Computerunterstützung für Sehbehinderte bei

Computerunterstützung für Sehbehinderte bei
der Mathematik-Reifeprüfung
Barrieren abbauen mit Open Source
An der Bundeshandelsakademie Tamsweg hat heuer
zum zweiten Mal ein stark sehbehinderter Schüler die
Reife- und Diplomprüfung abgelegt. Im Prüfungsgebiet
"Mathematik und angewandte Mathematik" durfte er
die Programme CAS Maxima sowie Geogebra zur
Unterstützung verwenden.
Was dabei hilfreich war und was nicht, darüber soll hier
berichtet werden.
ADRIANE könnte zukünftig sehr sinnvoll eingesetzt
werden.
[email protected] u. [email protected]
Der Desktop mit der Maus
Einfach zu bedienen, komfortabel, bunt...
adriane.knopper.net
Ohne Grafik?
Und erst mal NUTZLOS, wenn man ihn nicht sehen kann...
adriane.knopper.net
Eine große Herausforderung im
Mathematikunterricht
http://www.lungau-academy.at/scha-stat
adriane.knopper.net
Der „Eine Oberfläche für Alle“ Ansatz


Sprechende Menüs und Anwendungen
(Windows: „Jaws“, Linux: „Orca“)
Bildschirmvergrößerung
(Windows: Lupe, Linux: compiz-fusion)
adriane.knopper.net
Resultat


Für Menschen mit reduzierter Sehkraft
akzeptabel, aber:
Blinde Anwenderin/blinder Anwender muss
sich einer Arbeitsweise anpassen, die er nicht
gewohnt ist, und die nicht auf seine
Bedürfnisse hin entworfen ist.
Blinde(r) muss viele Tastaturkürzel lernen, um
Programme mit Tastatur statt Maus zu
BEDIENEN.
adriane.knopper.net
Desktop für Menschen




Individuelle Oberfläche für individuelle
Fähigkeiten.
Effizienz und Arbeitskomfort wird höher.
Schnellere und mehr Erfolgserlebnisse,
weniger Frust wegen „Bedien(er)fehlern“.
Fehlerhafte Bedienung des Taschenrechners
soll nicht entscheidend für die Mathematiknote
sein.
Beispiel:
adriane.knopper.net
Audio Desktop Referenz (ADRIANE)
Ein einfacher Desktop für blinde Computer-Einsteiger
adriane.knopper.net
Beispiel aus dem Mathematikbzw. Informatikunterricht
Ein einfaches Programm mit Python entwickeln:
a = input(„Länge = „)
b = input(„Breite = „)
f = a*b
print f
Natürlich mit ADRIANE
adriane.knopper.net
Maxima kann auch in der Shell
ausgeführt werden
adriane.knopper.net
„blind“ navigieren im Web?
Umgang mit Lernplattform





Weblinks (Verweise) direkt auswählen (Pfeiltasten)
Inhalt Zeile für Zeile, oder ganze Seite, vorlesen
lassen oder ertasten (Braille)
Formularfelder mit Formularassistent finden und
ausfüllen
Zusatzinformationen vom Browser bekommen
(HTML-Objekte, Eingabefelder)
„Fiese“ Webseiten austricksen (JavaScript, ALTTags, Abschicken ohne „Mausklick“)
adriane.knopper.net
Lernplattform -> CAS
Bei der Verwendung einer Lernplattform ist im
Mathematikunterricht jedenfalls die Verwendung
eines CAS notwendig. (Wir verwenden übrigens
seit 2003 unverändert MS-Classserver 3)
http://maxima.sourceforge.net
http://wxmaxima.sourceforge.net
http://maxima.weilharter.info (hier findet man
auch die Musterlösung der heurigen
Aufgabenstellung).
http://maxima.weilharter.info/documents/RDP_Mathematik_2009_
Motzka.pdf
adriane.knopper.net
Was hat schlecht/gut funktioniert?
Verwendung der quadratischen Regression,
obwohl genau 3 Punkte vorgegeben waren,
ohne Computer wäre das ein Chaos geworden.
Note war trotz Computerverwendung nur
„Genügend“.
Bei Berechnung von umfangreicheren Tabellen
konnte man zu erwartende
Taschenrechnerbedienungsfelder vermeiden!
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Grafikelemente in CAS
Tauglich:
Weniger tauglich:
adriane.knopper.net
Ungelöste Probleme

REIN grafische Informationen (auch auf
Webseiten):
Flash, JAVA, Image-Maps
adriane.knopper.net
Linux ist hier sehr hilfreich!




