Quantentheorie I Aufgaben Blatt 3 Erwartungswerte

Quantentheorie I
Aufgaben
Blatt 3
Erwartungswerte - Auswahlregeln
11. Mittels Linearkombination der Funktionen ψ1 und ψ2 aus Aufgabe 10) sei die folgende Zustandsfunktion gebildet
E1 t
E2 t
−i
−i
π
1
2π
1
h̄ + √ sin( x)e
h̄
Ψ(x, t) = √ sin( x)e
a
a
a
a
1 π 2
1 2π 2
mit den Energien E1 =
und E2 =
.
2 a
2 a
(a) Berechnen Sie die Norm dieser Zustandsfunktion im Potentialkasten (0..a)!
(||Ψ(x, t)|| = 1)
(b) Mit welchen Wahrscheinlichkeiten würden bei Energiemessungen die Werte E1
und E2 gemessen und welcher Erwartungswert für die Energie insgesamt ergäbe
sich daraus? (beide zu 50%, < E >Ψ = 21 (E1 + E2 ))
(c) Warum stellt die gegebene Funktion Ψ(x, t) keinen stationären Zustand dar?
12. Emission (E) oder Absorption (A) eines Lichtquants läßt das Elektron eines Wasserstoffatoms aus seinem Ausgangszustand ψnlm bzw. ψnO in einen energetisch benachbarten Endzustand übergehen.
(a) Erläutern Sie die Quantenzahlen n, l, m sowie die Orbitalbezeichnung O =
s, p, d, f ! Welche physikalischen Größen sind mit den Quantenzahlen verknüpft
und wie ist die Wirkung der entsprechenden Operatoren auf die Zustandsfunktionen?
(b) Nennen Sie die Auswahlregeln, die in Dipolnäherung bei solchen Übergängen
b verboten)
zu beachten sind! Prüfen Sie Möglichkeit und Art (A oder E, X =
für folgende Übergänge:
ψ420 → ψ310 (E)
ψ211 → ψ100 (E)
ψ311 → ψ520 (A, schwach ∆n = 2)
ψ321 → ψ410 (A)
ψ411 → ψ310 (X)
ψ100 → ψ310 (A, schwach ∆n = 2)
3d → 2s (X) , 1s → 2s (X), 5d → 3p (E, schwach) , 2s → 4p (A, schwach)
(∆l = ±1, ∆m = 0, ±1 ; ∆n = ±1 falls Übergang in energetisch direkt benachbarten Zustand erfolgt)
(c) Geben Sie für die folgenden Ausgangszustände die möglichen energetisch direkt
benachbarten Endzustände an, wenn ein Lichtquant absorbiert wird!
1s → 2p
2s → 3p
2p → 3s od. 3d
3p → 4s od. 4d
3d → 4p od. 4f
4p → 5s od. 5d
13. Für einen harmonischen Oszillator sollen Quantenübergänge durch den Koordinatenoperator x (als äußerer Störung) bestimmt sein. Für die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen zwei Zuständen gilt dann:
Wn→m ∝ | < m| x |n > |2
(a) Was ist hinsichtlich der Parität von Ausgangszustand |n > und Endzustand
|m > bei einem solchen Übergang festzustellen?
(Sie muß verschieden sein, da der x-Operator diese ändert!)
(b) Wie lauten hier die Auswahlregeln, wenn gilt:
x|n >= α|n − 1 > +β|n + 1 >
(α, β sind komplexe Zahlen)
(Man erinnere sich an die Möglichkeit, den x-Operator durch Erzeugungs- und
Vernichtungsoperatoren darzustellen: x = (Â + Â+ ) ∗ Konstante.)
(Es muß gelten: m = n + 1 oder m = n − 1 ! Alle anderen Übergänge sind
verboten.)