1.¨Ubung Elemente der Zahlentheorie SS2017

1. Übung Elemente der Zahlentheorie
SS2017
1. Sei n ∈ IN eine natürliche Zahl. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion:
n(n + 1)
,
2
n(n + 1)(2n + 1)
(b) 1 + 4 + 9 + . . . + (n − 1)2 + n2 =
,
6
n(n + 1) 2
(c) 1 + 8 + 27 + . . . + (n − 1)3 + n3 =
,
2
(d) n + (n + 1) + (n + 2) + . . . + (2n − 1) + 2n = 3 · (1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1) + n).
(a) 1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1) + n =
(e) Addiert man im Pascalschen Dreieck alle Zahlen, die zwischen der 4. Reihe und der
10. Reihe jeweils an der 4. Stelle stehen, so ergibt sich als Summe gerade die Zahl, die
in der 11. Reihe an 5. Stelle steht. Das ist kein Zufall, denn es gilt für alle m, n ∈ IN0
m X
n+k
n+m+1
=
.
n
n
+
1
k=0
Zeigen Sie diese Beziehung.
(3 Punkte)
2. Sei n ∈ IN. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion:
(a) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 2n−1 + 2n = 2n+1 − 1,
5n+1 − 1
,
4
n+1
1
1
−
3
1 1
1
1
1 n−1
1 n
(c) 1 + + +
+
+ ...+
+
=
.
2
3 9 27 81
3
3
3
(b) 1 + 5 + 25 + 125 + 625 + . . . + 5n−1 + 5n =
(d) Stellen Sie eine Formel auf, die die drei vorigen Beziehungen zusammenfasst.
3. Bei dem Spiel Turm von Hanoi“ sitzen auf einem von drei Stäben n verschieden große
”
kreisförmige Scheiben, und zwar die kleinste oben, die größte unten. Alle Scheiben sollen
nun auf einen anderen Stab transportiert werden, wobei
• bei jedem Schritt nur eine Scheibe bewegt werden darf,
• nie eine größere Scheibe über einer kleineren Scheibe liegen darf.
Zeigen Sie: Die Aufgabe läßt sich in 2n − 1 Schritten lösen.
4. Eine Mathematikstudentin benötigt für BAFöG ein Gutachten. Der zuständige Professor
sagt ihr:
Sie erhalten das Gutachten, wenn Sie die folgende Aufgabe lösen: Ich habe drei Söhne,
”
deren Alter (in ganzen Jahren) Sie erraten sollen. Das Produkt der drei Alter ist gleich
der Hörerzahl, die ich am Semesterbeginn hatte und die Summe der Alter ist gleich der
Hörerzahl am Semesterende.“
Die Studentin weiß, dass zum Semesteranfang 36 Hörer anwesend waren, und sie kennt
auch die Hörerzahl am Semesterende. Obwohl sie sehr begabt ist, antwortet sie: Ich kann
”
das Problem nicht lösen.“ Gut“, sagt der Professor, dann gebe ich Ihnen einen Tip : Mein
”
”
jüngster Sohn heißt Thomas.“ Aha“, antwortet die Studentin. Dann sind Ihre Söhne a,
”
”
b und c Jahre alt.“
Wie groß sind a, b und c und wie erhält man die Lösung ?
(3 Punkte)
5. Zeigen Sie: Für alle a, b ∈ IN gilt
a·b=
Was hat das mit Aufgabe 6 zu tun?
a + b 2
2
−
a − b 2
2
.
6. (a) Zeigen Sie, dass sich jede ungerade natürliche Zahl k mit k > 1 als Differenz von
zwei Quadraten natürlicher Zahlen schreiben lässt. Überlegen Sie, dass es mehrere
Lösungen geben kann, und für welche k das zutrifft. Anleitung: Aufgabe 5.
(b) Zeigen Sie, dass sich keine der Zahlen 2, 14, 254 als Differenz von zwei Quadraten
natürlicher Zahlen schreiben lässt.
(c) Zeigen Sie: Eine gerade Zahl lässt sich genau dann eindeutig als Differenz von zwei
Quadraten natürlicher Zahlen schreiben, wenn sie das Vierfache einer Primzahl oder
eines Primzahlquadrats ist.
(6 Punkte)
7. Sei n ∈ IN eine natürliche Zahl. Dann ist genau eine der
(a) zwei Zahlen n, n + 1 Vielfaches von 2,
(b) drei Zahlen n, n + 1,n + 2 Vielfaches von 3,
(c) vier Zahlen n, n + 1, n + 2, n + 3 Vielfaches von 4.