Die reine Technologie für blinde Anwender steht unter
Linux lizenzkostenfrei zur Verfügung, z.B. ADRIANE
von Klaus und Adriane Knopper
http://www.knopper.net
Textverarbeitung, WWW, E-Mail, Multimedia,
Texterkennung (Briefe scannen und vorlesen lassen),
Maxima gibt es für Linux, OS/X aber auch für
Windows (auch wxMaxima) -> Open Source
GNU-Lizenz erlaubt Kopieren, Weitergeben, beliebige
Verwendung, auch kommerziellen Support!
adriane.knopper.net
Folgerungen für die Schule



Potenzial blinder und stark sehbehinderter
Schülerinnen und Schüler, die mit dem richtigen
System tatsächlich sehr schnell und produktiv
arbeiten können, muss genutzt werden.
Viele Schülerinnen und Schüler sind es gewohnt,
dass man ihnen sagt, „was sie benutzen dürfen“.
In der Schule neigt man dazu, dass alle das gleiche
System haben müssen.
→ Netzwerke der Open Open Source Community
nutzen!
adriane.knopper.net
[email protected]
[email protected]
Danke an Klaus und Adriane
Knopper
Ich danke Klaus Knopper, dass wir schon die 8.
Tamsweger Knoppixtage planen können. Bei
den sechsten und siebenten Tamsweger
Knoppixtagen hat er seine Frau Adriane
mitgebracht. Sie hat uns in sehr eindrucksvoller
Weise gezeigt, wie man einen Computer auch
ohne Bildschirm verwenden kann.
adriane.knopper.net
RDP 2001 – neu gelöst mit Maxima
RDP Mathematik und angewandte
Mathematik
(%i1) kill(all);
1. Aufgabe (Kosten- und Preistheorie)
Für einen Monopolbetrieb wurde die lineare Kostenfunktion K = 28 x + 900 und die
lineare Nachfragefunktion p = 480 - 0,5 x.
Zu berechnen sind
a) der Cournotsche Punkt,
b) der maximale Gewinn,
c) die erlösmaximierende Menge und der zugehörige Preis,
d) der maximale Erlös,
e) die Gewinngrenzen,
f) die Sättigungsmenge und
g) die Preisobergrenze.
Wie lauten die Antworten auf diese Fragen, wenn
K = -0,005*x**2+84*x+115200 und p = 520 - 0,13 x ?
GEGEBEN IST
(%i1) K:K(x):=28*x+900;
(%i2) p:p(x):=480-0.5*x;
a) Man berechne den Cournot'schen Punkt.
Der Cournot'sche Punkt hat zwei Koordinaten:
- die Cournot'sche Menge (die gewinnmaximale Menge) und
- den Cournot'schen Preis (man muss die Cournot'sche Menge
in die Nachfragefunktion einsetzen.
(%i3) U(x):=p(x)*x,expand;
(%i4) G(x):=U(x)-K(x);
Johann Weilharter
Seite 1
RDP 2001 – neu gelöst mit Maxima
(%i5) ab:diff(G(x),x);
(%i6) l:realroots(ab);
(%i7) XC:x,l;
(%i8) PC:p(XC);
(%i9) Cournot_Punkt:[XC,PC];
b) Man berechne den maximalen Gewinn.
Dazu müssen wir nur mehr die Cournot´sche Menge in die
Gewinnfunktion einsetzen.
(%i10) G_max:G(XC);
c) Man bestimme die erlösmaximierende Menge und den zugehörigen Preis.
- eine Extremwertaufgabe.
(%i11) U(x);
(%i12) ab:diff(U(x),x);
(%i13) l:realroots(ab);
(%i14) XU:x,l;
Johann Weilharter
Seite 2
RDP 2001 – neu gelöst mit Maxima
(%i15) PU:p(XU);
d) Man bestimme den maximalen Erlös.
- die umsatzmaximale Menge in die Umsatzfunktion einsetzen
- Umsatz = Erlös
(%i16) U_max:U(XU);
(%i17) U_max:PU*XU;
e) Man bestimme die Gewinngrenzen.
- Grundgleichung: Gewinn = 0
- oder Erlös = Kosten
- untere Gewinngrenze = Gewinnschwelle =
Nutzenschwelle = Break Even
- obere Gewinngrenze = Gewinngrenze =
Nutzengrenze
(%i18) g1: G(x)=0,expand;
(%i19) l:realroots(g1),numer;
(%i20) NS:x,l[1];NS:floor(NS*100+0.5)/100.0;
(%i22) NG:x,l[2];NG:floor(NG*100+0.5)/100.0;
f) Man bestimme die Sättigungsmenge!
