Übungsaufgaben RT1
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Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 1. Aufgabe Lernziel: Linearisierung um einen Arbeitspunkt. a) Gegeben sind die Drehzahlkennlinien einer Dampfturbine für verschiedene Belastungen (s. Abb. 1-1). b) Geben Sie für den Arbeitspunkt X0 = 3000 min–1 und Z0 = 200 kW den Zusammenhang zwischen x, y und z an, wenn nur kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt auftreten. c) Interpretieren Sie die gefundene Gleichung durch einen Wirkungsplan mit Übertragungsbeiwerten (Blockschaltbild). d) Wie muss die Stellgröße Y0 gewählt werden, damit sich bei kleinen Laständerungen z die Drehzahl X0 = 3000 min–1 (x = 0) einstellt? e) Wie groß muss y für eine Laständerung von +10 kW gewählt werden? Z / kW X / min-1 0 6000 100 5000 200 300 4000 400 3000 X: Y: Z: 2000 Drehzahl Ventilstellung Leistung 1000 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 mm Y Abb. 1-1: Drehzahlkennlinien einer Dampfturbine: X = X(Y,Z) Stand 3/2011 Seite 1/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg Abb. 1-2: Schematischer Aufbau einer belasteten Dampfturbine 2. Aufgabe Lernziele: Arbeitspunkt einer Anlage, Linearisierung von nichtlinearen Formeln und Kennlinienfeldern. Auf einem Prüfstand sollen die Drehmomentkennlinien eines Ottomotors ermittelt werden. Der Motor wird dazu mit einem Gleichstromgenerator belastet. Das Lastmoment M kann über den Erregerstrom I eingestellt werden. Mit dieser Versuchsanordnung erhält man den im Kennlinienfeld 1 dargestellten Zusammenhang zwischen Drehzahl N, Stellung Y des Vergasergestänges und dem Erregerstrom I. Das stationäre Verhalten des Generators wird durch die Gleichung M K1 I 2 N K 2 I ; K1 2,5 Nm min Nm ; K 2 5, 2 103 2 A A beschrieben. Abb. 2-1: Motorprüfstand a) Der Motor wird im Arbeitspunkt Y0 = 15 mm, I0 = 1 A betrieben. Bestimmen Sie zunächst ohne Kennlinienfeld 2 die Arbeitspunktwerte N0 und M0. b) Linearisieren Sie die stationären Zusammenhänge in einer Umgebung des Arbeitspunktes (zunächst ohne Kennlinienfeld 2). Ermitteln Sie die Konstanten Kn und Ky der Gleichung m Kn n K y y . c) Überprüfen Sie die Linearisierung aus b) mit Hilfe des Kennlinienfeldes 2 aus Abb. 2-3. Stand 3/2011 Seite 2/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg Abb. 2-2: Kennlinienfeld 1: N = N (Y, I) Abb. 2-3: Kennlinienfeld 2: M = M(N,Y) Stand 3/2011 Seite 3/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 3. Aufgabe Lernziele: Linearisierung um einen Arbeitspunkt. Der stationäre Zusammenhang zwischen den Veränderlichen U, IA und IE des in Abb. 3-1 gezeichneten Gleichstromgenerators ist durch das Kennlinienfeld in Abb. 3-2 gegeben. Das Verhalten des Reglers ist durch die Kennlinie IE = f (UR) in Abb. 3-3 bestimmt. a) Um welchen Betrag sinkt bei aufgetrenntem Regelkreis (IE = 0,6A = konst.) die Spannung U, wenn der Ankerstrom von IA = 20 A auf IA = 40 A steigt? b) Definieren Sie Regel-, Stell- und Störgröße (x, y, z) im geschlossenen Regelkreis und zeichnen Sie den Wirkungsplan. c) Wie stark sinkt die Spannung U bei derselben Belastungsänderung wie unter Punkt a), wenn der Regelkreis geschlossen ist? d) Konstruieren Sie die Kennlinie U = f(IA) für den offenen Regelkreis bei einem konstanten Erregerstrom von IE = 0,6A. e) Konstruieren Sie die Kennlinie U = f(IA) für den geschlossenen Regelkreis. IA n = konst. G U IE UW = 110V UR = UW - U Abb. 3-1: Gleichstromgenerator Stand 3/2011 Seite 4/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg U 0 10 A IA 20 30 40 100 V 50 0 0 0,5 IE 1,0 A Abb. 3-2: : Kennlinienfeld: U = U(IE , IA ) IE 0,5 A -10 5 -5 10 V UR -0,5 Abb. 3-3: Kennlinie IE = IE(UR) Stand 3/2011 Seite 5/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 4. Aufgabe Lernziele: Stationäre Betrachtung, Regelfaktor. Gegeben ist ein linearer Regelkreis mit einem Proportionalregler. Abb. 