Staatsexamensklausur für die Lehrämter L 1 (Wahlfach) / L 2 / L 5

Staatsexamensklausur für die Lehrämter L 1 (Wahlfach) / L 2 / L 5
Frühjahr 2008
Mathematik
Zugelassenes Hilfsmittel:
Einfacher nicht programmierbarer Taschenrechner
(ohne Lösemodule sowie sonstige Computeralgebrakomponenten und ohne Grafik)
Mathematischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Gewertet werden die drei besten Aufgaben.
1 Geometrie
Es sei ABCD eine Raute, das ist ein Viereck, bei dem alle Seiten
gleich lang sind.
C
a) Zeigen Sie:
(1) Der Schnittpunkt S der Diagonalen AC und BD teilt diese
jeweils in zwei gleich lange Strecken.
(2) Die beiden Diagonalen AC und BD stehen senkrecht aufeinander.
D
S
B
(3) Gegenüberliegende Seiten der Raute ABCD sind parallel
zueinander.
(4) Die vier Ecken A, B, C, D liegen genau dann auf einem
Kreis, wenn die Raute ABCD ein Quadrat ist.
A
b) Nun seien |AB| = 5 cm und |AC| = 8 cm.
Berechnen Sie den Abstand |BS| und den Flächeninhalt der Raute ABCD.
2 Algebra
a) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x, y und z über der
Menge R der reellen Zahlen in Abhängigkeit des reellen Parameters t.
(1 +
t)·x + 2·y + 3 t·z = 7
-2·y + 2 t·z = -2
(2 + 2 t)·x + 3·y + t·z = 7
Geben Sie jeweils die Lösungsmenge an.
b) Geben Sie alle multiplikativ invertierbaren Elemente in Z30 an (ohne Beweis).
c) Berechnen Sie die inversen Elemente von [395] in Z2008 bezüglich der Addition und bezüglich der Multiplikation.
d) Bestimmen Sie ganze Zahlen a und b so, dass 395·a+2008·b = 10 gilt.
1
3 Analysis
a) Funktionen
Gegeben ist eine kubische Funktion f über der Menge aller reellen Zahlen mit
f (-1) = f (1) = f (3) = 0, f (0) = 3.
(1) Zeigen Sie, dass gilt:
f (x) = x3 – 3x2 – x + 3.
(2) Skizzieren Sie den Graphen G der Funktion f.
(3) Zeigen Sie: Die Gerade L mit der Gleichung x + y = 3 ist eine Tangente an G.
(4) Bestimmen Sie alle Tangenten an die Kurve G, die durch den Punkt (0 | 3) gehen.
(5) Fügen Sie die Gerade L in Ihre Skizze ein.
(6) Berechnen Sie den Flächeninhalt des zwischen der Kurve G und der Geraden L gelegenen (beschränkten) Flächenstücks F.
Schraffieren Sie F in Ihrer Skizze.
b) Folgen
Die Zahlenfolge (xn)n≥1 ist explizit definiert durch:
xn =
2 n +1 − 1
2 n−1 + 1
(1) Zeigen Sie: Die Folge wächst streng monoton.
(2) Zeigen Sie: Die Folge konvergiert,
(3) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge.
2
4 Stochastik
ULLI zeigt KALLE seine Sammlung von „Sportler-Sammelbildern“. Sie ist nicht besonders vielfältig, denn er besitzt nur Bilder von
Gerd, Franz, Mehmet und Giovane.
Von jedem dieser Sportler hat er aber genau fünf Bilder in seiner Sammlung, und die befinden
sich alle bunt durcheinander in einer großen Kiste.
KALLE darf mit geschlossenen Augen fünfmal in die Kiste greifen und sich jeweils ein Bild herausnehmen. Die Auswahl der Bilder geschieht rein zufällig.
(Wir gehen davon aus, dass KALLE die gezogenen Bilder nicht wieder zurücklegt, sondern
behalten darf.)
a) Wie viele verschiedene Ergebnisse dieser Ziehung gibt es, wenn
(1) nur interessiert, welche Sportler wie oft gezogen wurden?
(2) interessiert, welche Sportler in welcher Reihenfolge gezogen wurden?
b) Schreiben Sie zu den beiden Fragen aus a) jeweils eine der Möglichkeiten konkret auf und
berechnen Sie deren Wahrscheinlichkeiten.
c) Leider war bei den fünf gezogenen Bildern kein einziger Gerd dabei.
(1) Wie viele Bilder hätte KALLE auf die angegebene Weise ziehen müssen, um mit 100%iger Sicherheit mindestens einen Gerd dabei zu haben?
(2) Wie viele Gerds hätte KALLE bei der von Ihnen berechneten Anzahl gezogener Bilder
sogar erwarten dürfen?
d) Die Ziehung ist vorbei.
Wie wahrscheinlich ist es, dass die übrigen drei Bilder lauter verschiedene Sportler zeigen,
wenn KALLE genau zwei Gerds gezogen hat?
3
Mathematikdidaktischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
!!! Beide Aufgaben sind zu bearbeiten. !!!
5 Konstruieren im Geometrieunterricht
a) Begriffliches zum Konstruieren
Aufgabe 1
Gegeben sind eine Kreislinie k und ein Punkt P außerhalb des Kreises.
Konstruiere alle Tangenten an k durch P.
(1) Erläutern Sie an der Aufgabe 1, was eine geometrische Konstruktionsaufgabe ist.
(2) Beurteilen Sie die folgende Lösung der
Aufgabe 1:
− Lege Lineal so an, dass es durch P
geht und k berührt.
− Linealkante liefert eine Tangente an
k durch P.
− Konstruiere ebenso die andere Tangente an k durch P.
k
P
(3) Erläutern Sie am Beispiel der Aufgabe 1
− welche Zeichengeräte (Konstruktionsoperationen) zum Bearbeiten einer Konstruktionsaufgabe zugelassen sind,
− wann eine Konstruktionsaufgabe exakt gelöst ist und wann nur näherungsweise,
− den Unterschied zwischen einer exakten und einer genauen Lösung einer Konstruktionsaufgabe.
b) Aktivitäten beim Lösen einer Konstruktionsaufgabe
Aufgabe 2
Gegeben sind drei Längen c, hc und r.
Konstruiere ein Dreieck ABC mit
⏐AB⏐ = c, Abst(C;AB) = hc, Umkreisradius von ABC = r.
Hinweis: Zum Bearbeiten der Aufträge (4) bis (6) müssen Sie Aufgabe 2 nicht lösen.
(4) Erstellen Sie zu Aufgabe 2 eine Planfigur.
− Wie gehen Sie dabei vor?
− Was ist der Zweck der Planfigur?
