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GW 3 – H
Grundkurs Wahrscheinlichkeitsre. / Statistik, Aufgabe 3 – Hinweise zur Lösung
1. a) Das Ziehen von 12 Relais, jeweils mit der Möglichkeit „intakt“ oder „defekt“, bildet
eine Bernoullikette der Länge 12; Zufallsvariable X ist die Zahl der defekten Relais. Die
Formel für die Wahrscheinlichkeiten P(X=k) kennst du oder kannst sie nachschlagen.
Für die Länge n = 12 hast du die Zahlen sicher in keiner Tabelle. Berechne P(X=0),
P(X=1) und P(X=2) mit dem Taschenrechner, und daraus dann P(X£2).
b) Hier kannst du, wenn du willst, von einer Bernoullikette unbekannter Länge sprechen.
Wenn du dir das Gegenereignis anschaust (kein Relais defekt), dann stellt sich die
Sache aber noch einfacher dar: Für die Wahrscheinlichkeit, dass von n Relais alle intakt
sind, brauchst du keine Binominalverteilung.
Die Bedingung, dass diese Wahrscheinlichkeit < 10 % sein soll, führt auf eine
Ungleichung für n. Die musst du erstmal logarithmieren (ob du den natürlichen oder den
Zehnerlogarithmus verwendest, bleibt sich gleich). Jetzt musst du aufpassen, denn beim
Umstellen nach n dividierst du durch eine negative Zahl (der das noch dazu gar nicht
gleich anzusehen ist), und das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden. – Diesen
Ärger sparst du dir, wenn du eine Gleichung für n anschreibst und umstellst. Dass das
Auftreten eines defekten Relais wahrscheinlicher wird, wenn die Stichprobe größer ist
als die so berechnete Zahl [≈ 44,9], ergibt sich aus dem Sachverhalt.
2. Die Sache mit der Irrtumswahrscheinlichkeit ist nicht ganz leicht
zu durchschauen:
(1) Du gehst davon aus, dass die Grundwahrscheinlichkeit
tatsächlich p = 5 % ist, sich also nicht geändert hat. Dann ist
die Stichprobe eine Bernoullikette der Länge 200, und für jede
Zahl k gibt es eine bestimmte Wahrscheinlichkeit P(X³k)
dafür, dass k oder mehr defekte Relais in der Stichprobe sind.
Diese Wahrscheinlichkeit kannst du natürlich nicht ausrechnen
(selbst wenn du die Zeit hättest: Ein normaler Taschenrechner
versagt). Du musst also in Tabellen nachschauen. Dort findest
du die Wahrscheinlichkeiten der „kumulierten“ oder
„summierten“ Binominalverteilung,
i=k
n −i
P( X ≤ k ) = ∑  ni  p i (1 − p ) , hoffentlich auch für n = 200
i =0  
und p = 0,05. Zur Sicherheit ist hier ein Auszug aus einer
solchen Tabelle abgebildet.
(2) Immer noch gehst du davon aus, dass sich die
Grundwahrscheinlichkeit p nicht geändert hat. Wenn Die
Stichprobe dazu führt, dass die Annahme „p = 5%“ verworfen
wird, so ist das also jedenfalls ein Irrtum. Er tritt ein, wenn die
Zahl der defekten Relais zufällig (!) größer oder gleich einem
gewissen k ist. Wie groß die Wahrscheinlichkeit für so einen
„unglücklichen Zufall“ ist, kannst du (für jedes beliebige k)
aus den Zahlen der Tabelle bestimmen. Suche das k, für das sie
höchstens 1 % ist.
Du musst noch berücksichtigen, dass das Gegenereignis zu X ³ k
nicht X £ k ist, sondern X < k. Dies ist aber dasselbe wie X £ k – 1.
Kumulierte
Binominalverteilung
n = 200
p = 0.05
k P(X£
£K)
1 0.0004
2 0.0023
3 0.0090
4 0.0264
5 0.0623
6 0.1237
7 0.2133
8 0.3270
9 0.4547
10 0.5831
11 0.6998
12 0.7965
13 0.8701
14 0.9219
15 0.9556
16 0.9762
17 0.9879
18 0.9942
19 0.9973
20 0.9988
21 0.9995
22 0.9998
23 0.9999
24 1.0000
alle folgenden
Werte sind auf 4
Stellen genau
gleich 1
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GW 3 – H
3. a) Die Frage unterscheidet sich kaum von der Frage 1a, wenn du sie ein bisschen
umformulierst.
Spätestens ab Aufgabe 3b hast du mit verschieden langen Bernoulliketten zu tun.
Schreibe die Länge der Kette deshalb lieber schon jetzt mit an (z.B. „P50(X=3)“), dann
kommst du nicht durcheinander.
b) Der Vertrag kann nach der ersten Stichprobe sofort zustande kommen, oder erst nach
einer zweiten Stichprobe. Die Wahrscheinlichkeit für die erste Möglichkeit erhältst du
aus der kumulierten Binominalverteilung (n = 50); in einer Tabelle nachschlagen oder
ausrechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass es zu einer zweiten Stichprobe kommt, hast du bei 3a
ausgerechnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Stichprobe positiv ausgeht, ist
wieder binominalverteilt (diesmal aber n = 25). Aus diesen beiden berechnest du die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass es zu einer zweiten Stichprobe kommt und diese positiv
ausgeht...
... und schließlich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder dieses geschieht oder
schon die erste Stichprobe erfolgreich war.
4. a) Du kannst dir überlegen, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, 7 Relais
anzuordnen, und wie viele dieser Möglichkeiten jeweils ununterscheidbar sind, weil sie
nur auf unterschiedlicher Anordnung der drei defekten Relais und/oder der vier intakten
Relais beruhen. Vielleicht ist dabei ein bisschen schwierig einzusehen, dass die Zahl der
möglichen Anordnungen von 3 Objekten mit der Zahl der möglichen Anordnungen von
7!
4 Objekten multipliziert werden muss. Das Ergebnis ist
.
3!⋅ 4!
Einfacher ist sicher folgende Überlegung: Es kommt nur darauf an, auf wie viele Arten
sich 3 Plätze (für die defekten Relais) aus insgesamt 7 Plätzen auswählen lassen. (Auf
die 4 verbleibenden Plätze kommen dann die intakten Relais.) Das Ergebnis ist natürlich
7 
 3 , und das ist ja dasselbe. (Wenn du die 4 intakten Relais zuerst Platz nehmen lässt,
7 
kriegst du übrigens wieder dasselbe, nämlich  4  .)
b) Hier werden Kenntnisse in Kombinatorik nur noch wenig gebraucht, aber entweder eine
gute Idee oder ein bisschen Tüftelei.
Vielleicht ist es am besten, wenn du zunächst anfängst, alle Möglichkeiten (mehr als 35
könne es ja nicht sein) systematisch aufzuschreiben. Plaziere dazu das „Pärchen“
defekter Relais zunächst ganz links in der Reihe und lasse es dann nach und nach rechts
durchrutschen. Für jede Position des „Pärchens“ überlegst du dir, wo du das dritte
defekte Relais noch unterbringen kannst. Du wirst merken, dass die Möglichkeiten
hierfür verschieden sind, je nachdem ob das „Pärchen“ am Rand oder im Innern der
Reihe liegt.
Wenn du diese Überlegung fortführst, brauchst du sicher nicht alle Möglichkeiten
hinzuschreiben. Mach dir klar: Es sind 2⋅4 + 4⋅3.
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