1. Einleitung - MPG

Zeitung für Mathematik am MPG Trier / Heft 29 / Februar
2012
Inhaltsverzeichnis
Das Ducci-Problem
Seite
Simon Schädler,
Matthias Kremer und
Fabian Schmand
3
Paul Mattes, Thaqi
Shend und Moritz
Weber
14
Multiplikation mit Strichen
Tim de Boer und
Pascal Trapp
22
Teiler in verallgemeinerten
Fibonacci-Folgen
Tim Dittmer und
Adrian Zenner
25
Benjamin Sassenberg
und Till Weber
28
Drachentöten leichtgemacht
für Jedermann
Neue römische Zahlen
Liebe MadMax – Freunde,
für diese Ausgabe haben wir wieder einige interessante
mathematische Probleme untersucht und ganz so
blutrünstig wie die Überschrift des zweiten Artikels
vermuten lässt, wird es dann doch nicht.
Viel Spaß beim Lesen wünscht Euch Euer
MadMax –Team !
2
Das Ducci-Problem
1. Einleitung
Beim Ducci-Problem handelt es sich um jeweils 4
natürliche Zahlen, die in eine Reihe geschrieben
werden. Dann berechnet man die Differenz der 1.u.2;
2.u.3; 3.u.4. und der 4.u.1. Zahl und schreibt sie
darunter.
Beispiel:
22
50
72
28
100
16
84
62
Dasselbe macht man dann mit der zweiten Zeile und so
weiter:
22
50
22
10
24
24
0
72
28
12
34
0
24
0
100
16
46
34
24
24
0
84
62
12
10
0
24
0
In diesem Beispiel erhält man nach sechs Schritten vier
Nullen. Aber es ist egal, mit welchen Zahlen man startet,
man erhält irgendwann immer lauter Nullen.
Den Beweis dafür, dass man bei vier natürlichen Zahlen
immer Null erhält, findet man unter:
http://www.olympiade-mathematik.de/ducci.php.
3
2. Der Beweis
Da der Beweis erst schwer zu verstehen war, haben wir
ihn in mehrere Teile zerlegt und so versucht uns den
Beweis klar zu machen.
Erster Schritt: Wir zeigen, dass man nach maximal vier
Schritten vier gerade Zahlen erhält. Hierzu schreiben
erst einmal alle 16 Kombinationen der ersten Reihe auf
(gerade = g ungerade = u) :
gggg
gggu
ggug
gugg
uggg
gguu
guug
uugg
uggu
guuu
uguu
uugu
uuug
uuuu
4
gugu
ugug
Nun haben wir herausgefunden, dass man immer nach
maximal vier Schritten auf vier gerade Zahlen kommt.
Hierfür haben wir erst einmal die Varianten mit ihrer
Weiterentwicklung aufgeschrieben:
gggg
gggu
ggug
gugg
uggg
gguu
guug
uugg
uggu
gugu
ugug
gugu
ugug
uuuu
uuuu
gggg
guuu
uggu
uguu
uugg
uugu
guug
uuug
gguu
uuuu
Hierbei wird einem auffallen, dass nicht alle Varianten
bis zum Ende (g g g g) aufgeführt sind. Das liegt daran,
dass die letzte Reihe schon vorher aufgetaucht und zu
Ende geführt wurde.
In diesem Beispiel erhält man nach vier Schritten vier
gerade Zahlen. Nun kann man die zwei ausklammern:
33
12
2
1
20
45
10
1
21
18
55
9
22
3
14
64
31
19
17
16
2x10
2x9
2x7
2x8
Man hat nun im Prinzip: 2xa’, 2xb’, 2xc’ und 2xd’.
5
Hierbei sind die Zahlen a´, b´, c´ und d´ maximal halb so
groß wie die größte Startzahl. Im nächsten Schritt hat
man dann: 2xa’- 2xb’ 2xb’-2xc’ 2xc’-2xd’ 2xd’-2xa’.