(5) Erläutern Sie am Beispiel von Aufgabe 2 die folgenden heuristischen Regeln zum Erzeugen einer Lösungsidee:
− Lasse eine Bedingung weg (Methode der Ortslinien)
− Konstruiere eine Teilfigur (Methode der Hilfsfiguren)
(6) Erläutern Sie zwei der vier folgenden Aktivitäten zur logischen Analyse der Lösung
einer Konstruktionsaufgabe:
− Konstruktionsbeschreibung,
− Durchführbarkeit,
− Richtigkeit,
− Lösungsvielfalt
4
6 Buchstabenrechnen
a) Variablenbegriff
(1) Erläutern Sie anhand selbst gewählter Beispiele aus dem Mathematikunterricht die folgenden drei Aspekte von Variablen.
Gegenstandsaspekt,
Einsetzungsaspekt,
Kalkülaspekt
(2) Nennen Sie drei wichtige Regeln für den Umgang mit Variablen.
(3) Geben Sie zum Gegenstandsaspekt aus (1) zwei Beispiele aus dem Alltag an.
b) Algebraische Terme
(4) Erklären Sie, wann zwei Terme T1(x) und T2(x) mit der Variablen x zueinander gleichwertig (äquivalent) sind und wann nicht.
(5) Wie kann man bei „großen“ Einsetzungsmengen (Definitionsmengen) für die Variable x
prüfen, ob zwei Terme T1(x) und T2(x) zueinander gleichwertig (äquivalent) sind?
(6) Entscheiden Sie, ob die Terme
T1(x) =
(x 2 − 4) 2
und
T2(x) = x2 − 4
über der Menge der reellen Zahlen zueinander gleichwertig (äquivalent) sind. Weshalb
ist das so?
c) Gleichungen
Gegeben ist die Gleichung über der Menge der reellen Zahlen:
x+7
2⋅ x −1
⋅ x 5 + 14 = 4 ⋅ x 2
Hinweis: Zum Bearbeiten der Aufträge (7) und (8) müssen Sie die Gleichung nicht lösen.
(7) Was meint die Aufforderung, „löse die Gleichung“?
(8) Beschreiben Sie allgemein, was eine
Äquivalenzumformung,
Gewinnumformung,
Verlustumformung
einer Gleichung bewirkt.
Wählen Sie zu jedem Umformungstyp ein Beispiel und begründen Sie jeweils, weshalb
ein Beispiel vorliegt.
5
Staatsexamensklausur für die Lehrämter
L1 (Wahlfach) / L2 / L5 nach VO 1995
L2 / L5 nach HLBG
Herbst 2008
Mathematik
Zugelassenes Hilfsmittel:
Einfacher nicht programmierbarer Taschenrechner
(ohne Lösemodule sowie sonstige Computeralgebrakomponenten und ohne Grafik)
Mathematischer Teil: Aufgaben Nr. 1 bis 4
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Gewertet werden die drei besten Aufgaben.
Mathematikdidaktischer Teil: Aufgaben Nr. 5 und 6
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Beide Aufgaben sind zu bearbeiten.
1
Mathematischer Teil
1 Geometrie
Gegeben sei ein Dreieck ABC mit Schwerpunkt S. Weiter seien D, E die Mittelpunkte
der Strecken AS bzw. BS sowie F, G die Mittelpunkte der Strecken BC bzw. AC.
a) Zeigen Sie:
AB || DE.
b) Zeigen Sie:
|DE| = |FG| und |DG| = |EF|.
c) Zeigen Sie:
Das Viereck DEFG ist ein
Parallelogramm.
d) Zeigen Sie:
Wenn |AC| = |BC| ist,
dann ist DEFG ein Rechteck.
e) Sei das Dreieck ABC mit A = (0 | 0), B = (5 | 0) und C = (2 | 2) gegeben.
Geben Sie die Koordinaten der Punkte G, S, E, F, D an (ohne Beweis).
Berechnen Sie die Steigungen der beiden Geraden GD und EF.
2 Algebra
a) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x, y, z über
den reellen Zahlen R in Abhängigkeit des Parameters t ∈ R.
( t − 3 )x + 2y
= 4t − 4
( t − 3 )x + 4y + t z = 4t + 6
(9 − 3t)x − 2y + 6tz = -12t + 40
b) Berechnen Sie das inverse Element von [663] in Z2009 bezüglich der Addition und
bezüglich der Multiplikation.
c) Finden Sie ganze Zahlen a und b, so dass 663·a + 2009·b = 7 gilt.
d) Geben Sie alle multiplikativ invertierbaren Elemente in Z28 an (ohne Beweis!).
2
3 Analysis
a) Funktionen
Betrachten Sie die Schar aller kubischen Funktionen f, deren Graphen F die x-Achse
jeweils in den Punkten (-1 | 0), (0 | 0) und (1 | 0) kreuzen.
(1) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung für die Schar der Funktionen f.
(2) Zeigen Sie, dass bei jeder Funktion der Schar die beiden Flächenstücke, welche
zwischen F und der x-Achse liegen, gleichen Flächeninhalt besitzen.
(3) Zeigen Sie, dass die Graphen F aller Funktionen der Schar denselben Wendepunkt
haben. Welchen?
(4) Bestimmen Sie diejenige Funktion aus der Schar, welche die Winkelhalbierende
des ersten Quadranten als Wendetangente (= Tangente im Wendepunkt) hat.
Hinweis:
Sollte es Ihnen nicht gelingen, die Schar der Funktionen zu bestimmen, so arbeiten Sie
(unter Abzug eines Punktes) mit der Schar
(fa), definiert durch fa (x) = ax3 – 8ax, wobei a ≠ 0,
weiter.
b) Folgen
Die Zahlenfolge (xn)n≥1 sei rekursiv definiert durch:
1.
x1 = 1
2. 2xn+1 + xn = 3
(1) Geben Sie die ersten drei Folgenglieder der Folge (xn)n≥1 an.
(2) Zeigen Sie, dass die Folge (xn)n≥1 konvergiert, und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
x
(3) Zeigen Sie, dass die Folge (yn)n≥1 mit yn = n+1 konvergiert und bestimmen Sie ihxn
ren Grenzwert.
3
4 Stochastik
a) Zufallsversuche
Politiker Volker F. - B. (im Folgenden wird er als VFB abgekürzt) ist bemüht, sich täglich zu informieren. Er hat acht wichtige deutsche Tageszeitungen abonniert.
taz und BZ aus Berlin, FAZ und Rundschau aus Frankfurt, Allgemeine und Anzeiger aus Gießen, BILD und Morgenpost aus Hamburg
Leider schafft er jeden Morgen nur, vier Zeitungsexemplare durchzuschauen. Er lässt
sich daher jeden Morgen neu (rein zufällig und unabhängig von den Vortagen) von einem Zufallsgenerator vier der acht Zeitungen zur Lektüre auswählen.
(1) Wie viele verschiedene Möglichkeiten für die tägliche Auswahl gibt es? Wie wahrscheinlich ist, dass eine derartige Auswahl beide Gießener Zeitungen beinhaltet?
(2) Wie viele Tage wird es mindestens brauchen, bis mit mindestens 99%-iger Sicherheit mindestens einmal die beiden Gießener Zeitungen in der Auswahl vorkommen?