8. Zeigen Sie: In jedem Jahr gibt es mindestens einen Freitag, den 13.“.
”
Abgabe der Aufgaben 1e, 4, 6 bis 8.5., vor der Vorlesung
2. Übung Elemente der Zahlentheorie
SS2017
9. Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sind drei dreistellige Zahlen a = (a1 a2 a3 ), b = (b1 b2 b3 ),
c = (c1 c2 c3 ) zu bilden, so dass die Summe a + b + c gleich
(a) 900,
(b) 999,
(c) 1000
(d) 1002
ist. Jede der Ziffern darf insgesamt genau einmal vorkommen. Geben Sie a, b, c an und
begründen Sie Ihre Antwort.
Beispiel: Die Zahlen a = 123, b = 456, c = 789 haben die Summe 1368, die Zahlen
a = 125, b = 374, c = 689 die Summe 1188.
(6 Punkte)
10. (a) Geben Sie eine natürliche Zahl n ∈ IN an, so dass gilt
(32 ) | n
und
(42 ) | (n + 1)
und
(52 ) | (n + 2).
(b) Zeigen oder widerlegen Sie: Es gibt natürliche Zahlen n ∈ IN mit
(22 ) | n
und
(32 ) | (n + 1)
und
(42 ) | (n + 2)?
11. Zeigen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen: Für alle ganze Zahlen a, b, c ∈ ZZ gilt
(a) a | b
und
(c) a | b
und
(e) a 6 | b
und
(b) a | (b · c)
(d) a 6 | b
und
(f) 7 | (11a + b)
a|c
=⇒
a|c
a|c
a6|c
=⇒
a|b
oder
=⇒
=⇒
=⇒
⇐⇒
(a2 ) | (b · c).
a | c.
a | (3b + 5c).
a 6 | (b + c).
a 6 | (b + c).
7 | (a + 2b).
(5 Punkte)
12. Zeigen Sie: Für m, n ∈ IN gilt:
(a) mn − 1 ist ganzzahliges Vielfaches von m − 1.
(b) mn + 1 ist ganzzahliges Vielfaches von m + 1 genau dann, wenn n ungerade.
Abgabe der Aufgaben 9a,d, 11 bis 15.5., vor der Vorlesung
3. Übung Elemente der Zahlentheorie
SS2017
13. Bestimmen Sie mit Hilfe des Siebs von Eratosthenes alle Primzahlen kleiner als 161.
14. Geben Sie alle Primzahlen p an, die gemeinsamer Teiler zweier natürlicher Zahlen n und
n + 6 sind.
15. (a) Untersuchen Sie, welche der Zahlen 2n − 1, 1 ≤ n ≤ 13, Primzahlen sind.
Schreiben Sie die zusammengesetzten dieser Zahlen als Produkt ausschließlich von
Primzahlen.
(b) Schreiben Sie 23! als Produkt ausschließlich von Primzahlen.
(4 Punkte)
16. Sei n ∈ IN eine zusammengesetzte natürliche Zahl, p ihr kleinster Primfaktor, und es gelte
√
p > 3 n.
Beweisen Sie:
n
ist eine Primzahl.
p
17. Bestimmen Sie 15 verschiedene natürliche Teiler der Zahl 2264 − 1, die kleiner als 100 sind.
Hinweis: Seien m, n ∈ IN, a ∈ ZZ. Zeigen Sie: Aus m | n folgt (am − 1) | (an − 1).
(4 Punkte)
18. (a) Beschreiben Sie alle natürlichen Zahlen n, die genau 11 natürliche Teiler haben. Wie
groß ist dann σ(n)?
(b) Beschreiben Sie alle natürlichen Zahlen n mit τ (n) = 18 und σ(n) < 1500.
(c) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen, in deren kanonischen Primfaktorzerlegung
genau 3 verschiedene Primzahlen vorkommen und die genau 14 natürliche Teiler
haben.
(5 Punkte)
19. Gegeben seien die natürlichen Zahlen m, n ∈ IN mit
τ (m2 ) = 18,
τ (n2 ) = 45.
Berechnen Sie alle möglichen Werte von τ (m), τ (n), τ (m3 ) und τ (n3 ).