Weil 2xa´-2xb´= 2x(a´-b´) ist, sind nach wieder maximal
vier Schritten erneut alle Zahlen in den Klammern
gerade oder man erhält vier Nullen:
2
2
0
4
2
0
2
2
0
4
2
0
Nun kann man erneut die 2 faktorisieren (ausklammern):
4xa’’, 4xb’’, 4xc’’, 4xd’’
Nun ist die größte Zahl nach der 4 maximal ein viertel
der größten Startzahl. Das zeigt, dass die Zahlen mit der
Zeit immer kleiner werden und schließlich Eins werden
müssen, wenn man nicht sowieso schon Nullen hat.
Dann stehen da vier gleiche Zweierpotenzen, zum
Beispiel 8, 8, 8 und 8 und in der nächsten Zeile sind alle
Differenzen Null.
3. Mögliche
Problems
Verallgemeinerungen
des
Ducci-
Schließlich haben wir uns, da dieses Problem bereits
bearbeitet ist, einige Erweiterungen überlegt, mit deren
Hilfe wir das Problem erweitern können:
1. Statt vier Zahlen nehmen wir drei, fünf oder andere
Anzahlen
von
Zahlen,
die
am
Anfang
aufgeschrieben werden.
6
2. Wir multiplizieren die jeweilige Differenz mit einer
bestimmten Zahl wie zum Beispiel drei und addieren
zum Beispiel noch andere dazu.
3. Statt die Differenz der Zahlen zu berechnen, teilen
wir die größere durch die kleinere Zahl und nehmen
das Ergebnis in der nächsten Zeile auf.
4. Das Ducci Problem mit 1,2,3,4,5,6... Startzahlen
Normal nimmt man vier Zahlen am Start. Nun nehmen
wir aber andere Anzahlen von Zahlen und sehen, ob
dabei auch immer Nullen entstehen.
Zwei Fälle sind schnell erledigt:
Wenn alle Zahlen gleich sind, dann geht es im zweiten
Schritt auf, d. h. dann hat man im zweiten Schritt schon
lauter Nullen.
Bei zwei Zahlen geht es immer, da nach dem ersten
Schritt immer zwei gleiche Zahlen entstehen, weil der
Abstand zwischen A und B = der Abstand zwischen B
und A ist.
4.1 Drei Startzahlen
Bei 3 Zahlen untersuchen wir, mit der bereits oben
beschriebenen
Methode,
die
verschiedenen
Möglichkeiten mit geraden und ungeraden Zahlen.
7
ggg
ggg
ggg
g g g ....
ggu
guu
ugu
uug
guu
u g u .... (s.o.)
uuu
g g g ....
g u u ....
Bei drei Zahlen kommt man immer auf eine dreizählige
Periode, bei der man nie drei gleiche Zahlen haben
kann. Es sind immer gerade und ungerade dabei. Nur
ggg muss man genauer untersuchen:
Beispiel 1:
2
10
8
8
2
6
4
2
6
2
2
4
0
2
2
2
0
2
2
0
2
0
2
2
Beispiel 2:
8
56
70
48
14
62
34
48
14
14
34
20
20
14
6
6
8
14
2
6
8
4
2
6
2
4
2
2
2
0
2
2
0
2
0
2
8
4. 2 Fünf Startzahlen
Bei 5 Zahlen haben wir ebenfalls mit der bereits oben
beschriebenen
Methode
die
verschiedenen
Möglichkeiten mit geraden und ungeraden Zahlen
untersucht. Wir zeigen hier die Entwicklung nur für das
Beispiel ggugg:
ggugg
gugug
ugggu
uuguu
guugg
uuuug
uggug
guugg
ugugg
ggguu
uguuu
uuugu
ggugu
uuggg
gguug
guuuu
guggu
Wir hier kommt man bei fünf Zahlen immer auf eine
fünfzehnzählige Periode.
Hier ein konkretes Beispiel:
20
18
12
5
10
4
4
1
1
3
1
0
1
0
1
2
6
17
15
6
0
5
0
4
4
1
1
1
1
0
8
23
2
9
6
5
5
4
0
3
0
2
2
1
1
31
21
11
3
1
0
9
4
3
3
2
0
1
0
0
10
10
8
4
1
9
5
1
0
1
2
1
1
0
0
9
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
4.3
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
Multiplikation der Differenz
Als nächstes nehmen wir drei Zahlen und multiplizieren
die Differenz noch zusätzlich mit einer beliebigen Zahl.