(3) In der letzten Woche hatte VFB nur wenig Zeit zu lesen. Da sind alle Zeitungsexemplare (die sämtlichen Exemplare von 6 Wochentagen) liegen geblieben (auf einem großen Haufen). Wie viele Möglichkeiten gibt es für ihn, vier Exemplare aus
dem Haufen auszuwählen, wenn nur interessiert, welche Zeitung wie oft vorkommt?
Geben Sie eine solche Möglichkeit konkret an und berechnen ihre Wahrscheinlichkeit (in Prozent) unter der Annahme, die Auswahl der vier Exemplare erfolge rein
zufällig.
(4) Am Montag der neuen Woche bemüht sich VFB, mehr zu lesen. Er sieht den ganzen Stapel der acht Zeitungen durch und ihm fällt auf, dass dieser „ziemlich geordnet“ ist: Die zwei Zeitungen aus derselben Stadt folgen stets direkt aufeinander.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für dieses „Phänomen“ ausgehend davon,
dass die Reihenfolge der acht Zeitungen im Stapel rein zufällig ist.
b) Pascal’schen Dreieck
⎛ 2n ⎞
Zeigen Sie: Für n ≥ 1 ist der Binomialkoeffizient ⎜ ⎟ stets eine gerade natürliche Zahl.
⎝n⎠
4
Mathematikdidaktischer Teil
5 Handeln, Konstruieren und Beweisen im Geometrieunterricht
Zum Satz von der Winkelsumme im Dreieck gibt es (neben anderen) die folgenden
Hinführungen:
(1) Zeichne am Computer-Bildschirm mit einer dynamischen Geometrie-Software (z. B.
mit DYNAGEO-EUKLID) ein Dreieck. Bestimme mit dem Programm die Maße der Innenwinkel des Dreiecks und deren Summe S. Verändere nun durch Ziehen an den
Dreiecksecken die Form des Dreiecks und beobachte dabei die Summe S.
(2) Schneide aus Papier ein Dreieck aus. Reiße dessen Ecken ab. Lege diese zu einem gestreckten Winkel zusammen.
(3) Schneide aus Papier ein Dreieck aus. Falte, wie in den Figuren angegeben.
C
N
A
M
B
(4) Zeichne ein Dreieck ABC. Laufe den Rand ab: von der Ausgangsstellung in A über
B und C wieder nach A in die Ausgangsstellung. Bestimme, um wie viel man sich
insgesamt gedreht hat. Berechne daraus die Winkelsumme im Dreieck ABC.
(5) Ergänze ein Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ABCD. Konstruiere ein Parkett
mit dem Grundbaustein ABCD. Zeichne in das Parkett die zur Geraden AC parallelen Gitterlinien ein. Markiere gleich große Winkel in der entstehenden Figur. Untersuche die Winkel, deren Scheitel in einem Gitterpunkt zusammenstoßen.
a) Was sollte jeder Schüler über den Satz von der Winkelsumme im Dreieck (allgemeiner: im Vieleck) wissen? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Vergleichen Sie die Hinführungen (1) bis (5) unter wenigstens folgenden Aspekten:
− Veranschaulichen des Satzes
− Handlungsorientierung des Geometrieunterrichts
− Einsicht gewinnen in die Allgemeingültigkeit des Satzes
− Zugänglichkeit für Hauptschüler, Realschüler, Gymnasiasten
− Unterstützen von Zielen des Geometrieunterrichts
− Verträglichkeit mit den Forderungen aus a).
c) Wie kommt man im Unterricht von den Hinführungen (1), (2) und (4) zur Winkelsumme in einem Vieleck?
5
6 Positive und negative Zahlen
Die hessischen Lehrpläne Mathematik aller Schularten für die Jahrgangsstufen 5 bis
10 verlangen für einen erfolgreichen Abschluss der Jahrgangstufe 10 erworbene Qualifikationen und Kenntnisse zu den Grundrechenarten mit rationalen (im Gymnasium
auch mit reellen) Zahlen. Damit stellt sich die Frage: Welche (Grund-) Vorstellungen
soll der Schüler zu positiven und negativen Zahlen erwerben?
a) Was sollen im Mathematikunterricht Grundvorstellungen und didaktische Modelle
zu einem mathematischen Konzept leisten?
b) Beschreiben Sie stichwortartig didaktische Modelle zum Einführen
− positiver und negativer Zahlen,
− des Größenvergleichs positiver und negativer Zahlen,
− des Addierens und Subtrahierens positiver und negativer Zahlen.
Welche dieser didaktischen Modelle eignen sich für Grundvorstellungen?
c) Beschreiben Sie stichwortartig eine Einführung des Multiplizierens und Dividierens
positiver und negativer Zahlen.
d) Wie kann man dem Schüler klar machen, dass die Setzungen
Plus · Minus
Minus · Plus
Minus · Minus
= Minus
= Minus
= Plus
vernünftig sind?
6
Staatsexamensklausur für die Lehrämter
L1 (Wahlfach) / L2 / L5 nach VO 1995
L2 / L5 nach HLBG
Frühjahr 2009
Mathematik
Zugelassenes Hilfsmittel:
Einfacher nicht programmierbarer Taschenrechner
(ohne Lösemodule sowie sonstige Computeralgebrakomponenten und ohne Grafik)
Mathematischer Teil: Aufgaben Nr. 1 bis 4
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Gewertet werden die drei besten Aufgaben.
Mathematikdidaktischer Teil: Aufgaben Nr. 5 und 6
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Beide Aufgaben sind zu bearbeiten.
1
Mathematischer Teil
1 Geometrie
Es sei
ein gleichseitiges Dreieck mit Schwerpunkt und
das durch Punktspiegelung an
entstandene Dreieck. Ferner seien
und
. Des Weiteren fällen wir noch das Lot
von auf
. Den Schnittpunkt des Lotes mit
nennen wir und den Schnittpunkt mit
nennen wir
.
a) Zeigen Sie, dass die Strecke
durch die Punkte
und
in drei Teile gleicher Länge geteilt
wird.
b) Zeigen Sie, dass die Geraden
c) Zeigen Sie, dass die Strecke
und
parallel sind
durch die Punkte
und
in drei Teile gleicher Länge geteilt
wird.
d) Berechnen Sie die Fläche des Sterns mit den Ecken
, wenn
gilt.
2 Algebra
a) Lösen Sie folgendes Gleichungssystem in den Unbekannten
über ℝ in Abhängigkeit des
Parameters .
b) Bestimmen Sie die multiplikativ invertierbaren Elemente von ℤ32.
c) Bestimmen Sie das inverse Element von [1024] in ℤ2009 bzgl. der Addition.
d) Bestimmen Sie zwei ganze Zahlen
und , so dass
gilt.
2
3 Analysis
a) Funktionen
Gegeben ist die Parabel P, der Graph der quadratischen Funktion f.
(1) Begründen Sie, warum die Gleichung
y = f‘(u)·(x – u) + f(u)
die Gleichung der Tangente an P im Kurvenpunkt (u | f (u)) ist.