- das ist die Nachfrage, wenn der Preis 0 ist
(%i24) p(x);
Johann Weilharter
Seite 3
RDP 2001 – neu gelöst mit Maxima
(%i25) l:realroots(p(x));
(%i26) SM:x,l;
g) Man bestimme die Preisobergrenze!
- der Preis ist so hoch, dass die Nachfrage 0 wird.
(%i27) p(x);
(%i28) PO:p(0);
(%i29) kill(all);
Kompakte Berechnung mit den veränderten Daten: K=-0,005x²+84x+115200 und
p=520-0,13x
(%i1) K:K(x):=-0.005*x**2+84*x+115200;
(%i2) p:p(x):=520-0.13*x;
(%i3) U(x):=p(x)*x;G(x):=U(x)-K(x);ab:diff(G(x),x);l:realroots(ab);
(%i7) XC:x,l;PC:p(XC);Cournot_Punkt:[XC,PC];
Johann Weilharter
Seite 4
RDP 2001 – neu gelöst mit Maxima
(%i10) G_max:G(XC);G_max:floor(G_max*100+0.5)/100.0;
(%i12) ab:diff(U(x),x);l:realroots(ab);
(%i14) XU:x,l;PU:p(XU);U_max:PU*XU;U_max:U(XU);
(%i18) l:realroots(G(x)=0);
(%i19) GS:x,l[1];GG:x,l[2];Gewinnzone:[GS,GG];
(%i22) l:realroots(p(x)=0);
(%i23) XS:x,l;
(%i24) PO:p(0);
(%i25) kill(all);
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Seite 5
RDP 2001 – neu gelöst mit Maxima
2. Aufgabe (Ein Optimierungsproblem)
Anmerkung: die Aufgabenstellung wird häufig als unrealistisch kritisiert. Eine
realistische äquivalente Aufgabenstellung wäre z.B. die Herleitung
des Brechungsgesetzes von Snellius aus dem Fermat'schen Prinzip.
Ein Haus liegt 100 m abseits einer geradlinigen Straße, die von einem
Fernheizwerk A wegführt. Es soll an das städtische Fernheizsystem angeschlossen
werden. Der Laufmeter für die Verlegung kostet längs der Straße € 100,-- je
Laufmeter, im Gelände jedoch € 140,--.
An welcher Stelle C muss die Abzweigung erfolgen, damit die Kosten minimal
werden? Der hausnächste Punkt B auf der Straße ist 1500 m von A entfernt.
Die Strecke BC soll als Variable x dienen.
Folgende Fragen sind jedenfalls zu lösen:
a) Wie heißt die Kostenfunktion?
b) Für welchen x-Wert hat die Kostenfunktion ein Minimum?
c) Wie groß sind die minimalen Kosten?
Kosten
(%i1) ks:100;kg:140;
Abmessungen
(%i3) HB:100;AB:1500;BC:x;AC:AB-x;
Nebenbedingung
(%i7) g:HC**2=HB**2+BC**2 /*es gilt der pythagoräische Lehrsatz */;
(%i8) l:solve(g,HC);
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RDP 2001 – neu gelöst mit Maxima
(%i9) HC:ev(HC,l[2]);
Kostenfunktion (Lösung von A)
(%i10) K:AC*ks+HC*kg;
Ableitung bestimmen und NULL setzen
(%i11) ab:diff(K,x);
(%i12) g:ab=0;
Diese Gleichung läßt sich nicht mit Maxima (solve ...) unmittelbar lösen
Man muss "händisch" eingreifen
(%i13) g:g+100;
(%i14) g:g*denom(lhs(g));
(%i15) g:g**2 /* Achtung, das ist keine Äquivalenzumformung */;
(%i16) l:realroots(g),numer;
Optimale Abzweigung (Lösung von (b)
Johann Weilharter
Seite 7
RDP 2001 – neu gelöst mit Maxima
(%i17) X:x,l[2];X:floor(X*100+0.5)/100.0;
(%i19) K_min:K,x=X;K_min:floor(K_min*100+0.5)/100.0;
(%i21) kill(all);
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Seite 8
RDP 2001 – neu gelöst mit Maxima
3. Aufgabe (Finanzmathematik)
a) Jemand nimmt ein Darlehen von 100.000,-- und zahlt jährlich 10.000,-bei 8% Zinsen dekursiv p.a. zurück. Wann ist er mit den Rückzahlungen
fertig?
b) Für einen Kauf gibt es zwei Angebote:
A 100.000,-- sofort, 500.000,-- in 2 Jahren und 400.000,-- in 10 Jahren,
B 300.000,-- sofort und 700.000,-- nach 10 Jahren.