Ein Beispiel: (es wird mit 7 multipliziert)
10
35
147
686
2401
16807
0
823543
5764801
0
10
5
14
49
343
0
16807
117649
0
5764801
40353607
7
21
98
343
2401
0
117649
823543
0
40353607
282475249
1977326743
0
1977326743
282475249
0
Man sieht, dass die Null sich nach einer Zeit hin und her
verschiebt. Die anderen Zahlen sind beide gleichgroß
und steigern sich von Zeile zu Zeile.
5. Die Ducci-Division
Dieses Problem haben wir uns selbst ausgedacht. Bei
dem Ducci-Problem mit Division rechnet man wie beim
normalen Ducci-Problem nur dass man statt der
Differenz nach dem Quotienten sucht. Man rechnet
immer die größere durch die kleinere Zahl (siehe
Beispiel). Dabei ist es egal, ob es eine Dezimalzahl
oder
eine
negative
Zahl
ist
.
Wenn z.B. A < B > C > D >A ist, dann würde man so
rechnen:
Startzeile: A
2. Zeile:
B
C
B:A B:C
D
C:D
D:A
Beobachtung:
Wenn man nach diesem Verfahren arbeitet, kommt
man IMMER(!) auf 4 Einsen in der Tabelle, egal welche
Zahlen man einsetzt .
Beispiel:
8
4
2
16
11
2
1
4
4
1
2
4
1
4
1
8
4
4
4
1
2
1
1
4
1
Hier ist man nach 5 Schritten bei vier Einsen und alle
Zahlen in der Tabelle sind natürliche Zahlen und sogar
Zweierpotenzen.
Die
folgenden
„krummen“,
Dezimalzahlen und negative Zahlen zeigen, dass man
jede Zahl einsetzen kann.
57
34
656
42
1,35714286 1,676470588 19,29411765 15,61904762
1,23529412 11,50877193 1,235294118 11,50877193
9,3166249 9,316624896 9,316624896 9,316624896
1
1
1
1
13,65
45,345
-46,57
4378
3,321978022 -0,973695512 -94,00901868 320,7326007
-3,411721612 0,010357469 -3,411721612 96,54868232
-0,003035848 -0,003035848 -28,29910916 -28,29910916
1 0,000107277
1 0,000107277
9321,648059 9321,648059 9321,648059 9321,648059
1
1
1
1
-17
-37
-19
-43
0,459459459 0,513513514 0,441860465 0,395348837
1,117647059 1,162162162 1,117647059 1,162162162
1,039829303 1,039829303 1,039829303 1,039829303
1
1
1
1
Erklärung:
12
Wenn man mit positiven Zahlen, die größer als eins
sind, beginnt, müssen die Quotienten größer als eins
sein, weil man immer durch die kleinere Zahl teilt. Es
kommt also nicht vor, dass Quotienten kleiner als eins
sind. Also dividiert man immer durch Zahlen, die größer
als eins sind und deshalb werden die Zahlen immer
kleiner.
Aber wir können noch nicht sicher sagen, warum die
Zahlen immer eins ergeben, da die Zahlen sich ja auch
der zwei annähern könnten:
2,5; 2,05; 2,005; 2,0025; ...
Wir können also noch nicht beweisen, warum die
Zahlen letztendlich immer eins werden. Das müsste
noch weiter untersucht werden.
Lachen ist gesund
Ein Mathematiker behauptet:
„ Eine Katze hat neun Schwänze.“
Beweis:
Keine Katze hat acht Schwänze. Eine Katze hat einen
Schwanz mehr als keine Katze. Deshalb hat eine Katze
neun Schwänze.
13
Drachentöten leichtgemacht für Jedermann
1. Einführung und Regeln
Ein Ritter wird von seinem König ausgeschickt, um eine
hübsche Maid zu befreien. Er zieht durch fremde Länder
und kommt schließlich an der großen schwarzen Burg
an. Als er in den Turm stürzen will, steht ihm auf einmal
ein Drache im Weg. Dieser hat sieben Köpfe.
