Mathematik I für WT

Fachbereich Grundlagenwissenschaften
Prof. Dr. Viola Weiß
Wintersemester 2012/2013
Mathematik I für WT
Übungsaufgaben
Serie 2: Komplexe Zahlen
1. Bestimmen Sie die kartesische Darstellung für z ∈ C mit
π
a) z = 2ei 2 ,
3π
b) z = 2ei 4 ,
c) z = e2+i3π .
Stellen Sie die komplexen Zahlen grafisch dar in der Gaußschen Zahlenebene.
2. Stellen Sie folgende Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene dar und bestimmen Sie ihre
exponentielle Darstellung:
√
√
√
√
√
b) z = 3 3−3i ,
c) z = −5i .
a) z1 = 3+i , z2 = 3−i , z3 = − 3+i , z4 = − 3−i ,
3. Berechnen Sie den Betrag und das Argument für folgende komplexen Zahlen:
√
a) z = − 3 + i
b) z = −2i
c) z = −5 .
4. Berechnen Sie z1 + z2 , z1 − z2 , z1 · z2 und z1 : z2 für z1 , z2 ∈ C mit
a) z1 = 2 + 3i z2 = 3 − 5i ,
b) z1 = 4 z2 = 1 + 2i .
5. Ermitteln Sie z + z und z · z für z ∈ C.
6. Von folgenden komplexen Zahlen bestimme man den Real– und den Imaginärteil:
a) z =
1
i+1
b) z =
4(3 − i)
(1 + i)(−1 + i)
c) z =
3 − |3 + 4i| + 2i
.
3 − 3i
7. Es seien z1 = −4i, z2 = 3 − 2i und z3 = −1 + i. Berechnen Sie
a) z1 (z2 − z3 ) + z2 ,
b) z1 (2z2 − z1 ) + z3 ,
c)
z1 · z2
.
z3
8. Geben Sie z ∈ C in kartesischer und exponentieller Darstellung an:
√
3+i
3
√ .
a) z = (1 − i)
b) z =
1 − 3i
9. Skizzieren Sie die Menge der Punkte in der Gaußschen Zahlenebene, für die gilt
z
= 1,
a) Im(z) = Re(z) ,
b) z · z = 9 ,
c) z + z = −8 ,
d)
z
e) |z − 2| ≤ |z + 4| ,
f) |z + 2 − i| ≥ 2 .
10. Lösen Sie die Gleichung z 2 + (2 + 3i)z + 1 + 3i = 0 für z ∈ C.
11. Es seien die komplexen Zahlen z1 = −4 + ki, z2 = 1 + 2i und z3 = −4 + 3i gegeben.
z1 · z2
reell, für welches k ∈ R ist z rein imaginär, d.h.
Für welches k ∈ R ist z =
z3
Re(z) = 0 ?
1
12. Man stelle folgende komplexen Zahlen in trigonometrischer und in kartesischer Form dar:
π 18
.
a) z = (1 − i)14
b) z = 2 · ei 6
13. Berechnen Sie z 30 für die komplexe Zahl z = a − ai mit a > 0.
14. Von den folgenden komplexen Zahlen gebe man alle n–ten Wurzeln in kartesischer Form
an und stelle diese jeweils in der Gaußschen Zahlenebene dar:
a) z = −6 (n = 4)
b) z = 8i (n = 3)
c) z = −2 + 2i (n = 3) .
15. Lösen Sie die folgenden Gleichungen:
a) z 2 (1 + i) = 2z ,
d) z 2 − z + iz − i = 0 .
b) z 3 − z 2 + 4z − 4 = 0 ,
c) |z| = z · z ,
16. Beweisen Sie folgende Rechenregeln für z1 , z2 ∈ C :
a) z1 + z2 = z1 + z2
b) z1 · z2 = z1 · z2 .