Welches Angebot ist bei einem Kalkulationszinsfuß von i=8% günstiger?
c) Jemand zahlt 20 Jahre lang am Ende jeden Monats 1.000,-- ein. Welche
nachschüssige Monatsrente kann er danach 10 Jahre lang beziehen, bei
einem Kalkulationszinsfuß von i=8% ?
a) Jemand nimmt ein Darlehen von 100.000,-- und zahlt jährlich 10.000,-bei 8% Zinsen dekursiv p.a. zurück. Wann ist er mit den Rückzahlungen
fertig?
(%i1) D:100000;A:10000;p:8;
(%i4) i:p/100;r:1+i,numer;
(%i6) g:D*r**n=A*(r**n-1)/i,expand;
Lösung von Exponentialgleichung funktioniert mit solve() schlecht
(%i7) g:g-lhs(g);
(%i8) g:g+125000;
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Seite 9
RDP 2001 – neu gelöst mit Maxima
(%i9) g:g/25000;
(%i10) g:log(lhs(g))=log(rhs(g));
(%i11) l:solve(g,n),numer;
(%i12) n:ev(n,l);n:floor(n*100+0.5)/100.0;
b) Für einen Kauf gibt es zwei Angebote:
A 100.000,-- sofort, 500.000,-- in 2 Jahren und 400.000,-- in 10 Jahren,
B 300.000,-- sofort und 700.000,-- nach 10 Jahren.
Welches Angebot ist bei einem Kalkulationszinsfuß von i=8% günstiger?
(%i14) p:8;i:p/100.0;r:1+i;
(%i17) A:100000+500000/r**2+400000/r**10;A:floor(A*100+0.5)/100.0;
(%i19) B:300000+700000/r**10;B:floor(B*100+0.5)/100.0;
Johann Weilharter
Seite 10
RDP 2001 – neu gelöst mit Maxima
(%i21) if A>B then "A ist guenstiger"
else if A else "Beide gleich";
c) Jemand zahlt 20 Jahre lang am Ende jeden Monats 1.000,-- ein. Welche
nachschüssige Monatsrente kann er danach 10 Jahre lang beziehen, bei
einem Kalkulationszinsfuß von i=8% ?
(%i22) R:1000;p:8;n:20;
(%i25) i:p/100.0;
(%i26) r:1+i;
(%i27) rm:r**(1/12);
(%i28) im:rm-1;
(%i29) E:R*(rm**(12*n)-1)/im,numer;E:floor(E*100+0.5)/100.0;
(%i31) B:E;n:10;vm:1/rm;kill(R);
(%i35) g:B=R*(1-vm**(12*n))/im;
Johann Weilharter
Seite 11
RDP 2001 – neu gelöst mit Maxima
(%i36) l:solve(g,R),numer;
(%i37) kill(all);
Johann Weilharter
Seite 12
RDP 2001 – neu gelöst mit Maxima
4. Aufgabe (Wahrscheinlichkeitsrechnung)
a) Belgien hat ungefähr 9,5 Millionen Einwohner, von denen ungefähr ein
Drittel Wallonen sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
unter 12 zufällig ausgewählten Belgiern
(i) genau 3,
(ii) höchstens 3 Wallonen sind?
b) Ein Kaufgeschäft verkauft durchschnittlich 133 Semmeln pro Tag. Die
Streuung beträgt 22. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer
Verknappung, wenn beim Bäcker täglich 160 Semmeln gekauft werden?
a) Belgien hat ungefähr 9,5 Millionen Einwohner, von denen ungefähr ein
Drittel Wallonen sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
unter 12 zufällig ausgewählten Belgiern
(i) genau 3,
(ii) höchstens 3 Wallonen sind?
(%i1) n:12;p:1/3;
(%i3) W(k):=binomial(n,k)*p**k*(1-p)**(n-k);
(%i4) WA:W(3),numer;WA:floor(WA*1000+0.5)/1000.0;
(%i6) WB:sum(W(k),k,0,3),numer;WB:floor(WB*1000+0.5)/1000.0;
b) Ein Kaufgeschäft verkauft durchschnittlich 133 Semmeln pro Tag. Die
Streuung beträgt 22. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer
Verknappung, wenn beim Bäcker täglich 160 Semmeln gekauft werden?