Insgesamt hat das Ungetüm drei verschiedene Arten
von Köpfen. Es gibt kreisförmige, viereckige und
dreieckige Köpfe. Von seinem Freund dem Drachentöter
weiß er, dass solche Drachen nicht leicht zu töten sind,
weil die Köpfe wieder nachwachsen können. Die Regeln
hat er aus einem alten Buch auf dem ganz zufällig
„Mathematik ohne Grenzen“ steht.
1. Ein Drache der am Ende nur einen Kopf hat, ist tot.
2. Man kann nur Köpfe abschlagen, die direkt
nebeneinander sind.
3. Wenn man nur einen Kopf abschlägt, wächst der
Selbige nach.
4.
Wenn man 2 unterschiedliche
abschlägt, wächst einer der 3. Sorte nach.
14
Die Abbildung zeigt eine von vielen Möglichkeiten diesen
Drachen zu töten:
1.Kopfgeneration:
2. Kopfgeneration
3. Kopfgeneration
4.Kopfgeneration
5. Kopfgeneration
TOT
Weitere Möglichkeiten diesen Drachen zu töten kann
man leicht finden.
2. Systematische Untersuchung der „Drachentötbarkeit“ bei sich verändernder Kopfanzahl.
Der tapfere Ritter hat den Drachen getötet. Aber was
wäre gewesen, wenn der Drache andere Arten von
Köpfen, eine andere Kombination von Köpfen oder eine
andere Anzahl gehabt hätte? Auch dazu haben wir uns
Gedanken gemacht.
2.1. Der Drache mit nur einem Kopf.
Einen Drachen mit nur einem Kopf kann man immer
töten.
15
2.2 Der Drache mit zwei Köpfen.
Einen Drachen mit zwei Köpfen kann man nur töten,
wenn er zwei verschiedene Arten von Köpfen hat. Da
man einen Drachen mit nur einer Art Köpfen nie töten
kann, wird er ab hier nicht mehr betrachtet.
2.3 Der Drache mit drei Köpfen.
Ein Drache mit drei Köpfen ist schon schwieriger zu
töten, deshalb haben wir uns ein System zu Darstellung
überlegt. Um nicht so viel zeichnen zu müssen, kürzen
wir die verschiedenen Köpfe mit a, b, c usw. ab.
Die erste Folge von Buchstaben stellt immer den ganzen
Drachen dar. Wenn zwei Buchstaben eingeklammert
sind, dann heißt das, dass diese Beiden abgeschlagen
werden.
1. abc => (ab)c => cc => unbesiegbar
2. abb => (ab)b=> (cb) => a => tot
Alle anderen Drachen sind nur Varianten von 2.
Wir haben immer nur jeweils ein Beispiel zu jeder
Variante erstellt.
2.4 Der Drache mit vier Köpfen
1. abcc => a(bc)c => a(ac) => (ab) => c => tot
2. accc => (ac)cc => (bc)c =>(ac) => tot
3. aabb => a(ab)b => a(cb) => (ab) => c => tot
16
In unserer Jugend-forscht-Arbeit haben wir diese
Überlegungen auch für Drachen mit noch mehr Köpfen
gemacht, aber das wird dann ziemlich schwierig und soll
hier nicht mehr weiter verfolgt werden.
3. Drachen,
entstehen
die
aus
unsterblichen
Drachen
Wir haben nun versucht herauszufinden, welche
Drachen unsterblich sind, indem wir bei aa (unsterblicher
Drache) untersuchen, aus welchen Drachen er
entstanden sein kann, z.B. aa aus a(bc).
Also: aa ist unsterblich
Dann auch abc oder bca, weil aa aus ihnen entstanden
ist.
bca ist im Prinzip der gleiche Drache wie abc und muss
nicht weiter untersucht werden.
abc kann aus folgenden Drachen entstanden sein:
(bc)bc oder a(ac)c oder ab(ab)
Hier muss bcbc nicht weiter untersucht werden, weil er
im Prinzip mit abab übereinstimmt
aacc entstand aus
aac(ab) oder aa(ab)c oder a(cb)cc oder (cb)acc
17
Der Drache aac(ab) ist im Prinzip identisch mit a(cb)cc.