4-1: Regelkreis Gesucht ist der Regelfaktor R. 5. Aufgabe Lernziele: Aufstellen eines Wirkungsplans aus einem Anlagenbild, Arbeitspunkt und linearisieren, Anwenden des Regelfaktors. In einem Durchlauferhitzer wird eine Flüssigkeit auf die Temperatur a = X erwärmt. Das Kennlinienfeld (s. Abb. 5-2) beschreibt den statischen Zusammenhang zwischen der Ausgangstemperatur X, der Spannung Y am Heizwiderstand und dem entnommenen Massenstrom Z. Um die Temperatur konstant zu halten, wird eine Regeleinrichtung verwendet, die aus einem proportional wirkenden Regler, einem Messumformer und einem Thermoelement besteht (s. Abb. 5-1). Abb. 5-1: Regelkreis mit P-Regler Stand 3/2011 Seite 6/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg Abb. 5-2: Kennlinienfeld X = X(Y,Z) Geben Sie die Temperatur X0 im Arbeitspunkt Y0 = 300V ; Z0 = 30 kg s an. Die auf den Regelkreis wirkende Störgröße sei Z = Z - Z0 = 30 kg . s a) Ermitteln Sie den Proportionalbeiwert KR des Reglers so, dass der Regelfaktor den Wert R = 0,1 annimmt. b) Linearisieren Sie die nichtlineare Funktion X = X(Y,Z) in einer Umgebung des Arbeitspunktes (Y0, Z0). c) Berechnen Sie mit der linearisierten Gleichung aus b) und mit KR = 1680 den Regelkg faktor und die bleibende Regelabweichung für Z0 = 30 . s Stand 3/2011 Seite 7/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 6. Aufgabe Lernziele: Erkennen von Grundstrukturen im Wirkungsplan, Verschieben von Blöcken. Gegeben ist ein Übertragungssystem. Abb. 6-1: Wirkungsplan eines Übertragungssystems Gesucht ist die Gesamtübertragungsfunktion G ( s)= Y ( s) . U ( s) 7. Aufgabe Lernziele: Erkennen von Grundstrukturen im Wirkungsplan. Gegeben ist ein System nach Abb. 7-1. Berechnen Sie die Gesamtübertragungsfunktion G (s) X A (s) X E (s) XA XE G1 _ G3 G2 _ _ G4 Abb. 7-1: Wirkungsplan eines Übertragungssystems Stand 3/2011 Seite 8/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 8. Aufgabe Lernziel: Umformung, Vereinfachung von Wirkschaltplänen. Bringen Sie den linken Wirkschaltplan der Abb. 8-1 auf die rechts stehende Form und berechnen Sie als Kontrolle die Übertragungsfunktionen GA(s) und GB(s). z x _ G1 _ G2 G3 G5 z x _ GA GB G4 Abb. 8-1: Zu vereinfachende Wirkungspläne 9. Aufgabe Lernziele: Erstellen eines Wirkungsplans. Gegeben sei ein Spannungsteiler nach Abb. 9-1. R1 u0 R2 u2 Abb. 9-1: Spannungsteiler a) Geben Sie die Spannung u2 als Funktion von u0, R1 und R2 an. b) Zeichnen Sie den Wirkungsplan für den Spannungsteiler. Stand 3/2011 Seite 9/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 10. Aufgabe Lernziel: Zu elektrischen Netzwerken werden Wirkungspläne, Übergangsfunktionen und Frequenzgänge gesucht. Gegeben sind kleine elektrische Netzwerke mit R = 1 k , L = 100 mH , C = 1 F . a) Entwerfen Sie Wirkungspläne für die Netzwerke in Abb. 10-1a bis Abb. 10-1f. b) Bestimmen Sie jeweils Übergangsfunktion und Frequenzgang für die Netzwerke. c) Zeichnen Sie die Ortskurven für die Netzwerke. d) Überprüfen Sie an Hand der Beispiele die Gültigkeit der Grenzwertsätze. b) R a) UE C UA UE C c) L R UA UE e) UA L UA R d) UE R R f) R UE R C UA UE C R UA Abb. 10-1: Elektrische Netzwerke Stand 3/2011 Seite 10/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 11. Aufgabe Lernziel: Analyse einer Anlage mittels Differenzialgleichung, Wirkungsplan und Übergangsfunktion. Gegeben ist ein Gleichstromgenerator nach Abb. 11-1. Der Zusammenhang zwischen ua und i lässt sich für kleine Abweichungen vom stationären Zustand durch die Gleichung ua = K · i mit K = 200 V/A beschreiben. a) Geben Sie die Differenzialgleichung an, die den Zusammenhang zwischen der Eingangsgröße ue und der Ausgangsgröße ua des Gleichstromgenerators beschreibt. b) Berechnen Sie die Kennwerte des Übertragungsgliedes. c) Skizzieren Sie die Übergangsfunktion. d) Zeichnen Sie einen Wirkungsplan für den Gleichstromgenerator. L, R