie beschreiben die Ebenenschar von
allen parallelen Ebenen.
Vorgehensweise bei der Indizierung:
-
bei Ebenen:
1. Achsenabschnitte der Ebene im
Koordinatensystem des Gitters
bestimmen:
Abb.1: Kristallstruktur NaCl
r
r
S x = m1 ⋅ a
r
r
S y = m2 ⋅ b
r
r
S z = m3 ⋅ c
2. Kehrwert bilden:
1 1 1
;
;
m1 m 2 m3
3. Mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen p multiplizieren, so dass
die Brüche ∈ Ν und teilerfremd∗ sind:
 p p p 
 ,
 = (h, k , l ) ⇒ Miller’sche Indizes
,
m
m
m
 1 2 3
-
Auf die Indizierung von Richtungen wollen wir hier nicht eingehen.
Beispiel 1)
Kehrwerte:
m1 = 3;
m2 = 1;
m3 = 2
1
;
3
1;
1
;
2
kgV p = 6
Probe
∗
p
:
mi
h =2;
k = 6;
l = 3;
⇒ ggT({2,6,3}) = 1
Teilerfremd bedeutet: Es gibt keine andere Zahl außer 1, mit der man den die Brüche teilen kann, so dass man
ein ganzzahliges Ergebnis erhält. Kurz gesagt: ggT = 1 !!!
Beispiel 2)
Kehrwerte:
m1 = ∞ ;
m2 = ∞ ;
m3 = 5
0;
0;
1
;
5
k = 0;
l = 1;
kgV p = 5
p
: h = 0;
mi
Probe
⇒ ggT({0,0,1}) = 1
Abstand zweier Ebenen berechnen:
Als erstes definiert man sich ein reziprokes
Gitter:
r r
r
b×c
2π r r
a* = r r r ⋅ 2π =
⋅ b×c
V
a b ×c
(
(
)
)
r r
v
c×a
2π r r
b * = r r r ⋅ 2π =
⋅ (c × a )
V
b (c × a )
r r
r
a×b
2π r r
c * = r r r ⋅ 2π =
⋅ a ×b
V
c a×b
(
⇒
)
(
Abb.2: Drei Scharen paralleler
Ebenen mit unterschiedlichen
Gitterkonstanten d, d‘ und d‘‘
)
r
r
r
v
v = h⋅ a + k ⋅b + l ⋅ c
r
r
r
r
Weiterhin definiert man als Voraussetzung, dass a * und a bzw. b * und b
r
r
bzw. c * und c linear abhängig sind; also gilt:
r r r
a⊥b ⊥c
Somit gilt für die Vektoren:
r
v
r
T1 = m1 a − m2 b
v
r
r
T2 = m3 c − m1 a
r
v
r
T3 = m2 b − m3 c
r r
Nun bilden wir das Skalarprodukt v ⋅ T1 und untersuchen, ob es gleich Null ist.
r
r r
r
Wenn ja steht der Vektor v senkrech auf T1 , T2 und T3 .
r
r
r r
r
r
v
v ⋅T1 = (h ⋅ a * + k ⋅ b * +l ⋅ c*)(m1 a − m2 b )
Nun ersetzen wir entweder h, k und l durch m1,2,3 oder m1,2,3 durch h, k und l!
Da Herr Breuer sich für die erste Möglichkeit (die allerdings länger ist)
entschieden hat, ist:
p
p
p
, k=
und l =
. Dies setzen wir in das Skalarprodukt ein und
m1
m2
m3
erhalten:
h=
r
r r
p 2π v p 2π r p 2π r
r
v ⋅T1 = ( ⋅
a+
⋅ b+
⋅ c )(m1 a − m2 b )
m1 V
m2 V
m3 V
r
r 
r  ar
r
2π ⋅ p
b
c

=
⋅ (m1 a − m2 b ) ⋅  +
+

V
m
m
m
1
2
3


r
r
2
r
2π ⋅ p  r 2
=
⋅  a − b mit a = b


V
=0
⇒
r r
v ⊥ T1
Der Abstand zweier paralleler Ebenen ist gleich dem Abstand einer Ebene zum
Ursprung, also berechnen wir nun den Abstand d vom Ursprung.
r
r
d = n° ⋅ m1 ⋅ a
r
1 r
= r ⋅ n ⋅ m1 ⋅ a
n
(
)
r
1
r
r
v
= r ⋅ m1 ⋅ a ⋅ h ⋅ a * +k ⋅ b * +l ⋅ c *
n
r
r
r
r
Da aber a und b * bzw. a und c * senkrecht aufeinander stehen, ergibt das
Skalarprodukt 0; diese Terme fallen also weg und es bleibt übrig:
1
r v
d = r ⋅ m1 ⋅ h ⋅ a ⋅ a *
n
1
2π r r r
= r ⋅ m1 ⋅ h ⋅
⋅ a b ×c
n
V
(
1
= r ⋅ m1 ⋅ h ⋅ 2π
n
)
mit h =
p
m1
Letzendlich erhalten wir für den Abstand zweier paralleler, benachbarter
Ebenen:
2π
d hkl = r ⋅ p
n
Und für den Fall, dass p = 1 ist:
2π
d hkl = r
n
Sonderfälle:
1. Kubisches Gitter
mit
r r r
a⊥b ⊥c
r
r
r
und a = b = c
r r
r r r r
a × b = a ⋅ a° × b ⋅ b °
r2 r r
= a ⋅ ( a ° × b °)
r2 r
= a ⋅ c°
⇒ d=
=
=
r
T3
r
T2
r
m3 ⋅ c
r
m2 ⋅ b
r
m1 ⋅ a
2π ⋅ p
r4
a
( h² + k ² + l ²) ⋅
⋅ 4π²
V²
p
r 2
a
( h ² + k ² + l ²) ⋅
V
r
p ⋅ a
r 3
a
( h ² + k ² + l ²) ⋅
V
r
T1
Abb. 3: Darstellung der Ebene und der Achsenschnittpunkte im Koordinatensystem
r
mit a erweitern
r
a³ =V
⇒ d=
r
p⋅ a
h² + k² + l ²
Allgemein:
d hkl =
a
h² + k ² + l ²
, wobei a die Gitterkonstante ist!
Verbindung mit der Bragg-Bedingung:
2 ⋅ d ⋅ sin α = n ⋅ λ
⇔d=
mit n = 1
λ
= d hkl
2 sin α