Also bleiben:
aac(ab) oder aa(ab)c oder (cb)acc
aacab zum Beispiel ist entstanden aus
(cb)acab oder a(cb)cab oder aa(ab)ab oder aac(cb)b
oder aaca(ac)
cbacab
Dies kann man bis zur Unendlichkeit weiterführen. Man
muss nur aus einem Buchstaben (Kopf) zwei neue
Buchstaben erstellen. Das heißt, dass der unsterbliche
Drache aa aus unendlich vielen Drachen entstanden
sein kann.
Erst später ist uns dann aufgefallen, dass diese Drachen
doch sterblich sein könnten, wenn man die Köpfe in
einer anderen Reihenfolge abschlägt. Dies probieren wir
nun aus, indem wir auf verschiedene Arten versuchen,
den Drachen cbacab zu töten:
cbacab aacab aacc abc aa /
cbacab cccab cccc /
cbacab cbbab cbcb acb /
Wir haben hier und bei anderen Beispielen keinen der
„unsterblichen“ Drachen töten können.
18
Anders sieht es aus bei scheinbar unsterblichen
Drachen, die aus aaa entstanden sind, wie man schon
bei dem Drachen aabc sieht: aabc a(c)c (b)c (a)
sterblich
Weitere Untersuchungen führten uns zu folgender
Vermutung:
Wenn ein Drache aus einer geraden Anzahl an gleichen
Köpfen entstanden ist, dann ist er unbesiegbar.
Wenn ein Drache aus einer ungeraden Anzahl an
gleichen Köpfen entstanden ist, dann ist er besiegbar.
4. Kommutativität der Drachen
Obwohl es in den ursprünglichen Regeln nicht verlangt
ist, dass man nur benachbarte Köpfe abschlagen darf,
ist das aber sinnvoll, weil der Ritter schlecht mit einem
Schlag zwei weit entfernte Köpfe abschlagen kann.
Deshalb untersuchen wir, ob man die Reihenfolge der
Köpfe eines Drachen, von dem man weiß, das man ihn
töten kann, beliebig verändern kann. Von unserem
Ausgangsdrachen wissen wir es bereits:
= TOT
Vertauscht man die Köpfe, so kann z.B. folgender
Drache entstehen, der einfach zu töten ist, denn wenn
man die ersten beiden Köpfe abschlägt, so entseht ein
Drache, der mehrere Köpfe einer Art und nur noch einen
Kopf einer anderen art hat. Aus Abschnitt 3 wissen wir,
das dieser Drache zu töten ist.
19
= TOT
Wir zeigen, dass man auch den folgenden töten kann:
TOT
Weitere Beispiele sind denkbar:
= TOT
= TOT
Hier noch ein paar Beispiele für Drachen mit mehr
Köpfen, die mit Buchstaben für die Köpfe geschrieben
sind. Den Weg haben wir diesmal nicht hingeschrieben.
Die Drachen sind auf jeden Fall zu töten:
A a b c b a c c b a b = TOT
A b b c b a b c b a c c b a c c a = TOT
A a a a b b b b c c c = TOT
A a a a a b b b b b b c c c c c c = TOT
A b c a b c a b c a b = TOT
B c c c b a a a a b b =TOT
A b c a b c a b c a b c a b c b c = TOT
A a b b b c c c a b b b c c c a a = TOT
20
Alle unsere Beispiele zeigen: Die Reihenfolge der Köpfe
eines Drachen ist egal. Damit wäre es auch egal, ob der
Ritter nun nur Köpfe nebeneinander abschlägt, oder
irgendwelche, die weiter voneinander entfernt sind.
Kann man das allgemein zeigen? Dazu gehen wir
systematisch vor und beginnen mit drei Köpfen. Im
Prinzip gibt es nur die vier Drachen aaa aab aba abc,
von denen zwei nicht zu töten sind (aaa und abc). Die
anderen beiden sind eigentlich gleich, es wurden nur die
Köpfe vertausch und man kann sie beide töten. Hier sind
alle möglichen verschiedenen Drachen mit vier Köpfen:
Aaab aaba
Aabb abab baab
Aabc abac baac
Alle aaa...aba...aa
Kommutativgesetz.
sind zu töten. Hierbei wirkt das
Wir untersuchen jetzt die fünfköpfigen Drachen:
Aaaab aaaba aabaa abaaa
Aaabb aabab abaab ababa abbaa baaab
Aabbc ababc cbaab abcba
Auch hierbei sind alle Kombinationen zu töten. Dies
bestätigt unsere Vermutung, beweist sie aber noch nicht.