G ua L = 10 H R = 100 n = konst. i ue Abb. 11-1: Gleichstromgenerator Stand 3/2011 Seite 11/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 12. Aufgabe Lernziele: Newton´scher Satz für das Momentengleichgewicht eines mechanischen Systems. Ein Gleichstrommotor mit konstanter Erregung treibt eine Arbeitsmaschine an, deren Drehmoment proportional der Winkelgeschwindigkeit ist (M = Br). Das gesamte Trägheitsmoment der Maschine und des Motors ist J. Die im Anker induzierte Spannung sei proportional der Drehzahl: ui k2 k0 Φ0 . Für das Antriebsmoment gelte MA = k2 ∙ iA . Der gesamte Widerstand im Ankerkreis ist RA. RA Br uA ui J iA Abb. 12-1: Prinzipbild eines Maschinensatzes a) Stellen Sie die Gleichung für den Ankerkreis auf. b) Stellen Sie die Momentengleichung für den Maschinensatz uf. c) Geben Sie die Differenzialgleichung für die Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Ankerspannung uA an und bestimmen Sie die Kennwerte des Übertragungsglieds. d) Wie lautet die Differenzialgleichung für den Weg x, wenn der Motor nach Abb. 12-2 einen Seilantrieb (beispielsweise eines Kompensationsschreibers) über ein Rad mit dem Radius R antreibt? x R R Abb. 12-2: Seilantrieb Stand 3/2011 Seite 12/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 13. Aufgabe Lernziele: Erkennen, dass Rechnen im Zeitbereich aufwendig oder unlösbar ist, Transformation in den Bildbereich. Gegeben ist ein Übertragungssystem als Reihenschaltung zweier Systeme. Abb. 13-1: Übertragungssystem Die Einzelsysteme haben die Differenzialgleichungen: System 1: T1 x (t ) x(t ) K1 u(t ) System 2: T2 T3 T4 y(t ) T2 T3 y(t ) T4 y (t ) y(t ) K 2 x(t ) Gesucht ist die Differenzialgleichung y = f(u,t) des Gesamtsystems. 14. Aufgabe Lernziele: Aufstellen einer Differenzialgleichung aus einem Anlagenbild. Gegeben ist eine Reihenschaltung von gasgefüllten Behältern. Abb. 14-1: Behälteranlage Es wird das lineare Verhalten betrachtet, so dass ähnlich dem Ohm´schen Gesetz w ein Maß für den Durchflusswiderstand ist: q w Δp . Es bedeuten: q p w Massedurchfluss mit q m Druckdifferenz an einer Blende Durchflusswiderstand Weiterhin gilt die allgemeine Gasgleichung p V m R T mit: p V m R T Druck Volumen Masse Gaskonstante Temperatur Stand 3/2011 Seite 13/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg Es wird, wie bei pneumatischen Regelgeräten üblich, isothermes Verhalten angenommen, also T = T0 . Gesucht ist die Differenzialgleichung des Gesamtsystems P2 = f(pe,t) . (Die pneumatische Ansteuerung hat große Bedeutung in der Industrie wegen der großen Stellkräfte und dem einfachen Explosionsschutz.) 15. Aufgabe Lernziele: Aufstellen einer Differenzialgleichung, Überlagerungsprinzip bei linearen Systemen, Laplace-Transformation mit Korrespondenzen. Auf einen Regelkreis mit integrierender Strecke und P-Regler wirken die Störgrößen z1 und z2. Abb. 15-1: Regelkreis a) Stellen Sie die Differenzialgleichung x = f (z1, z2, t) des Regelkreises auf. b) Zeichnen Sie den Verlauf der Regelgröße in die Diagramme Abb. 15-2 für einen Sprung von z1, wobei z2 = 0 ist und einen Sprung von z2, wobei z1 = 0 ist. Tragen Sie die Anfangs- und Endwerte sowie die Zeitkonstanten ein. Abb. 15-2: Sprungantworten Stand 3/2011 Seite 14/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 16. Aufgabe Lernziele: Aufstellen von Sprungantwort, Rampenantwort, Rechteckimpulsantwort und Stoßantwort aus einer Differenzialgleichung. Gegeben ist die Differenzialgleichung einer PT1 Strecke: T x x y mit T = 1s. Bestimmen Sie die Sprungantwort x(t) für y 1 V für t 0 y (t ) 0 für t 0 . 0 V Bestimmen Sie die Rampenantwort x(t) für y t y (t ) 0 0 V für t 0 mit y0 1 V/s für t 0 . Bestimmen Sie die Rechteckimpulsantwort x(t) für y 1 V für 0 t T y (t ) 0 für t 0 und t T . 0 V Bestimmen Sie die Stoßantwort x(t) für y(t ) (t ) K 0 0 mit K0 = 1 V und 0 = 1 s . 