(3 Punkte)
Abgabe der Aufgaben 15, 17, 18, 19 bis 22.5., vor der Vorlesung
4. Übung Elemente der Zahlentheorie
SS2017
20. Sei n ∈ IN. Zeigen Sie:
(a) Sind p1 , p2 , . . . , pn Primzahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 ergeben, dann
teilt keine dieser Primzahlen die Zahl
m = 4 · p1 · p2 · . . . · pn − 1.
(b) Sind p1 , p2 , . . . , pn Primzahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 ergeben, dann
ergibt ihr Produkt p1 · p2 · . . . · pn ebenfalls den Rest 1 bei Division durch 4.
(c) Es gibt unendlich viele Primzahlen, die sich in der Form 4k −1 mit geeignetem k ∈ IN
darstellen lassen.
21. Eine Zahl der Form
k
Fk := 22 + 1,
k ∈ IN0 ,
heißt Fermatsche Zahl. Zeigen Sie:
(a) Es gilt
F0 · F1 · . . . · Fk = Fk+1 − 2.
(b) Zwei verschiedene Fermatsche Zahlen Fk und Fl sind teilerfremd.
(4 Punkte)
22. (a) Schreiben Sie jede der geraden Zahlen zwischen 115 und 135 als Summe von zwei
(nicht notwendig verschiedenen) Primzahlen.
(b) Beweisen Sie: Jede gerade Zahl größer 2 läßt sich als Summe von zwei (nicht notwendig verschiedenen) Primzahlen schreiben.
(c) Zeigen Sie: 115, 129 und 133 sind die einzigen ungeraden Zahlen zwischen 115 und
135, die sich als Summe von 2 Primzahlen darstellen lassen.
(d) Zeigen Sie: Gilt Aussage (b), dann läßt sich jede natürliche Zahl größer 5 als Summe
von drei Primzahlen darstellen läßt.
(4 Punkte)
23. Auf einem Brett befinden sich 1000 Lämpchen, die von 1 bis 1000 durchnummeriert sind.
Zunächst sind alle Lämpchen aus. Dann werden alle, deren Nummer durch 1 teilbar ist
(also überhaupt alle) eingeschaltet. Beim 2. Schritt werden alle, deren Nummer durch 2
teilbar ist, ausgeschaltet.
Allgemein: Beim k-ten Schritt wird jedes Lämpchen, dessen Nummer durch k teilbar ist,
umgeschaltet von an nach aus oder von aus nach an, je nachdem, ob es gerade brennt
oder nicht.
Frage: Welche Lämpchen brennen nach 1000 solchen Schritten?
24. (a) Geben Sie drei verschiedene Zahlen a ∈ IN an mit
(b) Bestimmen Sie mit Hilfe des euklidischen Algorithmus
ggT(a, 24) = 6.
ggT(5390, 1365, 2499).
(c) Bestimmen Sie alle ganzzahligen Linearkombinationen von 9 und 15.
(5 Punkte)
Abgabe der Aufgaben 21, 22, 24 bis 29.5., vor der Vorlesung
5. Übung Elemente der Zahlentheorie
SS2017
25. Zeigen Sie: Für alle n ∈ IN gilt
ggT(n4 + 3n2 + 1, n3 + 2n) = 1.
(2 Punkte)
26. (a) Beweisen Sie: Sind a, b, c ∈ IN paarweise teilerfremd, dann gilt
ggT(a, b, c) · kgV(a, b, c) = a · b · c.
(b) Zeigen Sie an einem Gegenbeispiel, dass die Aussage (a) im allgemeinen für teilerfremde, aber nicht paarweise teilerfremde a, b, c nicht gilt.
27. (a) Zeigen Sie: Ist x0 ∈ Q
I Nullstelle des normierten Polynoms p(x) = xn + an−1 xn−1 +
. . . + a1 x + a0 mit ganzzahligen Koeffizienten a0 , a1 , . . . , an , dann ist x0 ganzzahlig
und Teiler von a0 .
(b) Bestimmen Sie alle reellen Nullstellen von p(x) = x4 − x3 − 7x2 + x + 6.
(c) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
2x3 − 9x2 + 9x − 7 = 0.
(5 Punkte)
28. Bestimmen Sie alle a, b, n ∈ IN mit
a! + b! = 2n .
29. Zeigen Sie: Jedes Produkt von 6 beliebigen unmittelbar aufeinanderfolgenden ganzen
Zahlen ist durch 720 teilbar.
30. Sei a = 152460, b = 39312.
(a) Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler von a und b
i. mit Hilfe der Primfaktorzerlegung von a und b,
ii. mit Hilfe des euklidischen Algorithmus.