(2) Die Schar aller Tangenten an P ist gegeben durch:
y = (1 – 2u)·x + (u2 – 1), uR
Skizzieren Sie drei dieser Tangenten sowie die Kurve P in einem Koordinatensystem.
(3) Bestimmen Sie die Funktionsterme der Funktionen f‘ und f. Machen Sie eine
Probe!
(4) Bestimmen Sie den Flächeninhalt desjenigen Flächenstücks, das von der Kurve P
und der Geraden L mit der Gleichung x + y = - 2 eingeschlossen wird. Fügen Sie L
in Ihre Skizze ein und schraffieren Sie die betreffende Fläche.
Hinweis. Falls es Ihnen nicht gelingt, die Funktionsterme von f bzw. f‘ zu bestimmen,
arbeiten Sie mit f(x) = x2 – 3x - 4.
b) Folgen
Die Zahlenfolge (xn)n1 ist rekursiv definiert durch
und
(a) x1 = a
(b) xn+1 + 2·xn + 2 = 0
wobei a eine reelle Zahl ist.
(1) Geben Sie eine explizite Formel für die Folge (xn)n1 in Abhängigkeit von a an.
(2) Gibt es einen Wert für a, so dass die Folge (xn)n1 konvergiert? Begründen Sie Ihre
Antwort.
Die Zahlenfolge (yn)n1 ist rekursiv definiert durch
(a) y1 = -1
und
(b) 2·yn+1 + yn + 2 = 0
(3) Zeigen Sie: Die Folge (yn)n1 hat nur negative Folgenglieder.
3
4 Stochastik
a) Schulsport
Von den 1000 Schülern der Schule in A. sind 400 Mädchen, 600 Jungen. 60 % der
männlichen Schüler treiben Sport, und immerhin 50% der sporttreibenden Schüler sind
weiblich.
(1) Beschreiben Sie die Situation in der Schule durch eine Vierfeldertafel, und entnehmen sie ihr, wie viel Prozent der Schülerinnen Sport treiben.
(2) Betrachten Sie folgendes Zufallsexperiment: durch einen Zufallsmechanismus wird
rein zufällig ein Schüler (geschlechtsneutrale Bezeichnung) ausgewählt und es wird
festgestellt, ob er/sie Sport treibt oder nicht. Wie wahrscheinlich ist, dass es sich bei
der Versuchsperson um eine sporttreibende Person handelt?
(3) Wie viele Schüler müssten nacheinander mindestens ausgewählt werden (unabhängig voneinander, so dass dieselbe Person auch mehrmals ausgewählt werden
kann), so dass mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal eine Sport treibende Person gewählt wurde?
b) Kombinatorik
n
Binomialkoeffizienten   seien gegeben durch die explizite Formel.
k 
Beweisen Sie unter Benutzung dieser Definition die Rekursionsformel und die Symmetrie des Pascalschen Dreiecks.
c) Freizeit
Bei den 1000 Schülern der Schule in A. ist ein bestimmtes Würfelspiel sehr beliebt:
Vier gewöhnliche ununterscheidbare Spielwürfel werden dabei in einem Würfelbecher geschüttelt und anschließend mit einem Schwung auf die Tischplatte befördert.
Wie viele unterscheidbare „Würfe“ gibt es?
Entscheidend für einen „Wurf“ ist, welche Zahlen wie oft vorkommen.
Wie wahrscheinlich ist, dass nach einem Wurf genauso viele ungerade wie gerade
Zahlen zu sehen sind?
4
Mathematikdidaktischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
!!! Beide Aufgaben sind zu bearbeiten. !!!
5 Begriff der Achsen-/Spiegelsymmetrie
Symmetriebegriffe durchziehen den gesamten Mathematikunterricht, vom „schönen“
Ausmalen von Bildern im Anfangsunterricht bis zu Symmetrieuntersuchungen bei
Funktionen in der Analysis. Wir betrachten hier nur Spiegelsymmetrien in der Geometrie.
In Schulbüchern für die Grundschule und für die Sekundarstufe I findet man viele Aktivitäten zur Spiegel- und Achsensymmetrie:
(1) Symmetrische Objekte (Zangen, Scheren, ...) zeigen und auf Symmetrien untersuchen
(2) Mit Formenplättchen spiegelsymmetrische Figuren legen, geeignete Figuren achsensymmetrisch ausmalen, nachzeichnen, fortsetzen
(3) Symmetrische Figuren durch Ausschneiden aus gefaltetem Papier herstellen
(4) Spiegelsymmetrische Figuren als Klecksbilder herstellen
(5) In Bildern symmetrischer Objekte Symmetrieachsen suchen
(6) Spiegelschrift lesen, herstellen, untersuchen und vergleichen mit Schrift, die „auf
dem Kopf steht“
(7) Texte und Bilder auf transparenten Folien „von hinten“ betrachten
(8) Achsensymmetrische Figuren mit Hilfe der Ortslinienfunktion einer dynamischen
Geometrie-Software zeichnen
a) Weshalb entsteht bei den Aktivitäten (1), …, (8) „Spiegelsymmetrisches“?
Wo hat man sich jeweils einen Spiegel zu denken (falls angemessen)?
b) Machen Sie einen Vorschlag zur Methodik des Einführens des Begriffs
achsensymmetrische (spiegelsymmetrische) Figur“ der ebenen Geometrie!
Welche der Aktivitäten (1), …, (8) eignen sich für die verschiedenen Phasen zum Einführen dieses Begriffs? Begründen Sie Ihre Entscheidungen!
c) Erläutern Sie an einer der Aktivitäten (1), …, (8) den Zusammenhang zwischen Wirklichkeit und geometrischem Begriff.
d) Geben Sie eine schülergerechte Definition des Begriffs „achsensymmetrische/spiegelsymmetrische Figur“.
e) Erklären Sie den Unterschied zwischen den beiden geometrischen Begriffe
„… ist achsensymmetrisch“ und „… ist achsensymmetrisch zu …“
5
6
Gleichungslehre
Die Unterrichtseinheit quadratische Gleichungen ist in einem neuen Schulbuch
wie folgt aufgebaut:
1. Lösen quadratischer Gleichungen durch planmäßiges Probieren
2. Grafisches Lösen quadratischer Gleichungen
3. Rechnerisches Lösen quadratischer Gleichungen
a) Skizzieren Sie jede der drei Lösungsmethoden anhand der Gleichung:
2
x – 2x – 3 = 0
b) Wie kann man dabei elektronische Rechenhilfsmittel (Graphik-Taschenrechner, Tabellenkalkulationsprogramme, Computeralgebra-Systeme) einsetzen?
c) Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen?
Wird beim Lösen einer Gleichung auch etwas bewiesen?
Welche Rolle spielt die Probe beim Lösen einer Gleichung?
d) Kommentieren Sie die folgende Aussage in dem Schulbuch zu Beginn von Ab-schnitt 3.:
Das planmäßige Probieren ist als Lösungsverfahren sinnvoll, wenn die Lösun-gen
leicht zu finden sind. Sonst ist es oft zu langwierig, und man findet nicht un-bedingt
die Lösungen. Auch das graphische Lösungsverfahren hat Nachteile, weil man nur
ganzzahlige Lösungen genau ablesen kann.