(%i8) kill(all);
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Seite 13
RDP 2001 – neu gelöst mit Maxima
(%i1) m:133;s:22;x:160;
(%i4) load(distrib);
(%i5) W:1-cdf_normal(x,m,s),numer;W:floor(W*1000+0.5)/1000.0;
Created with wxMaxima.
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Seite 14
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
Reife- und Diplomprüfung aus
Mathematik und angewandte
Mathematik
1. Aufgabe
Johann Weilharter
Seite 1
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
Teilaufgabe 1 a
Daten eingeben
(%i1) x:[20,40,60,80,90,105,120,135];
(%i2) GE:[7500,6000,5000,4000,3500,2500,1500,1000];
UNTERPROGRAMM
(%i3) load(descriptive);
(%i4) mx:mean(x),numer;mGE:mean(GE),numer;
ohne Unterprogramm geht es auch:
(%i6) n:length(x);mx:sum(x[i],i,1,n)/n,numer;mGE:sum(GE[i],i,1,n)/n,numer;
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Seite 2
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
Lösung 1 a im Einreichvorschlag
(%i9) s1:sum((x[i]-mx)**2,i,1,n);s2:sum((GE[i]-mGE)*(x[i]-mx),i,1,n);
(%i11) a:s2/s1;a:floor(a*100+0.5)/100.0;
(%i13) b:mGE-a*mx;b:floor(b*100+0.5)/100.0 /* kleine Unterschiede zum
Einreichvorschlag */;
Lösungsalternative
(%i15) kill(a,b);
(%i16) g1:a*sum(x[i]**2,i,1,n)+b*sum(x[i],i,1,n)=sum(x[i]*GE[i],i,1,n);
(%i17) g2:a*sum(x[i],i,1,n)+b*n=sum(GE[i],i,1,n);
(%i18) l:solve([g1,g2],[a,b]),numer;
(%i19)
a:ev(a,l[1][1]);a:floor(a*100+0.5)/100.0;b:ev(b,l[1][2]);b:floor(b*100+0.5)/100.0;
Johann Weilharter
Seite 3
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
(%i23) kill(x);
(%i24) GE:a*x+b;
(%i25) kill(a,b);
Teilaufgabe 1 b
(%i26) x:[10,20,30];K:[106000,114000,124000];
(%i28) g(x,K):=K=a*x**2+b*x+c;
(%i29) g1:g(x[1],K[1]);g2:g(x[2],K[2]);g3:g(x[3],K[3]);
(%i32) l:solve([g1,g2,g3],[a,b,c]);
(%i33) kill(x);
(%i34) K:a*x**2+b*x+c,l[1];
Johann Weilharter
Seite 4
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
>> Teilaufgabe 1 c
(%i35) K;GE;
(%i37) E:integrate(GE,x);
(%i38) G:E-K;
(%i39) l:realroots(G),numer;
(%i40) NS:ev(x,l[1]);NS:floor(NS+1);NG:ev(x,l[2]);NG:floor(NG);
Teilaufgabe 1 d
(%i44) p:E/x,expand;
(%i45) ab:diff(G,x);
(%i46) l:realroots(ab),numer;
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Seite 5
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
(%i47) x:ev(x,l);xG:floor(x*100+0.5)/100.0;
(%i49) p:p,x=xG;p:floor(p*100+0.5)/100.0;
(%i51) kill(F,x);
>> Teilaufgabe 1 e
(%i52) E;K;
(%i54) K:K-100000+F;
(%i55) g:E=K;
(%i56) l:solve(g,F);
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Seite 6
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
(%i57) F:ev(F,l);
(%i58) ab:diff(F,x);
(%i59) l:realroots(ab),numer;
(%i60) F:F,l;
Johann Weilharter
Seite 7
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
2. Aufgabe
Bestimmung der Funktion
(%i61) f:a*x**3+b*x**2+c*x+d;
(%i62) ab:diff(f,x);
(%i63) ab2:diff(f,x,2);
(%i64) f(x):=''f;
(%i65) g1:f(0)=0;
(%i66) g2:f(4)=4;
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Seite 8
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
(%i67) g3:ab2=0,x=4;
(%i68) g4:ab=-3,x=4;
(%i69) l:solve([g1,g2,g3,g4],[a,b,c,d]);
(%i70) f:ev(f,l);
Bestimmung der Nullstellen
(%i71) l:realroots(f=0);
Bestimmung der Extremwerte
(%i72) ab:diff(f,x);
(%i73) l:realroots(ab);
(%i74) y1:f,l[1];y2:f,l[2];