21
Vielleicht haben ja die Leser Lust,
spannenden Thema weiter zu arbeiten.
an
diesem
Multiplikation mit Strichen
1. Einleitung
Zahlen im Kopf zu multiplizieren ist schwer. Mit Strichen
auf einem Blatt Papier ist es viel einfacher, wenn man es
verstanden hat.
Ein einfaches Beispiel (1): 3·5=15
Ein schwierigeres Beispiel (2): 23·35=805
6
19
15
+190
+600
805
10
15
22
2. Erklärungen: Wie macht man das?
Erklärung für Bsp. (1): Man muss für die erste Zahl
senkrechte Striche zeichnen. Für die zweite Zahl muss
man waagerechte Striche zeichnen. Dann muss man die
Kreuze zählen und dann hat man das Ergebnis.
Erklärung für Bsp. (2): 23·35=805. Man muss für die
erste Zahl senkrechte Striche zeichnen. Die Zehner
macht man Links und die Einer macht man Rechts. Für
die zweite Zahl zeichnet man waagerechte Striche. Die
Zehner macht man oben hin, die Einer kommen nach
unten. Man muss die Kreuze unten Rechts zählen (es
sind 15), dann die unten Links und oben Rechts (es sind
19) und dann oben Links (es sind 6). Dann hängt man
hinter die 19 eine Null und hinter die 6 zwei Nullen. Dann
rechnet man 15+190+600 zusammen. Endlich hat man
das Ergebnis es ist 805.
Für die Zehner macht man eine Null und für die
Hunderter zwei Nullen hinter die gezählten Kreuze.
Es klappt, weil man Einer, Zehner und Hunderter usw.
einzeln ausrechnet. Danach macht man die fehlenden
Nullen dahinter. Dann nur noch ausrechnen. Zum
Schluss hat man das richtige Ergebnis.
Beispiel: 231·21=4851
In der folgenden Zeichnung sieht man: Für die Einer
macht man keine Null, für die Zehner macht man eine
Null, für die Hunderter macht man zwei Nullen und für
die Tausender macht man drei Nullen.
23
4
8
1
+50
+800
+4000
4851
5
1
Ein sehr schwieriges Beispiel (3):
987·231=227997
18
43
47
29
+
+
+
+
7
290
4700
43000
180000
227997
24
7
Für die Einer macht man keine Null, für die Zehner
macht man eine Null, für die Hunderter macht man zwei
Nullen und für die Tausender macht man drei Nullen.
Zum Schluss macht man für die Zehntausender vier
Nullen. Um das Ergebnis zu bekommen muss man alle
Zahlen addieren.
Teiler in verallgemeinerten Fibonacci-Folgen
1. Einleitung
Die Fibonacci-Folge ist eine Zahlenfolge, die so beginnt:
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377; 610......
Sie kommt zustande, indem man jeweils die zwei davor
stehenden Zahlen miteinander addiert . Das wäre dann:
1+1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, .... .
Man stellt fest, dass ab der 2 jede dritte Zahl durch 2
teilbar ist, ab der 3 jede Vierte durch 3 und ab der 5 jede
Fünfte durch 5. Es geht nach der 5 in der FibonacciFolge immer so weiter, weil die Zahlen aus den
davorigen Zahlen entstanden sind. Das erklären wir
später genauer. Zuerst ein paar Beispiele :
Die dritten Zahlen ab der 2 sind 2, 8,
Sie sind durch 2 teilbar
Die vierten Zahlen ab der 3 sind
Sie sind durch 3 teilbar
Die fünften Zahlen ab der 5 sind
Sie sind durch 5 teilbar
Die sechsten Zahlen ab der 8
Sie sind durch 8 teilbar
34, 144 ,610, ...
3, 21, 144, ...
