V3 Wheatstonesche Brücke - Medizinische Hochschule Hannover

V3 Wheatstonesche Brücke
¿
Die Informationsübertragung durch elektrische Vorgänge auf den Nervenbahnen
ist aus physiologischer Sicht von grundlegender Bedeutung. In der medizinischen
Diagnostik nutzt man die Möglichkeit, elektrische Aktionspotentiale nach außen
abzuleiten und aufzuzeichnen (EKG, EEG). Zum Verständnis sind Kenntnisse
über grundlegende Zusammenhänge elektrischer Meßgrößen und deren meßtechnische Erfassung unerläßlich.
1. Theoretische Grundlagen
1.1. Stichworte zur Vorbereitung
Zunächst soll die Bedeutung der zur Beschreibung elektrischer Vorgänge notwendigen Begriffe Ladung, Stromstärke, Spannung, Spannungsquelle und Widerstand ins Gedächtnis gerufen werden.
1.2. Elektrische Ladungen, Leiter und Isolatoren
Eine elektrische Ladung zu besitzen, ist eine Eigenschaft der Materie, ebenso wie ihre Masse
oder ihre räumliche Ausdehnung. Es gibt zwei Arten elektrischer Ladung, die man aus historischen Gründen als positiv und negativ bezeichnet. Die Existenz elektrischer Ladungen erkennt man an den Kräften, die sie auf andere Ladungen ausüben (anziehende Kräfte bei Ladungen verschiedenen Vorzeichens, abstoßende bei solchen mit gleichem Vorzeichen).
Die kleinste in der Natur vorkommende Ladung ist die sog. Elementarladung: Ein Elektron
besitzt eine negative, ein Proton eine positive Elementarladung. Ein elektrisch neutraler Körper enthält gleich viele positive und negative Ladungen. Ein negativ geladener Körper besitzt
einen Überschuß an negativen Ladungen, also letztlich an Elektronen. Entsprechend besitzt
ein positiv geladener Körper einen Überschuß an positiven Ladungen, was gleichbedeutend
mit einem Mangel an Elektronen ist.
Bezüglich des Fließens eines elektrischen Stromes teilt man die Stoffe grob in Leiter und Isolatoren ein. In Isolatoren sind die Träger elektrischer Ladung fest an bestimmte Orte gebunden, also unbeweglich, während bei Leitern eine große Zahl von Ladungsträgern frei beweglich ist. (Auf die eine Zwischenstellung einnehmenden Halbleiter soll hier nicht eingegangen
werden.) Aus der Gruppe der Leiter betrachten wir im Hinblick auf den Versuch nur Metalle,
bei denen Elektronen die freien Ladungsträger sind - im Gegensatz zu Elektrolyten, deren
freie Ladungsträger positive und negative Ionen sind. Solange kein Strom durch einen metallischen Leiter fließt, bewegen sich in ihm die freien Elektronen völlig ungeordnet durch das
Kristallgitter, vergleichbar mit der Bewegung von Molekülen in einem Gas.
1.3 Der Stromkreis; Spannungsquellen
Im folgenden lassen wir das Wort 'elektrisch' vor den Begriffen Ladung, Strom und Spannung
weg. Ein Gleichstrom fließt dann durch einen Leiter, wenn sich sämtliche Elektronen in ihm
mit einer mittleren Geschwindigkeit in einer bestimmten Richtung durch den Leiter fortbewegen. Diese geordnete Bewegung der Elektronen ist ihrer ungeordneten Bewegung, die ohne
einen Strom stets vorhanden ist, überlagert. Um einen Gleichstrom zu erzeugen, muß man die
V 3.1
Enden des Leiters mit den beiden Polen einer (Gleich-)Spannungsquelle verbinden, erst dann
liegt ein geschlossener Stromkreis vor, wobei die Spannung der Quelle die Voraussetzung für
das Fließen des Stroms ist.
Eine Gleichspannungsquelle besitzt einen positiven und einen negativen Pol. Der negative Pol
besitzt gegenüber dem positiven Pol einen Elektronenüberschuß, der durch Energiezufuhr im
Innern der Spannungsquelle aufrechterhalten wird.