17. Aufgabe Lernziele: Aufstellen von Sprungantwort und Rampenantwort aus einer Differenzialgleichung. Gegeben ist die Differenzialgleichung eines PD-Reglers mit Verzögerung 1.Ordnung T1 y y K P (e TV e) mit KP = 2, TV = 5 s und T1 = 1 s . a) Bestimmen Sie die Sprungantwort y(t) für e 1V für t 0 . e(t ) 0 für t 0 0 V b) Bestimmen Sie die Rampenantwort y(t) für e t e(t ) 0 0 V für t 0 mit e0 1V/s für t 0 . Stand 3/2011 Seite 15/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 18. Aufgabe Lernziele: Analyse eines Übertragungssystems mittels Differenzialgleichung und Frequenzgang. Gegeben ist eine Regleranordnung nach Abb. 18-1. a) Bestimmen Sie die Differenzialgleichung des Reglers. b) Wie lautet der Frequenzgang des Reglers? c) Welcher Reglertyp liegt vor? d) Für welche Bedingung liegt ein verzögerungsfreier P-Regler vor? KI e e1 y _ KP xr Abb. 18-1:Regelkreis 19. Aufgabe Lernziel: Darstellung einer Reihenschaltung von Systemen im Bode-Diagramm. Gegeben ist eine Reihenschaltung von zwei Verzögerungsgliedern 1. Ordnung. Skizzieren Sie den Amplitudengang und den Phasengang des Gesamtsystems im Bode-Diagramm. u v G1(jω) G2(jω) Abb. 19-1: Reihenschaltung G1 ( j ) = 3 mit T1 = 0,01 s 1 + jT1 G2 ( j ) = 2 mit T2 = 0,05 s 1 + jT2 Stand 3/2011 Seite 16/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 20. Aufgabe Lernziel: Darstellung von Systemen im Bode-Diagramm. Skizzieren Sie den Amplitudengang und den Phasengang der Anordnung im Bode-Diagramm. u v G1(jω) G2(jω) G3(jω) G4(jω) Abb. 20-1: Übertragungssystem G1 (j ) K G2 ( j ) = 1 1 + jT1 G3 (j ) = 1+jT2 G4 ( j ) = KI j mit K 5 mit T1 = 1 s mit T2 = 0,1s mit KI = 0,025s–1 21. Aufgabe Lernziel: Darstellung des Frequenzgangs im Bode-Diagramm. Gegeben ist ein PI-Regler mit einem Proportionalbeiwert KP = 2 und einer Nachstellzeit Tn = 0,1s. Geben Sie den Frequenzgang nach Betrag und Phase im Bode-Diagramm an. 22. Aufgabe Lernziele: Darstellung eines Frequenzgangs im Bode-Diagramm. Gegeben ist der Frequenzgang G( j ) K 1 jT1 mit K = 2 , T1 = 2s , T2 = 0,5s . 1 jT2 Gesucht ist die Darstellung des Frequenzgangs im Bode-Diagramm. Stand 3/2011 Seite 17/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 23. Aufgabe Lernziele: Berechnung von Frequenz- und Phasengängen im Bode-Diagramm. Gegeben ist die Reihenschaltung zweier Übertragungssysteme mit: G1 ( j ) K1 ; 1 jT1 G2 ( j ) K2 e jTt mit K1 =10 ; K2 = 2 ; T1 = 10s ; Tt = 2s . Abb. 23-1: Reihenschaltung Gesucht ist das Bode-Diagramm des Frequenzgangs G( j ) des Gesamtsystems. 24. Aufgabe Lernziele: Transformation in den Frequenzbereich und Darstellung im Bode-Diagramm. Gegeben ist die folgende Differenzialgleichung: T1 v v K1 u T1 u mit K1 = 2 und T1 = 0,5s . Gesucht ist der zugehörige Frequenzgang G(j) und seine Darstellung im Bode-Diagramm. Stand 3/2011 Seite 18/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 25. Aufgabe Lernziele: Auslegung eines Systems mit Rückführung. Ein Messgerät mit nachgeschaltetem Verstärker (System 1 in Abb. 25-1) besitzt den folgenden schematischen Wirkungsplan. Abb. 25-1: System 1 K T K10 K0 = = = = 0,1 0,1s 5 Gesamtproportionalbeiwert Durch eine proportionale Rückführung soll das dynamische Verhalten verbessert werden (System 2 in Abb. 25-2). Abb. 25-2: System 2 K = 0,1 T = 0,1s KM = Gesamtproportionalbeiwert Der Gesamtproportionalbeiwert KM zwischen Eingangssignal u2 und Ausgangssignal y2 des Systems 2 soll gleich dem Gesamtproportionalbeiwert K0 des Systems 1 sein. a) Bestimmen Sie K1 für System 2 so, dass für eine Einheitsrückführung (K2 = 1) die Endwerte der Übergangsfunktionen beider Systeme gleich sind. b) Geben Sie für System 1 und System 2 (K2 = 1) die Differenzialgleichungen an und zeichnen Sie die entsprechenden Übergangsfunktionen. c) In welchem Bereich darf K2 variiert werden, wenn K1 und K2 nur positive Werte annehmen können und nach wie vor KM = K0 gelten soll? d) Für welche