Wir wollen daher ein rechnerisches Verfahren herleiten, das stets alle Lösungen
exakt und schnell liefert.
e) Welche Lehrziele lassen sich in jedem der Abschnitte 1., 2., 3. der Unterrichtseinheit des
Schulbuchs verfolgen?
6
Staatsexamensklausur für die Lehrämter
L1 (Wahlfach) / L2 / L5 nach VO 1995
L2 / L5 nach HLBG
Herbst 2009
Mathematik
Zugelassenes Hilfsmittel:
Einfacher nicht programmierbarer Taschenrechner
(ohne Lösemodule sowie sonstige Computeralgebrakomponenten und ohne Grafik)
Mathematischer Teil: Aufgaben Nr. 1 bis 4
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Gewertet werden die drei besten Aufgaben.
Mathematikdidaktischer Teil: Aufgaben Nr. 5 und 6
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Beide Aufgaben sind zu bearbeiten.
1
Mathematischer Teil
1 Geometrie
Ein Dreieck ΔABC sei durch folgende Punkte gegeben:
A = (3 | 2), B = (9 | 2), C = (9 | 10).
1a) Fertigen Sie eine Zeichnung für das oben beschriebene Dreieck ABC an!
Zeichnen Sie den Punkt P = (5 | 3) ein!
1b) Zeigen Sie, dass der Punkt P = (5 | 3) von den Seiten b und c denselben
Abstand hat.
− Stellen Sie die Gleichung der Winkelhalbierenden durch den Punkt A auf.
− Bestimmen Sie die Winkelhalbierende durch B.
− Berechnen Sie den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden durch A und der
Winkelhalbierenden durch B.
− Geben Sie die Gleichung des Inkreises von ΔABC an.
1c) Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt ar jedes Dreiecks
ar = ½ U·r
gilt, wobei U der Umfang und r der Inkreisradius des Dreiecks ist.
[Hinweis: Unterteilen Sie das Dreieck mit Hilfe der Winkelhalbierenden in Teildreiecke.]
2 Algebra
2a) Lösen Sie folgendes Gleichungssystem in den Unbekannten x, y, z über R in
Abhängigkeit des Parameters t.
tx
tx + t²y
-t y
+ 2z
– tz
=
1
= t² + 1
= -t
2b) Bestimmen Sie die multiplikativ invertierbaren Elemente von Z36.
2c) Bestimmen Sie das inverse Element von [501] in Z2009 bzgl. der Addition.
2d) Bestimmen Sie zwei ganze Zahlen a und b, so dass 501a + 2009b = 1 gilt.
2
3 Analysis
3a) Funktionen
Betrachten Sie die Kurve K, die aus den drei Teilkurven
KL = {(x|y) : y = -1 – (x + 2)2, -3 ≤ x ≤ -1},
KR = {(x|y) : y = x – x2,
-1 ≤ x ≤ 2},
KU = {(x|y) : y = x2 + x – 8,
-3 ≤ x ≤ 2}
zusammengesetzt ist.
(i) Fertigen Sie eine Skizze der Kurve K an.
(ii) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der von der Kurve K umschlossenen Fläche
F.
(iii) Sei P = (2 | 2). Bestimmen Sie die Gleichung derjenigen Gerade g durch P, die
die Kurve K in einem Punkt berührt (dort Tangente an K ist), andererseits aber
die Fläche F in zwei Teile zerschneidet. Fügen Sie die Gerade g in Ihre Zeichnung ein.
(iv) Wie lange ist die Strecke auf g zwischen den beiden vom Berührpunkt verschiedenen Schnittpunkten mit K? Unter welchen Winkeln wird K in diesen
Punkten von g geschnitten (ein Winkel genügt)?
3b) Folgen
Die Zahlenfolge (xn)n≥1 sei definiert durch
x1 = 4,
sowie rekursiv durch xn+1 = a·xn + 2
für ein a ∈ R.
(i) Geben Sie einen Wert für a an, so dass die Folge (xn)n≥1 streng monoton abfällt. Weisen Sie die Monotonie für diesen Fall nach!
(ii) Geben Sie einen Wert für a, so dass die Folge (xn)n≥1 gegen 3 konvergiert. Weisen Sie die Konvergenz gegen 3 für diesen Fall nach!
3
4 Stochastik
Politiker F. hat keine Lust mehr, sich mit Studenten, Journalisten oder Erdgasmanagern herumzuärgern und zieht in die Toskana. Er will ein Nostalgie-Café eröffnen, mit
Musikbox im Stil der 60-iger Jahre. Er hat schon die Titel für die Musikbox ausgesucht:
Es sind je sechs Titel von den Gruppen „The Beatles“ (B), „The Kinks“ (K), „The Rolling
Stones“ (RS) und „The Who“ (W), so dass die 24 Tastenkombinationen (A1, A2, A3,
A4, B1, …, F4) der Musikbox mit diesen Titeln voll belegt sind. Wird eine Tastenkombination der Musikbox gedrückt, so ertönt der darunter gespeicherte Titel.
(1) Bei der Einweihungsfeier drückt F. vier (verschiedene) Tastenkombinationen der
Musikbox, so dass nacheinander die entsprechenden vier (verschiedenen) Titel abgespielt werden. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für diese seine Auswahl gibt
es, wenn nur interessiert, von welchen Gruppen jeweils wie viele der vier Titel
stammen?
(2) Berechnen Sie unter der Annahme, dass die Auswahl der vier Titel rein zufällig getroffen wird, die Wahrscheinlichkeit der Möglichkeit „von jeder Gruppe genau ein Titel“.
Damit F. nicht dauernd die Musikbox „drücken“ muss, hat er einen Zufallsgenerator
eingerichtet, der alle fünf Minuten rein zufällig einen Titel auswählt und abspielt. Im
Laufe des Nachmittags wird auf diese Weise jeweils rein zufällig und unabhängig von
den vorherigen Wahlen 28 mal nacheinander ein Titel abgespielt.
(3) Wie wahrscheinlich ist, dass nur genau zwei der gespielten Titel von „The Who“ waren? Wie viele „The Who“ sollte man erwarten?
(4) Wie viele Titel muss der Zufallsgenerator auf die angegebene Weise mindestens
auswählen und abspielen, damit mit mindestens 50%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal ein „Who-Titel“ gespielt wird?
Tastenkombinationen auf der Musikbox bestehen − wie oben beschrieben − aus einem
Buchstaben (A bis F) und einer Zahl (jeweils 1 bis 4). Die Zuordnung der Titel zu den
Tastenkombinationen geschah rein zufällig.
(5) Wie wahrscheinlich ist das Ereignis BAB, dass die sämtlichen sechs Beatles-Titel
unter den Buchstaben A und B eingeordnet wurden? Wie wahrscheinlich ist, dass
unter dem Buchstaben A ausschließlich Beatles-Titel zu finden sind, wenn das Ereignis BAB eingetreten ist?