1.4. Drei Wirkungen des Stroms
1.4.1. Die magnetische Wirkung
Jeder Strom (also letztlich jede bewegte elektrische Ladung) erzeugt in seiner Umgebung ein
magnetisches Feld. Bei einem geraden stromdurchflossenen Draht sind die magnetischen
Feldlinien geschlossene konzentrische Kreise um den Draht, mit der eingeschlossenen Kreisfläche senkrecht zum Leiter, wobei die Stärke des Magnetfeldes mit wachsender Entfernung
vom Leiter abnimmt.
1.4.2. Die Wärmewirkung
Jeder Leiter erwärmt sich, wenn ein Strom durch ihn fließt. (Das ist eine alltägliche Erfahrung, wenn Sie an Herdplatten, Heizstrahler, Tauchsieder, Bügeleisen oder Glühlampen denken.) Der Vorgang der Erwärmung bedeutet, daß im Leiter elektrische Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird. Diese Energie wird von der Spannungsquelle dauernd nachgeliefert. Da der Quotient aus der Energie und der Zeit, in der sie zugeführt wird, als Leistung bezeichnet wird, können wir sagen: Die Spannungsquelle ist nicht nur die Voraussetzung dafür,
daß im Leiter ein Strom fließt, sondern sie gibt auch elektrische Leistung an den Stromkreis
ab, die dort ganz oder teilweise in Wärmeleistung umgewandelt wird.
1.4.3. Die chemische Wirkung
Während magnetische und Wärmewirkung bei allen stromdurchflossenen Leitern auftreten,
beobachtet man die chemische Wirkung nur beim Stromdurchgang durch Elektrolyte. Wie bereits erwähnt, sind die Ladungsträger in Elektrolyten positive und negative Ionen, so daß es
beim Stromdurchgang zum Transport von Materie in Gestalt von Ionen und verbunden damit
zu chemischen Reaktionen an den Elektroden kommt, im Gegensatz zu dem von Elektronen
getragenen Strom in einem metallischen Leiter, der dabei keine chemischen Veränderungen
erfährt.
1.5. Die Einheiten von Stromstärke, Ladung und Spannung
1.5.1. Stromstärke
Zur Beschreibung der Größe des Stroms führt man den Begriff Stromstärke, Symbol I, Einheit 1 Ampere, abgekürzt 1 A, ein. Die Stromstärke ist die Basisgröße der Elektrik, und damit
nach Länge, Zeit, Masse und Temperatur die fünfte Grundgröße der Physik. Die Definition
der Einheit Ampère beruht auf der magnetischen Wirkung des Stroms sowie auf der Erfahrung, daß ein Magnetfeld auf jede bewegte elektrische Ladung eine Kraft ausübt. Die Festlegung der Stromeinheit ist etwas umständlich formuliert, so daß wir uns in diesem Versuch mit
der Tatsache begnügen wollen, daß es aufgrund der Stromstärkendefinition in Ampère geeichte Meßinstrumente gibt, die wir zur Messung von Stromstärken benutzen können. Alle
weiteren Größen der Elektrik sind sog. abgeleitete oder zusammengesetzte Größen, also solche, die man aus der Stromstärke und anderen Grundgrößen bildet.
V 3.2
1.5.2. Ladung
Wir hatten Gleichstrom als die geordnete Bewegung elektrischer Ladungsträger gedeutet, insbesondere als die von Elektronen in metallischen Leitern. Wir präzisieren diese Beschreibung
jetzt: Wenn bei einem zeitlich konstanten Gleichstrom in einer Zeit t eine Ladung Q durch einen beliebigen Querschnitt des Leiters hindurchtritt, bezeichnen wir den Quotienten aus Ladung und Zeit als Stromstärke:
Q
I=
(1.1)
T
Das Amperemeter liegt im Hauptkreis, das Voltmeter liegt parallel zum Verbraucher zwischen den Punkten 1 und 2. Wenn der Schalter geschlossen ist, mißt man eine Stromstärke I
im Hauptkreis und eine Spannung U zwischen den beiden Enden des Verbrauchers. Den Quotienten aus U und I bezeichnet man als den (elektrischen) Widerstand R des Verbrauchers:
R=
U
.