Werte von K1 und K2 geht in der Differenzialgleichung y2 = f(u2, t) des Systems 2 die Zeitkonstante gegen Null, wenn die Wertebereiche von c) angenommen werden? Stand 3/2011 Seite 19/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 26. Aufgabe Lernziele: Verbesserung des Verhaltens einer Strecke durch einen P-Regler. Gegeben ist die Differenzialgleichung einer Regelstrecke: TT 1 2 x T1 T2 x x Ks z y mit Ks = 2 ; T1 = 4s ; T2 = 1s Abb. 26-1: Regelkreis a) Zunächst sei der Regler ausgeschaltet, y = 0 . Gesucht ist die Übergangsfunktion der Regelstrecke. b) Der Regler sei nun eingeschaltet, y = KR (w - x) . Gesucht ist die Differenzialgleichung des Regelkreises. c) Gesucht ist die Einstellung von KR damit der Regelfaktor R = 0,1 erreicht wird. d) Gesucht ist die Übergangsfunktion des Regelkreises aufgrund eines Sprungs der Störung z (wobei w = 0) mit KR aus Aufgabenteil c). 27. Aufgabe Lernziele: Anwendung des Nyquist-Kriteriums in der Ortskurve und im Bode-Diagramm. Es wird die Drehzahlregelung eines Gleichstrommotors untersucht. Alle Verstärkungsfaktoren sind normiert. Abb. 27-1: Drehzahlregelkreis Die Parameter sind: Drehzahlregler KR ; K1 = 20 ; T1 = 10ms ; K2 = 5 ; T2 = 2ms ; KI = 1s-1 . a) Als Drehzahlregler wird ein P-Regler mit KR = 2 eingesetzt. Überprüfen Sie mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums angewendet auf die Ortskurve in Abb. 27-2 ob der geschlossene Kreis stabil ist. Stand 3/2011 Seite 20/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg Abb. 27-2: Ortskurve des aufgeschnittenen Drehzahlregelkreises b) Bestimmen Sie aus der Ortskurve von G0(j) die Amplitudenreserve AR mit und die Phasenreserve R mit d. c) Wie groß darf KR werden, damit der Regelkreis noch stabil bleibt. d) Überprüfen Sie die Ergebnisse aus a) und b) im Bode-Diagramm. 28. Aufgabe Lernziele: Stabilitätsprüfung nach dem Nyquist-Kriterium im Bodediagramm. Gegeben sind Regelkreise mit proportionalem Regler KR. Prüfen Sie jeweils im BodeDiagramm, ob die Regelkreise stabil sind und geben Sie die Amplitudenreserve AR mit sowie die Phasenreserve R mit d an. Prüfen Sie, ob jeweils das vereinfachte NyquistKriterium anwendbar ist. Abb. 28-1: Regelkreis a) GS 1 ( jT ) (1 jT ) b) GS 1 jT2 mit T1 = 1s ; T2 = 10s ; KR = 1 ( jT1 )2 (1 jT1 ) c) Für die folgende Regelstrecke soll der Proportionalregler KR so bestimmt werden, dass der Regelkreis stabil ist mit einem Phasenrand von 10° < R < 60° . GS 2 mit T = 1s ; KR = 1 1 mit T1 = 4ms ; T2 = 25ms ; T3 = 200ms . (1 jT1 ) (1 jT2 ) (1 jT3 ) Stand 3/2011 Seite 21/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 29. Aufgabe Lernziele: Stabilitätsuntersuchung und Auslegung eines PI-Reglers mit Kompensation. Betrachtet wird ein Regelkreis mit PI-Regler. K1 = 5 T1 = 2s KI = 10s-1 K2 = 20 T2 = 0,2s Abb. 29-1: Regelkreis mit PI-Regler a) Ist der Kreis mit Tn und KR = 1 stabil? b) Mit Tn soll ein Pol der Strecke kompensiert werden. Welcher Pol sollte kompensiert werden und wie groß ist dann Tn ? c) Für welche KR ist bei diesem Tn aus b) der Kreis stabil? d) Durch eine Änderung in der Strecke ändert sich T1 auf 1s. Bleibt der Kreis stabil für KR und Tn aus Aufgabenteil c) ? 30. Aufgabe Lernziele: Stabilitätsprüfung nach dem Nyquist-Kriterium und Auslegung eines I-Reglers. Der Druck in einer Gasleitung soll geregelt werden. Die Regelstrecke hat Totzeitverhalten: GS jω 0,5 e jωTt mit Tt = 1s Es soll ein P-Regler eingesetzt werden: GR jω KP mit KP = 1,5 a) Prüfen Sie graphisch mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums, ob der Regelkreis stabil ist. b) Bei welchem Wert von KP arbeitet der Regelkreis an der Stabilitätsgrenze? c) Entwerfen Sie nun einen I-Regler für eine Regelkreisdämpfung 0 1 2 , wenn Sie die Totzeitstrecke durch ein PT1 System nähern und bestimmen Sie Amplituden- und Phasenreserve. Stand 3/2011 Seite 22/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 