Zwei Aufgaben zu Binomialkoeffizienten

Zwei Aufgaben zu Binomialkoeffizienten
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October 28, 2013
Hier finden Sie zwei Aufgaben zu Binomialkoeffizienten. Diese sind mit den
Kenntnissen der ersten zwei Vorlesungswochen lösbar. Für die Bearbeitung
dieser Aufgaben gibt es keine Punkte, sie sind lediglich zum Üben gestellt.
Definition: Sei n eine natürliche Zahl. Die n-te Catalan Zahl ist definiert
als:
1
2n
Cn =
n+1 n
Aufgabe 1. Beweisen Sie folgende Identität:
2n
2n
Cn =
−
n
n+1
(1)
Da Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind, folgt aus Aussage (1), dass
Catalan-Zahlen ebenfalls natürliche Zahlen sind.
Wenn man das Pascal’sche Dreieck betrachtet, fällt auf, dass der Binomi-
alkoeffizient 2n
das Maximum aller Binomialkoeffizienten der Form 2n
n
k
mit k ∈ {0, . . . 2n} ist.
Die Aussage der zweiten Aufgabe ist eine Abschätzung dieses “größten” Binomialkoeffizienten nach unten:
Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass für alle n ≥ 2 gilt:
2n
4n
(2)
>
n+1
n
Mit Aussage 2 sieht man also, dass 2n
und somit auch die Catalan-Zahlen
n
“relativ groß” werden.
1