I
(1.3)
Damit ist sowohl der Begriff Ladung als auch ihre Einheit aus den Grundgrößen Stromstärke
und Zeit abgeleitet, nämlich:
Ladung = Stromstärke mal Zeit ,
1 Coulomb = 1 Ampere · 1 Sekunde ,
woraus für die Einheit der Ladung, das Coulomb, abgekürzt 1 C, folgt:
Die oben erwähnte kleinste in der Natur vorkommende Ladung, die sog. Elementarladung e,
hat die Größe
−19
e = 1,602 ·10 C .
1.5.3. Spannung
Wie oben beschrieben, ergibt erst die Verbindung der Enden eines Leiters mit den beiden Polen einer Spannungsquelle einen geschlossenen Stromkreis, wobei die Spannung die Ursache
für das Fließen des Stromes ist. Für die Spannung wird das Symbol U benutzt, und ihre Einheit ist das Volt, abgekürzt 1 V. Zur Definition der Spannung geht man von der Erfahrung
aus, daß eine Spannungsquelle an einen Stromkreis Leistung abgibt. Das Symbol für die physikalische Größe Leistung ist P, ihre Einheit ist das Watt, abgekürzt W. (Zur Erinnerung:
1 Watt = 1 Joule/1 Sekunde.) Mit Hilfe der abgeleiteten Größe Leistung wird die Spannung U
wie folgt definiert: Wenn eine Spannungsquelle an einen an sie angeschlossenen Stromkreis
die zeitlich konstante Leistung P abgibt, und wenn dabei der zeitlich konstante Strom I durch
den Stromkreis fließt, dann besitzt die Spannung U der Quelle den Wert:
P
U=
(1.2)
I
womit sich für die Einheit Volt ergibt:
1 Volt = 1 Watt / 1 Ampere .
Etwas spezieller ausgedrückt lautet die Definition des Volts so: Fließt durch einen Leiter der
Strom 1 Ampere, und nimmt der Leiter dabei die Leistung 1 Watt auf, so liegt an den Enden
des Leiters die Spannung 1 Volt. Aus Gl.(1.2) folgt umgekehrt die Darstellung der Größe Leistung aus den beiden elektrischen Größen Strom und Spannung:
1 Watt = 1 Volt · 1 Ampere .
1.6. Der elektrische Widerstand und das OHMsche Gesetz
Abb.1.1. stellt einen einfachen Gleichstromkreis dar. Er besteht aus einer Spannungsquelle
(z.B. einer Batterie oder einem Akku), einem Schalter, einem Amperemeter zur Messung der
Stromstärke, einem Verbraucher R und einem Voltmeter zur Messung der Spannung.
V 3.3
Abb.1.1. Gleichstromkreis mit Schaltsymbolen.
Die Einheit des Widerstands trägt die Bezeichnung Ohm (Ω) und ihre Definition folgt aus den
Einheiten von Spannung und Stromstärke:
1 Ohm = 1 Ω =
1 Volt
.
1Ampere
(1.4)
Ändert man die Spannung U zwischen den Enden des Widerstands R in Abb.1.1., so ändert
sich auch der Strom I durch den Widerstand. Für den Fall, daß dabei das Verhältnis von U zu
I konstant, also unabhängig von der Größe des durch den Widerstand R fließenden Stroms ist,
erfüllt der Verbraucher das OHMsche Gesetz
R=
U
= const.
I
(1.5)
Worin besteht der Unterschied zwischen den Gln. (1.3) und (1.5) ?