Etwas aus dem Pascal’schen Dreieck.
(6) Beweisen Sie (zum Beispiel induktiv), dass für n ≥ 5 stets gilt:
n
⎛ j⎞
⎛ n + 1⎞
⎟⎟ .
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
∑
j =5 ⎝ 5 ⎠
⎝ 6 ⎠
4
Mathematikdidaktischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
!!! Beide Aufgaben sind zu bearbeiten. !!!
5 Konstruieren im Geometrieunterricht
Wir gehen für diese Aufgabe davon aus, dass Zirkel, Lineal und Geodreieck zugelassene Konstruktionsmittel sind.
In einem Schulbuch für der Sekundarstufe I findet sich im Anschluss an die Behandlung der Satzgruppe des Pythagoras folgende Konstruktionsaufgabe (*):
(*) Wähle Dir für ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C
die Länge zweier Seiten und konstruiere das Dreieck ABC.
5a) Unter welchen Bedingungen gibt es für (*) keine Lösung? Erläutern Sie Ihre Einschätzung!
5b) Geben Sie sich zwei Seitenlängen so vor, dass es eine Lösung gibt. Lösen Sie die
so bestimmte Konstruktionsaufgabe (Konstruktionstext und Begründung der Korrektheit der Lösung genügen)!
5c) Erläutern Sie anhand Ihrer Lösung der Aufgabe (*) die Begriffe Anfangs- und Zielkonfiguration sowie die Rolle erlaubter Konstruktionsmittel bei einer Konstruktionsaufgabe!
5d) Geben Sie zwei didaktische Funktionen außer „Förderung der Zeichenfertigkeit“
und „Förderung der Problemlösefähigkeit“ an, die die Aufgabe im Falle ihrer Lösbarkeit haben könnte (bitte mit kurzer Erläuterung, inwiefern die Aufgabe diese
Funktion haben kann)!
5e) Nennen Sie zwei weitere didaktische Funktionen von Konstruktionsaufgaben
(Nennung ohne Erläuterung genügt; wiederum außer „Förderung der Zeichenfertigkeit“ und „Förderung der Problemlösefähigkeit“)!
6 Gleichungslehre
6a) Beschreiben Sie kurz folgende Begriffe, die in den Klassen 5 bis 10 der Hauptund Realschule der schulischen Algebra zugrunde liegen:
„Variable“, „Term“, „Gleichung“, „Lösungsmenge“, „Umformung von Termen und
Gleichungen“
6b) Bruchgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Lösungsvariable in einem
Nenner der Gleichung steht. Beschreiben Sie stichwortartig die besonderen Maßnahmen und Vorkehrungen, die beim algebraischen Lösen von Bruchgleichungen
durchzuführen sind.
6c) Wie kann man den Schülerinnen/Schülern klar machen, dass insbesondere bei
Bruchgleichungen nach dem algebraischen Lösen der Gleichungen Proben der
erhaltenen Lösungen notwendig sind. Geben Sie eine Beispielaufgabe hierfür an!
6d) Erläutern Sie stichwortartig zwei weitere Lösungsverfahren (außer dem algebraischen Umformen) für Gleichungen!
6e) Beschreiben Sie kurz die Änderungen, die sich beim Gleichungslösen ergeben,
wenn den Schülerinnen und Schülern ein Computer Algebra System (CAS) wie
DERIVE jederzeit zur Verfügung steht!
5
Staatsexamensklausur für die Lehrämter
L1 (Wahlfach) / L2 / L5 nach VO 1995
L2 / L5 nach HLBG
Frühjahr 2010
Mathematik
Zugelassenes Hilfsmittel:
Einfacher nicht programmierbarer Taschenrechner
(ohne Lösemodule sowie sonstige Computeralgebrakomponenten und ohne Grafik)
Mathematischer Teil: Aufgaben Nr. 1 bis 4
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Gewertet werden die drei besten Aufgaben.
Mathematikdidaktischer Teil: Aufgaben Nr. 5 und 6
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Beide Aufgaben sind zu bearbeiten.
1
Mathematischer Teil
1 Geometrie
a) Zeigen Sie, dass die Innenwinkelsumme eines beliebigen Fünfecks 540° ist.
b) Zeigen Sie, dass die Summe der Winkel an den
Spitzen jedes Pentagramms (= fünfzackiger Stern)
180° ist.
c) Das Fünfeck ABCDE sei durch die folgenden Punkte
gegeben:
A = (1,1), B = (4,2), C = (5,4), D = (2,6), E = (-1,5)
i. Zeichnen Sie das Fünfeck ABCDE .
ii. Zeigen Sie, dass die Diagonale BD parallel zur
Seite AE ist.
iii. Berechnen Sie die Länge der Diagonalen BD .
2 Algebra
a) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x, y und z
über den reellen Zahlen R in Abhängigkeit des Parameters a. Geben Sie jeweils
die Lösungsmenge an.
3x – y
+
az = 3a – 1
-9x + 4y
–
az = 7 – 9a
2
-3x + 2y – (a – a) z = 3 – 2a
b) Berechnen Sie das inverse Element von [221] in Z2010 bezüglich der Addition und
bezüglich der Multiplikation.
c) Finden Sie ganze Zahlen a und b, so dass 221a + 2010b = 4 gilt.
d) Geben Sie alle multiplikativ invertierbaren Elemente in Z24 an (ohne Beweis!).
2
3 Analysis
a) Funktionen
Betrachten Sie die Schar aller quadratischer Funktionen f mit
f(-1) = f(1) = 2.
(i) Geben Sie die Funktionsterme der Funktionen aus der Schar mit
einem Scharparameter a ∈ R an.
(ii) Bestimmen Sie diejenige Funktion der Schar, deren Graph die
Gerade g mit der Gleichung y = 4x – 2 als Tangente hat. Fertigen Sie
eine Skizze des Graphen dieser Funktion mit eingezeichneter
Tangente g an.
(iii) Bestimmen Sie diejenigen (beiden) Funktionen aus der Schar, deren
Graphen F1 und F2 mit der Gerade h, die die Gleichung y = 2 hat, ein
beschränktes Flächenstück einschließen, das den Flächeninhalt 4
(FE) besitzt. Skizze!
(iv) Wie groß ist das beschränkte Flächenstück, das F1 und F2 miteinander einschließen?
b) Folgen
Sei b eine reelle Zahl. Die Zahlenfolge (xn)n≥0 sei definiert durch x0 = b +
1, sowie rekursiv durch
xn+1 = (b – 1)·xn + b
(i) Geben Sie diejenigen Werte für b an, für die die Folge (xn)n≥0 eine konstante
Folge ist.
(ii) Geben Sie den Wert für b an, für den die Folge (xn)n≥0 eine arithmetische Folge
ist.
(iii) Geben Sie den Wert für b an, für den die Folge (xn)n≥0 gegen 1,5 konvergiert.
(iv) Zeigen oder widerlegen Sie: Wenn die Folge (xn)n≥0 konvergiert, ist b positiv.