31. Aufgabe Lernziele: Stabilitätsuntersuchung einer Differentialgleichung Prüfen Sie, ob die nachstehende Differenzialgleichung ein stabiles System beschreibt: x 8x 14 x 24 x 0 32. Aufgabe Lernziele: Stabilitätsprüfung nach dem Nyquist-Kriterium und Auslegung einen I-Reger nach dem „Kriterium der gestuften Dämpfung“. Ein Regelkreis besteht aus einer Strecke 2. Ordnung und einem I-Regler. Differenzialgleichung der Strecke 1 2 x 1 2 x x y mit 1 = 2 = 2s . Differenzialgleichung des Reglers y K I edt mit KI = 0,5 s-1. a) Bestimmen Sie die Frequenzgänge von Strecke und Regler! b) Prüfen Sie rechnerisch mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums, ob der Regelkreis stabil ist. c) Entwerfen Sie einen I-Regler nach dem „Kriterium der gestuften Dämpfung“ ( 1/ 2 ). Stand 3/2011 Seite 23/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 33. Aufgabe Lernziele: Übertragungsfunktion eines beschalteten elektronischen Verstärkers. Geben Sie zu beiden Schaltungen die Übertragungsfunktionen G ( s) U a ( s) an. U e ( s) a) Abb. 33-1: Gegengekoppelter Operationsverstärker b) Abb. 33-2: Gegengekoppelter Operationsverstärker Stand 3/2011 Seite 24/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 34. Aufgabe (Klausur F2010) Lernziele: Beschalteter Operationsverstärker; Ermittlung der Parameter des Frequenzgangs aus vorgegebenem Bode-Diagramm. R2 C1 C2 R1 i0 u0 u1 + u2 Abb. 34-1: Gegengekoppelter Operationsverstärker als analoger Regler Gegeben ist die Schaltung in Abb. 34-1 für einen analogen Regler. Der Operationsverstärker kann als ideal angenommen werden: i0 = 0 , u0 = 0 ; nur der Widerstand R2 ist bekannt: R2 = 20 kΩ . a) Berechnen und vereinfachen Sie (doppelbruchfrei) die Übertragungsfunktion GR(s) . Hinweis: Beachten Sie die Richtung der Spannungspfeile. b) Skizzieren Sie im Bodediagramm den Phasengang aus dem gegebenen Amplitudengang. c) Ermitteln Sie den Frequenzgang GBode(jω) aus dem dargestelltem Amplitudengang. Wie lautet die Übertragungsfunktion GBode(s) ? d) Zeigen Sie, dass GR(s) = GBode(s) werden kann, wenn die Bauteile C1 , C2 und R1 entsprechend ausgelegt werden. Berechnen Sie die notwendigen Zahlenwerte. e) Um welchen bekannten Regler mit nachgeschaltem PT1 - Glied handelt es sich? Wie groß sind die charakteristischen Parameter des Reglers? Wie groß ist die Zeitkonstante des PT1 - Gliedes? f) Berechnen Sie Anfangswert lim h(t ) und Endwert lim h(t ) von der Sprungantwort dieser t 0 t Schaltung. Hinweis: Der Amplitudengang ist im Bode-Diagramm Abb. 34-2d dargestellt. Stand 3/2011 Seite 25/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 100 G 10 1 0,1 0,1 1 10 [s-1] 90° 0° -90° -180° -270° -360° Abb. 34-2: Amplitudengang des Reglers Stand 3/2011 Seite 26/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 35. Aufgabe Lernziele: Entwurf und Dimensionierung von beschalteten elektronischen Verstärkern. Konstruieren Sie eine elektronische Schaltung mit Operationsverstärkern, welche den folgenden Frequenzgang (s. Abb. 35-1) aufweist. Dimensionieren Sie die Bauelemente. Abb. 35-1: Bode-Diagramm Stand 3/2011 Seite 27/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 36. Aufgabe Lernziele: Aufstellen eines Wirkungsplans aus einem Anlagenbild, Bestimmung der Parameter der Blöcke aus den Gleichungen der Anlage. Zur Beschreibung der dynamischen Zusammenhänge einer Anlage soll ein Wirkungsplan aufgestellt werden. Betrachtet werden sollen die Abweichungsgrößen an einem Arbeitspunkt. Alle Größen des Anlagenbildes sollen im Wirkungsplan berücksichtigt werden. Abb. 36-1: Behälteranlage Der Füllstand H im Behälter sei die interessierende Größe (Regelgröße). Der Behälter habe die Grundfläche A. Die Spannung für den Pumpenmotor Y sei die Stellgröße, der Druck P2 und die Ventilstellung Z1 seien Störgrößen. Q1 und Q2 sind Volumenströme. Der Druck im Behälter ist