Die im OHMschen Gesetz enthaltene Aussage, daß der Widerstand des Leiters eine Konstante
ist, wird in der Praxis häufig in hinreichend guter Näherung erfüllt. In manchen Fällen
beobachtet man jedoch erhebliche Abweichungen vom OHMschen Verhalten, z.B. wenn der
Widerstand eines Leiters durch große Temperaturunterschiede beeinflußt wird. (Beispiel:
Glühlampe)
V 3.4
Für U kann man nach Gl.(1.3) I · R schreiben. Damit wird aus Gl.(1.6):
1.7. Technische Widerstände
Sie sind Schaltelemente der Elektrik und Elektronik, die einen bestimmten Widerstandswert
'verkörpern', z.B. Widerstandsdraht auf Isolatoren aufgewickelt, dünne Metall-, Metalloxidoder Kohleschichten auf Trägermaterial. Es gibt Festwiderstände sowie kontinuierlich und
stufenweise veränderliche Widerstände mit zwei - oder beim Spannungsteiler (Potentiometer)
drei - Anschlüssen. Widerstände werden sehr häufig zur Spannungsteilung eingesetzt.
Schaltsymbole von Widerständen:
I0 · R1 + I0 · R2 = U0 , also
I0 · (R1 + R2 ) = U0 .
(1.7)
Gleichung (1.7) besagt: Die beiden in Reihe geschalteten Widerstände verhalten sich so, als
ob sich im Stromkreis ein Gesamtwiderstand Rges = R1 + R2 befände.
Schaltet man n Widerstände Ri , i = 1, 2 ... n, hintereinander, so wird aus Gl.(1.6) und
Gl.(1.7):
fest:
n
∑ Ui = U0
kontinuierlich veränderlich:
(1.6a)
i =1
n
stufenweise veränderlich:
∑ R i = R ges
(1.7a)
i =1
Potentiometer:
Die Gleichungen (1.6a) und (1.7a) drücken das 2. KIRCHHOFFsche Gesetz für Stromkreise
aus:
1.8. Reihenschaltung von Widerständen
In Abb.1.2. sind zwei Widerstände R1 und R2 hintereinander ('in Reihe' oder 'in Serie') geschaltet. Sie werden vom gleichen Strom I0 durchflossen. Die Messung der Spannungen U1
und U2 an den Enden der Widerstände R1 bzw. R2 ergibt:
U1 + U2 = U0 .
Bei Reihenschaltung von Widerständen ist die Summe der Teilspannungen
über den einzelnen Widerständen gleich der Spannung U0 der Spannungsquelle. Die Werte der einzelnen Widerstände addieren sich zum Wert des Gesamtwiderstands Rges .
(1.6)
(Das gilt streng nur, wenn man für die Dauer der Spannungsmessung das Amperemeter aus
dem Stromkreis nimmt, weil ein kleiner Teil der Gesamtspannung U0 über dem Innenwiderstand des Amperemeters, der nur im Idealfall gleich Null ist, abfällt).
1.9. Parallelschaltung von Widerständen (Stromverzweigung)
In Abb.1.3. verzweigt sich der Stromkreis zwischen den Punkten A und B in zwei Zweige 1
und 2. Der Widerstand in Zweig 1 sei R1, der in Zweig 2 sei R2. Wenn man von dem geringen
Spannungsabfall über dem Amperemeter im Hauptkreis absieht, liegt zwischen den Punkten
A und B, also an beiden Widerständen, die Spannung U0 der Spannungsquelle. Der Gesamtstrom I0 teilt sich in zwei Teilströme I1 und I2 :
I1 + I2 = I 0 .
(1.8)
Gl.(1.8) besagt nur, daß bei der Aufteilung in die beiden Zweige keine elektrischen Ladungen
verloren gehen (Strom besteht aus bewegten elektrischen Ladungen), so daß der bei A in die
Verzweigung eintretende Strom I0 bei B auch wieder austritt. Setzt man für I nach Gl.(1.3)
U/R ein, so wird aus Gl.(1.8):
I0 =
 1
U0
U
1
+ 0 = U 0 ⋅
+
R1
R2
 R1 R 2

U
 = 0 ,
 R ges
(1.9)
d.h. die Widerstände in den beiden Zweigen R1 und R2 wirken zusammen wie ein einziger
Widerstand Rges .
Abb.1.2. Stromkreis mit zwei Widerständen in Reihe.
