Mathematik Berufsmaturitätsprüfung 2001 - Lösungen

BMS gibb
Mathematik Berufsmaturitätsprüfung 2001 - Lösungen
Vollständige Lösungen, wobei nur ein Lösungsweg aufgezeigt wird. Die Lehrkraft wählt vor der
Prüfung Aufgaben aus, so dass die maximale Punktzahl 30 Punkte beträgt und jedes wichtige
Lehrplanthema vertreten ist. Jede Aufgabe ergibt auch Teilpunkte (Genauigkeit: halbe Punkte). Für
die Note 6 genügen 26 Punkte. Die schriftliche Prüfungsnote wird auf halbe Noten gerundet.
Die Notenskala richtet sich nach der Formel: N =
1.
P ⋅5
+1 .
26
alles nach links nehmen, vereinfachen und faktorisieren:
( x − 4)( x −1)
≥ 0;
( x − 5)( x − 3 )
D = R \ { 3, 5 }; L = { x ∈ R ⏐ x ≤ 1 ∨ 3 < x ≤ 4 ∨ x > 5}
2.
a) D = R \ { 2}
b) x,y vertauschen und nach y auflösen. Umkehrfunktion: y =
3.
1
+2
x −3
-2
Pol bei x = 3; Asymptote bei y = - 4. Die einfachste Funktion wäre: y = (x-3) - 4
Setzt man die beiden Funktionswerte ein, so ist die einfachste Funktion gerade
Lösung: y =
1
− 4.
( x − 3)2
4.
Alles hoch 3; Wurzelgleichung auflösen; L = {2}; Kontrolle zeigt, dass L richtig ist.
5.
1
⎛ A⎞
⎛ A ⎞t − a
=
Gleichung umformen ergibt: ln (x) =
⋅ ln ⎜ ⎟ ; Lösung: x = ⎜ ⎟
t −a
⎝B⎠
⎝B⎠
6.
Im Zähler kann man
1
ab ausklammern, gibt
Nenner ergibt als Lösung:
ab (
t−a
⎛ A⎞
⎜ ⎟
⎝B⎠
a + b ), gekürzt mit dem
ab .
V 2 6
a
a
2 ; Radius der Umkugel: R =
3 ;Lös. 1 =
V2
9
2
2
7.
Radius der kleinen Kugel: r =
8.
Dreieck mit 600m Länge, 90° und 32° Winkel; geflogende Strecke mit Trigo
berechnen,; x = 960, 201 m, Geschwindigkeit bei 16s Flugzeit: v = 60,013 ms-1.
9.
Ähnlichkeit vom ∆CMQ und ∆CMB; r =
s
s
3 ; Strecke CR =
3 . Auch mit Trigo ist
4
4
r berechenbar.
10.
(ln u) nach rechts, gibt ln
u ; exponieren ergibt quadratische Gl. mit Subst.
x2 – x – 3 = 0; ergibt 2 Lösungen, wo nur eine > 0 ist. L = {
u = x von
7 + 13
} = { 5.303 }
2
11.
a) S ( 1.25 / 6.125 ); Nullstellen bei – 0,5 und 3
b) Neuer S’ bei ( 1.25 / - 0.125 ); y = 2x2 – 5x + 3
c) Gleichsetzen, Diskriminante gleich 0; b = 3.5
12.
a) 2 Geraden (EE’ und FF’) schneiden, ergibt L ( - 3,5 / - 5 / 17.5 )
b) Gerade durch G und L; da z – Koordinate 0 sein muss kann der Faktor in der
Geradengleichung bestimmt werden; G’ ( 2.5 / 11.5 / 0 )
1
13.
f ( x)
g( x)
−1
0
x
360
a)
b) f(x) = g(x) + 0.25; Aus der Skizze ist ersichtlich, dass es 2 Lösungen geben muss;
Funktionen einsetzen und g(x) mit Additionstheorem auflösen; gibt mit
Pythagorasbeziehung sin2α + cos2α = 1 eine quadrat. Gleichung : 16sin2(x) –
4sin(x) – 11 = 0; L = { 74.5°; 225.5° }.
14.
Die x, y – Werte von A und B in die Funktionsgleichung einsetzen; auflösen des GLS
mit Divisionsverfahren; ergibt c = -1; in eine Gleichung eingesetzt; k = e2 = 7.389.
15.
a) Der gesuchte Punkt G liegt auf g und und bildet mit der Strecke zu P einen rechten
⎛ − 2 ⎞ ⎛ 4 − (2 − 2t ) ⎞
⎜ ⎟⎜
⎟
Winkel: ⎜ 3 ⎟ ⋅ ⎜16 − ( −1+ 3t ) ⎟ = 0 ; t = 3; Punkt G ( -4 / 8 / 13 ).
⎜ 4 ⎟ ⎜ 11− (1+ 4t ) ⎟
⎝ ⎠⎝
⎠
b) Länge der Strecke PG beträgt 132 = 11.49.
c) Vektor von P nach G wird bei G angehängt; Punkt P’ ( -12 / 0 / 15 ).
16.
AB: y = −
5
5 2
x + 7, Flächeninhalt A(x) = xy = −
x + 7x; xmax = 5.6 (x-Wert des
8
8
Scheitelpunktes); Punkt P ( 5.6 / 3.5 )
17.
Wachstumsformel: 126'467 = E1979 * 0.99320; Ende 1979 hat es 145'543 Einwohner;
neue Baisis: 145'543 = 126'467 * 1.01n; n = 14.1 J; Jahr 2014.
18.
Mit trig. Pythagoras cos2α = 1 – sin2α ergibt sich eine quadrat. Gl.: 10sin2x - 4sinx - 5 =
0; sinα = 0.935 oder –0535; L = { 69.20°, 327.67° } [110.8° und 212.3° fallen weg. ]
19.
Die Winkelhalbierende χ teilt die gegenüberliegende Seite in die Abschnitte x und 12 –
x; mit dem Sinus der beiden Winkel kann ein GLS gebildet werden; sin40° =
sin80° =
20.
r
und
x
r
; GLS auflösen; Radius r = 4.67 cm.
12 − x
Koordinaten der Ecken: A ( 0 / - 9 / 4 ), B ( 7 / 0 / - 4 ), C ( - 7 / 9 / 0 ); die Seitenlängen
betragen a = 97 , b = 65 , c = 130 ; mit Cosinussatz oder Skalarprodukt können
die Winkel berechnet werden: α = 57.79°, β = 43.84°, χ = 78.375°.