3
4 Stochastik
Mathematiklehrer S. hat ein Dreieck ∆ ABC mit den Seitenhalbierenden sa, sb, sc an die
Tafel gezeichnet. Mit weißer Kreide. Um die Zeichnung eindrucksvoller zu gestalten, will
er die Seiten und die Seitenhalbierenden des Dreiecks farbig nachzeichnen. Es stehen
ihm dazu Farbkreiden zur Verfügung – rote, blaue, grüne und gelbe. Sogar viele von jeder Sorte, bunt durcheinander in einem Eimer.
S. nimmt rein zufällig fünf Kreidestückchen aus dem Eimer.
(i)
Wie viele Möglichkeiten für diese Auswahl gibt es, wenn nur interessiert, wie oft
welche Farbe in der Auswahl vorkommt?
(ii)
Auf wie viele verschiedene Weisen lassen sich mit den vorhandenen vier Farben die sechs Strecken in seiner Zeichnung färben? (Zwei Weisen sind verschieden, sobald mindestens eine der sechs Strecken in den beiden Weisen
verschieden gefärbt ist.)
S. zählt nach, wie viele Kreiden von welcher Farbe sich in seinem Eimer befinden: es stellt
sich heraus, dass es acht Stückchen von jeder Farbe sind.
(iii)
Wie wahrscheinlich ist, wenn er rein zufällig fünf Kreiden (nacheinander, ohne
Zurücklegen) aus dem Eimer holt, dass unter diesen genau zwei blaue Kreiden
sind? Wie viele blaue Kreiden würden Sie bei dieser Ziehung erwarten?
(iv)
Wie wahrscheinlich ist, dass alle Farben unter den gezogenen Kreiden vorkommen, wenn die ersten beiden gezogenen Kreiden gleichfarbig waren?
(v)
Wie oft müsste S. diesen Ziehungsvorgang (fünf Kreiden aus dem Eimer nehmen), unabhängig voneinander und jeweils rein zufällig, durchführen, um mit 99
%-iger Sicherheit mindestens einmal alle vier Farben dabei zu haben?
4
Mathematikdidaktischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
!!! Beide Aufgaben sind zu bearbeiten. !!!
5 Beweisen im Geometrieunterricht
Im Internet findet sich nachstehende Anleitung zum Beweis des Satzes des Pythagoras.
5a) Entwickeln Sie aus der Anleitung einen schülergerechten Beweis für eine Realschulklasse! Schreiben Sie Ihren Beweis auf!
5b) Erläutern Sie an Ihrem Beweis die wesentlichen Eigenschaften eines mathematischen
Beweises!
5c) Führen Sie Gründe für das Beweisen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I an
und erläutern Sie diese kurz!
5d) Schätzen Sie Ihren Beweis aus 5a) in Bezug auf die in 5c) genannten Gründe für das
Beweisen im Mathematikunterricht ein!
5
6 Rechnen mit Bruchzahlen – Zahlbereichserweiterungen
geteilt
durch 3
2 mal
Die obenstehende Grafik stellt eine Multiplikationsaufgabe dar.
6a) Geben Sie an, welche Multiplikationsaufgabe dargestellt ist und erläutern Sie, wie man
aus dieser Darstellung eine Regel für das Multiplizieren zweier Bruchzahlen entwickeln
kann. Geben Sie diese Regel an!
6b) Beim Rechnen mit Bruchzahlen müssen Schülerinnen und Schüler einige Eigenschaften von Zahlen und Zahlenoperationen als falsch erkennen, die beim Rechnen mit
natürlichen Zahlen korrekt sind. Geben Sie mindestens drei solcher Eigenschaften an und
belegen diese Eigenschaften jeweils mit Beispielen aus den natürlichen Zahlen und
Bruchzahlen.
6c) Beschreiben Sie kurz mindestens je einen innermathematischen- und einen umweltbezogenen Grund, warum man auf die Erweiterung von natürlichen Zahlen zu den nichtnegativen rationalen Zahlen nicht verzichten möchte!
6d) In höheren Klassenstufen erweitert man die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen.
Beschreiben Sie kurz mindestens einen Grund für diese Erweiterung!
6
Entwurf, RS, 16.7.2010
Klausur-Aufgaben Staatsexamen L2-L5, Sommer 2010
Aufgabe 5: Geometrie – Konstruktionsaufgabe
1 Konstruktionsaufgabe
2 Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC, dessen Umkreisradius die Länge 3 cm hat.
Außerdem soll der Innenwinkel des Dreiecks bei A 60° messen.
3 Lösungsskizze
4 Konstruktionstext
5 5.1 A ist ein freier Basispunkt
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
B ist ein Punkt, der von A 6 cm Abstand hat
c ist die Strecke AB.
s ist ein Strahl mit Anfangspunkt A, der mit c einen Winkel der Größe 60° bildet
k ist der Thaleskreis über der Strecke AB.
C ist der Schnittpunkt von k und s
Dreieck ABC
Klausur-Aufgabe:
Lesen Sie bitte die obenstehende Aufgabenstellung und Lösungsskizze genau durch
und bearbeiten nachstehende Aufgaben!
a) Zeigen Sie, dass der Konstruktionstext in den Zeilen mit der Nummer 5 eine
korrekte Lösung der Konstruktionsaufgabe aus Nummer 2 beschreibt!
b) Geben Sie die geometrischen Kenntnisse an, die zur Lösung der
Konstruktionsaufgabe nötig sind (jeweils mit kurzer Erläuterung)!
c) Erläutern Sie anhand der Lösung der Aufgabe in Nr. 5 die Begriffe Anfangsund Zielkonfiguration bei einer Konstruktionsaufgabe!
d) Geben Sie zwei didaktische Funktionen außer „Förderung der
Zeichenfertigkeit“ an, die die Aufgabe haben kann (bitte mit kurzer
Erläuterung, inwiefern die Aufgabe diese Funktion haben kann)!
e) Nennen Sie zwei weitere didaktische Funktionen von Konstruktionsaufgaben
im Allgemeinen (Nennung mit kurzer Erläuterung genügt; wiederum außer
„Förderung der Zeichenfertigkeit“)!
Aufgabe 6: Algebra – Lösen von Gleichungen
1 Aufgabe
2 Ein Geflügelzüchter möchte an einem geraden Fluss eine möglichst große, rechteckige Lauffläche für seine
Gänse umzäunen. Dafür steht ein Zaun der Länge100 m zur Verfügung.