17. Wir betrachten das Polynom P (z) = z 3 − z 2 + z − 1 .
(a) Zeigen Sie unter Verwendung der Rechenregeln für konjugiert komplexe Zahlen aus
Aufgabe 16, daß folgende Beziehung gilt: P (z) = P (z)
(b) Es sei z0 eine Nullstelle des Polynoms, d.h. P (z0 ) = 0. Was kann man dann über z0
aussagen?
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Zusätzliche Aufgaben zum Selbststudium:
1. Bestimmen Sie die kartesische Darstellung für z ∈ C mit
√
π
a) z = 3e−i 3 ,
b) z = e1−iπ .
Stellen Sie die komplexen Zahlen grafisch dar in der Gaußschen Zahlenebene.
2. Stellen Sie die komplexen Zahlen z1 = −3 + 3i und z2 = −3 − 3i in der Gaußschen
Zahlenebene dar und bestimmen Sie ihre exponentielle Darstellung.
3. Berechnen Sie den Betrag und das Argument der komplexen Zahlen
√
a) z = i + 1
b) z = −0.5 − 0.5 3i .
4. Berechnen Sie z1 + z2 , z1 − z2 , z1 · z2 und z1 : z2 für z1 , z2 ∈ C für z1 = 1 + 4i z2 = 2i .
5. Von folgenden komplexen Zahlen bestimme man den Real– und den Imaginärteil:
a) z =
3 + 2i
1+i
b) z = 1 + i + |2i| .
6. Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 2 − 4i und z2 = −1 − 3i.
a) Berechnen Sie z1 · z2 und z1 /z2 in kartesischer Form.
b) Wandeln Sie z1 und z2 um in die trigonometrische Darstellungsform und führen Sie
dann Multiplikation und Division der beiden Zahlen durch. Vergleichen Sie die Ergebnisse
mit denen aus a)!
2
7. Skizzieren Sie die Menge der Punkte in der Gaußschen Zahlenebene, für die gilt
a) |z| < 5 ,
b) 2 ≤ |z| ≤ 6 ,
c) 0 ≤ Re(z) ≤ 2 und 2 ≤ Im(z) ≤ 4 .
8. Lösen Sie die Gleichung z 2 + (5 − 2i)z + 5(1 − i) = 0 für z ∈ C.
9. Berechnen Sie für z = −2 + 3i die Potenz z 5
a) auf direktem Weg oder mit Hilfe der binomischen Formel,
b) mit Hilfe der trigonometrischen Darstellung von z
und vergleichen Sie die Resultate!
√
10. Man stelle die komplexen Zahl z = (1.5 + 1.5 3i)6 in trigonometrischer und in
kartesischer Form dar.
11. Von der komplexen Zahl z = 5 + 8i gebe man alle 5–ten Wurzeln in kartesischer Form
an und stelle diese in der Gaußschen Zahlenebene dar.
12. Lösen Sie die folgenden Gleichungen:
a) z 2 + 2iz + 8 = 0 ,
f) z 5 + 10 − 5i = 0 .
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Schriftliche Aufgaben:
Abgabe in den Übungen der 5. Semesterwoche:
5.1 Bestimmen Sie den Imaginärteil der komplexen Zahl z =
a
.
1 + 2i
5.2 Gegeben sei die komplexe Zahl z = a + ai mit dem reellen Parameter a 6= 0 .
1
.
a) Bestimmen Sie den Realteil und den Imaginärteil von
z
b) Für welches a ∈ R gilt |z + 1 − i| = 2 ?
Abgabe in den Übungen der 6. Semesterwoche:
6.1
a) Es sei z = a + ai. Für welches reelle a > 0 gilt z 8 = 16 ?
b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z 2 = 4i.
6.2 Bestimmen Sie alle Lösungen im Bereich der komplexen Zahlen der Gleichung
(−1 + i) · z 3 − 2z = 0 .
Geben Sie die Lösungen in trigonometrischer Form an.
3