5, 55, 610, ...
sind
8,144,
...
25
2. Untersuchung mit Hilfe einer Exceltabelle
In der Tabelle wird der Rest der linken Zahlen bei
Division durch die Teiler in der ersten Zeile angegeben.
Wenn eine Null da steht, dann ist die Zahl teilbar.
Folge
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
4181
6765
10946
17711
28657
46368
75025
121393
196418
317811
514229
26
3
2
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
5
1
1
2
0
2
2
1
0
1
1
2
0
2
2
1
0
1
1
2
0
2
2
1
0
1
1
2
0
2
8
1
1
2
3
0
3
3
1
4
0
4
4
3
2
0
2
2
4
1
0
1
1
2
3
0
3
3
1
4
13
1
1
2
3
5
0
5
5
2
7
1
0
1
1
2
3
5
0
5
5
2
7
1
0
1
1
2
3
5
21
1
1
2
3
5
8
0
8
8
3
11
1
12
0
12
12
11
10
8
5
0
5
5
10
2
12
1
0
1
34
1
1
2
3
5
8
13
0
13
13
5
18
2
20
1
0
1
1
2
3
5
8
13
0
13
13
5
18
2
1
1
2
3
5
8
13
21
0
21
21
8
29
3
32
1
33
0
33
33
32
31
29
26
21
13
0
13
13
Wenn man mit anderen Werten bei der Fibonaccifolge
anfängt, dann gilt eine ähnliche Regel. Vielleicht findet
ihr sie ja heraus:
Folge
1
3
4
7
11
18
29
47
76
123
199
322
521
843
1364
2207
3571
5778
9349
15127
24476
39603
64079
103682
167761
271443
439204
710647
1149851
1860498
2
3
1
0
1
1
2
0
2
2
1
0
1
1
2
0
2
2
1
0
1
1
2
0
2
2
1
0
1
1
2
0
5
1
3
0
3
3
2
1
3
0
3
3
2
1
3
0
3
3
2
1
3
0
3
3
2
1
3
0
3
3
2
8
1
3
4
0
4
4
1
5
6
4
3
0
3
3
6
2
1
3
4
0
4
4
1
5
6
4
3
0
3
3
13
1
3
4
7
0
7
7
3
10
2
1
3
4
7
0
7
7
3
10
2
1
3
4
7
0
7
7
3
10
2
21
1
3
4
7
11
0
11
11
4
15
1
16
17
15
14
11
7
0
7
7
14
3
17
2
1
3
4
7
11
0
34
1
3
4
7
11
18
0
18
18
7
25
3
28
2
1
3
4
7
11
18
0
18
18
7
25
3
28
2
1
3
1
3
4
7
11
18
29
0
29
29
11
40
4
44
1
45
46
44
43
40
36
29
18
0
18
18
36
7
43
3
27
Neue römische Zahlen
1. Einleitung
Wir haben uns die römischen Zahlen angeschaut. Dabei
gibt es Regeln:
(1)
I, X, C und M dürfen dreimal hintereinander
vorkommen.
(2)
V, L und D dürfen nur einmal in einer Zahl
vorkommen
(3)
I darf einmal vor V oder X,
X darf einmal vor L oder C und
C darf einmal vor D oder M
V,L und D dürfen nicht vorgezogen werden!!!
Hier einige Beispiele:
1
I
2
II
3 4
III IV
5
V
6 7
8 9 10 11 12 24
VI VII VIII IX X XI XII XXIV
36 41 48
49
72 92 95 96
XXXVI XLI XLVIII XLIX LXXII XCII XCV XCVI
97
XCVII
98
XCVIII
99
100
XCIX
C
3888
MMMDCCCLXXXVIII
3888 ist die größte Römische Zahl.
28
Wir haben im römischen Zahlensystem die Regeln
abgeändert und gesehen, dass man dann andere
Zeichen als die Römer benutzen kann. Zum Beispiel das
Zeichen V für 5 muss durch ein Zeichen für 6 ersetzt
werden. Da man so normalerweise keine 4 schreiben
könnte, darf man zwei Zeichen vorziehen, z.b: `` IIA``
das entspricht 4.