3
4
5
6
Lösungsskizze (Anfang)
Mit a und b als Seitenlängen des Zauns (in m) und F der umzäunten Fläche (in m2) ergibt sich
100 = a+2b, also: a = 100 -2b
F = a·b, also ergibt sich als Zielfunktion F(b) = (100 -2b)·b
Klausur-Aufgabe:
Lesen Sie bitte die obenstehende Aufgabenstellung und den Anfang einer
Lösungsskizze genau durch und bearbeiten nachstehende Aufgaben!
a) Erläutern Sie am Beispiel der obenstehenden Aufgabenlösung die drei
„Aspekte“ von Variablen: Gegenstandsaspekt, Einsetzungsaspekt,
Kalkülaspekt.
b) Geben Sie Weiterführungen der Lösungsskizze an, die in der Sekundarstufe I
möglich sind. Schätzen Sie dabei ein, in welcher Schulart die von Ihnen
skizzierte Lösung möglich ist.
c) Beschreiben Sie für die Sekundarstufe I eine Lösung mithilfe eines
grafikfähigen Taschenrechners oder eines Computeralgebrasystems.
d) Bei der Umformung in Zeile 5 handelt es sich um eine Äquivalenzumformung.
Geben Sie zwei Gleichungen und deren vollständige Lösungsmengen an.
Dabei soll die zweite Gleichung aus der ersten durch eine Gewinnumformung
hervorgehen. Erläutern sie an diesem (selbst gewählten) Beispiel den Begriff
„Gewinnumformung“ und die Rolle der Probe.
Staatsexamensklausur für die Lehrämter L 1 (Wahlfach) / L 2 / L 5
Frühjahr 2011
Mathematikdidaktischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
!!! Beide Aufgaben sind zu bearbeiten. !!!
5 Begriffe in einer Konstruktionsaufgabe
Konstruktionsaufgabe
Ein rechtwinkliges Dreieck ABC wird am Mittelpunkt M der Hypotenuse
entsteht das Viereck ADBC mit D als Bildpunkt von C.
gespiegelt. Es
Klausur-Aufgabe:
Lesen Sie bitte die obenstehende Konstruktionsaufgabe genau durch und bearbeiten
nachstehende Aufträge!
a) Von welchem Typ ist das Viereck ADBC? Begründen Sie Ihre Antwort. Geben Sie
eine Definition für die entstehende Vierecksart.
b) Erläutern Sie anhand der Konstruktionsaufgabe die Begriffe Anfangs- und Zielkonfiguration bei einer Konstruktionsaufgabe! Wie kommt man von der Anfangs- zu einer Zielkonfiguration?
c) Geben Sie zwei didaktische Funktionen außer „Förderung der Zeichenfertigkeit“ an,
welche die Aufgabe haben kann und begründen Sie Ihre Nennung!
d) Formulieren Sie die Aufgabe neu für den Fall eines beliebigen Ausgangsdreiecks
ABC. Geben Sie die dann entstehende Vierecksart an.
e) Erläutern Sie, welche Rolle diese beiden Konstruktionsaufgaben für die Begriffsentwicklung zu Vierecken haben kann.
6 Funktionsgleichung und Funktionsgraph
Die Funktion f : R  R sei durch die Vorschrift f(x) = x·2 gegeben.
Punkte im Koordinatensystem, deren Koordinaten nur ganze Zahlen sind, heißen „Gitterpunkte“.
a) Bestimmen Sie die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Graphen der Funktion f und
beweisen Sie Ihr Ergebnis!
b) Erläutern Sie, welche Rolle bei der Lösung der Aufgabe 6a) das Zeichnen des
Funktionsgraphen von f spielen kann! Begründen Sie Ihre Einschätzung!
c) Erläutern Sie, welche Rolle bei der Lösung der Aufgabe 6a) der Einsatz eines grafikfähigen Taschenrechners oder eines Computeralgebrasystems (wie z.B. DERIVE)
spielen kann! Begründen Sie Ihre Einschätzung!
d) Skizzieren Sie allgemein (unabhängig von der oben definierten Funktion f), was ein Schüler
am Ende der Realschule über Nullstellen von Funktionen und die Methoden, diese zu finden, wissen sollte!
1
Staatsexamensklausur Mathematik für Studiengang L 2
Herbst 2011
Didaktik der Mathematik
Beide Aufgaben sind zu bearbeiten.
5 Konstruieren, Beweisen und Begriffsbildung im Geometrieunterricht
Im Internet (z.B. unter http://www.hirnwindungen.de/wunderland/grundkons/parallel.html) findet
sich folgende Anleitung für die Konstruktion einer Parallelen zu einer Geraden g durch einen
Punkt P, der nicht auf der Geraden g liegt.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Wähle einen beliebigen Punkt H auf der Geraden g.
Zeichne den Kreis k1 um P durch H.
Zeichne den Kreis k2 um H durch P.
K sei einer der Schnittpunkte des Kreises k2 mit der Geraden g.
Zeichne den Kreis k3 um K durch H.
Q ist (neben H) der zweite Schnittpunkt der Kreise k1 und k3.
Die Gerade h durch P und Q ist parallel zur Geraden g.
a) Beurteilen Sie diese Lösung! Falls die Lösung korrekt ist, beweisen Sie die Korrektheit. Falls
sie nicht korrekt ist, begründen Sie Ihr Urteil (etwa mit einem Gegenbeispiel).
b) Lässt sich die Konstruktion bei jeder Wahl des Punktes H auf der Geraden g durchführen?
c) Welche Vierecksart entsteht mit dem Viereck PHKQ? Begründen Sie Ihre Einschätzung!
d) Welche Rolle kann die Konstruktionsaufgabe im Rahmen der Begriffsentwicklung zu symmetrischen Vierecken spielen? Geben Sie eine solche Rolle an und erläutern Sie diese!
e) Nennen Sie Gründe (Motive), weshalb man in der Geometrie die Richtigkeit von Aussagen
beweist!
f) Zusatz: Was wird aus der Konstruktion, falls der Punkt P auf der Geraden g liegt?
6 Algebra: Modellieren und Darstellungsformen
Im Internet (z.B. http://www.matheboard.de/archive/11875/thread.html) findet sich folgende
Seerosenaufgabe:
Eine Seerosenart verdoppelt täglich die von ihr bedeckte Teichfläche. Am Anfang wird eine Seerose
(dieser Art) in einen Teich gepflanzt. Nach 30 Tagen ist der ganze Teich bedeckt. … Nach wie vielen
Tagen ist der Teich bedeckt, wenn man am Anfang 2 Seerosen (derselben Sorte) anstatt einer pflanzt?
a) Lösen Sie die „Seerosenaufgabe“ durch Rechnen und mit Hilfe einer Formel und erläutern
Sie Ihre Lösung!
b) Viele Lernende (auch Erwachsene!) bieten als Lösung der Seerosenaufgabe die Zahl 15 an.
Erläutern Sie, warum diese Lösung falsch ist und stellen Sie begründete Vermutungen an,
warum die Lernenden diese falsche Lösung angeben!
c) Erläutern Sie am Beispiel der Seerosenaufgabe und seiner Lösung und Fehllösung aus Teil
b) das Modellierens im Mathematikunterricht.
d) In den bundeseinheitlichen „Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss“ wird neben anderen die Kompetenz „mathematische Darstellungen verwenden“
genannt. Formulieren Sie eine Aufgabenstellung, an der Lernende diese Kompetenz an
mindestens zwei Darstellungsarten zeigen können und erläutern Sie an Ihrem Beispiel die
Möglichkeit, diese Kompetenz zu zeigen!