(b) Stellen Sie ggT(a, b) als ganzzahlige Linearkombination von a und b dar.
(c) Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b.
(4 Punkte)
31. Geben Sie alle Möglichkeiten an, die Zahlen
(a) 165,
(b) 109,
(c) 112
als Differenz von zwei Quadratzahlen natürlicher Zahlen, also in der Form
n = a2 − b2 ,
a, b ∈ IN
zu schreiben.
(4 Punkte)
Abgabe der Aufgaben 25, 27, 30, 31 bis 12.6., vor der Vorlesung
6. Übung Elemente der Zahlentheorie
SS2017
32. Sei a = 319.440. Berechnen Sie die
(a) Anzahl der natürlichen Zahlen, die Teiler von a sind,
(b) Anzahl der geraden natürlichen Zahlen, die Teiler von a sind,
(c) Anzahl der natürlichen Zahlen, die Vielfaches von 44 und Teiler von a sind,
(d) Anzahl der natürlichen Kubikzahlen, die Teiler von a sind.
(4 Punkte)
33. Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n ∈ IN mit
(a) 100 < n < 200
und τ (n) = 4,
(b) τ (n) = 28, σ(n) = 40640 und 12 | n,
(c) τ (n) = 56, σ(n) = 40640 und n hat genau drei verschiedene Primfaktoren,
(5 Punkte)
34. Seien m, n, d ∈ IN \ {1}, a, b ∈ ZZ. Beweisen Sie:
(a) Gilt a ≡ b mod m und d | m, dann auch a ≡ b mod d.
(b) Gilt ggT(m, n) = 1, a ≡ b mod m und a ≡ b mod n, dann auch a ≡ b mod m · n.
35. Stellen Sie die Verknüpfungstafeln auf für die Addition und die Multiplikation der Restklassen
(a) modulo 7
(b) modulo 8 .
Welche Elemente sind Nullteiler?
36. Der Geburtstag von Carl F. Gauß ist der 30. April 1777. Auf welchen Wochentag fiel das?
Begründen Sie Ihre Antwort!
37. Sei n ∈ IN eine beliebige natürliche Zahl.
(a) Welcher Rest kann bei Division von n2 durch 3 bzw. durch 4 bzw. durch 5 auftreten?
Begründung?
(b) Zeigen Sie: In der Folge 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, . . . kommen unendlich viele Quadratzahlen vor, und in der Folge 7, 13, 23, 33, 39, 43, 53, 55, 63, 71, 73, 83, 87, 93, 103, . . .
kommt keine Quadratzahl vor.
(c) Zeigen Sie ohne Benutzung eines Taschenrechners oder ähnlichem: Keine der Zahlen
a = 1234567898765420,
b = 8879546687256415,
c = 1334354657687997867564534228
ist Quadrat einer natürlichen Zahl.
(4 Punkte)
Abgabe der Aufgaben 32, 33, 37 bis 19.6., vor der Vorlesung
7. Übung Elemente der Zahlentheorie
SS2017
38. Ein Zahnrad mit 12 Zähnen treibt ein anderes Zahnrad mit 40 Zähnen an. Bei Stillstand
werden die sich gerade berührenden Zähne gekennzeichnet.
(a) Wie viele Umdrehungen muss jedes der Zahnräder mindestens machen, damit sich
die gekennzeichneten Zähne wieder berühren? Begründen Sie Ihre Antwort.
(b) Geben Sie eine Formel an, wenn das 1. Zahnrad k Zähne und das 2. l Zähne hat.
39. (a) Welcher Rest ergibt sich bei Division von 5200 durch 7?
(b) Bestimmen Sie die letzten beiden Ziffern von 43750124378 .
(c) Zeigen Sie, dass 750 + 1 durch 50 teilbar ist.
(4 Punkte)
40. Beweisen Sie:
(a) Für alle ungeraden ganzen Zahlen n ∈ ZZ gilt: 8 | (n2 − 1).
(b) Es gibt keine Quadratzahl mit Einerziffer 2,3,7 oder 8.
41. Bestimmen Sie den Rest bei Division von
(a) 4! durch 5
(b) 5! durch 6
(c) 6! durch 7
(d) 7! durch 8.
42. Für die Zahl
a = (an an−1 . . . a1 a0 )10 = a0 + a1 · 10 + a2 · 102 + . . . + an−1 · 10n−1 + an · 10n
heißt
Q2 (a) := a0 + a1 · 10 + a2 + a3 · 10 + . . .