2. Neue römische Zahlsysteme
In diesem Kapitel haben wir uns verschiedene Systeme
ausgedacht und untersucht und verglichen.
2.1 Man darf zwei Zeichen vorziehen.
Hier ist die Bedeutung der Zeichen :
I=1 A=6 B=12 C=72
Hier sind die Zahlen von 1 bis100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
I
II
III
IIA
IA
A
AI
AII
AIII
IIB
IB
B
BI
BII
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
BBII
BBIII
BBIIA
BBIA
BBA
BBAI
BBAII
BBAIII
BBIIB
BBIB
BBB
BBBI
BBBII
BBBIII
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
BBCIII
BBCIIA
BBCIA
BBCA
BBCAI
BBCAII
BBCAIII
BBCIIB
BBCIB
BC
BCI
BCII
BCIII
BCIIA
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
CIIA
CIA
CA
CAI
CAII
CAIII
CIIB
CIB
CB
CBI
CBII
CBIII
CBIIA
CBIA
29
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
BIII
BIIA
BIA
BA
BAI
BAII
BAIII
BIIB
BIB
BB
BBI
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
BBBIIA
BBBIA
BBBA
BBBAI
BBBAII
BBBAIII
BBBIIB
BBBIB
BBC
BBCI
BBCII
65
BCIA
90
66
BCA
91
67
BCAI
92
68
BCAIII
93
69
BCIIB
94
70
IIC
95
71
IC
96
72
C
97
73
CI
98
74
CII
99
75 CIII
100
CBA
CBAI
CBAII
CBAIII
CBIIB
CBIB
CBB
CBBI
CBBII
CBBIII
CBIIA
2.2 Man darf Zeichen vier Mal hintereinander
schreiben
Der einzige Unterschied zwischen der Tabelle oben und
der unten ist das man nur ein Zeichen vorziehen darf
aber dafür vier gleiche Zeichen hintereinander
schreiben. Zum Beispiel gilt: IIII = 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
30
I
II
III
IIII
IA
A
AI
AII
AIII
AIIII
IB
B
BI
BII
BIII
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
BBII
BBIII
BBIIII
BBIA
BBA
BBAI
BBAII
BBAIII
BBAIIII
IBBB
BBB
BBBI
BBBII
BBBIII
BBBIIII
51
BBBBIII
52
BBBIIII
53
BBBBIA
54
BBBBA
55
BBBBAI
56 BBBBAII
57 BBBBAIII
58 BBBBAIIII
59
BBBBIB
60
BC
61
BCI
62
BCII
63
BCIII
64
BCIIII
65
BCIA
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
CIIII
CIA
CA
CAI
CAII
CAIII
CAIIII
CIB
CB
CBI
CBII
CBIII
CBIIII
CBIB
CBB
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
BIIII
BIA
BA
BAI
BAII
BAIII
BAIIII
BIB
BB
BBI
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
BBBIA
BBBA
BBBAI
BBBAII
BBBAIII
BBBAIIII
BBBIB
BBBB
BBBBI
BBBBII
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
BCA 91
BCAI 92
BCAII 93
BCAIII 94
BCAIIII 95
BCIB 96
C 97
CI 98
CII 99
CIII 100
CBBI
CBBII
CBBIII
CBBIIII
CBBIA
CBBA
CBBAI
CBBAII
CBBAIII
CBBAIIII
Obwohl bei den Tabellen unterschiedliche Systeme
verwendet wurden, sind alle Sonderzeichen gleich:
I = 1, A = 6, B = 12, C = 72
Hier müsste man noch genauer untersuchen, warum das
so ist.
Nochn Witz
Ein Mathelehrer trifft einen früheren Schüler, als dieser
gerade aus einem edlen Auto mit Chauffeur aussteigt. Er
wundert sich: „Sie haben es ja anscheinend ganz schön
zu was gebracht, obwohl Sie im Rechnen nie eine
besondere Leuchte waren.“
„Ja wissen Sie,“ meint der ehemalige Schüler, „ich kaufe
T-Shirts für 7 Euro und verkaufe sie für 12 Euro wieder.
Von diesen 5 Prozent lässt sich's gut leben.“
31