(%i76) ab2:diff(f,x,2);ab2,l[1] /* Hochwert */;
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Seite 9
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
(%i78) ab2,l[2] /* Tiefwert */;
Gleichung der Wendetangente
(%i79) f;
(%i80) g:-3*x+16;
(%i81) l:realroots(f=g);
Grafische Darstellung mit wxMaxima
(%i82) wxplot2d([f,g], [x,-5,5])$
Das Flächenintegral
(%i83) A:integrate(g,x,0,4)-integrate(f,x,0,4);
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Seite 10
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Grafische Darstellung mit Geogebra
(%i84) f;g;
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Seite 11
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
3. Aufgabe
Teilaufgabe 3 a
(%i86) load(simplex);
(%i87) u1:x>=0;
(%i88) u2:y>=0;
(%i89) u3:2*x+4*y<=40;
(%i90) u4:2*x+y<=28;
(%i91) ZF:400*x+600*y;
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Seite 12
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
(%i92) NB:[u1,u2,u3,u4];
(%i93) l:maximize_lp(ZF,NB);
Teilaufgabe 3 b
(%i94) n:100;k:3;p:0.0075;
(%i97) P(k):=binomial(n,k)*p**k*(1-p)**(n-k);
(%i98) w:P(k);w:floor(w*10000+0.5)/100.0 /* Wahrscheinlichkeit in Prozent */;
(%i100) w:sum(P(k),k,2,5);w:floor(w*10000+0.5)/100.0 /* in Prozent */;
(%i102) w:sum(P(k),k,6,n);
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Seite 13
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
(%i103) w:1-sum(P(k),k,0,5);
(%i104) w:floor(w*1000000+0.5)/10000.0 /* in Prozent */;
Teilaufgabe 3 c
(%i105) kill(all);
(%i1) HB:K(r,b):=600*(2*r+2*b)+1000*r*%pi;
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Seite 14
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
(%i2) NB:A=2*r*b+r**2*%pi/2,A=200;
(%i3) l:solve(NB,b);
(%i4) b:ev(b,l);b:b,expand;b:b,numer;
(%i7) K:K(r,b);K:K,expand;
(%i9) ab:diff(K,r),numer;
Johann Weilharter
Seite 15
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
(%i10) l:solve(ab=0,r),numer;
(%i11) ab2:diff(K,r,2);ab2:ab2,l[2] /* Nachweis Minimum */;
(%i13) b;
(%i14) b:b,l[2];
(%i15) K:K,l[2],numer;
Johann Weilharter
Seite 16
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
4. Aufgabe
(%i16) kill(all);
(%i1) n:18;p:5;R:1000;
(%i4) i:p/100.0;r:1+i;
Johann Weilharter
Seite 17
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
Teilaufgabe 4 a
(%i6) E:R*(r**n-1)/i;E:floor(E*100+0.5)/100.0;
>> Teilaufgabe 4 b
(%i8) EK:E*1.03**4;EK:floor(EK*100+0.5)/100.0;
>> Teilaufgabe 4 c
(%i10) G:73000;B:G-EK;
(%i12) g:B=x*(1.08**6-1)/(1.08**5*0.08);
Johann Weilharter
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RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
(%i13) l:solve(g,x),numer;
(%i14) x:ev(x,l);x:floor(x*100+0.5)/100.0;
>> Teilaufgabe 4 d
Das führt auf Exponentialgleichungen. Damit gibt es unter Maxima
große Probleme.
(%i16) kill(n);
(%i17) p:8;v:1/(1+p/100.0);
(%i19) g:B=x*(1.08**3-1)/(1.08**2*0.08)+3000*(1.08**n-1)/(1.08**(n-1)*0.08)*v**3;
(%i20) g:g,expand;
Johann Weilharter
Seite 19
RDP Mathematik und angewandte Mathematik Tamsweg 2009
(%i21) g:g-lhs(g);
(%i22) g:g-second(rhs(g));
(%i23) g:g/first(lhs(g));
(%i24) g:second(lhs(g))=rhs(g);
(%i25) g:log(lhs(g))=log(rhs(g));
(%i26) l:solve(g,n),numer;
(%i27) n:ev(n,l);n:floor(n*100+0.5)/100.0;
Created with wxMaxima.
Johann Weilharter
Seite 20