Quersumme 2. Ordnung.
Z.B. ist Q2 (12345) = 45 + 23 + 1 = 69.
Beweisen Sie: a ist durch 3 bzw. 9 bzw. 11 genau dann teilbar, wenn es die Quersumme
2. Ordnung ist.
(3 Punkte)
43. Die folgenden Rechnungen sind richtig, allerdings sind einige Ziffern unleserlich und hier
mit x, y oder z bezeichnet. Bestimmen Sie die fehlenden Ziffern:
(a) 15! = 130767x368y00.
(b) 1722 − 822 = 117456280273417x164135856225.
(c) 145379629538 · 1026020887 = 14916253x4503101602yz.
(d) 156xy14 = 198 · k mit k ∈ IN.
(4 Punkte)
Abgabe der Aufgaben 39, 42, 43 b,d bis 26.6., vor der Vorlesung
8. Übung Elemente der Zahlentheorie
SS2017
44. Lösen Sie die lineare Kongruenz
a·x≡2
mod 41
jeweils für a ∈ {2, 3, 5, 10, 15}.
(2 Punkte)
45. p > 3 und q = p + 2 seien Primzahlzwillinge. Zeigen Sie
p · q ≡ −1
mod 9.
46. Gegeben seien eine Balkenwaage und genügend viele Gewichte von 45g und 84g. Es ist
erlaubt, in beide Waagschalen Gewichte zu legen.
(a) Zeigen Sie, dass man mit diesen Gewichten 2000g nicht auswiegen kann.
(b) Zeigen Sie, dass man sowohl 3000g als auch 18g auswiegen kann. Geben Sie jeweils
alle Möglichkeiten an.
(c) Geben Sie alle Möglichkeiten an, wenn man die Gewichte nur in eine Waagschale
legen darf.
47. Ein Bauer kauft auf dem Markt Pferde und Kühe. Ein Pferd kostet 290 Euro, eine Kuh 150
Euro. Er gibt für die Kühe insgesamt 40 Euro mehr aus als für die Pferde, aber höchstens
für alle Tiere zusammen 20000 Euro. Wie viele Pferde und Kühe hat er gekauft?
(4 Punkte)
48. (a) Sei w ∈ IN ∪ {0}. Bestimmen Sie alle Lösungen und alle nichtnegativen Lösungen
von
2x + 3y = w.
(b) Bestimmen Sie alle positiven Lösungen (x, y, z) der diophantischen Gleichung
2x + 3y + 7z = 1000.
Hilfe: Setzen Sie w := 2x + 3y.
49. Dem Rechnungsprüfer einer Firma liegt eine Rechnung über 100 Teile im Gesamtwert von
625 Euro vor. Es wurden Rohre für je 13 Euro, Verbindungsrohre zu je 7,25 Euro und
Halterungen zu je 0,75 Euro gekauft, aber die jeweiligen Stückzahlen sind nicht aufgeführt.
Geben Sie alle möglichen Liefermengen an!
(4 Punkte)
50. Aus einem chinesischen Rechenbuch:
Eine Bande von 17 Räubern stahl einen Sack mit Goldstücken. Als sie versuchten, die
Beute zu gleichen Teilen aufzuteilen, blieben 3 Goldstücke übrig. Beim Streit darüber,
wer ein Goldstück mehr erhalten sollte, verlor ein Räuber sein Leben.
Bei dem Versuch, die Beute auf die verbliebenen Räuber gleichmäßig aufzuteilen, blieben
10 Goldstücke übrig. Erneut kam es zum Streit, und wieder verlor ein Räuber sein Leben.
Anschließend konnte die Beute vollständig zu gleichen Teilen aufgeteilt werden.
Wie viele Goldstücke waren mindestens im Sack?
51. Bestimmen Sie alle Lösungen der simultanen Kongruenz
(a)
10x ≡ 4 mod 6
−8x ≡ 7 mod 9
15x ≡ 25 mod 35
(b)
4x ≡ 4 mod 70
14x ≡ −11 mod 15
15x ≡ 57 mod 63
(3 Punkte)
52. Geben Sie alle ganzen Zahlen c an, für die folgendes System von linearen Kongruenzen
lösbar ist:
5x ≡ 2
7x ≡ c
mod 12
mod 15
(4 Punkte)
Abgabe der Aufgaben 44, 47, 49, 51 b, 52 bis 3.7., vor der Vorlesung