V 3.5
V 3.6
1.10. Der Widerstand eines Drahtes; Potentiometerschaltung
Der Widerstand eines Metalldrahtes ist proportional zu seiner Länge l und umgekehrt proportional zu seinem Querschnitt A. Die Proportionalitätskonstante ρ (kleiner griechischer Buchstabe Rho) heißt spezifischer Widerstand oder Resistivität:
R=
ρ⋅l
.
A
(1.12)
ρ ist eine Materialkonstante und ist - wie die meisten Stoffkonstanten - temperaturabhängig:
Im allgemeinen nimmt ρ mit steigender Temperatur zu. Die Einheit von ρ ist 1 Ohm·Meter
Abb.1.3. Stromkreis mit Verzweigung
Der Wert des resultierenden Gesamtwiderstands ergibt sich nach Gl.(1.9) und Division durch
U0 aus:
1
1
1
=
+
.
.
(1.10)
R ges
R1 R 2
Auflösung nach Rges liefert:
R ges =
R1 ⋅ R 2
R1 + R 2
.
(1.11)
Erweitert man die Schaltung von Abb.1.3. auf n Parallelzweige mit den Zweigwiderständen
Ri , i = 1, 2, ... n, so wird aus den Gln.(1.8) und (1.10):
n
∑ Ii = I 0
,
(1.8a)
i=1
.
n
1
∑R
i =1
i
=
1
R ges
(1.10a)
Die Gln.(1.8a) und (1.10a) heißen 1. KIRCHHOFFsches Gesetz für Stromkreise:
Die Summe der Ströme durch parallele Verzweigungen ist gleich dem
Gesamtstrom Iges. Die Kehrwerte der Zweigwiderstände addieren sich
zum Kehrwert des Gesamtwiderstands.
Abb.1. Potentiometerschaltung
In Abb.1.4. ist zwischen den Punkten Q und P ein dünner Draht der Länge l0 eingespannt. Die
Zuleitungen zu Q und P von der Spannungsquelle sollen einen so großen Querschnitt haben,
daß ihr Widerstand gegenüber demjenigen des Drahts vernachlässigt werden kann. Zwischen
den Punkten Q und P mißt man die Spannung U0. Nun wird ein Voltmeter zwischen dem
Punkt P und einem Punkt O zwischen den Endpunkten des Drahtes angeschlossen, dessen
Abstand von P gleich l ist. Der Widerstand des Drahtstücks OP ist nach Gl.(1.12) R = ρ · l /
A, der Widerstand des gesamten Drahts QP ist R0 = ρ · l0 / A . Fließt ein Strom I0 durch den
Kreis, so erhält man die Spannungen:
Draht QP:
Drahtstück OP:
V 3.7
I0 ⋅ R 0 = I0 ⋅ ρ ⋅
l0
= U0
A
(1.13a)
I0 ⋅ R = I0 ⋅ ρ ⋅
l
=U
A
(1.13b)
V 3.8
Dividiert man die Gl.(1.13b) durch Gl.(1.13a), so fallen I0 , ρ und A heraus und man erhält:
U
R
l
=
=
,
U 0 R 0 l0
oder
U = U0 ⋅
R
l
= ⋅U0
R 0 l0
(1.14)
(1.15)
In Worten: Die Teilspannung zwischen O und P verhält sich zur Gesamtspannung wie der
Teilwiderstand R zum Gesamtwiderstand R0 und damit wie die Teillänge l = OP zur Gesamtlänge l0 = QP des Drahtes.
Man kann diese Nachteile vermeiden durch eine sog. Brückenschaltung, die im Versuch zur
Bestimmung von Widerständen verwendet wird. Die Brückenschaltung hat außerdem den
Vorteil, daß Eichfehler von Volt- und Amperemeter nicht in den Wert des zu bestimmenden
Widerstands eingehen.
1.13. Die WHEATSTONEsche Brücke
Ihre Schaltung zeigt Abb.1.6. mit zwei Zweigen. Im Zweig 1 liegt der unbekannte Widerstand
Rx in Reihe mit einem bekannten Vergleichswiderstand Rv. Zweig 2 besteht aus einem dünnen Draht PQ der Länge l über einer Skala mit Millimetereinteilung. Längs des Drahts läßt
sich ein Schleifer mit einer Kontaktfeder verschieben; sein Ort auf dem Draht ist in der
Abb.1.6. mit O bezeichnet.