PB und die Drehzahl der Pumpe ist N. a) Zunächst sollen die Zusammenhänge als Wirkungsplan nur empirisch (ohne Parameter) ermittelt werden. b) Bestimmen Sie die Parameter der Übertragungsblöcke im Wirkungsplan. Benutzen Sie dabei die Differenzialgleichungen der Anlage. Die Parameter an den Blöcken sollen positiv sein. Hinweise zu den physikalischen Zusammenhängen (Absolutgrößen): Druck im Behälter: PB = g H Volumenströme: d 1 ( A H ) Q1 Q2 ; H (Q1 Q2 ) dt A Pumpe: (AP = Arbeitspunkt) Motor: TM N N KM Y Auslauf: Q2 K v Z1 PB P2 Stand 3/2011 Seite 28/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 37. Aufgabe Lernziele: Anwendung des Newton´schen Axioms, Aufstellung einer Differenzialgleichung für ein einfaches mechanisches System. Gegeben sei ein schwingungsfähiges mechanisches System. x B C Auslenkung der Masse aus der Ruhelage Reibbeiwert Federkonstante Abb. 37-1: Masse-Feder-Dämpfer-System a) Das System wird sich selbst überlassen. Stellen Sie die Differenzialgleichung für die Lage x der Masse m auf. b) Lösen Sie die Differenzialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen x(0) x0 und x (0) 0 . Das System sei schwingungsfähig. Stand 3/2011 Seite 29/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 38. Aufgabe Lernziele: Anwendung des Newton´schen Axioms, Aufstellung einer Differenzialgleichung für ein einfaches mechanisches System. Ein in Abb. 38-1 skizziertes Drehspulinstrument wird zur Messung von elektrischen Strömen verwendet. Abb. 38-1: Gerätebild eines Drehspulinstruments und Beschaltung der Spule α i u J Auslenkung des Zeigers Strom durch die Drehspule angelegte Spannung Trägheitsmoment des Zeigers mit Spule Vom Strom erzeugtes Drehmoment: mi = Ki i Rückstellmoment der Feder: mF = C α Reibmoment: mR = B a) Geben Sie die Differenzialgleichung des Zeigerwinkels α als Reaktion des Stromes i an. b) Wie muss der Reibbeiwert B bemessen sein, damit das Drehspulinstrument möglichst schnell ohne Überschwingen seinen Endwert erreicht? 39. Aufgabe Lernziele: Parameterschätzung. Gegeben ist die Übergangsfunktion einer PT4 Strecke in Abb. 39-1 mit KS = 1 und 1 = 2 = 1 s. a) Schätzen Sie mit Hilfe des Wendetangenten-Verfahrens die Parameter Kˆ S , Tˆ1 ,Tˆ22 und T̂33 der Übertragungsfunktion GS (s) K̂ S . ˆ 1 s T1 s 2 Tˆ22 s 3 Tˆ33 Vergleichen Sie die Schätzwerte mit den exakten Werten und geben Sie die Schätzfehler an. Stand 3/2011 Seite 30/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg Abb. 39-1: Übergangsfunktion einer PT4 Strecke mit KS = 1 und 1...4 = 1 s b) In einer realen Anlage sei die Strecke durch Rauschen und eine niederfrequente Schwingung gestört (s. Abb. 39-2). Schätzen Sie wie in a) aus der gestörten Übergangsfunktion die Parameter Kˆ S , Tˆ1 ,Tˆ22 und T̂33 . Vergleichen Sie die Schätzwerte mit den exakten Werten aus Punkt a) und geben Sie die Schätzfehler an. Abb. 39-2: Übergangsfunktion der Strecke mit Rauschen und niederfrequenter Überlagerung Stand 3/2011 Seite 31/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 40. Aufgabe Lernziele: Parameterschätzung Gegeben ist in Abb.41.40-1 die Übergangsfunktion einer IT2-Strecke mit KIS = 0,1s-1 und 1 = a) 2 = 1 s. Schätzen Sie mit Hilfe des Wendetangenten-Verfahrens die Parameter der Übertragungsfunktion GS (s) b) und K̂ I . s 1 s Tˆ1 s 2 Tˆ22 Vergleichen Sie die Schätzwerte mit den exakten Werten und geben Sie die Schätzfehler an. Stand 3/2011 Seite 32/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg In einer realen Anlage sei die Strecke durch Rauschen und eine niederfrequente Schwingung gestört ( Abb.41.40-2 und Abb. 41.40-4). Schätzen Sie wie in Punkt 1 aus der gestörten Übergangsfunktion die Parameter Kˆ I , Tˆ1 und Tˆ2 . Vergleichen Sie die Schätzwerte mit den exakten Werten aus Punkt 1 und geben Sie die Schätzfehler an. 2 Abb.41.40-1: Übergangsfunktion einer I-T2 Strecke mit KIS = 0,1 s-1, 1 = Stand 3/2011 2 = 1 s Seite 33/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg Abb.41.40-2: Übergangsfunktion der Strecke mit Rauschen und niederfrequenter Überlagerung Abb. 41.40-3: Übergangsfunktion der I-T2 Strecke nach Aufg. 20.1 (Zeitachse gedehnt) Stand 3/2011 Seite 34/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg Abb. 41.40-4: Übergangsfunktion der gestörten Strecke nach Aufg. 20.2 (Zeitachse gedehnt) Stand 3/2011 Seite 35/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 41. Aufgabe (Klausur H2009) Lernziele: Analyse der Übergangsfunktion einer Strecke zur Vorbereitung des empirischen Reglerentwurfs. Gegeben ist die Sprungantwort einer Klimaanlage, siehe Abb. 41-1. Stellgröße y ist die veränderbare Drehzahl des Kompressors. Der Stellbereich Yh beträgt 0 … 3000 min-1. Regelgröße x ist die Temperatur. Der Regelbereich Xh beträgt 0 … 50°C. a) Beschreiben Sie das Verhalten dieser Regelstrecke. b) Bestimmen Sie von der Regelstrecke die Kenngröße, die die Verstärkung beschreibt: - mit Einheiten (als nicht bezogene Größe), - als auf den Stellbereich und Regelbereich bezogene Größe. c) Bestimmen Sie die Verzugszeit Tu und die Ausgleichszeit Tg. x in ° C y in 100 min-1 25 x (t) 20 15 10 y (t) 5 0 10 20 30 40 50 60 t [min] Abb. 41-1: Übergangsfunktion einer Klimaanlage d) Welcher Regler ist besser geeignet für diese Regelstrecke: P oder PI? Begründen Sie Ihre Antwort! Stand 3/2011 Seite 36/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 42. Aufgabe Lernziele: Die Temperatur einer Flüssigkeit soll mit einem Wärmetauscher über ein Stellventil mittels PI-Regler geregelt werden (Abb. 42-1). Der Wärmetauscher zeigt PT1-Verhalten, der Ventilstellantrieb I-Verhalten. Die Totzeit des Stromrichters sei vernachlässigbar. w Die Anlagenparameter sind: PT1-Strecke: KS = 1, S = 6,67 ms I-Strecke: x KIS = 10 s-1 PI-Regler M Flüssigkeit Heißdampf Flüssigkeit Abb. 42-1: Anlagenschema Optimieren Sie den Regelkreis für den normalen und scharfen Fall. Dimensionieren Sie ein Filter zur Sollwertverzögerung für sprungförmige Eingangsgrößen des Regelkreises. Sollte das Sollwertfilter auch bei rampenförmiger Ansteuerung eingerichtet werden? Vergleichen Sie den Schleppfehler für die Fälle ohne und mit Sollwertverzögerung. Stellen Sie die Störübertragungsfunktion des Regelkreises auf, wenn die Störung am Streckeneingang angreift. Wie wirkt sich eine sprungförmige Störung z (t ) z0 (t ) am Streckeneingang auf die Regelgröße im eingeschwungenen Zustand aus? Wie wirkt sich eine rampenförmige Störung z (t ) z0 t (t>0) am Streckeneingang auf die Regelgröße im eingeschwungenen Zustand aus? Stand 3/2011 Seite 37/38 Übung zu Regelungstechnik 1 Prof. Dr. Große, Prof. Dr. Krah. Prof. Dr. Silverberg 43. Aufgabe Lernziele: Reglerentwurf nach dem „Kriterium der gestuften Dämpfung“. Abb. 43-1 zeigt den Wirkungsplan eines Lageregelkreises einer numerisch bahngesteuerten Werkzeugmaschine. Nichtlinearitäten sind vernachlässigt, alle Größen sind normiert. Gegeben sind folgende Werte: el = 0,05s; m = 0,2s; KIS = 1s-1 Drehzahlregekreis u KR _ Lageregler (P-Regler) GR1(s) _ Drehzahlregler (PI-Regler) 1 1 s m 1 1 s el Motor x KI s Spindel Abb. 43-1: Wirkungsplan einer Werkzeugmaschine a) Entwerfen Sie einen PI-Regler für optimales Führungsverhalten des Drehzahlregelkreises nach dem „Kriterium der gestuften Dämpfung“ für den normalen Fall. b) Ermitteln Sie die Führungsübertragungsfunktion des Drehzahlregelkreises. c) Berechnen Sie den Proportionalbeiwert KP des Proportionalreglers für einen Dämpfungsgrad 02 1 2 des Lageregelkreises, wobei Sie den Drehzahlregelkreis mit einem PT1-System annähern. Geben Sie die Führungsübertragungsfunktion für die Lageregelung an. d) Berechnen Sie den Anstiegsfehler (Schleppfehler) des Lageregelkreises, wenn die Führungsgröße sich rampenförmig mit u (t ) u0 t ändert. Stand 3/2011 Seite 38/38