Man kann also, indem man den Punkt O von P nach Q wandern läßt, am Draht alle Spannungen zwischen 0 und U0 'abgreifen'. Man kann demnach den Draht mit dem Abgriff O als eine
Spannungsquelle mit veränderlicher Spannung benutzen. Diese Schaltung heißt
Spannungsteiler- oder Potentiometerschaltung. In der Praxis benutzt man im allgemeinen
keinen gestreckten Draht, sondern eine auf einen Isolator aufgewickelte Drahtspule
('Schiebewiderstand').
1.11. Bestimmung eines elektrischen Widerstands
Man kann im Prinzip den Wert eines unbekannten Widerstands durch eine Strom- und Spannungsmessung nach Abb.1.1. und Gl.(1.3) bestimmen. Die Schaltung ist in Abb.1.5.a) noch
einmal dargestellt. Dabei tritt jedoch ein prinzipieller Fehler auf: Der gemessene Strom I0 ist
die Summe aus dem Strom I1 durch den Widerstand Rx und Strom I2 durch das Voltmeter mit
dem Innenwiderstand RU , das die Spannung über dem Widerstand R mißt. Will man dies vermeiden, so kann man die Schaltung von Abb.1.5.b) benutzen. Hier mißt das Amperemeter nur
den Strom I1 durch den Widerstand Rx.
Abb.1.6. WHEATSTONEsche Brücke
Abb.1.5. Zur Bestimmung eines unbekannten Widerstands Rx
Dafür tritt aber jetzt bei der Spannungsmessung ein prinzipieller Fehler auf: Das Voltmeter
mißt nicht die Spannung über dem unbekannten Widerstand Rx , sondern die Summe aus der
Spannung U1 über dem Widerstand Rx und der Spannung U2 über dem Innenwiderstand RI
des Amperemeters.
V 3.9
Im Brückenzweig ON liegt in Reihe mit einem veränderlichen Vorwiderstand ein Drehspulinstrument mit dem Nullpunkt in der Skalenmitte, ein sog. Nullinstrument. Wenn zwischen O
und N ein Spannungsunterschied ∆U besteht, fließt ein Strom von O nach N oder umgekehrt
von N nach O, und das Nullinstrument zeigt einen Ausschlag in der entsprechenden Richtung.
Die Differenzspannung ∆U wird zu Null, wenn der Spannungsabfall Ux über Rx, hervorgerufen durch den Strom I1 in Zweig 1, genauso groß wird wie der Spannungsabfall über dem
Drahtstück PO der Länge lx , hervorgerufen durch den Strom I2 in Zweig 2:
∆U = 0 ⇔ U x = I1 ⋅ R x = I 2 ⋅ ρ ⋅
V 3.10
lx
A
(1.16)
Entsprechend gilt unter der Bedingung ∆U = 0 für die rechte Hälfte der Brückenschaltung,
daß der Spannungsabfall UV über RV im Zweig 1 genau so groß sein muß wie der Spannungsabfall über dem Drahtstück OQ im Zweig 2:
l − lx
∆U = 0 ⇔ U v = I1 ⋅ R v = I 2 ⋅ ρ ⋅
(1.17)
A
Dividiert man beide Gleichungen (1.16) und (1.17) durcheinander, bekommt man schließlich:
Rx = Rv ⋅
lx
l − lx
(1.18)
Damit ist die Bestimmung des unbekannten Widerstands Rx auf die Messung der Länge lx zurückgeführt. Der Abgriff O auf dem Meßdraht ist solange zu verschieben, bis der Ausschlag
des Nullinstruments im Brückenzweig zu Null wird. Ein solcher Nullabgleich läßt sich mit
großer Genauigkeit durchführen. Der Fehler bei der Bestimmung von Rx hängt dann im Prinzip nur noch von einem eventuellen Fehler des Vergleichswiderstands Rv ab.
V 3.11